Geodaesia [Sp.]

Ἕτερον τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιϛ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ιβ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρ𝒢β. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται 𝒢ϛ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν· λαβὲ τὸ U+2220ʹ τοῦ ἐμβαδοῦ· καὶ ἔστι μη, καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνς· καὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ υ. ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ κ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα.

ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ αὐτῶν λαβὲ τὰ ιϛ τῆς βάσεως, ἅτινα ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται σνς· λοιπὰ ρμδ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ· τοσούτων ἔσται ἡ πρὸς ὀρθάς.

ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν, ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν υ τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς ιβ, ἅτινα γίνεται ἐφʼ ἑαυτὰ ρμδ· λοιπὰ σνς. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιϛ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ βάσις.

καὶ ἄλλως τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τρὶς τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται ξ· τούτων τὸ ε΄· γίνονται ιβ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς.

Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν χ, ἡ δὲ κάθετος οὐργυιῶν λ· τούτου τήν τε βάσιν καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· διπλασίασον τὰ χ τοῦ ἐμβαδοῦ· γίνονται ,ασ· ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν λ, καὶ τὰ γινόμενα μ [*](2 ιβ] σχ ιβ A. οὕτω C. 3 ρ𝒢β] ρ- in ras. C, ins. D. 4 γίνεται C, comp. AB. 5 τοῦ—μη] τῶν 𝒢β καὶ μη A. 6 τοσούτων] μη A. 7 οὕτως BD. 9 πλευρὰ τετραγωνικὴ A. κ] γ κ A, μ C. ἔσται A. 10 ποίησον D. οὕτως BD. 13 ὧν] om. B. πλευρὰ] π BD, πλευρ A, πλάτος C. τετράγω BD, τετράγωνον AC. γίνεται] BD, γίνονται C, comp. A. τοσούτων] τοσούτων σχοινίων A. 14 ἀπὸ—15 ὀρθὰς] τὰ τῆς ὀρθῆς C. 17 οὕτω C. 18 γίνονται (pr.)] C, comp. A, γίνεται BD. γίνονται (alt.)] BD, γίνεται AC. 19 καὶ—τοσούτων] τοσούτων ἐστὶ A. 21 τε] AB, om. CD. 22 διπλασίασον] AC, δίπλασον BD. 23 ταῦτα—λ] παρὰ τὸν λ μέρισον αὐτά C. γενόμενα A.)

ὁμοίως καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολλαπλασίαζε τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ϡ. καὶ τὴν βάσιν ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ,αχ· ὁμοῦ ,βφ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ν· τοσούτων οὐργυιῶν ἔσται ἡ ὑποτείνυσα.

Μέθοδος Πυθαγόρου περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων.

Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ τὴν τοῦ Πυθαγόρου μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· ἀπὸ τούτων ἄφελε μονάδα α· λοιπὰ κδ. ὧν τὸ U+2220ʹ ιβ· ταῦτα ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν, καὶ γίνονται ιγ· τοσούτων ἡ ὑποτείνουσα.

Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν η. τούτων τὸ U+2220ʹ δ· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. ἀφαίρει ἀπὸ τούτων μονάδα α· λοιπὰ ιε· τοσούτων ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται ιζ· ταῦτα ἀπόδος τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίαζε ἀεὶ τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ U+2220ʹ  τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγόμενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου. οἷον ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων κ, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιε καὶ ἡ ὑποτείνουσα κε· εὑρεῖν οὖν [*](1 πολυπλασίαζε A. 3 ὁμοῦ] ὁμοῦ A. 4 τετραγωνικὴ BD 6 περὶ—ὀρθογωνίων] πῶς δεῖ συστῆσαι τρίγωνον ὀρθο γώνιον A, περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου C. 9 οὕτω C. 10 ὧν] τούτων A. 11 U+2220ʹ] U+2220 γ A. 13 praemittit μέθοδος Πλάτωνος πῶς δεῖ συστῆσαι τρίγωνον ὀρθογὼνιον A, πλάτωνος mg. C. 14 ποίησον A. οὕτω C. διδόσθω A. 15 U+2220΄] U+2220΄ γ A. 16 τοσοῦτον C. 19 οὕτω C, ποίει οὕτως A. πολυπλασίαζε A. ἀεὶ] om. C. 20 τὴν (pr.)] AC, om. BD. ἤτοι BD. 21 συναγόμενον] om. A. 23 ὀρθόγωνον A. 24 κε] σχ κε A.)

Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις σχοινίων ῑ καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς κοινὴ οὖσα τῶν δύο τριγώνων σχοινίων ιβ· εὑρεῖν δὲ αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ῑ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρκ· ὧν τὸ U+2220ʹ ξ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν.

ὧν τὸ U+2220ʹ λ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λ. εἰ δὲ θέλεις ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν ῑ τῆς βάσεως τὰ U+2220΄· γίνονται ε· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ κε. καὶ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης ἐφʼ ἑαυτὰ ρξθ. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος ιβ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος.

Παντὸς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίαζε τὴν μίαν τῶν πλευρῶν ἐφʼ ἑαυτὴν ἀεὶ καὶ τῷ ἀναβιβαζομένῳ ἀριθμῷ ἀπὸ τοῦ τοιούτου πολλαπλασιασμοῦ λάμβανε μέρος γʹ καὶ ιʹ· καὶ ἔστι τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου.

οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ῑ. τὰ ῑ οὖν τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρ· ὧν τὸ γʹ· γίνονται [*](1 οὕτω C. 2 τῆς] ιε τῆς A. τὰ ιε] πολυπλασίασον καὶ A. 3 γίνονται] D, comp. C, γίνεται AB. μοδίων γῆς C. 6 δὲ] supra scr. D. 7 οὕτω C. τὰ (alt.)] om. C. 8 τὸ (pr.)] AD, τὰ B, τα C. 9 (pr.)] γ λ A. 10 οὕτω C. τῶν ῑ— 12 ἑαυτὰ] τὰ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ε ἐφʼ ἑαυτὰ πολλαπλασίασον καὶ γίνονται κε εἶτα τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης καὶ γίνονται C. 12 ἐφʼ] γ ἐφ᾿ A. τὰ—13 πλευρὰ] ρμδ τούτων C. 13 πλευρὰ] π BD, πλευρ`` A. τετράγωνον C. ιβ] γ ιβ A. 16 οὕτω C. πολυπλασίαζε A, πολλαπλασίασον BD, πολλαπλασιάζον C. τὴν] ἀεὶ τὴν A. ἐπʼ BD. ἀεὶ] om. A. 18 γʹ καὶ ι΄] ιγον C. τοσούτων BC, 20 ἑκάστη] A, ἕκαστον C, ἑκάστου B et e corr. D. 21 γίνονται (alt.)] comp. A, γίνεται C.)

Τριγώνου δὲ ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν. ποίει οὕτως· ὕφελε ἀεὶ τὸ ι΄ καὶ τὸ λ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ τὸ λοιπὸν γίνωσκε εἶναι τὸν ἀριθμὸν τῆς καθέτου. εἶτα πολλαπλασίαζε τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ συναγόμενόν ἐστι τὸ ἐμβαδόν.

οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τριγώνου ἰσοπλεύρου ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν σχοινίων ῑ, μιᾶς δὲ ἑκάστης πλευρᾶς τὸ ι΄ ᾱ καὶ τὸ λ΄ γ΄. ταῦτα ἤγουν τὸ ᾱ καὶ τὸ γ΄ ὑπεξαίρει ἀπὸ τῶν ῑ· λοιπὰ η καὶ ω΄· τοσούτου ἀριθμοῦ ἐστιν ἡ κάθετος.

τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ε σχοινία πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ η ω΄ τῆς καθέτου· καὶ γίνονται μγ γ΄· ὧν τὸ U+2220ʹ ἐστιν κα ω΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων κα καὶ λιτρῶν κϛ ω΄.

Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιβ τῆς μιᾶς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· τούτων τὸ γ΄ γίνεται μη, καὶ τὸ ι΄ ιδ γ΄ ι΄ καὶ ε΄· ὁμοῦ ξβ γ΄ ι΄ καὶ ε΄· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοσούτων σχοινίων.

τὴν δὲ κάθετον αὐτοῦ εὑρεῖν. ποίησον οὕτως· ἄφελε ὁμοίως τὸ ι΄ καὶ τὸ λ΄ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν, καὶ τὸ λοιπὸν ἔσται ὁ ἀριθμὸς τῆς καθέτου. οἷον ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν, ὡς εἴπομεν, σχοινίων ιβ, μιᾶς δὲ πλευρᾶς τὸ ι΄ ᾱ ε΄, καὶ τὸ λ΄ γίνεται γ΄ι΄ καὶ ε΄. ταῦτα συνθεὶς εὑρήσεις ᾱ [*](1 γίνονται] comp. A, γίνεται BCD. 4 ὕφειλε C. 5 πολυπλασίαζε A. 6 πολυπλασιασμοῦ A. 8 ἴσων] om. C. 9 ἑκάστης] C, ἑκατέρας BD. om. A. τὸ ι΄] ὑπεξαίρει τὸ ῑον C, τὸ ι΄ γ A. ᾱ] om. C. γ΄] γ΄ A, om. C. 10 ταῦτα— 11 κάθετος] καὶ τὸ ἐναπολειφθέν ἐστιν ἡ κάθετος ἐναπελείφθη δὲ η καὶ (ins.) ω C. 10 ᾱ] λ BD. γ΄] τρίτον A. ὑφεξαίρει A. καὶ (alt.)] om. A. 12 οὕτω C. πολυπλασιάσας A. 13 η] η καὶ C. γίνονται] comp. A, γίνεται BCD. 14 ἐστιν] γ A. κα (alt.)—ω΄] τοσούτων C. λιτρῶν] λεπτῶν comp. BD. 16 οὕτω C. 18 ι΄ (sec.)] om. C. ι΄ (tert.)] om. C. 18—19 τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων C. 23 ᾱ ε΄] ABD, om. C. γ΄—ε΄] ᾱ γ″ ε″ ι″ C. καὶ ε΄] ε΄ A. ταῦτα—p. LXXXIX, 1 ιε΄] A, om. BCD.)

Ἕτερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἀνὰ σχοινίων λ· εὑρεῖν δὲ τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ. ποίει οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ ιγ, καὶ γίνονται α ,αψ· ὧν τὸ λ΄· γίνονται τ𝒢· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. κατὰ δὲ τὴν ἄνω μέθοδον οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ϡ· ὧν τὸ γ΄ καὶ τὸ ι΄· γίνονται τ𝒢· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν.