Geodaesia [Sp.]

ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν καὶ ἄλλως τὸ ἐμβαδόν, ποίει οὕτως· λαβὲ τῶν λ τὸ γʹ καὶ τὸ ι΄· καὶ γίνονται ιγ. ταῦτα ἐπὶ τὰ λ· γίνονται τ𝒢· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν.

ἔστι δὲ καὶ ἄλλως εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. λαβὲ τὰ λ τῆς μιᾶς τῶν πλευρῶν καὶ πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ κς τῆς καθέτου· καὶ γίνονται ψπ· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται τ𝒢· τοσούτων σχοινίων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ἐὰν δὲ θέλῃς τριγώνου ἰσοπλεύρου τὴν κάθετον εὑρεῖν, οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων [*](1 ἐπὶ] scr. ἀπὸ. ιε΄] ι″ ε΄ A. 2 ἐστὶν] om. A. πολυπλασίασον A. 3 ἐπὶ τὴν κάθετον] om. C. ῑ] A, om. BD, καὶ C. ι΄ καὶ ε΄] ι″ ε″ A. γίνονται] καὶ γίνονται C, γίνεται ABD. 4 καὶ (pr.)] om. C. ι΄ καὶ ε΄] BD, ι″ ε″ A, καὶ ε΄ C. 5 γίνονται] om. C. ε΄] ζ″ BD. καὶ—6 η] κ΄ καὶ ξ΄ καὶ τοσούτων μοδίων ἐστίν C. 8 αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν A. οὕτω C. 9 ταῦτα—12 ϡ] om. A. 11 ἄνωθεν D. οὕτω C. 12 γίνονται (alt.)] γίνεται C, comp. A. 13 ἐστὶ σχοινίων A. Post ἐμβαδόν add. ἐὰν δὲ θέλῃς καὶ ἄλλως εὑρεῖν, ποίησον οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ϡ. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ιγ· καὶ γίνονται α αψ. ὧν τὸ λ″· γίνονται τ𝒢· τοσούτων ἔσται σχοινίων τὸ ἐμβαδόν A. ἐὰν—16 ἐμβαδόν | om. C. 13 καὶ ἄλλως εὑρεῖν A. 14 τὸ ι΄] τὰ ι΄ D. 17 τῶν πλευρῶν] πλευρᾶς A. πολυπλασίασον A. 18 καὶ] om. C. 19 ἔσται σχοινίων A, σχοινίων ἐστὶ C. 20 οὗ] ἔστι δὲ A.)

Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ δοθέντος, μὴ μέντοι ὀρθογωνίου, εὑρίσκειν τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· δεῖ δὴ πρότερον εὑρίσκειν τὰς ἐπὶ τῆς βάσεως γινομένας διὰ τῆς καθέτου ἀποτομὰς ἀνίσους οὔσας, τὴν μὲν μείζονα, τὴν δὲ ἐλάσσονα, ποιεῖν δὲ οὕτως· πολλαπλασίαζε ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν ἀπογραφόμενος ἰδίᾳ καὶ ἰδίᾳ τάξας πρότερον τὴν μὲν τῶν πλευρῶν βάσιν, τὴν δὲ μείζονα ὑποτείνουσαν, τὴν δὲ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν· τοῦτο δʼ ἔσται σοι δῆλον, εἴπερ ὁ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἀριθμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν β πλευρῶν.

τὴν μείζονα τῶν πλευρῶν τάττε βάσιν, καὶ εἰ μὲν βούλει τὴν μείζονα εὑρίσκειν ἀποτομήν, συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως γινόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων τὰ ἡμίση μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι [*](1 ποίει οὕτως] A, ποίει οὕτω C, ἔστι καὶ ἄλλως ποιῆσαι BD. τὴν—ἐαυτήν] τὰ λ ἐφ᾿ ἑαυτά C. 2 σκε] σκε A. σύνεγγυς] ὡς σύνεγγυς γ A. καὶ—3 κϛ] om. C, καὶ ἔστι τοσοῦτον ἡ κάθετος mg. 3 πολυπλασίασον A. 4 ἐπὶ] ins. A. τὸ U+2220ʹ μέρος C. γίνεται] ABD, om. C. 5 τ𝒢—γίνεται] A, om. BCD. τοσούτων] ἑκατὸν ἐνενήκοντα πέντε A. 7 σχαλινοῦ C. 8 σκαλινοῦ C. μέντοι] μέντοι γε A. 9 οὕτω C. 11 τὴν μὲν] τουτέστι τὴν μὲν A. 12 ποίει C. οὕτω C. πολυπλασίαζε A. πλευρᾶς] π AB, πλευρῶν D. 13 ἀπογραφόμενον C, ἐφʼ ἑαυτὸν ἀπογραφόμενος A. 14 ἐλάττονα BD. 15 ὑποτείνουσαν] om. C. deinde add πλὴν εἴπερ ἐστὶ τὸ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον A. δὲ C. ἔστω BD. 18 τῶν] οὖν τῶν C. βούλει] comp. D, βούλλει B. 19 πολαπλασιασμοῦ A. 21 ἀπὸ] om. A. 22 ἐλάσσονος A. 23 U+2220″ C.)

