Synagoge

1 α΄. Ἐὰν ἦ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἀναγραφῇ τυχόντα παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ, καὶ αἱ ∠Ε ΖΗ ἐκβληθῶσιν ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθῇ ἡ ΘΒ, γίνεται τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΖΗ παραλληλόγραμμα ἵσα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΘΒ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ἐν γωνίᾳ ἥ ἐστιν ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ∠ΘΒ.

Ἐκθεβλήσθω γὰρ ἡ ΘΒ ἐπὶ τὸ Κ, καὶ διὰ τῶν Α Γ τῇ ΘΚ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΛ ΓΜ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΜ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστιν τὸ ΑΛΘΒ, αἱ ΑΛ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. ὁμοίως καὶ αἱ ΜΓ ΘΒ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι, ὥστε καὶ αἱ ΛΑ ΜΓ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι. καὶ αἱ ΛΜ ΑΓ ἄρα ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΛΜΓ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΑΓ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ [*](3. δείκνυται] γίνεται Hu 4. τοῦτο ABS, τοίνυν Paris, 2368, τὸ πρόβλημα Bredow 5. post εὐθεῖαι add. εὑρίσκονται Bredow 9. ini- tio libri praeter titulum periit praefation, id quod et aliorum librorum similitudo et cap. 78 docent α΄ manus recentissima in B, quae etiam βιβλίον δʼ margini adscripsit, β΄ S, om. A 10, ἀναγραφῇ τυ- χόντα S ἀναγραφη τυχον τὰ σημεῖα A, ἀναγραφῆ τιχὸν τὰ σημεῖα B τὰ ΑΒ ∠Ε ΒΓ ΖΗ ABS, coniunx. Co 12. τὰ ∠Ε ΒΓ ΖΗ A, coniunx B (ΒΓ om. S) 15. εκβληθῆ γὰρ ΘΒ Α(BS), corr. Hu τῶν ΑΓ A, distinx. BS 17. ἐπεὶ S, ἐπι sine acc.) A (B cod. Co))

2 β΄. Ἡμικύκλιον ἐπὶ τῆς ΑΒ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον, καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση καὶ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ἡ ΒΓ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠, καὶ δίχα ἡ Β∠ περιφέρεια τῷ Ε σημείῳ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ὅτι ἡ ΓΕ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.

Ἑἰλήφθω τὸ Ζ κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Ζθωσαν ΖΕ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Ζ∠Γ, ἐν ἡμι κυκλίῳ ἐστὶν τῷ ἐπὶ τῆς ΖΓ, οὗ κέντρον ἐστὶν τὸ Β. καὶ τῆς Β∠ ἐπιζευχθείσης ἰσόπλευρον γίνεται τὸ ΒΖ∠ τρίγωνον, ὥστε διμοίρου μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ γωνία, τρίτου δὲ ἡ ὑπὸ ΕΖΒ. ἤχθω κάθετος ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ διάμετρον ἡ ΗΕ· ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον τῷ ΕΖΗ [*](1. τε ὑπὸ ΑΒΓ AB, corr. S 2. τὸ ἀπὸ ∠ΑΒΕ AB1 cod. Co, τὸ ἀπὸ λαβε S, ἀπὸ del. Β3 Co 2. 3. τῶι ΛΑ ΘΒ AS(B), corr. Co 5. τὸ ΛΑ ΘΒ τῶι ΛΑ ΚΝ AB, coniunx S, corr. Co post ἐπί τ)

