De mensuris
Hero of Alexandria
Hero of Alexandria, De mensuris, Heiberg, Teubner, 1914
Μέτρησις κώνου κολούρου, οὗ ἡ διάμετρος ἡ κάτω ποδῶν ῑθ, ἡ δὲ ἄνω ποδῶν ε, ὕψος ποδῶν ζ· εὑρεῖν τὴν ἐπιφάνειαν. ζητῶ πρῶτον τὰ κλίματα, ὧν ἄνευ ἐπιφάνειαν οὐ δυνατόν. ἀπὸ τῆς μείζονος διαμέτρου ἀφαιρῶ τὴν ἐλάσσονα· καὶ λαμβάνομεν τὸ U+2220΄· γίνονται ζ, ὅπερ ὀρθογωνίου τριγώνου, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν ζ, βάσις ἐστίν· ὥστε ποδῶν θ δ΄ [*](1 καὶ] om. Q. 7 U+2220΄] ἥμισυ Q. 8 U+2220΄] ἥμισυ Q. 13 πολυπλασίασον] scripsi, καὶ πολυπλασίασον P, καὶ πολλα- πλασιάσας Q. 16 ἡ κάτω] scripsi, κάτω PQ. ἡ κάτω διά- μετρος Hultsch. 18 ἐπιφάνειαν] scripsi, ἐπιφανείας PQ. 19 ἀφερῶ Q. τὴν ἐλάσσονα] scripsi, τὸ U+2220΄ PQ. 20 ὅπερ] P, ὥσπερ Q. ὀρθογωνίου τριγώνου, οὗ] scripsi, ὀρθογώνιον τρί- γωνον PQ. 21 ἐστίν· ὥστε] addidi, om. PQ. θ δ΄ η΄ ἡ] scripsi, κδ PQ.)
Ἄλλη μέτρησις σφαίρας.
Ἔστω ἐπιφάνεια τμήματος σφαίρας ἔχοντος τὴν διάμετρον ποδῶν κδ, τὴν δὲ κάθετον ποδῶν ε. ποιῶ οὕτως· τῆς βάσεως τὸ U+2220΄· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν· μίξας γίνονται πόδες ρξθ· ταῦτα τετράκις ταῦτα ἑνδεκάκις· τούτων τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες φλᾱ ζ΄. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια. τὸ δὲ στερεὸν εὑρήσομεν οὕτως· τὴν βάσιν ἐφʼ ἑαυτήν· ἀπὸ τούτων ὑφαιρῶ μέρος δ΄· λοιπὸν πόδες υλβ. τούτοις τοῖς υλβ προσβάλλω μέρος (??)· γίνονται πόδες σπη· ὁμοῦ ψκ. τοσούτου τὸ στερεόν. ταύτης τῆς ἐπιλύσεως ἀκριβεστέραν οὐχ εὕραμεν.
Ἄλλη μέτρησις σφαίρας καθολική.
Αἱ μὲν εὔτακτοι ἐπιφάνειαι ἐμετρήθησαν· αἱ δὲ ἄτακτοι καταδιαιροῦνται εἰς τρίγωνα ἢ εἰς τμήματα, ὡς ἂν ἐπιδέχηται τὸ σχῆμα. εἰ δὲ μὴ ἐπίπεδος, ἀλλὰ ἄτακτος, ὥσπερ ἀνδρίαντος, ὀθόνην ἢ χάρτην περιειλεῖν καὶ ἐκτείνοντα μετρεῖν.
