Synagoge

37 ιϚ΄. Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΒ, μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ∠Β, καὶ ἡ ∠Α δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ ζητουμένη εὐθεῖα.

38 Ὁμοίως δὲ κἂν αἱ Ζ Γ δοθῶσιν, τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν προσθέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ ΑΒ.

39 Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην.

40 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἔν ἴσῃ ὑπεροχῇ· καὶ ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν. γεγενήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς Η· καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν Γ Η, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησόμεθα, ὥστʼ εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ, καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἔσονται οὖν πέντε τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσότητας δυνάμεναι καὶ ἀσύμμετροι εἶναι πρὸς ἀλλήλας.

41 Ἅμα καὶ διʼ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λύγους καὶ ἐπιμορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ ἐν διπλασίῳ λόγῳ δοθείσης ὑποδείγματος [*](1. αἱ ΖΓ A, distinx. BS 3. αἱ add. Hu ΑΒΖ A, α β ζ BS, corr. Co 5. τῶν ΑΒΓ A, τῶν α β γ BS, corr. Co 6. τῶν ΑΒ ΖΓ ABS, distinx. Co 8. τῶν ΖΓΗ A, distinx. BS 9. 10. τῶν ΓΗ ὧν μείζων ΗΓ A, distinx. BS 10. ποιησώμεθα Hu pro πορισώμεθα ὥστ᾿ A, ὥστε B, ὡς S 11. τὴν τῶν γ η B3, τὴν ΓΗ AS, τὴν γ η B1 12. ante τῶν ΗΘ add. Θ οὕτως ὁ (ὁ del. A2, ἡ add. S) τὴν ΓΗ ὑπεροχὴν πρὸς τὴν AS, θ οὕτω τὴν add. B1, dcl. B4 (erratum igitur partim correxit B1, partim B4) 12. τῶν ΗΘ A, distinx. BS ἄρα Hu pro μὲν τῶν ΓΗΘ A, distinx. BS 17. δυνάμεναι — ἀλλήλας] vera haec sunt; nec tamen ab ipso Pappo scripta, sed ab interprete addita esse videntur 18. Ἅμα καὶ etc.] haec usque ad cap. 42 extremum Pappi collectioni ab alio scriptore interserta esse videntur Ἅμα] Ἔστω δὲ coni. Hu πέντε S, Ε AB 20. γοῦν Hu, nimirum Co, οὖν ABS 22. ἐν — δοθείσης del. Hu auctore Co (alia est ratio loci qui sequitur p. 80, 12))

42 κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον, τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς γ΄ β΄ α΄, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δ΄ β΄ α΄, καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τάξομεν ἀντὶ μὲν τῶν β΄ τὰ δ΄, ἀντὶ δὲ τοῦ α΄ τὰ β΄ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τῷ β΄. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν μέσον. καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος, ὡς γ΄ πρὸς β΄. ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου μενούσης. πάντα ἄρα τρίς καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δ΄ ὁ ιβ΄, ἀντὶ δέ τοῦ γ΄ ὁ θ΄ ἀριθμός, καὶ ἀντὶ τοῦ β΄ ὁ Ϛ΄. καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δ΄ καὶ ἡ Θ δηλονότι μονάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβ΄ θ΄ Ϛ΄ δ΄ γ΄.

43 ιζ΄. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ τοὺς παλαιούς, ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν [*](2. ιβ S, δώδεκα AB καὶ ὁ ἐννέα καὶ ὁ ἓξ B (sed deinde cum AS καὶ ὁ δ καὶ ὁ γ) 3. τριπλασίονος A2 ex τριπλασί** (erasis litteris ου. ut videtur) 4. καὶ ὁ ΙΒ AB3, om. B1, καὶ ὁ ιδ S καὶ ἡ ς καὶ ἡ Γ καὶ ἡ Β A, καὶ οἱ ἓξ καὶ οἱ γ καὶ οἱ δύο B1, corr. B3S (nisi quod B3 intacta reliquit ἓξ et δύο) 7. προγεγραμμένων B, προ////// μένων A (sed vestigia litterarum γ.γρ... etiam nunc agenoscuntur), προλελεγμένων S 8. ἀριθμητικῆς μεσότητος BS, ἀρ//////////|μεσό//τος A ὄντων Hu, ////ν A, ....ν B, ...ων S 9. α (aute ἐπὶ) B3S, Δ A, om. B1 ἐπὶ δὲ B1 et τῆς B4, tot fere litterae evanuerunt in A, unde lacuna in S δ β α B4 Co pro Ϛ Γ Β 10. καὶ τῶν — 12. λοπούς] nonnulla desiderari videntur Commandino; ante καὶ τῶν add. ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς Ϛ΄ γ΄ β΄ Hu 13. λόγον ἐχούσης Hu pro οὔσης 44. μὲν τῶν Hu)

Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν Β∠ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου, καὶ τὴν ∠Ζ κάθετον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠ΚΘ· λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΗ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΒΗ. τρίγωνον τῷ ΕΖ∠ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΒΘΚ τρίγωνον τῷ ΖΚ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ᾑ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΗΒ πρὸς Ζ∠. ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ∠Ζ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ∠Ζ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ, καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν, ἡ δὲ ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν· ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν· ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι. μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν Α∠ EΓ Γ∠ τὴν ἀριθμητικήν, αἱ δὲ Α∠ Β∠ ∠Γ τὴν γεωμετρικήν· αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ.