Geodaesia [Sp.]

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Geodaesia [Sp.], Heiberg, Teubner, 1914

Ἡ ὀργυιά, μεθʼ ἧς μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ, ἔχει σπιθαμὰς βασιλικὰς θ δ΄ ἤγουν πόδας ϛ καὶ σπιθαμὴν ᾱ δ΄ ἢ παλαιστὰς ἤτοι γρόνθους κζ καὶ ἀντίχειρα, τουτέστι τοὺς μὲν [*](1 ὅστις] ὅς C. 2 ἔστιν] om. A. ἡ παλαιστή C. 3 ἡ —4 δ] om. C. 5 διχὰς] ABCD. ἔχει παλαιστὰς β΄ C. καὶ —8 τινες] post lin. 9 C. καὶ—6 δίμοιρον] ἡ διχὰς οὖν δίμοιρόν ἐστι τῆς C. 6 β] om. C. 7 τοῦτο] ὃ C. κυνόστομον] C, κοινόστομον ABD 10 Ὁ] ὁ δὲ C. ἤγουν] AC, ἤτοι BD. 11 ἤτοι] A, ἤγουν BD. 12 β (alt.)] δύο καὶ C. ἢ] ἤγουν C. 13 ἢ] ἤτοι C. 14 γ΄] καὶ γον C. ἤγουν πόδας] παίδας C. 15 ἢ (utr.)] om. C. 16 ἤγουν] om. C. 17 ἢ (utr.)] om. C. 18 ἢ] ἤτοι C. πρὸς τῷ] om. C. 19 ἢ (pr.)] ἤφ C. ἢ (alt.)] ἤφ C, 21 praemittit ἀπὸ τῆς ὑποπτικῆς γεωμετρίας A. οὐργυιά C 22 ἤγουν] ἢ D. ἢ] ἤ C. 23 ἤτοι] ἢ C. τουτέστι—p. LXXVII, 2 χειρός] ὅ ἐστι τρεῖς δάκτυλοι C.)

LXXVII
κϛ ἐσφιγμένης οὔσης τῆς χειρός, τὸν δὲ τελευταῖον ἢ πρῶτον ἡπλωμένου καὶ αὐτοῦ τοῦ δακτύλου τῆς χειρός, ὃς δὴ καὶ δ΄ λέγεται σπιθαμῆς, ἔχει δὲ δακτύλους γ. μεθʼ ὃ δὲ ποιήσεις ὀργυιὰν ἐν καλάμῃ ἢ ἔν τινι ξύλῳ. μετὰ τοῦτο ὀφείλεις ποιῆσαι σχοινίον ἤγουν σωκάριον ῑ οὐργυιῶν καὶ οὕτω μετρεῖν, ὃν μέλλεις μετρῆσαι τόπον· τὸ γὰρ σωκάριον τῆς σπορίμου γῆς ῑ ὀργυιὰς ὀφείλει ἔχειν, τοῦ δὲ λιβαδίου ιβ.

Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ἔχει ὁ τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ δὲ τοῦ δωδεκαοργυιαίου ἔχει ὀργυιὰς σπ.

πλὴν οἱ βραχύτατοι καὶ πεδινοὶ τόποι μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ὀφείλουσι μετρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ τῶν προαστείων τῶν ὁλογύρως μετρουμένων μετὰ τοῦ δωδεκαοργυιαίου σχοινίου διὰ τὸ εὑρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν περιορισμῶν αὐτῶν πολλάκις ξηροχειμάρρους καὶ ῥύακας καὶ λόχμας καὶ ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου μετρηθῶσιν, ὀφείλουσιν ὑπεξαιρεῖσθαι εἴτε ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν σωκαρίων κατὰ ῑ σωκάρια ᾱ εἴτε ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ ῑ μόδια μόδιον ἓν διὰ τὰς εἰρημένας αἰτίας.

Χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι ὁ σπόριμος μόδιος ἔχει λίτρας μ· μία δὲ ἑκάστη λίτρα σπείρει γῆν ὀργυιῶν ε.