3 Ὅτι δὲ ἡ ΓΕ δύναται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΖ ΗΘ, οὕτως ἔσταιε δῆλον ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΓ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΘ ΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘ ΘΗ, ἔστιν δὲ καὶ τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ ἴσα τῷ ἀπὸ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΖΘ ΘΗ ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΓ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ, οὕτως τὰ ἀπὸ ΕΘ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ μετὰ τοῦ δὶς ὑπὸ ΖΘΗ. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, πάντα πρὸς πάντα. καὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΓΕ τοῖς ἀπὸ ΕΘΓ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ, ἴσα ἄρα καὶ τὰ ἀπὸ ΓΕ ΕΘ ΘΖ τοῖς ἀπὸ ΕΘ ΘΓ ΕΖ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΘΗ μετὰ τοῦ [*](1. ἡ ΕΖ Co Sca pro ἡ ΕΗ 2. ἐπὶ τρίτον utroque loco A, corr. BS 5. τὸ ante ἀπὸ ΕΖ add. S 6. ἔσται δὴ A, ἔσται δὴ ἡ BS, corr. V2 (ἔστω δὴ ἡ Sca, sit Co) 7. διπλασίων S, δ/////ίων A, διπλάσιον B 8. 9. τὴν ΖΘ ον Η πρὸς //// τῆς extremo folio A, τὴν ζθ ὃν ἡ πρὸς . . καὶ τῆς S, corr. B Sca 15. ὅληι ἡ AB, corr. S 17. καὶ διπλῆ αὐτῆς del. Sca, ἡ ante διπλῆ add. Hu δὶς add. Co)

4 γ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ ῥητὴν ἔχον τὴν διάμετρον, καὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἔστω ἡ Γ∠, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ∠Β, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ὑπὸ Γ∠Β γωνία ὑπὸ τῆς ∠Ζ· ὅτι ἡ ∠Ζ ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει ἡ ἐκ δύο ὀνομάτων τῆς μετὰ ῥητοῦ μέσον τὸ ὅλον ποιούσης.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ Η κέντρον τοῦ ἡμικυκλίου, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΗ, καὶ ἐπὶ τῆς Η∠ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΗΒ∠, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ζ ἐπὶ τὸ Κ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ περιφέρεια τῇ ΚΗ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΚΛ. καὶ ἐπεὶ ἑξαγώνου ἐστὶν πλευρὰ ἡ ΒΗ, ἡμίσεια δὲ τῆς ἑξαγώνου ἡ ΚΛ (ἐκβαλλομένη γὰρ τὴν διπλῆν τῆς ΚΗ περιφερείας ὑποτείνει), διπλασία ἄρα ἡ ΒΗ τῆς ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΓΚ τῆς ΚΛ. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΚΛΓ· ἐπίτριτον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΚΓ τοῦ ἀπὸ ΓΛ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ∠Γ τοῦ ἀπὸ ΓΛ· αἱ ∠Γ ΓΛ ἄρα ῥηταί εἰσιν δυνάμει μόνον σύμμετροι, καὶ ἡ ∠Γ τῆς ΓΛ μεῖζον δύναται τῷ ἀπὸ συμμέτρου ἑαυτῇ, καὶ ἡ μείζων ἡ ∠Γ σύμμετρός ἐστιν ῥητῇ τῇ ΑΓ· ἐκ δύο ῥνομάτων ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ Λ∠, ῥητὴ δὲ ἡ Η∠· ἡ ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν Η∠Λ χμρίον [*](6. ὑπὸ ΖΓΝΘ AS, ὑπὸ γζ ηθ B1, corr. B3 Cο Sca 7. Γ A1 in marg. (BS) ἐπὶ Co pro ἀπὸ 9. γωνία η ὑπὸ A, γωνία ἡ ὑπὸ B3S,)

καὶ ἐπεὶ τὸ μὲν ὑπὸ ∠ΗΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΒΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΒΗΘ ΒΗ∠ τρίγωνα , τὸ δὲ ὑπὸ ∠ΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΚΗ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΚΗΛ ΚΗ∠ τρίγωνα, ἔστιν ἅρα ὡς τὸ ὑπὸ ∠ΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΗ , οὕτως τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἐναλλάξ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ κοινὸν γὰρ ὕψος τὸ ∠Η· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΗ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΖΗ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ· διελόντι [*](2. ἡ ∠Κ Scα, Η∠Κ A, ηδκ BS 3. τῷ ∠ΛΚ Co pro τῶι ΗΛΚ 4. ἡ δὲ ∠Κ ἄρα ABS, corr. Sca 5. ἐπι διμοίρου AΒ , corr. S ἴση * * * τῆι A1, ἴση ΗΒ τῆι A2S, ἡ add. B 7. καθετος ΗΒ∠Θ ΑΒ, κάθετος ηβδ S, corr. Sca 8. ἐπὶ τρίτον A1, corr. A2(BS) 13. καὶ ἐπεὶ — p. 186, 2. τὸ ἀπὸ ΗΚ iniuria om. Co (conf. adnot. ad p. 486, 2) 13. μὲν ὑπὸ ∠ΗΘ AΒ1S, , corr. B3 Sca 15. ὑπὸ ∠ΗΛ Sca pro)

6 δ΄ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ε, διάμετρος δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ Α∠ συμπίπτουσα τῇ ΒΓ κατὰ τὸ ∠, καὶ διήχθω ἡ ∠Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚΗ ΗΛΘ· ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΕΛ.

