Sphaerica

Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας ὁ πόλος ἡ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο κύκλοι μέγιστοι πρὸς ὀρθὰς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος, διὰ τῶν πόλων ὧν τῶν παραλλήλων, τέμνῃ τὸν λοξὸν κύκλον μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ ὁ λοξὸς ἐφάπτεται· ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον, οὗ ἐφάπτεται ὁ λοξὸς κύκλος, μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια, ἡ μεταξὺ τοῦ τε ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου καὶ τοῦ ἑξῆς διὰ πόλων, πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν, τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων.

Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων, τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον τεμνέτωσαν δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς οἱ ΒΕΓ, ΔΕΖ, ὧν ὁ μὲν ΒΕΓ μέγιστος τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕΖ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους b· ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος ὁ ΑΗΚ διὰ τῶν πόλων τῶν παραλλήλων τεμνέτω τὸν ΔΕΖ μεταξὺ τοῦ τε ΒΕΓ καὶ οὗ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ· οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΔΕΖ, ἔστω ὁ ΔΛΜ· λέγω, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΔΛΜ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν.

Γεγράφθω γὰρ διὰ τοῦ Η παράλληλος κύκλος ὁ ΝΗΞ, καὶ ἔστωσαν κοιναὶ τομαὶ τῶν ἐπιπέδων αἱ ΑΚ, ΔΖ, ΒΓ, ΝΞ, ΔΜ, ΘΟ, ΗΠ, ΟΗ c, ΗΡ.

Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλους τινὰς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοὺς ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτοὺς τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· αἱ ΔΜ, ΝΞ, ΒΓ ἄρα διάμετροί εἰσι τῶν ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων, καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἕκαστον τῶν ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι εἰσὶν οἱ ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν εὐθεῖά τις διῆκται ἡ ΑΚ· ἡ ΑΚ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἕκα‐ στον τῶν ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων, καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐστί· τὰ Σ, Π, Ο ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ κύκλων. Καὶ ἐπεὶ ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΔΛΜ, ΝΗΞ, ΒΕΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ τέμνεται, αἱ κοιναὶ τομαὶ ἄρα αὐτῶν παράλληλοί εἰσιν· αἱ ἄρα ΔΜ, ΝΞ, ΒΓ παράλληλοί εἰσιν ἀλλήλοις. Πάλιν, ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΝΗΖ, ΒΕΓ ὑπό τινος ἐπιπέδου τοῦ ΑΗΚ τέμνεται, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΠ τῇ ΘΟ. Ἐπεὶ οὖν δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΝΠ, ΠΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΒΟ, ΟΘ εἰσι, μὴ οὖσαι ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέχουσιν· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΝΠΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΟΘ γωνίᾳ. Καὶ ἐπεὶ οἱ ΝΗΞ, ΔΕΖ ὀρθοί εἰσι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ ἡ τῶν ΝΗΞ, ΔΕΖ ἄρα κοινὴ τομὴ πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἐστὶν ὀρθή. Κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΗΡ· καὶ ἡ ΗΡ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ τῆς ΗΡ ἑκατέρα τῶν ΠΡ, ΡΟ a, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΗΡΠ, ΗΡΟ b γωνιῶν. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΚ τῇ ΝΞ ὀρθή ἐστιν, ἡ ἄρα ὑπὸ ΡΠΟ c γωνία ὀρθή ἐστιν. Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΡΗΟ d ὀρθή ἐστιν, ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΠΟΡ e· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΡ f τῆς ΡΠ. Κείσθω οὖν τῇ ΠΡ. ἴση ἡ ΡΤ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΤ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΠΡ τῇ ΡΤ, κοινὴ δὲ ἡ ΗΡ, δύο δὴ αἱ ΠΡ, ΡΗ δυσὶ ταῖς ΤΡ, ΡΗ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΠΡΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΤΡΗ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΗΠ τῇ ΗΤ ἴση ἐστί, καὶ

τὸ ΠΡΗ τρίγωνον τῷ ΤΡΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΤΡ γωνίᾳ. Ἀλλ’ ἡ ὑπὸ ΗΠΡ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΗΤΡ ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ ἐστιν ἴση. Καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΗΟΡ a, ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Ρ γωνίαν, καὶ διῆκταί τις ἡ ΗΤ· ἡ ΟΡ b ἄρα πρὸς τὴν ΡΤ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὑπὸ ΡΤΗ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ(ϲ) γωνίαν. Ἴση δὲ ἡ μὲν ΡΤ τῇ ΡΠ, ἡ δὲ ὑπὸ ΡΤΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΟΒ· καὶ ἡ ΟΡ d ἄρα πρὸς τὴν ΡΠ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὑπὸ ΒΟΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ e γωνίαν. Ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΡΟ f πρὸς τὴν ΡΠ, οὕτως ἔστιν ἡ ΟΔ g πρὸς τὴν ΔΣ, τοῦτ’ ἔστιν, ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΔΜ, ὡς δὲ ἡ ὑπὸ ΒΟΘ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΡΟΗ h γωνίαν, οὕτως ἔστιν ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν· καὶ ἡ ΖΔ ἄρα πρὸς τὴν ΔΜ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΔΖ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἡ δὲ ΔΜ διάμετρος τοῦ ΔΛΜ κύκλου· ἡ ἄρα τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΔΛΜ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΗ περιφέρειαν.