Πλάτος γὰρ καὶ μῆκος ὀργυιῶν ε ποιοῦσι λίτραν ᾱ, καὶ καθεξῆς

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ῑ ποιοῦσι λίτρας δύο.

[*](2 τῆς χειρὸς τοῦ δακτύλου BD. ὃς δὴ] ὃ C. 3 ἔχει—γ] om. C. δὲ] οὖν C. 4 οὐργυιὰν BCD. ἔν τινι] om. C. τούτου BD. 5 σχοινείον BD. οὐργυιῶν] corr. ex ὀργυιῶν A. οὕτως BD. μετρεῖν] A, μετρῆσαι BCD. 6 μετρεῖν BCD. 8 δεκαοργυαίου B, δεκαουργιαίου C. σχονείου BD. 9 οὐργυιὰς C. δωδεκαουργιαίου C. 10 ὀργυιὰς] om. C. 11 δεκαοργαίου B, δεκαουργιαίου C, δεκαοργιαίου D. σχοινείου BD. 13 δωδεκαοργυαίου B, δωδεκαουργιαίου C. σχοινείου BD, om. C. ante διὰ del. ὀφείλουσι μετρεῖσθαι οἱ δὲ D. 15 λόχμους C, λόχμω D. 16 καὶ] A, om. BCD δεκαουργιαίου C. μετρηθῶσι B. 17 σωκάρια] C, comp. BD, σωκάριον A. 18 ῑ —μόδιον] μόδια ῖ C. 20 Χρὴ] A, δεῖ BCD. δὲ] supra scr. D. 21 οὐργυιῶν BCD. 22 οὐργυιῶν BCD, et sic deinceps.)
LXXVIII

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ιε ποιοῦσι λίτρας γ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κ ποιοῦσι λίτρας δ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν κε ποιοῦσι λίτρας ε.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λ ποιοῦσι λίτρας ϛ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν λε ποιοῦσι λίτρας ζ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν μ ποιοῦσι λίτρας η.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν με ποιοῦσι λίτρας θ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ν ποιοῦσι λίτρας ι.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν νε ποιοῦσι λίτρας ια.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξ ποιοῦσι λίτρας ιβ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ξε ποιοῦσι λίτρας ιγ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ο ποιοῦσι λίτρας ιδ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν οε ποιοῦσι λίτρας ιε.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ποιοῦσι λίτρας ιϛ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν πε ποιοῦσι λίτρας ιζ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν 𝒢 ποιοῦσι λίτρας ιη.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν 𝒢ε ποιοῦσι λίτρας ιθ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ρ ποιοῦσι λίτρας ἤτοι μόδιον U+2220΄.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν σ ποιοῦσι λίτρας μ ἤτοι μόδιον ᾱ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν τ ποιοῦσι λίτρας ξ ἤτοι μόδιον ᾱ U+2220'.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ποιοῦσι λίτρας ἤτοι μόδια β.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν φ ποιοῦσι λίτρας ρ ἤτοι μόδια β U+2220΄.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν χ ποιοῦσι λίτρας ρκ ἤτοι μόδια γ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ποιοῦσι λίτρας ρμ ἤτοι μόδια γ΄ U+2220΄.

[*](18 ἤτοι] ABCD. μοδίου ἥμισυ A. 20 ἤφ C, et sic deinceps. 24 ἤτοι] A, ἤ BCD, et sic deinceps.)
LXXIX

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ω ποιοῦσι λίτρας ρξ ἤτοι μόδια δ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ϡ ποιοῦσι λίτρας ρπ ἤτοι μόδια δ U+2220΄.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν α ποιοῦσι λίτρας σ ἤτοι μόδια ε.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,β ποιοῦσι λίτρας υ ἤτοι μόδια ῑ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,γ ποιοῦσι λίτρας χ ἤτοι μόδια ιε.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,δ ποιοῦσι λίτρας ω ἤτοι μόδια κ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,ε ποιοῦσι λίτρας α ἤτοι μόδια κε.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,ϛ ποιοῦσι λίτρας ,ασ ἤτοι μόδια λ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,ζ ποιοῦσι λίτρας ,α ἤτοι μόδια λε.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν η ποιοῦσι λίτρας ,αχ ἤτοι μόδια μ.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ,θ ποιοῦσι λίτρας ,αω ἤτοι μόδια με.