Γεγονέτω καὶ ἤχθω τῇ ΚΛ παράλληλος ἡ ΘΞΜ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΖΘ κάθετος ἡ ΕΝ·  ἴση ἔρα ἐστὶν ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ. ἦν δὲ καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ τῇ ΜΖ· οὕτως [*](1. ἐστὶν Ηυ pro ἔσται 1. 2. τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΚ Ηυ auctore Sca pro τὸ ὑπὸ τῶν ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ 1. τὸ ἀπὸ ΚΖ — 3. τῷ ἀπὸ ΚΖ] τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΚΗ ἴσον ἐστι τῷ ὑπὸ ∠ΗΛ, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΘΛ πρὸς ΛΗ, τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΘΛ πρὸς ΛΗ, τὸ ὑπὸ ΛΗ ΛΘ πρὸς τὸ υπὸ ∠ΗΛ. καὶ τὸ ὑπὸ ∠Η ΛΘ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ ἔσται ὡς τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ΗΛ. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΚΖ τῷ ὑπὸ ∠Η ΛΘ Sca, in quibus vir acutissimus iusto liberius scripturam traditam evagatus esse videtur (conf. adnot. ad p. 184, 48 et Lat. versionem) 2. καὶ ἐδείχθη — 3. τῷ ἀπὸ KZ] osltensum autem est rectanguium quod ∠Η ΛΘ continetur quadrato ex KZ aequale esse Co, ad quae addit: ubi hoc ostensum sit , nondum comperi, nisi fortasse pse ostenderit in superioribus, quod tamen non apparet; nos autem illud ipsum ostendere sequenti lemmate nitemur (seequitur languida demonstratio quaeque longe ab elegantia Graeci scriptoris a nobis restituta abhorreat) 5. μεταρητου ////// ὃ////| ποιοῦσα A, μετὰ τοῦ ῥητοῦ μέσον τὸν λόγον ποιοῦσα Β1, corr. B3S 6. ἡ ∠K ἐκ δ//  / ///////////// ΛΖ ὑπεροχή A, ἡ δκ ἐκ δύο ὀνομάτων . . .. .. λζ B1S, ἡ ἄρα add. B3, corr. Sca 7. ἡ (ante ἐκ δύο) add. Sca 9. ∠ A1 in marg. BS) 11. κατὰ τὸ A καὶ διήχθω ἡ ΑΖ Sca (quia paulo post pro ἡ ΛΕ, quod recte AΒ3 praebent, in Β1S ἡ δε legitur) 42. post ΗΛΘ add. αθζ S)

7 Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑ∠ ΕΝ∠, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Α ∠ E Ν σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΝ∠ τῇ ὑπὸ ΑΕ∠. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΑΞΘ διὰ τὰς παραλλήλους τὰς Ε∠ ΞΘ ἐν κύκλῳ ἄρα τὰ Α Ν Ξ Θ σημεῖα ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΑΞ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΝΞ. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΘΑΞ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΜ τῇ ΝΞ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΖΝ τῇ ΝΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΗE, οὕτως ἡ μὲν ΞΜ πρὸς ΕΚ , ἡ δέ ΘΞ πρὸς ΛΕ·  καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΜ πρὸς ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΞ πρὸς ΛΕ. καὶ ἐναλλάξ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΞ τῇ ΞΘ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΕ τῇ ΛΕ.

8 ε΄. Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ Α.∠ ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διήχθω ἡ ΕΖ, ἔστω δέ ἡ ΕΗ ἴση τῇ ΗΖ·  ὅτι καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΚ ἐστὶν ἴση.