[*](1 δὴ] P, δὲ Q. ἐστίν] scripsi, U+2220΄ PQ. συντίθημι ἑκάστοτε] scripsi, ὑποτιθῶ ἑκάστω P, ὑποτίθημι ἑκάστῳ Q. 4 τνγ U+2220΄ ιδ΄] scripsi. Λ` μβ U+2220΄ U+2220΄ ζ΄ P, Ϡμβ U+2220΄ ϛ΄ ζ΄ Q. 7 ἐπιφανει τμημα P. ἔχον P. 10 μίξον Hultsch. 14 ὑφερω P. τοῖς] om. Q. 15 (??)΄] Hultsch, β P, β Q. 17 εὕρομεν Q. 18 σφαίρας] (??) P, del. Hultsch. 20 ἢ] addidi, om. PQ. 21 ἐπιδέχεται P. εἰ] Q, ἡ P. 23 καὶ] addidi, om. PQ. με- τρεῖν] scripsi, cfr. Metr. p. 90, 13 sqq.; μέτρα P, τὰ μέτρα Q.)Καθολικὴ μέτρησις σφαίρας, οὗ ἡ βάσις ποδῶν κδ, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν λϛ. λαμβάνω τὸ U+2220΄ τῆς βάσεως· ἐφʼ ἑαυτά τρισσάκις· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες α εφνβ· καὶ ἀπὸ τῆς καθέτου τῶν λϛ κύβον πρόσαγε· γίνονται πόδες ϛ βση· ταῦτα ἑνδεκάκις· γίνονται ξη μυριάδες δσπη· ταύτας τὰς ξη μυριάδας δσπη μέρισον παρὰ τὸν κᾱ· γίνονται γ μυριάδες βφπε ζ΄. τοσούτου μεῖζον τμῆμα σφαίρας.
Μέτρησις μείζονος τμήματος σφαίρας.
Μείζονος τμήματος σφαίρας, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν κδ, ἡ δὲ βάσις ποδῶν κδ, προσαναπληροῦται ἡ ὅλη σφαῖρα. τὸ U+2220΄ τῆς βάσεως· ἐφʼ ἑαυτά· ταῦτα μέρισον παρὰ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες ϛ· ἔσται ἄρα τοῦ προσαναγραφέντος ἐλάσσονος τμήματος ἡ κάθετος ϛ· ὡς τὴν ὅλην ποδῶν λ. μέτρει οὖν κύκλον, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν λ· γίνονται πόδες 𝔮δ δ΄· ταῦτα ἐπὶ τὴν διάμετρον· γίνονται πόδες βωκη· τούτων τὸ δ΄· γίνονται ψζ· ἀπὸ τούτων ὑφεῖλον τῶν ψζ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος τὸ ἐμβαδόν· γίνονται πόδες 𝔮. ἔσται οὖν τοῦ μείζονος τμήματος πόδες χῑζ, τοῦ δὲ ἐλάσσονος πόδες (??).
[*](1 σφαίρας] (??) P, μείζονος τμήματο σφαίρας L. 2 οὗ] ἧς Q. 4. α] ᾱ PQ. εφνβ] K, ενβ PQ. ἀπὸ] Q, ἐκ P. 5 τῶν] τὸ PQ. ϛ] ϛ PQ. 6 ἑνδεκάκης P. μυριάδες] μ Q, μ P. 7 μυριάδας] μ Q, μ P. 8 γ] Q, P. μυριάδες] μ Q, μ P. βφπε] Tannery, βψοε PQ. μεῖζον τμῆμα Μ τνη- μα P, μείζονος τμήματος Q. 10 μείζονος τμήματος] Q, Μ τμημα P, μεῖζον τμῆμα Hultsch. 13 προσαναγραφέντος] scripsi, προαναγραφέντος PQ. 14 ἐλάττονος Q. τμημα P. ϛ] addidi,)Μέτρησις τετρασιρίου, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν θ U+2220΄, ἡ δὲ κάθετος ποδῶν ζ, τὸ δὲ μῆκος ποδῶν ῑγ. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὸ μῆκος· ὧν τὸ U+2220΄· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· καὶ ταῦτα πάλιν ἑνδεκάκι· γίνονται πόδες ᾱτ𝔮ᾱ U+2220΄· ὧν τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες 𝔮θ δ΄. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται χ𝔮δ U+2220΄ δ΄· καὶ τούτων πρόσθες τὸ ιδ΄· γίνονται πόδες μθ U+2220΄ η΄· ὡς γίνεσθαι ὕψους ψμδ U+2220΄. ἐὰν δὲ θέλῃς εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ βησαλικόν, σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὸ μῆκος· ὧν τὸ U+2220΄· γίνονται πόδες ῑᾱ δ΄· ταῦτα τρισσάκις καὶ τὸ ζ΄· γίνονται πόδες λε δ΄· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίνονται πόδες σμϛ δ΄.