εἰ δὲ τὴν ἐλάσσονα θέλεις εὑρίσκειν ἀποτομήν, τὸ ἀνάπαλιν ποίει· συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάσσονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων λάμβανε τὰ ἡμίση καὶ ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι τὴν ἐλάσσονα ἀποτομήν.

εὑρίσκοντι οὖν σοι τὰς τοιαύτας ἀποτομὰς ῥᾴδιον ἔσται σοι καὶ τὴν κάθετον θηρᾶσθαι· ἢ γὰρ ἀφαιρῶν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ἀποτομῆς ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἕξεις τὴν κάθετον ἢ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ἀποτομῆς ἀφαιρῶν ἐκ τοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης.

Ἔστω δὲ καὶ διʼ ὑποδείγμετος σαφηνείας χάριν τρίγωνον σκαληνόν, οὗ αἱ πλευραὶ ζ ϛ ια. τούτων τὰ ια τάττω βάσιν διὰ τὸ ἀμβλυγώνιον εἶναι τὸ τοιοῦτον τρίγωνον· ὁ γὰρ ἀπὸ ταύτης τῆς πλευρᾶς ἤγουν τῆς ἐχούσης ια πολλαπλασιασμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν δύο πλευρῶν· τὰ ϛ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν καὶ τὰ ζ μείζονα. τούτων τῶν πλευρῶν ἑκάστην πολλαπλασιάζω ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται βάσεως μὲν ρκα, ἐλάττονος ὑποτεινούσης λϛ, μείζονος δὲ μθ.

θέλω δὲ εὑρεῖν τὴν μείζονα ἀποτομήν. συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρο. τούτων ἀφαιρῶ τὸν πολλαπλασιασμὸν τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ λϛ· λοιπὰ [*](1 τῆς βάσεως τὴν μείζονα ἀποτομήν A, supra add. β—α—γ. ἐλάττονα C. 3 ἀπὸ τοῦ] om. C. 4 ἀπὸ] om. A. 6 U+2220″ C. 13 ἐλάσσονος A. ἐλάσσονος A. 14 ὑποτεινούσης] ὑποτεινούσης πολλαπλασιασμοῦ ἕξεις αὐτήν C. 15 διʼ] ἐπὶ A. 16 σκαλινὸν C. ϛ ζ A. 17 ὁ—19 πλευρῶν] om. C. 18 ἤγουν] A, om BC. πολυπλ/οσ A, πολλαπλάσιος BD. 19 τῶν λοιπῶν] τοῦ Λου BD. δύο] β A. 20 ϛ] δὲ ϛ τάττω C. καὶ τὰ] οὖσαν τὰ δὲ C. 21 γίνονται] A, γίνεται BCD. 21—22 μὲν. βάσεως C. 22 ἐλάττονος] ἐλάττονος δὲ C. 25 γίνονται] C, γίνεται ABD. 26 ἐλάσσονος BD. τὰ] om. C.)

εἰ δὲ θέλω τὴν ἐλάττονα εὑρεῖν πρότερον ἀποτομήν, συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρνζ. τούτων ἀφαιρῶ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ μθ· λοιπὰ ρη· τούτων τὰ U+2220΄ νδ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια, καὶ γίνονται δ καὶ ῑ ἑνδέκατα· καὶ ἔστιν ἡ ἐλάσσων ἀποτομή. λοιπὴ ἄρα ἡ μείζων ἀποτομὴ ἔσται ϛ καὶ ᾱ ἑνδεκάτου, καὶ ἔστιν ἡ τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις ἀμφοτέρωθεν σύμφωνος.