Ἤχθω τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΜ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῖ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ ΛΖ ΛΓ ΛΜ ΛΕ ΛΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ, ἴση ἐστὶν καὶ ἡ ΜΓ τῇ ΓΖ. καὶ ἔστιν ἡ ΜΓʼ πρὸς βρθὰς τῇ ΓΛ· [*](2. τοῦτʼ ἔστ A, τουτέστι BS 3. τὰ ΛΝΞΘ A, dislinx. B (pro A et hic et infra passim S habet δ : conf. ad p. 488, 4) 5. τὰ ΛΕΝ σημεῖα A, dstinx. B, τὰ αενδ σημεῖα S, corr. Ηυ 8. τὰ Λ∠ ΕΝ ΑS, distinx. B 10. διὸ ΑB cod. Co, corr. S Co 40. 11. τὰς Ε∠ ΞΘ Cο, πὰ ΕΞΘ A (Β cod. Cο), τὰς ελ ξθ s 44. τὰ ΛΝΞΘ Α, distinx. B (τὰ δνξθ S) 43. ἐστιν τῆι ὑπὸ ΘΝΞ A(Β cod. Co), ἐσιὶ τῇ ὑπὸ Θζη   S, Corr. Co ἡ ZM Co pro ἡ ZHM 46. τῆι δὲ ΘΞ πρὸς *ΛΕ A (Β cod. Co), corr. S Co 46. 17. πρὸς ΘΚ οὕτως AB cod. Co, corr. S Co 17 καὶ (ante ἴση) add. A1 super vs. 19. Ε A1) in marg. (S), om. B 20—22. ἔστω |/// //// /// |Ζ οὕτω καὶ /////////// η ἤχθω A, ἔστω καὶ ἴση ἡ ηθ τῇ ηκ (ηζ Β3) οὕτως κα)

9 Ϛ΄ Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ Α∠ ∠Γ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ διήχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· ὅτι καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστὶν ἴση. Εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΛ ΛΑ ΛΗ ΛΖ ΜΓ. ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΕΑΛ ΕΗΛ, ἐν κύκλῳ ἐστίν τὰ E A H Λ σημεῖα ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΛΗΖ ΜΓΖ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Μ Η Ζ Γ σημεῖα· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΓΛ γωνία,  τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΑΛ , τουτέστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΗΕΛ, τῇ ὑπὸ τῶν ΗΖΛ· ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΖ. καὶ ἔστιν κάθετος ἡ ΛΗ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ.

10 Ἐὰν ὦσιν τρεῖς κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένοι καὶ ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων, καὶ ὁ περιλαμβάνων αὐτοὺς  κύκλος δοθεὶς ἔσται τῷ μεγέθει. προγράφεται δὲ τάδε.

11 ζ΄. Γετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν καὶ δοθεῖσαν ἑκάστην τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν· δεῖξαι δοθεῖσαν τὴν ἐπιζευγνύουσαν τὰ θειῶν· β σημεῖα τὴν Βθειῶν·.

Ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ κάθετοι ἥχθωσαν ἐπὶ μὲν τὴν ΓΔ ἡ ΑΗ, ἐπὶ δέ τὴν AΓ ἡ ΒΕ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν ἢ ἐν ἀριθμοῖς, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΒE, δοθεῖσα ἄρα ἔσται β καὶ ἑκάστη τῶν ΑE EΓ· ΑΓ ΒΕ (καὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓΕ ἴσον ὂν τῷ ἀπὸ BΓ γίνεται δοθέν καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, ὥστε ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ ΒΕ ἔσται δοθεῖσα). πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν ΑΓ Γ∠ ∠Α εὐθειῶν, καὶ κάθετός ἐστιν ἡ ΑΗ, δοθεῖσά ἐστι καὶ ἑκάστη τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ (καὶ γὰρ ἡ ὑπεροχή τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ἀ παρά τὴν Γ∠ παραβληθεῖσα ποιεῖ δοθεῖσαν τὴν τῆς  Γ∠ πρὸς Η∠ ὑπεροχήν, ὡς ἔστι λῆμμα· ὥστε καὶ ἑκάστην τῶν ∠Η ΗΓ ΑΗ δεδόσθαι.. καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΗΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ ἔστιν ὡς ἡ ΗΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἥ τε ΑΓ πρὸς ΓΖ καὶ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν EΖ. καὶ ἔστι δοθεὶς ὁ τῆς ΗΓ πρὸς ΓΕ λόγος· δοθεῖσα ἄρα  ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΖ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΒΓ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΖΒ ΒΓ ΓΖ δοθεῖσα. ἤχθω δὴ κάθετος ἐτὶ τὴν ΓΖ ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΖΘ ΘΓ· ΒΘ· ὥστε καὶ ἑκατέρα τῶν ∠Θ ΘΒ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΘ∠ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν  ἡ Β∠.