Μέτρησις ἑξαγωνίου.
Τὸ δὲ ἑξαγώνιον ἐἀν ἔχῃ διάμετρον μονάδων ῑ, μῆκος μονάδων ῑ, κάθετον μονάδων ε, πόσου τὸ στερεὸν τοῦ ἀέρος; ποίει οὕτως· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· ταῦτα ἐννεακαιδεκάκις· τούτων τὸ κα΄. τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς χωρήσεως· τὴν διαγώνιον ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἑνδεκάκις· τούτων τὸ ιδ΄. τοσούτου ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ἑξαγωνίου.
Μέτρησις ἑξαγωνίου.
Περὶ τῆς ὑφαιρέσεως τοῦ ἔσωθεν ἀέρος, ἐὰν ἔχῃ μῆκος ποδῶν ϛ, πλάτος ποδῶν ϛ, κάθετον ποδῶν γ [*](1—12 V fol. 23r. 1 τετρασειρίου V. 2 ἡ (pr.)] supra scr. V. ποδῶν (pr.)] π V supra scr. πόδες m. 2. 3 τὸ μῆκος] τὴν μήκει Q. 4 ἑνδεκάκι] ια V. 5 ιδ΄] Hultsch, ιβ΄ PQ. 6 δ΄ (alt. )] Hultsch, om. PQ 7 η΄] addidi, om. PQ. 8 ψμδ] Hultsch, ψμᾱ PQV. 9 σύνθες] θὲς V. καὶ—10 U+2220΄] addidi, om. PQV. 10 τρισσάκις] τρισάκις V, τρισάκις PQ. 11 ζ΄] ξ V. 12 σμϛ U+2220΄ δ΄] Hultsch, om. PQV. 15 κάθετον] comp. P, καθ-)
Μέτρησις ὀκταγώνου.
Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον καταγράψαι. ποίει τετράγωνον σχῆμα καὶ βλέπε αὐτοῦ τὴν διαγώνιον· καὶ ὅταν εὕρῃς τὸ U+2220΄ τῆς διαγωνίου, λάμβανε ἀπὸ γωνίας εἰς γωνίαν, καὶ εὑρίσκεις στῆσαι τὰς πλευράς.
Ἄλλη μέτρησις ὀκταγωνίου.
Ἔστω ὀκταγώνιον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον ἔχον τὴν πλευρὰν κδ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· ταῦτα ἐπὶ τὸν κθ· ταῦτα μέριζε ἐπὶ τὸν ϛ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν. τὴν δὲ περίμετρον· τρισσάκις τὴν διάμετρον τοῦ κύκλου· καὶ τὸ ιδ΄· καὶ εὑρίσκεις τὴν πλευρὰν ἀκριβῶς.
Μέτρησις χωρῶν.
Ἔστω χώρα τρίγωνος ἰσοσκελής. μετρήσωμεν οὕτως· τὸ ἥμισυ τῆς ὑποποδίας ἐπὶ τὸ μῆκος τῆς κατατεινούσης, καὶ εὑρήσεις τὴν ἀλήθειαν.
Τρίγωνον χώραν καὶ παρασκελῆ μετρήσωμεν οὕτως· ἡ μὲν κατατείνουσα ἀριστερὰ ἔχουσα ἀκαίνας τξε, ἡ δὲ [*](3 ρη] ρμ R, ρμ΄ QP. 4 δισσάκις] Hultsch, δισάκις P et in ras. Q. γίνονται (pr.)] ων (??) P, ὧν γίνεται Q (ὦν in ras.), ὁμοῦ Hultsch. 5 εὑρίσκει Q. 6—11 V fol. 23v. 6 ὀκτα- γώνου] PV, ὀκταγωνίου Q. 9 διαγώνου V. 12 ὀκταγώνου Q. 13 ὀκτάγωνον Q. 15 τὸν] τῶν Q. τοσοῦτο Q; fort. τοσούτου. 16 τρισάκις Q. τὴν] Q, τὴν δὲ P. 17 εὑ-)
Στρογγύλην χώραν ἁλωνοειδῆ μετρήσωμεν οὕτως, ἧς ἐστιν ἡ περίμετρος ἀκαινῶν φμ, ἡ δὲ διάμετρος ἀκαινῶν ρπ. ποίει οὕτως· τὸ γ΄ τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὴν περιφέρειαν· καὶ εὑρήσεις τὴν ἀλήθειαν.
