Sphaerica

Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ δύο ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι, ὁ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάψεται καὶ τοῦ ἑτέρου.

Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ δύο ἴσοι τε καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ· λέγω, ὅτι ὁ τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος ἐφάψεται καὶ τοῦ ΓΔ.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἐφαπτέσθω μὲν τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕ κατὰ τὸ Α σημεῖον, τοῦ δὲ ΓΔ μὴ ἐφαπτέσθω.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΕ κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τοῦ ΑΒ ἐφάπτεται, ἐφάψεται ἄρα καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΑΒ· ἐφαπτέσθω οὖν τοῦ ΕΖ.

Ἐπεὶ οὖν ὁ ΑΒ τῷ ΕΖ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος, ἀλλὰ ὁ ΑΒ καὶ τῷ ΓΔ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος· καὶ ὁ ΓΔ ἄρα τῷ ΕΖ ἴσος ἐστὶ καὶ παράλληλος. Ἔσονται ἄρα ἐν σφαίρᾳ τρεῖς κύκλοι ἴσοι τε καὶ παράλληλοι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ὁ τοῦ ΑΒ μέγιστος κύκλος ἐφαπτόμενος οὐκ ἐφάψεται καὶ τοῦ ΓΔ, ἐφάψεται ἄρα.