Ἄλλως.

12 η΄· Ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΑΓ ἡ ΜΕ καὶ ἐκβεβλήοθω ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκάστη τῶν Α∠ ∠Γ· ΓΑ, καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΕΓ, καὶ ἐπεὶ ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΓΕΖ τριγώνῳ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΕ πρὸς EΖ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ. δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ λόγος: δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ΓΕ πρὸς ΕΖ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. ἦν δὲ καὶ ἡ ∠Ε δοθεῖσα καὶ ὅλη ἄρα ἡ ∠Ζ ἔσται δοθεῖσα. κατά ταὐτὰ δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΖ ΖΓ· ὡς γὰρ ἡ ΑΓ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΖΓ πρὸς ΓΕ. καὶ δοθεὶς ὁ τῆς ΑΓ πρὸς ΓΒ λόγος). ἤχθω δὴ πάλιν ἀπὸ τοῦ ∠ κάθετος ἡ ∠Η· δοθεῖσα ἄρα ἑκατέρα τῶν ΖΗ ΗΓ, ὣστε καὶ ἑκατέρα τῶν ΒΗ Η∠ δοθεῖσά ἐστι. καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ Η γωνία δοθεῖσα ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ Β∠.

13 θ΄. Ἰσοι κύκλοι τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δοθέντες, ὧν κέντρα τὰ Α Β, καὶ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐφαπτόμενος τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β, γεγράφθω ὁ ΓΕΖ ὅτι δοθεῖσά ἐστιν αὐτοῦ ἡ διάμετρος.

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ EΖΗ ΓΖΘ ΓΜΠ ΑΓΕ ΠΖΚ ΘΚ ΘΗ· γίνεται δὴ παράλληλος ἡ ΗΘ τῇ ΓΕ διὰ τὸ τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας τὰς ὑπὸ ΕΖΓ ΗΖΘ ἴσας εἶναι, καὶ ὁμοίας [*](2. ηόν Β, ζ ΑS 4. καὶ (ante ἐκατέρα) add. Co ἑκάστη τῶν ΑΕ ΕΓ Ε∠ coni. Ηυ 17. post ΓΒ λόγος add. δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τῆς ΖΓ πρὸς ΓΕ λόγος. καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΖ Co (at haec tacite Suppleri voluit scriptor) 18. 19. ἐκατέρα τῶν //// ὥστε A, in lacuna δηζ add. B Co, ΖΗ ∠ Sca, corr. Ηυ 21. Θ A1 in marg. BS) 22 τὰ ΑΒ AΒ, dstinx S 23. τὰ ΑΒ A, distinx. BS, tem 4. 96,4 25. ΑΒΓ Ε Π Κ Θ Κ Α, αβγ επζ κθκ ΒS, AB ΓΕ ΠΖ ΖΗΘ Sca, corr. Co 26. ΘΗ add. Ηυ)

14 ί. Τρίγωνον τὸ ΑBΓ ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, καὶ σημεῖον ἐντὸς τὸ ∠, καὶ ὧ ὑπερέχει ἡ Α∠ τῆς  Γ∠, τούτῳ ὑπερεχέτω καὶ ἡ Γ∠ τῆς ∠Β, καὶ ἔστω ὑπεροχὴ δοθεῖσα· ὅτι ἑκάστη τῶν Α∠   ∠Γ ∠Β δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ ἡ τῶν Α∠ ∠Γ ὑπεροχή δοθεῖσά ἐστιν , ἔστω τῇ ὑπεροχῇ ἴση ἑκατέρα τῶν ΑΕ ΒΖ· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ Ε∠ ∠Γ ∠Ζ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. γεγράφθω περὶ κέντρον τὸ [*](3. 4 τὸ ὑπὸ ΝΜΡ Co pro τὸ ὑπὸ ΗΜΡ 6. τουτέστιν τὸ add. Ηυ auctore Co 45. 46. τῆι ΓΠ τῇι ΚΘ AB1S, τὴν ΓΠ τῇ ΚΘ voluit Co, corr. Β3 19, Ι A1 in marg. (BS) 20. εν τοῖς τὸ A(S), corr. B Sca)