Πλάτος καὶ μῆκος ὀργυιῶν ᾱ ποιοῦσι λίτρας β ἤτοι μόδια ν.

Ἀρχὴ τῶν σχημάτων τῆς γεωμετρίας.

Περὶ τετραγώνων ἰσοπλεύρων καὶ ὀρθογωνίων.

Τούτων οὕτως ἐχόντων τὴν μέτρησιν τῶν θεωρημάτων ποιησόμεθα οὕτως. ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ οὐργυιῶν ῑ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰς ῑ ἐπὶ τὰς ῑ· γίνονται ρ· τοσούτων [*](25 τῶν] τῆς μετρήσεως τῶν A. τῆς γεωμετρίας] om. A. 28 ποιησώμεθα C. τε] om. A. ὀρθογώνιον A. 29 ὀργυιῶν A, et sic deinceps. 30 οὕτω A.)

LXXX
οὐργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. τούτου τὸ ε΄ . γίνονται κ· καὶ ἔστι λιτρῶν κ ἤγουν μοδίου τὸ U+2220΄.

Τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν ρ· εὐρεῖν αὐτοῦ, πόσων οὐργυιῶν ἐστιν ἑκάστη πλευρά. ποίει οὕτως· λάμβανε τῶν ρ πλευρὰν τετράγωνον· καὶ ἔστι ῑ· τοσούτων οὐργυιῶν ἐστιν ἑκάστη τῶν πλευρῶν.

Ἕτερον σχῆμα τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ οὐργυιῶν ιη· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτω· πολλαπλασίασον τὴν μίαν τῶν βάσεων ἐπὶ τὴν μίαν τῶν καθέτων ἤγουν τὰ ιη ἐπὶ τὰ ιη, καὶ γίνονται τκδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ οὐργυιῶν τκδ. ὧν μέρος σ΄ γίνεται ᾱ U+2220΄ ιʹ καὶ ν΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίου ᾱ U+2220΄ καὶ λιτρῶν δ U+2220΄ ε΄ ι΄ τοῦ γὰρ μέτρου τοῦ μοδίου ὑπὸ οὐργυιῶν σ παραλαμβανομένου ἤγουν λιτρῶν μ ἐπιβάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ οὐργυιαὶ ε, ἑκάστη δὲ οὐργυιά ἐστι ε΄ λίτρας.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ οὐργυιῶν λϛ. αὗται ἐφ᾿ ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι γίνονται ,ασ𝒢ϛ· τοσούτων οὐργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τοιούτου τετραγώνου. ὧν μέρος σ γίνονται ϛ δ΄ ηʹ ιʹ σʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ϛ καὶ λιτρῶν ιθ εʹ· αἱ γὰρ ,ασ οὐργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ρούμεναι ἐπὶ τὰ σ ποσοῦνται εἰς γῆν μοδίων ϛ, αἱ δὲ λοιπαὶ ϛ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τὰ ε ποσοῦνται εἰς γῆν λιτρῶν ιθ καὶ οὐργυιᾶς ᾱ.

