Geodaesia [Sp.]
Hero of Alexandria
Hero of Alexandria, Geodaesia [Sp.], Heiberg, Teubner, 1914
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων δ ἤγουν οὐργυιῶν μ, ἡ κάθετος δὲ ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων γ ἤγουν οὐργυιῶν λ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ε ἤγουν οὐργυιῶν ν· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπὶ μὲν τῶν σχοινίων ποίει οὕτως· λάμβανε τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ β σχοινία καὶ πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὰ γ τῆς καθέτου οὕτως· δὶς τὰ γ ϛ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου ϛ. ὧν τὸ U+2220ʹ γ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ.
ἐπὶ δὲ τῶν οὐργυιῶν λάμβανε ὁμοίως τῆς βάσεως τὸ U+2220ʹ ἤγουν τὰς κ καὶ πολλαπλασίαζε ἐπὶ τὰς λ οὕτως· κ΄ λ χ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου οὐργυιῶν χ. ὧν μέρος σ΄ γίνονται γ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων γ.
ἐν παντὶ γὰρ μέτρῳ, εἰ μὲν μετὰ σχοινίου γίνεται ἡ μέτρησις, τὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ σχοινία ἡμισυαζόμενα ἀποτελοῦσι τὸν μοδισμόν, εἰ δὲ μετὰ οὐργυιῶν, αἱ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ οὐργυιαὶ ὑπεξαιρούμεναι ὑπὸ τὰ σ ἀποτελοῦσι τὸν μοδισβόν· μ γὰρ οὐσῶν λιτρῶν τῷ ἑνὶ μοδίῳ οὐργυιῶν τε σ ἐπιβάλλουσι μιᾷ ἑκάστῃ λίτρᾳ οὐργυιαὶ ε.
[*](1 μ] σχοινίων μ A. οὕτω C. τῶν] τοῦ C. 2 γίνεται] ἤγουν C. καὶ ἔστι] om. A. σχοινίων τοσούτων C. τὸ (alt.)] ἔσται τὸ A. 3 οὕτω C, om. A. πολυπλασίασον A. 4 κ] A. 5 τοσούτων] κ A. 7 τριγώνου ὀρθογωνίου A. οὗ] om. A. ἤτοι A. 3 δὲ] ἤγουν A. 10 αὐτοῦ] om. A. οὕτω C. 11 ἤγουν] τουτέστι A. πολυπλασίαζε A. 12 οὕτω C. 13 ϛ] σχοινίων ϛ A. ὧν] τούτων A. U+2220΄] U+2220″ γ΄ A. 14 γῆς] om. C. γ] ϛ BD. τῆς] τὸ U+2220ʹ τῆς A, τῶν C. βάσεων C. 15 ἤγουν] τουτέστι A. πολυπλασίαζε A. οὕτω C. 17 ὧν] τούτων A. γίνονται] comp. A. 18 μὲν] om. C. 21 ὑπὸ] fort. ἐπὶ. τὰ] τῶν A. 22 οὐσῶν λιτρῶν] λιτρῶν οὐσῶν A, λίτραι εἰσὶν C. τῷ ἐνὶ μοδίῳ] ἑνὸς μοδίου C. οὐργυιῶν τε] οὐργυιαὶ δὲ C. 23 μιᾷ] γὰρ μιᾷ γὰρ C.)Ἕτερον τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων η ἤτοι οὐργυιῶν π, ἡ δὲ κάθετος ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ϛ ἤγουν οὐργυιῶν ξ, ἡ δὲ ὑποτείνουσα σχοινίων ι ἤγουν οὐργυιῶν ρ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποίησον οὕτως· ἐπὶ τῶν σχοινίων λαβὼν τὸ U+2220΄ τῆς βάσεως ἤγουν τὰ δ σχοινία πολλαπλασίασον ἐπὶ τὰ ϛ τῆς καθέτου οὕτως· δ΄ ϛ κδ· καὶ ἔστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου σχοινίων κδ. ὧν τὸ U+2220΄ ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων ιβ.
ἐπὶ δὲ τῶν οὐργυιῶν οὕτως· λαβὼν τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἤγουν τὰς μ οὐργυιὰς ἐπὶ τὰς ξ τῆς καθέτου πολλαπλασίασον· γίνονται βυ· τούτων μέρος σ΄ γίνονται ιβ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
Ἰστέον, ὅτι παντὸς ὀρθογωνίου τριγώνου οἱ πολλαπλασιασμοὶ τῶν β πλευρῶν τῆς ὀρθῆς γωνίας ἴσοι εἰσὶ μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης. οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ β πλευραὶ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἡ μὲν σχοινίων η, ἡ ἐπὶ τῆς βάσεως δηλαδή, ἡ δὲ σχοινίων ϛ ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθάς· ἀπὸ τούτων εὑρεῖν τὸν ἀριθμὸν τῆς ὑποτεινούσης. ποίησον οὕτω· πολλαπλασίασον τὰ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ξδ· καὶ τὰ ϛ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται λϛ. σύνθες ταῦτα μετὰ τῶν ξδ τῆς βάσεως· γίνονται ρ. τούτων λαβὲ τετραγωνικὴν πλευράν· καὶ ἔστι ῑ, καὶ αὕτη ἐστὶν ἡ τετραγωνικὴ πλευρὰ ἡ καὶ ὑποτείνουσα.