15 ια΄. Τὰ μὲν οὖν λήμματα ταῦτα, τὸ δὲ ἀρχαϊκόν· τρεῖς κύκλοι ἄνισοι ἐφαπτόμενοι ἀλλήλων δοθείσας ἔχοντες τὰς διαμέτρους, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, καὶ περὶ αὐτοὺς κύκλος ἐφαπτόμενος αὐτῶν ὁ ∠ΕΖ, οὗ δέον ἔστω εὑρεῖν τὴν διάμετρον.

Ἔστω δὲ αὐτοῦ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἐπὶ τὰ κέντρα τὰ Α Β Γ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΑΓ ΓΒ καὶ ἔτι αἱ ΗΑ∠ ΗΒΖ ΗΓΕ. ἐπεὶ οὖν αἱ διάμετροι τῶν κύκλων, ὧν κέντρα τὰ Α Β Γ, δοθεῖσαί εἰσιν, γενήσεται καὶ ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δοθεῖσα.  καὶ αἱ τῶν ΑΗ ΗΓ ΗΒ διαφοραὶ δοθεῖσαι· διὰ ἄρα τὸ προγεγραμμένον δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε δοθεῖσά ἐστιν ἡ διάμετρος τοῦ ∠ΕΖ κύκλου. καὶ τοῦτο μὲν ἐνθάδε μοι πέρας  ἔχει, τὰ δὲ λοιπὰ ὑπογράψω.

16 ιβ΄ Ἕστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΓΒΑ, καὶ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ ἴση ἔστω ἡ ΓΒ συναμφοτέρῳ τῇ AB △Γ, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὴv AΓ αἱ ΒΕ △Ζ ὅτι ἡ AΖ διπλασίων ἐστὶν τῆς BΕ.

Κείσθω γὰρ τῇ μὲν AΕ ἴση ἡ ΕΗ, τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἡ ΒΘ , καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΘ ΘΗ ΘΖ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΚ. ἐπεὶ ἡ ΓΒ ἴση ἐστὶν συναμφοτέρᾳ τῇ ΑΒ  ∠Γ, ὧν ἡ ΒΘ τῇ BΑ ἐστὶν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΘΓ λοιπῇ τῇ Γ ∠ ἐστὶν ἴση καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ ∠ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ. τῷ δὲ ἀπὸ τῆς  ∠Γ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΖ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΓΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ γωνίᾳ. πάλιν ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, καὶ τὸ δὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Γ ΑΕ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ τῶν Γ ΑΗ, ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστιν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΘΓΖ γωνίᾳ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΘΑΗ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΖΓ ἐστὶν ἴση καὶ ἡ ὑπὸ ΘΗΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΖΗ ἐστὶν ἴση. καὶ κάθετος  ἦκται ἡ ΘΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΚ τῇ ΚΗ. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ τῶν ΑΒΘ ΑΚΘ, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὸ ΑΒΘΚ τετράπλευρον ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ἡμίσους δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΘΑ· ἡμίσους ἅρα ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΚΑ. ὀρθὴ δέ ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΚ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΚ. τῆς [*](1. ΙΒ A1 in marg. (BS) 1—5. τὸ ABI κεκλα| σθω ἡ ΓB| καὶ διήχθω ἡ Γ ∠ καὶ ////////////// συναμφρτέρωι //////////// κάθετοι ἤχθωσαν //////////////////// διπλασίων ἐστιν τῆς ΒΗ καὶ κείσθω γὰρ Α, similesque lacunae in BS, nisi quod κεκλάσθω ἡ γβα Β, κεκλάσθω ἡ γβδ S, et καὶ ante κάθετον atque ἡ δζ ante διπλασίων add. S 1. καὶ (ante κεκλάσθω) add. Sca 2. 3. ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ  ∠Γ ή ΒΓ· Sca, ἔστω ἴση ἡ ΓB συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒ  ∠Γ Co 3. ἐπὶ τὴν ΑΓ αἱ add. Sca BE  ∠Ζ ὅτι ἡ ΑΖ add. Co Sca 4. τῆς BE Co Sca Pro τῆς ΒΗ 5. 6. ἡ ΒΟ καὶ A, ἡ βε καὶ Β, corr. S 6. ἐπιζεύχθωσαν A, corr BS 7. επιξεύχθω A, corr BS ἡ ΓΒ Co Pro ἡ ΓΖ)

