Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐφάπτηται, ἐφάψεται καὶ ἑτέρου ἴσου τε καὶ παραλλήλου αὐτῷ.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓ κύκλου τινὸς τοῦ ΓΔ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον· λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ κύκλος ἐφάψεται καὶ ἑτέρου κύκλου ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΓΔ κύκλῳ.

Εἰλήφθω ὁ πόλος τοῦ ΓΔ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Ε σημεῖον· καὶ γεγράφθω διὰ τῶν Γ, Ε σημείων μέγιστος κύκλος ὁ ΓΕΔΒΖΗ, καὶ ἀπειλήφθω τῇ ΓΕ περιφερείᾳ ἴση ἡ ΒΖ, καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΗ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔ ἐφάπτονται ἀλλήλων, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων τοῦ Ε καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΓΕΔΒΖΗ· ὁ ΓΕΔΒΖΗ ἄρα ἥξει διὰ τῶν τοῦ ΑΒΓ πόλων. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΒΗ μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν ΓΗ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τέμνουσι τὸ Β, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἄρα ἀλλήλων

οἱ ΑΒΓ, ΒΗ κύκλοι. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΒΖ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΕΒ, ὅλη ἄρα ἡ ΓΒ ὅλῃ τῇ ΕΖ ἐστιν ἴση. Ἡμικυκλίου δέ ἐστιν ἡ ΓΒ, ἡμικυκλίου ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τὸ Ε ἄρα κατὰ διάμετρόν ἐστι τῷ Ζ. Καί ἐστι τὸ Ε σημεῖον πόλος τοῦ ΓΔ κύκλου, καὶ τὸ Ζ ἄρα ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου. Πάλιν ἐπεὶ ἡ ΕΖ ἡμικυκλίου ἐστὶ, καί ἐστι τὸ Ζ πόλος τοῦ ΒΗ κύκλου, καὶ τὸ Ε ἄρα ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τοῦ ΒΗ κύκλου. Οἱ ΓΔ, ΒΗ ἄρα κύκλοι περὶ τοὺς αὐτοὺς πόλους ὄντες παράλληλοί εἰσι, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔ τῷ ΒΗ κύκλῳ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΒΖ, ἴσος ἄρα καὶ ὁ ΓΔ κύκλος τῷ ΒΗ κύκλῳ, ἀλλὰ καὶ παράλληλος· ὁ ΑΒΓ ἄρα κύκλος ἐφάπτεται καὶ τοῦ ἑτέ‐ ρου κύκλου τοῦ ΒΗ ἴσου τε καὶ παραλλήλου τῷ ΓΔ.