[*](1 οὐργυιῶν] οὖν οὐργυιῶν C. γίνεται A. 2 ἤγουν] comp. BCD, ἤτοι A. 3 τε] om. A. 4 αὐτοῦ] om. A. ἐστι C. ἑκάστη] ἑκάστη αὐτοῦ A. 5 λαβὲ A. 6 ἔστι] γίνονται A. οὐργυιῶν] οὖν οὐργυιῶν C. ἐστιν] BD, e corr. A; ἐστι AC. 7 τε] om. A. 8 εὑρεῖν] εὑρεῖν δὲ A. 9 οὕτως BD. πολυπλασίασον A. 10 τὰ (utr.)] τὰς C. 11 αὐτοῦ] τοῦ αὐτοῦ τετραγώνου A. 12 μοδίου] Hultsch, μοδίων ABD, μόδιον C. U+2220΄ (tert.)] A, om. BCD. 14 ἤτοι A. οὐργυιὰς πέντε C. 16 ἑκάστη πλευρὰ] αἱ δ΄ πλευραὶ ἀνὰ A. 17 πολυπλασιαζόμεναι A. 18 ,ασ𝒢ϛ] in mg. transit in C. τοσούτων—19 ι΄σʹ] om. C. 19 γίνονται] B, comp. A, om. D. ι΄σʹ] Hultsch, ιγ″ AB, ιϛ΄ D. 20 μόδια C. λίτραι C. ὀργυιαὶ BD. 21 ἐπὶ] C, ὑπὸ ABD. αἱ—22 λι-] supra scr. B. 22 τὰ] τὸν D.)
LXXXI

Καὶ οὕτω μὲν ἐπὶ τοῦ μέτρου τῶν οὐργυιῶν, ἐπὶ δὲ τοῦ μέτρου τῶν σχοινίων ποίει οὕτω· τὴν μίαν τῶν πλευρῶν πολλαπλασίαζε ἐφʼ ἑαυτήν· ὧν τὸ U+2220ʹ· καὶ ἔστιν ὁ μοδισμός. οἷον ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ϛ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· τὰ ϛ ἐπὶ τὰ ϛ· γίνονται λϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων λϛ. ὧν τὸ U+2220΄ γίνεται ιη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιη.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρόν καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων ιϛ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόμενα γίνονται σνϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων. ὧν τὸ U+2220ʹ ρκη· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἑκάστη πλευρὰ σχοινίων κε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ πολλαπλασιαζόμενα ποιοῦσι χκε· τοσούτων αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ U+2220ʹ τιβ U+2220ʹ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Ἕτερον τετράγωνον ἰσόπλευρον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ ἐκάστη τῶν πλευρῶν σχοινίων ιβ καὶ οὐργυιῶν ϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· ἀνάλυσον καὶ τὰ σχοινία εἰς οὐργυιάς, καὶ γίνονται διά τε σχοινίων καὶ οὐργυιῶν ρκϛ· αἵτινες ἐφʼ ἑαυτὰς πολλαπλασιαζόμεναι γίνονται α ,εωος· ἔστι τοίνυν τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν τοσούτων. ὧν μέρος σ΄ γίνεται οθ δ΄ η΄ σ΄· καὶ ἔστι γῆς μοδίων οθ καὶ λιτρῶν ιε ε΄· αἱ γὰρ (??) ,εω οὐργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τὰ σ ποιοῦσι γῆν μοδίων [*](1 οὕτως BD. 2 σχοινείων B. οὕτως BD. 3 καὶ] om C. 4 τῶν πλευρῶν] πλευρὰ D. 6 γίνονται λϛ] om. C. σχοινείων B, om. C. 7 τὸ] τῷ BD. ιηʹ γίνεται C. γῆς] om. C. 8 καὶ] om. C. 9 σχοινείων BD, ἀνὰ σχοινίων A. πολυπλασιαζόμενα A. 10 σχοινείων BD, et sic saepius. 11 ρκη] ρ- e corr. C. τοσούτων] ρκη A. 13 σχοινίων] ἀνὰ σχοινίων A. πολυπλασιαζόμενα A. 14 ποιοῦσι] γίνονται A. τοσούτων αὐτοῦ] καὶ ἔστι A ἐμβαδόν] ἐμβαδὸν σχοινίων τοσούτων A. 15 τοσούτων] τιβ U+2220΄ A. 17 τῶν] supra scr. D. 19 γίνονται] A, γίνεται BCD. ρκς ὀργυιαὶ ρκς A. 20 ἐφʼ] ὑφʼ C. πολυπλασιαζόμεναι A. γίνονται] συμποσοῦνται εἰς A. ἔστι τοίνυν] καὶ ἔστι A. 22 μοδίων] comp. D, μόδια ABC. λιτρῶν] AC, λεπτῶν BD.)