17 τγ΄. Ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΑΒ ∠, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β ∠, καὶ τῇ Β ∠ πρὸς ὀρθάς ἤχθω ἡ  ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒE, καὶ αὐτῇ πρὺς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ τὸ κέντρον τὸ Η, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠, οὕτως ἡ  ∠Θ πρὸς ΘΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ· ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕ ∠ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ τῶν  ∠ΕΘ γωνίᾳ.

Ἤχθω ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἡ ΗΚ· ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΚ τῇ ΚΕ. καὶ ἔστιν ἀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν Β ∠E· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ BΚ Κ ∠ ΚΕ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗK τῇ ΕΖ, καὶ ἐπεὶ ἐζήτουν τὴν ὑπὸ τῶν ΚΕ ∠ γωνίαν τῇ ὑπὸ τῶν  ∠ΕΘ γωνίᾳ ἴσην, καὶ ἔστιν ἴση ἡ  ∠Κ τῇ ΚΕ, ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΕ ∠ γωνία τῇ ὑπὸ Κ ∠Ε, ὅτι ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ  ∠ΕΘ ἴση ἐστίν , ὅτι ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ  ∠Κ τῇ ΕΘ.

Ἤχθω καὶ τῇ σΕ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Γ ∠ ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BΛ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΚΛ τῇ  ∠Ε ἐστὶν παράλληλος, ἡ δὲ ΚΗ τῇ EΖ, ζητεῖται δὲ καὶ ἡ Κ ∠ τῇ ΕΘ παράλληλος, ὅτι ἄρα διὰ τὸ ἰσογώνιον εἶναι τὸ μὲν ΚΛΗ τρίγωνον τῷ Κ ∠Ζ τριγώνῳ, τὸ δὲ ∠ΚΗ τῷ ΕΘΖ, ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΛΗ πρὸς ΗK, ἡ  ∠Ζ πρὸς ΖΕ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς Η ∠, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΘ· ὅτι ἄρα καὶ ὡς ἡ ΛΗ πρὸς Η ∠, οὕτως ἡ  ∠Ζ πρὸς ΖΘ (διʼ ἴσου γάρ)· ὅτι ἄρα καὶ ἁς ἡ Λ ∠ πρὸς τὴν  ∠Η, οὕτως ἡ  ∠Θ πρὸς τὴν ΘΖ (διελόντι γάρ). ὑπέκειτο δέ καὶ ὡς ἡ  ∠Θ πρὸς [*](4. ΙΓ Α1 in marg (BS) Ἔστω etc. ] hoc theorema posteriore demum aetate Pappi collectioni insertum esse videtur 43. ἐπὶ ἐζη/ῆν τὴν A neque haec satis perSpicua, ἐπεζεύχθωσαν τὴν Β (sed εζεύχθωσαν expunctum), ἐπει ..... S, ἐπεί ἐστιν ἡ Sca, quoniam est Co, corr. Hu 14 γωνίαν τῆι ὑπὸ τῶν  ∠ΕΘ γωνίαν ἴσην ABS , γωνία τῆ —γωνίᾳ ἴση Sca (Co) 16. ὑπὸ  ∠Εc ἴση AB cod Co, corr. S Co 18. 19. ἐκ- βεβλήπθω ἡ ΓΑ coni Ηυ 20. fortasse ἔτι ζητεῖται legendum esse adnotal Sca 24. ὥστε δὲ ἡ ΚΗ A1, τε del. A2)