Χώραν μετρήσωμεν, ἥτις ἔχει τετράγωνον καὶ ἀπὸ αὐτῆς τρίγωνα δύο· τὸ τετράγωνον χωρὶς καὶ τὰ τρίγωνα χωρὶς ἐν δυσὶν σχήμασιν.
Χώραν ἑξάγωνον μετρήσωμεν οὕτως· τὴν μέσην τετράγωνον καὶ τὰς μέσας τριγώνους, καθὼς καὶ τὰς λοιπάς, ὁμοίως καὶ ὀκταγώνους χώρας· καὶ χωρὶς τὰ τρίγωνα.
Χώραν ἑτεροπλατοῦσαν ἐν τέσσαρσιν τόποις μετρήσωμεν οὕτως· ἔχει τὸ πλάτος ἀκαίνας κ, τὸ δὲ παρὰ μέσον ἀκαίνας ῑε, ἔτι ἀκαίνας ῑβ, τὸ δὲ στενὸν ἀκαίνας η· τὰ πάντα συμμίξας μέριζε τέταρτον· καὶ εὑρήσεις ῑγ U+2220΄ δ΄. τούτους πάλιν ἐπὶ τὸ μῆκος· καὶ εὑρήσεις τὴν ἀλήθειαν. ἡ ἄκαινα ἔχει πόδας ῑβ.
[*](1 ἀκένας P. ἀκένας P. 2 σύμβαλλε P. δύο] β QVa. U+2220΄ ἐπὶ τὸ U+2220΄] Q, U+2220΄ ἐπὶ τὸ P, U+2220΄ V, ἥμισυ Va. 3 ὑπὸ πόδα] ὑποποδίας Va. 4 μέτρησον Q. 5 ἀκαινῶν] ἀκενῶν P. δὲ] om. Va. 6 ἀκαινῶν] VVa, om. PQ. ποιήσωμεν VVa. γ΄] PV, τρίτον QVa. 7 ἐπιφέρειαν Va. 8 μετρήσομεν τε- τράγωνα VVa. ἀπ᾿ V. 9 δύο] β΄ VVa. τετράγωνον] τρί- γωνον Q. 10 δυσὶν] P, δυσὶ QVVa. 11 μέτρησον Q, μετρήσω Va. τετράγωνον] ◻ P, τετραγώνους QVVa. 12 καὶ (pr.)—τριγώνους] om. Va. τὰς λοιπάς] Hultsch, τοὺς λοιπούς PQVVa. 13 ὀκταγών Va. 15 τέσσαρσιν] P, τέσσαρσι QVVa. μέτρησον Q. 16 ἀκαίνας] ἀκένας P. παρὰ] πάχος Va. 17 ἔτι] PQ,)Περὶ σταθμῶν.
Τάλαντον. τοῦτο ρκε λιτρῶν ὑπάρχει, κατὰ δὲ τὰς λεπτότητας ἐν τῷ νομίσματι εἰς λεπτὸν κοπείσας εἰς ϛ λεπτὰ διαιρεῖται, ἃ καλεῖται ἀσσάρια, ὃ ἑρμηνεύεται ἐκ τῆς Ἑβραίδος ἠλαττωμένον. ξ δὲ ἀσσάρια ὑπῆρχεν ὁ ἀργυροῦς. δηνάρια δὲ ἦσαν ἐκεῖνα β τὰ ὑπὸ τῆς χήρας εἰς τὸ γαζοφυλάκιον βεβλημένα, ἃ καὶ δύο λεπτὰ ἐκαλεῖτο· τὰ γὰρ ἀσσάρια λεπτεπίλεπτα ἦσαν.
Κεντηνάριον ἀπὸ τοῦ παρὰ Ῥωμαίοις κεντούμ, ὅ ἐστιν ρ.