[*](2 ἤτοι] ἤγουν C. ἡ] ἤγουν ἡ A. 3 ἤγουν] ἤτοι A. ξ] e corr. A. ἤγουν] ἤτοι A. 4 αὐτοῦ] δὲ A. ποίησον οὕτως] om. A. 5 σχοινίων] σχοινίων ποίησον οὕτως A. πολυπλασίασον A. 6 οὕτω C. ϛ] ϛ γ A. 7 τριγώνου] om. C. ὧν] τούτων A. U+2220ʹ] U+2220΄ A. 8 οὕτως] ποίησον οὕτως A. 9—10 πολυπλασίασον ἐπὶ τὰς ξ τῆς καθέτου A. γίνονται (alt.)] comp. A. 11 γῆς—τοσούτων] καὶ οὕτω μο ιβ A. 12 ὅτι] ὅτι ὡς A. πολυπλασιασμοὶ A. 14 πολυπλασιασμοῦ A. 18 οὕτως AD. πολυπλασίασον A. 20 γίνονται] om. C. τῶν] om. C. 21 πλευρὰν τετραγωνικήν A. καὶ ἔστι—23] γίνεται ῑ καὶ ἔστιν ἡ ὑποτείνουσα τοσαύτη A. 22 ἔστι] ἔστιν BD.)Ἕτερον τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν βάσις σχοινίων ιϛ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς ιβ· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρ𝒢β. τούτων τὸ U+2220΄· γίνονται 𝒢ϛ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν. τὸν δὲ μοδισμὸν εὑρεῖν· λαβὲ τὸ U+2220ʹ τοῦ ἐμβαδοῦ· καὶ ἔστι μη, καὶ ἔστι γῆς μοδίων τοσούτων.
ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ ιϛ τῆς βάσεως ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται σνς· καὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ρμδ· ὁμοῦ υ. ὧν τετραγωνικὴ πλευρὰ κ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶν ἡ ὑποτείνουσα.
ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν, ποίει οὕτω· τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται υ· ἐξ αὐτῶν λαβὲ τὰ ιϛ τῆς βάσεως, ἅτινα ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται σνς· λοιπὰ ρμδ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιβ· τοσούτων ἔσται ἡ πρὸς ὀρθάς.
ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν βάσιν εὑρεῖν, ὁμοίως λαβὲ ἀπὸ τῶν υ τὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς ιβ, ἅτινα γίνεται ἐφʼ ἑαυτὰ ρμδ· λοιπὰ σνς. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ιϛ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ βάσις.
καὶ ἄλλως τὴν πρὸς ὀρθὰς εὑρεῖν. ποίει οὕτως· τρὶς τὰ κ τῆς ὑποτεινούσης· γίνονται ξ· τούτων τὸ ε΄· γίνονται ιβ· καὶ ἔστι τοσούτων σχοινίων ἡ πρὸς ὀρθάς.
Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ ἐμβαδὸν οὐργυιῶν χ, ἡ δὲ κάθετος οὐργυιῶν λ· τούτου τήν τε βάσιν καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. ποίει οὕτως· διπλασίασον τὰ χ τοῦ ἐμβαδοῦ· γίνονται ,ασ· ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν λ, καὶ τὰ γινόμενα μ [*](2 ιβ] σχ ιβ A. οὕτω C. 3 ρ𝒢β] ρ- in ras. C, ins. D. 4 γίνεται C, comp. AB. 5 τοῦ—μη] τῶν 𝒢β καὶ μη A. 6 τοσούτων] μη A. 7 οὕτως BD. 9 πλευρὰ τετραγωνικὴ A. κ] γ κ A, μ C. ἔσται A. 10 ποίησον D. οὕτως BD. 13 ὧν] om. B. πλευρὰ] π BD, πλευρ A, πλάτος C. τετράγω BD, τετράγωνον AC. γίνεται] BD, γίνονται C, comp. A. τοσούτων] τοσούτων σχοινίων A. 14 ἀπὸ—15 ὀρθὰς] τὰ τῆς ὀρθῆς C. 17 οὕτω C. 18 γίνονται (pr.)] C, comp. A, γίνεται BD. γίνονται (alt.)] BD, γίνεται AC. 19 καὶ—τοσούτων] τοσούτων ἐστὶ A. 21 τε] AB, om. CD. 22 διπλασίασον] AC, δίπλασον BD. 23 ταῦτα—λ] παρὰ τὸν λ μέρισον αὐτά C. γενόμενα A.)