εἶτα λαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ἀποτομῶν καὶ ἀφαιρῶν τοῦτον ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ὑποτεινουσῶν τῆς τῇ ἀποτομῇ ἀναλογούσης καὶ τοῦ καταλιμπανομένου τετράγωνον λαμβάνων πλευρὰν ἔχω τὴν κάθετον.

Παντὸς τριγώνου δοθέντος εὑρίσκειν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· συντίθει τὸν ἀριθμὸν τῶν τριῶν πλευρῶν ὁμοῦ καὶ τῶν συναγομένων λάμβανε τὸ U+2220ʹ καὶ ἀπὸ τούτων πάλιν ἀφαίρει [*](ad lin. 17 mg. καὶ ἐπὶ ὀρθογωνίου τριγώνου δυνατόν ἐστι ποιήσαντας κατὰ τὴν μέθοδον καὶ ὑποθεμένους τὴν ὑποτείνουσαν ὡς βάσιν συμπεραίνεσθαι τὸ προκείμενον. ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον αὐτόθεν ἔχει τὴν κάθετον, ὡς οὐκ ἀναγκαίου ὄντος ἑτέραν ζητεῖν κάθετον διὰ τοῦτο οὐ παραλαμβάνεται A.) [*](1 ρμδ C. τὸ] τὰ A. 2 γίνονται] A, comp. C; γίνεται BD. ια΄] corr. ex ια D, ια καὶ ἓν (in ras.) C. καὶ (alt.)] in ras. C. 3 post ια΄ supra scr καὶ ἓν C. καὶ] om. C. ῑ ια΄] BD, ῑ ἑνδεκάτων A, ια καὶ ῑ C. πολλαπλασιασμὸν] πολλαπλασιασμοῦ BD. 10 δ—ἑνδέκατα] δ ια καὶ ῑ C. 11 ἡ (pr.)] om. D. καὶ ᾱ ἑνδεκάτου] ια καὶ ἕν C. ᾱ] ἑνὸς A 11—12 ἡ ἀμφοτέρωθεν τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις A. 13 τὸν] τὴν BD, om. C. ἀπὸ τοῦ] om. C. 14 ἀποτεινουσῶν D. 15 τῆς] A, καὶ BCD. ἀναλογούσης τῇ ἀποτομῇ A. καὶ—16 πλευρὰν] εἶτα λαμβα΄ τὸ καταλιμπανόμενον τετράγωνον C. 15 τετραγωνικὴν A. 20 τούτων πάλιν] τούτου αὖθις A.)

Οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστω τρίγωνον, οὗ αἱ πλευραὶ γ δ ε, ὅπερ καὶ ὀρθογώνιον τρίγωνόν ἐστιν. ὁ ἐκ τῶν τριῶν πλευρῶν συντιθέμενος ἀριθμὸς γίνεται ιβ· γ γὰρ καὶ δ ζ, καὶ ζ καὶ ε ιβ· τούτων τὸ U+2220ʹ ϛ· ὧν ἀφαιρουμένης ἑκάστης πλευρᾶς καταλείπονται μιᾶς ἑκάστης πλευρᾶς τῆς μὲν γ, τῆς δὲ β, τῆς δὲ ᾱ. τούτων ὁ μὲν γ πολλαπλασιασθεὶς ἐπὶ τὸν ϛ ποιεῖ τὸν ιη, ὁ δὲ β ἐπὶ τὸν ιη ποιεῖ τὸν λϛ, ἡ δὲ μονὰς ἐπὶ τὸν λϛ ποιεῖ πάλιν τὸν αὐτὸν λϛ. τούτων πλευρὰ τετράγωνος ὁ ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τριγώνου ϛ. καὶ τοῦτο δῆλον καὶ ἀπὸ τῆς ἑτέρας μεθόδου τῆς περὶ τῶν ὀρθογωνίων τριγώνων· τὰ γὰρ γ τῆς καθέτου ἐπὶ τὰ ἡμίση τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ β, πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι τὸν ϛ. πεπείραται δὲ αὕτη ἡ μέθοδος καὶ ἐν τοῖς λοιποῖς πᾶσι τριγώνοις καὶ ἔστιν ἀσφαλεστάτη.