Synagoge

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.

30 ιβ΄ Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μέν ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική.

Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ πρὸς τὸν θ΄ καὶ τὸν γ΄ ἀριθμόν), ἢ ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. πρῶτα δὲ ἀκούειν δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ἦ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβ΄ καὶ τὸν γ΄), καὶ ἄλλως: ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῳ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ γ΄ ἀριθμὸς πρὸς τε τὸν β΄ καὶ τὸν Ϛ΄), ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὄρος πρὸς τὸν τρίτον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τάς τρεῖς μεσότητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγραφέντων τῶνδε.

31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν.

Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ Γ∠, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ ∠, καὶ τῇ τὰ Β ∠ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃήσθω ἡ ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ∠Α ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ ∠ Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠, καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ∠Β, ἡ Β∠ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ Β∠ ἴση τῇ ΒΖ.

32 ιγ΄. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν.

Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω, καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφερείας κατὰ τὸ ∠, καὶ κάθετος ἤχθω [*](3. Ϛ B3 pro ∠ (idem tacite corr. Co) 15 τὰ Β∠ AS, distinx. B 19. τὰ ∠Ε ABS, distinx. Hu 24. πλευραὶ B3 pro πλευρὰν (idem tacite corr. Co) 24. ιγ΄ add. Hu ἐλάττονα AB, corr. S 28. αὕτη B, αυτη sine spir. et acc. A, αὐτὴ S 29. διὰ B3 Sca, α A, α S, δ** Bt)

Καὶ φανερὸν ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ δοθεὶς τῆς ἀναλογίας λόγος ᾖ διπλάσιος, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ τετραπλασίαν εἶναι, ἡ ἴση τῇ ∠Β τιθεμένη διχοτομία ἐστὶν τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΕΒ ἐστὶν, ἐὰν δὲ μείζων ἢ διπλάσιος ὁ λόγος ἦ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἡμισείας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ᾖ τοῦ διπλασίου, μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας.

33 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν.

Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διά τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ. τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γάρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων.

34 ιδ΄. Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠ΑΕ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Α∠ τῇ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ Β∠ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐτι τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ∠Α πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ Α∠), καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσογώνια [*](1. ἡ βγ B3 Sca Co, ἡ Βγώνια AB1S 2. κατὰ τὰ αὐτὼ del. Hu 4— 9. haec alienum a Pappo stilum produnt 4. initio notam ιγ΄ add. S 6. ἴσηι A, corr. BS τῇ om. AB1S, add. B4 Sca πρὸς διχοτομίᾳ B4 7. ἢ ante διπλ.] ἦι A1, ἢι A2 12. ἡ γδ B3 14. αὐτῆς A, corr. BS 15. κατὰ τὸ δ καὶ τῆ βδ B3 16. ἡ αδ B3 20. Ι∠ A1 in marg.. om. BS 22. εγζ B3 pro ΓΖ (idem tacite corr. Co) 23. λέγω ante ὅτι add. B4 27. 28. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ A2 in marg. BS, om. A1)

35 Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν Β∠, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

36 ιε΄. Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ∠ΕΖ καὶ ἴσας θέντες τὰς ∠Ε ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ ∠Γ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκβαλόντες ἐπι τὸ Η. ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν BΓ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητουμένῃ τὴν ΘΒ. συμπεσοῦνται γὰρ αἱ Γ∠ ΒΖ ὡς ἐπὶ τὸ Η ἠγμέναι· δεῖ γὰρ ὑποτίθεσθαι τὴν ΒΕ μείζονα τῆς ΕΓ.