ὁμοίως καὶ τὴν ὑποτείνουσαν εὑρεῖν. πολλαπλασίαζε τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ϡ. καὶ τὴν βάσιν ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται ,αχ· ὁμοῦ ,βφ. ὧν πλευρὰ τετράγωνος γίνεται ν· τοσούτων οὐργυιῶν ἔσται ἡ ὑποτείνυσα.
Μέθοδος Πυθαγόρου περὶ τριγώνων ὀρθογωνίων.
Ἐὰν ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ τὴν τοῦ Πυθαγόρου μέθοδον ἀπὸ πλήθους περιττοῦ, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται κε· ἀπὸ τούτων ἄφελε μονάδα α· λοιπὰ κδ. ὧν τὸ U+2220ʹ ιβ· ταῦτα ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει μονάδα μίαν, καὶ γίνονται ιγ· τοσούτων ἡ ὑποτείνουσα.
Ἐὰν δὲ ἐπιταγῇς τρίγωνον ὀρθογώνιον συστήσασθαι κατὰ Πλάτωνα ἀπὸ πλήθους ἀρτίου, ποίει οὕτως· δεδόσθω τῇ καθέτῳ ἀριθμὸς ὁ τῶν η. τούτων τὸ U+2220ʹ δ· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίνονται ιϛ. ἀφαίρει ἀπὸ τούτων μονάδα α· λοιπὰ ιε· τοσούτων ἡ βάσις. πρόσθες τῇ βάσει δυάδα· γίνονται ιζ· ταῦτα ἀπόδος τῇ ὑποτεινούσῃ, καὶ συνίσταται.
Τὸ δὲ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. οὕτως· πολλαπλασίαζε ἀεὶ τὸ U+2220ʹ τῆς βάσεως ἐπὶ τὴν κάθετον ἤγουν τὴν πρὸς ὀρθὰς ἢ τὸ U+2220ʹ τῆς πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν βάσιν, καὶ τὸ ἀπὸ τοῦδε συναγόμενον γίνωσκε εἶναι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου. οἷον ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ βάσις σχοινίων κ, ἡ κάθετος ἤγουν ἡ πρὸς ὀρθὰς σχοινίων ιε καὶ ἡ ὑποτείνουσα κε· εὑρεῖν οὖν [*](1 πολυπλασίαζε A. 3 ὁμοῦ] ὁμοῦ A. 4 τετραγωνικὴ BD 6 περὶ—ὀρθογωνίων] πῶς δεῖ συστῆσαι τρίγωνον ὀρθο γώνιον A, περὶ τριγώνου ὀρθογωνίου C. 9 οὕτω C. 10 ὧν] τούτων A. 11 U+2220ʹ] U+2220 γ A. 13 praemittit μέθοδος Πλάτωνος πῶς δεῖ συστῆσαι τρίγωνον ὀρθογὼνιον A, πλάτωνος mg. C. 14 ποίησον A. οὕτω C. διδόσθω A. 15 U+2220΄] U+2220΄ γ A. 16 τοσοῦτον C. 19 οὕτω C, ποίει οὕτως A. πολυπλασίαζε A. ἀεὶ] om. C. 20 τὴν (pr.)] AC, om. BD. ἤτοι BD. 21 συναγόμενον] om. A. 23 ὀρθόγωνον A. 24 κε] σχ κε A.)
Δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ἡνωμένα, ὧν αἱ βάσεις σχοινίων ῑ καὶ αἱ ὑποτείνουσαι ἀνὰ σχοινίων ιγ, ἡ δὲ πρὸς ὀρθὰς κοινὴ οὖσα τῶν δύο τριγώνων σχοινίων ιβ· εὑρεῖν δὲ αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· τὰ ῑ τῆς βάσεως ἐπὶ τὰ ιβ τῆς πρὸς ὀρθάς· γίνονται ρκ· ὧν τὸ U+2220ʹ ξ· τοσούτων σχοινίων ἐστὶ τὸ ἐμβαδόν.
ὧν τὸ U+2220ʹ λ· καὶ ἔστι γῆς μοδίων λ. εἰ δὲ θέλεις ἀπὸ τῆς βάσεως τὴν κάθετον εὑρεῖν, ποίει οὕτως· τῶν ῑ τῆς βάσεως τὰ U+2220΄· γίνονται ε· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ κε. καὶ τὰ ιγ τῆς ὑποτεινούσης ἐφʼ ἑαυτὰ ρξθ. ἐξ ὧν λαβὲ τὰ κε· λοιπὰ ρμδ· ὧν πλευρὰ τετράγωνος ιβ· τοσούτων σχοινίων ἔσται ἡ κάθετος.