LXXXII
οθ, αἱ δὲ λοιπαὶ ος ὑπεξαιρούμεναι ἐπὶ τὰ ε ποιοῦσι λίτρας ιε καὶ οὐργυιὰν α.

Περὶ τετραγώνων παραλληλογράμμων.

Τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, μετρεῖται οὕτως. ἔστω τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, οὗ τὸ πλάτος σχοινίων γ, τὸ δὲ μῆκος η· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· πολλαπλασίασον τὸ πλάτος ἐπὶ τὸ μῆκος· γίνονται κδ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ U+2220΄ ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.

Ἕτερον τετράγωνον παραλληλόγραμμον καὶ ὀρθογώνιον, ὃ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ μὲν πλάτος οὐργυιῶν ιε, τὸ δὲ μῆκος κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίασον τὰς κ ἐπὶ τὰς ιε· γίνονται τ· τοσούτων οὐργυιῶν ἐστι τὸ ἐμβαδόν. ὧν τὸ ε΄· γίνονται ξ· καὶ ἔστι μόδιον ᾱ U+2220.

Τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὰ μὲν μήκη οὐργυιῶν π, τὸ δὲ πλάτος ξ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· πολλαπλασίασον τὰς τοῦ μήκους ἐπὶ τὰς ξ τοῦ πλάτους· καὶ γίνεται τὸ ἐμβαδὸν αὐτοῦ ,δω. ὧν μέρος σʹ· γί   νονται κδ· καὶ ἔστι γῆς μόδια κδ.

Ἕτερον τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ὃ δὴ καὶ ἑτερόμηκες καλεῖται, οὗ τὸ μὲν μῆκος σχοινίων η, τὸ δὲ [*](2 οὐργυιὰ D. 3 A, om. BCD. 7 η] σχοινίων η A. οὕτω C. 8 πολυπλασίασον A. μῆκος] μῆκος ἤγουν τὰ γ ἐπὶ τὰ η A. 9 τοσούτων—ἐμβαδόν] τὸ ἐμβαδὸν τοῦ αὐτοῦ παραλληλογράμμου σχοινίων κδ A. U+2220΄] U+2220΄ γ A. 10 τοσούτων] ιβ A. 12 τὸ] τὰ A. πλάτος] πλάτη ἀνὰ A. τὸ] τὰ A. 13 μῆκος] μήκη ἀνὰ ὀρ A. οὕτω C. πολυπλασίασον A. 14 γίνεται C. 15 ἔστι] ἔστι λιτρῶν ξ ἤτοι A. 16 τὸ C. 17 μῆκος C, μήκη ἀνὰ A. τὸ (pr.)] τὰ A. πλάτος] πλάτη ἀνὰ ὀρ A. εὑρεῖν—19 πλάτους] om. C. 18 ποίει οὕτως] A, om. BD. πολυπλασίασον A. 19 αὐτοῦ] τοῦ παραλληλογράμμου ὀρ A. γίνονται] γίνεται A, καὶ γίνονται C. 22 τὸ (pr.)] τὰ A. μῆκος] μήκη ἀνὰ A.)

LXXXIII
ἐμβαδὸν μ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ πλάτος. ποίησον οὕτως· λαβὲ τῶν μ τὸ η΄· γίνεται ε· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων τὸ πλάτος. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίασον τὰ ε τοῦ πλάτους ἐπὶ τὰ η τοῦ μήκους· γίνονται μ· ὧν τὸ U+2220΄ κ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.