18 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ᾗ  ∠Κ τῇ ΚΕ, ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ ΚΕ ∠ ἀλλʼ ἡ μέν ὑπὸ Κ ∠Ε τῇ ὑπὸ  ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΕ ∠ τῇ ὑπὸ ΒΚΛ ἐστὶν ἴση διὰ τὰς ΚΛ Ε ∠  παραλλήλους· καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ  ∠ΚΛ ἐστὶν ἴση. ἔστιν δέ καὶ ἡ BΚ εὐθεῖα τῇ Κ ∠ ἴση καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΛ βάσει τῇ Λ ∠ ἐστὶν ἴση, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ τῶν ΛΒ ∠ τῇ ὑπὸ B ∠Α, τουτέστιν τῇ ὑπὸ  ∠ΑΒ, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ΑΒΗ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ΑΒ ∠ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΒΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ  ∠ΒΗ ἐστὶν ἴση. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ Β ∠Η τῇ ὑπὸ ΒΑΛ ἐστὶν ἴση δύο δὴ τρίγωνά ἐστιν τὰ Β ∠ΗΒΑΛ τὰς δύο γωνίας ταῖς δύο γωνίαις ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευράν τὴν ΑΒ τῇ Β ∠ ἴση ἔρα ἡ μέν ΒΗ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ  ∠Η τῇ ΛΑ, ὥστε καὶ ἡ Λ ∠ τῇ ΑΗ ἐστὶν ἴση. ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὡς ἡ ΑΗ πρὸς Η ∠, ἡ  ∠Θ πρὸς ΘΖ, ἴση δὲ [*](3. ἡ Λ ∠ τῆι ΛΗ AB, corr S 15 ἡ δὲ ὑπὸ Κ ∠Ε AB, corr. S 16. τῆι ὑπὸ ΚΛ ∠ ΑB cod. Co, corr. S Co 18. ἡ anle γωνία addi-)

19 ιδ΄ Φέρεται ἔν τισιν ἀρχαία πρότασις τοιαύτη ὑποκείσθω τρία ἡμικύκλια ἐχαπτόμενα ἀλλήλων τὰ ΑΒΓ ΑκείσθωΕ ΕΖΓ, καὶ εἰς τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον, ὃ δὴ καλοῦσιν ἄρβηλον, ἐγγεγράφθωσαν κύκλοι ἐφαπτόμενοι τῶν τε ἡμικυκλίων καὶ ἀλλήλων ὁσοιδηποτοῦν , ὡς οἱ περὶ κέντρα τὰ Η Θ Κ Λ δεῖξαι τὴν μὲν ἀπὸ τοῦ Η κέντρου κάθετον ἐπὶ τὴν ΑΓ ἴσην τῇ διαμέτρῳ τοῦ περὶ τὸ Η. κύκλου, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Θ κάθετον διπλασίαν τῆς διαμέτρου τοῦ περὶ τὸ Θ κύκλου, τὴν δʼ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετον τριπλασίαν, καὶ τὰς ἑξῆς καθέτους τῶν οἰκείων διαμέτρων ολλαπλασίας κατὰ τοὺς ἑξῆς μονάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἀριθμοὺς ἐπʼ ἄπειρον γινομένης τῆς τῶν κύκλων ἐγγραφῆς. δειχθήσεται δὲ πρότερον τὰ λαμβανόμενα.

20 τέ. Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΖΒ ΒΜ περὶ κέντρα τὰ Α Γ ἐχαπτόμενοι ἀλλήλων κατὰ τὸ Β, καὶ μείζων ἔστω ὁ ΒΜ, ἄλλος δέ τις ἐφαπτόμενος αὐτῶν κατὰ τὰ Κ Λ περὶ κέντρον τὸ Η ὁ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ

Ἔστιν δὲ φανερόν ἐπιζευχθείσης τῆς Γ ∠· γίνεται γὰρ ἰσογώνια τὰ Γ ∠Λ ΛΚΗ τρίγωνα τάς κατά κορυφὴν γωνίας πρὸς τῷ Λ ἴσας ἔχοντα καὶ περὶ τὰς Γ Η γωνίας τὰς πλευράς ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ  ∠ΓΗ ΓΗΑ γωνίας ἐναλλάξ, καὶ παράλληλον τὴν Γ ∠ τῇ ΑΗ, καὶ ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν ΕΓ, τὴν ΑΚ πρὸς Γ ∠, τουτέστιν τὴν ΑΒ πρὸς BΓ.