Sphaerica

Δείξομεν δ’ ἀντιστρόφως, ὅτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν μέγιστοι διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶ τῆς σφαίρας, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσοι ἴσον ἑκατέρωθεν ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, οἱ δὲ ἐλάσσονες μεῖζον.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἔστω ὁ ΓΔ κύκλος μέγιστος· λέγω, ὅτι ἔσται διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω μὴ διὰ τοῦ κέντρου. Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη, ὅτι ὁ διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἐστὶ πάντων τῶν μὴ διὰ τοῦ κέντρου κύκλων, ὁ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἔσται τοῦ ΓΔ· ὁ ἅρα ΓΔ κύκλος οὐκ ἔσται μέγιστος, ὅπερ ἄτοπον, ὑπόκειται γὰρ μέγιστος· ὁ ἄρα ΓΔ κύκλος μέγιστος διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας.

Πάλιν ἔστωσαν οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσοι· λέγω, ὅτι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ ἴση δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΟΗ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶν, ἡ ἄρα ΘΗ τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν. Ἴσον ἄρα ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας οἱ ἴσοι κύκλοι.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἐλάσσων ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου· λέγω, ὅτι μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος ἤπερ ὁ ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΖΕ, ἡ ἄρα ΘΛ τῆς ΚΝ ἐστιν ἐλάσσων· καί ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΑ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ ἴσον ἐστὶ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ ἴσα ἐστὶν, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ μεῖζον· ἡ ἄρα ΘΗ τῆς ΗΚ μείζων ἐστίν. Οἱ ἄρα ἐλάσσονες κύκλοι μεῖζον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.