Sphaerica

Ἐὰν ἐπὶ μεγίστου κύκλου περιφερείας πόλος ἦ τῶν παραλλήλων, καὶ τοῦτον τέμνωσι δύο μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς, ὧν ὁ μὲν εἷς τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ἕτερος λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου ληφθῇ δύο τυχόντα σημεῖα ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, διὰ δὲ τῶν σημείων καὶ τοῦ

πόλου τῶν παραλλήλων μέγιστοι κύκλοι γραφῶσιν· ἔσται, ὡς ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια, ἡ μεταξὺ τοῦ ἐξ ἀρχῆς μεγίστου κύκλου καὶ τοῦ ἑξῆς διὰ τῶν πόλων, πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν, τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων, οὕτως ἡ ἑξῆς τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων περιφέρεια, ἡ μεταξὺ τῶν διὰ τοῦ πόλου μεγίστων κύκλων καὶ τῶν ληφθέντων σημείων, πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφέρειαν τῆς τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφερείας, τῆς μεταξὺ τῶν ληφθέντων δύο σημείων.

Ἐπὶ γὰρ μεγίστου κύκλου περιφερείας τοῦ ΑΒΓ ὁ πόλος ἔστω τῶν παραλλήλων τὸ Α σημεῖον, καὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον δύο τεμνέτωσαν μέγιστοι κύκλοι πρὸς ὀρθὰς οἱ ΔΕΓ, ΒΕ, ὧν ὁ μὲν ΒΕ εἷς ἔστω τῶν παραλλήλων, ὁ δὲ ΔΕΓ λοξὸς πρὸς τοὺς παραλλήλους· ἐπὶ δὲ τοῦ λοξοῦ κύκλου τοῦ ΔΕΓ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων τοῦ ΒΕ, καὶ διὰ τῶν Ζ, Η σημείων καὶ τοῦ πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΖΘ, ΑΗΚ· λέγω, ὅτι ἔστιν, ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΘΚ περιφέρεια πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΗ περιφερείας.

Ἤτοι γὰρ ἡ ΖΗ τῇ ΔΖ σύμμετρός ἐστιν, ἢ οὔ. Ἔστω πρότερον σύμμετρος, καὶ διῃρήσθωσαν εἰς τὰ μέρη αἱ ΔΖ, ΗΖ κατὰ τὰ Λ, Μ, Ν σημεῖα, καὶ διὰ τῶν Λ, Μ, Ν καὶ πόλου τοῦ Α μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΑΞ, ΜΟ, ΝΠ. Ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΛ, ΜΛ, ΜΖ, ΖΝ, ΝΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, αἱ ΒΞ, ΞΟ, ΟΘ, ΘΠ, ΠΚ ἄρα ἑξῆς ἀλλήλων μείζονές εἰσιν, ἀρχόμεναι ἀπὸ τῆς μεγίστης τῆς ΒΞ.

Ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΞ, ΞΟ, ΟΘ, ΘΠ, ΠΚ ἑξῆς μείζους ἀλλήλων εἰσὶν, αἱ δὲ ΔΛ, ΛΜ, ΜΖ, ΖΝ, ΝΗ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ, καὶ ἔτι τὸ μὲν πλῆθος τῶν ΒΞ, ΞΟ, ΟΘ ἴσον τῷ πλήθει τῶν ΔΛ, ΛΜ, ΜΖ, τὸ δὲ πλῆθος τῶν ΘΠ, ΠΚ ἴσον τῷ πλήθει τῶν ΖΝ, ΝΗ· ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΔΖ μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ. Ἐὰν ἄρα ποιῶμεν, ὡς τὴν ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτω τὴν ΘΚ πρὸς ἄλλην τινὰ, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς ἐλάσσονά τινα περιφερείαν τῆς ΖΗ.

Μὴ ἔστω δὴ ἡ ΖΗ τῇ ΔΖ σύμμετηρος· λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἔστιν, ὡς ἡ ΒΘ περιφέρεια πρὸς τὴν ΔΖ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΘΚ περιφέρεια πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΗ περιφερείας.

Εἰ γὰρ μὴ, ἤτοι πρὸς μείζονα τῆς ΖΗ ἔσται, ἢ πρὸς αὐτήν. Ἔστω πρότερον, εἰ δυνατὸν, πρὸς μείζονα τῆς ΖΗ τὴν ΛΖ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς· καὶ τριῶν οὐσῶν ἀνίσων περιφερειῶν τῶν ΛΖ, ΖΗ, ΖΔ ειλήφθω τις περιφέρεια ἡ ΖΜ τῆς μὲν ΖΛ οὖσα ἐλάσσων, τῆς δὲ ΖΗ μείζων, σύμμετρος δὲ τῇ ΖΔ· καὶ διὰ τοῦ Μ καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΜΝ.

Ἐπεὶ οὖν σύμμετρός ἐστιν ἡ ΖΜ τῇ ΖΔ· ἔστιν ἆρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΝ πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΖΜ. Ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἔστιν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΛ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΛ, οὕτως ἔστιν ἡ ΘΝ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΜ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΖΜ. Ἐλάσσων δὲ ἡ ΘΚ τῆς ΘΝ, ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΛΖ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΖΜ· ἀλλὰ καὶ μείζων, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἅρα ἔστιν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς μείζονά τινα περιφέρειαν τῆς ΖΗ περιφερείας.

Λέγω, ὅτι οὐδὲ πρὸς αὐτήν.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, καὶ τετμήσθω ἑκατέρα τῶν ΔΖ, ΖΗ δίχα κατὰ τὰ Λ, Μ σημεῖα, καὶ δι’ ἑκατέρου τῶν Λ, Μ σημείων καὶ τοῦ Α πόλου μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝ, ΜΞ.

Ἐπεὶ οὖν αἱ ΔΛ, ΛΖ ἑξῆς ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶν, αἱ ΒΝ, ΝΘ ἄρα ἑξῆς μείζους εἰσὶν ἀλλήλων, ἀρχόμεναι ἀπὸ μεγίστης τῆς ΒΝ· ἡ ΒΘ ἄρα τῆς ΘΝ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῆ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΚΘ τῆς Θ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. Ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν ΒΘ τῆς ΘΝ μείζων ἐστὶν ἢ διπλῇ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς ΘΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῇ· ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΝ μείζονα λόγον ἔχει, ἥπερ ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΞ· καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΒΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΚ μείζονα λόγον ἔχει. ἤπερ ἡ ΝΘ πρὸς τὴν ΘΞ. Ὡς δὲ ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως ἔστιν ἡ Δ πρὸς τὴν ΖΗ· ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΞ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ. Ὡς δὲ ἡ ΔΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἔστιν ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΜ· ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΞΘ ἐλάσσουα λόγον ἔχει, ἥπερ ἡ ΛΖ πρὸς τὴν ΖΜ· καὶ ἐναλλὰξ ἡ ΝΘ ἄρα πρὸς τὴν ΛΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΘΞ πρὸς τὴν ΖΜ. Ἐὰν ἄρα ποιῶμεν, ὡς τὴν ΝΘ πρὸς τὴν ΛΖ, οὕτως ἡ ΘΞ πρὸς ἄλλην τινὰ, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς ΖΜ περιφερείας, ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη. Οὐκ ἄρα ἔστιν ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΖΗ· ἐδείχθη δὲ, ὅτι καὶ οὐδὲ πρὸς μείζονα· πρὸς ἐλάσσονα ἄρα. Ἔστιν

ἄρα ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ἐλάσσονα τῆς ΖΗ a.