Sphaerica

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα, ἡ ἐπιζευχθεῖσα ὀρθή ἐστι πρὸς τόν κύκλον.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ τὸ μὲν κέντρον τῆς σφαίρας ἔστω τὸ Ε σημεῖον, τὸ δὲ τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον.

Διήχθωσαν γὰρ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου αἱ ΑΖΓ, ΒΖΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ΕΔ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΔ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ. δύο δὴ αἱ ΒΖ, ΖΕ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση, τὸ γὰρ Ε σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, καὶ τὰ Β, Δ πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΖΕ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστν ἴση, Ὅταν δέ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΖΕ, ΔΖΕ, ἡ ΕΖ ἄρα τῇ ΒΔ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῇ ΑΓ, ἐπιζευχθεισῶν τῶν ΑΕ, ΓΕ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΕΖ δυσὶν εὐθείαις ταῖς ΑΓ, ΒΔ, τεμνούσαις ἀλλήλας, ἐπὶ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκε, καὶ τῷ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΔ ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστι. Τὸ δὲ διὰ τῶν ΑΓ, ΒΑ ἐπίπεδόν ἐστιν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος· καὶ ἡ ΕΖ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου ἐπίπεδον.