Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900

θ. Κύκλου δοθέντος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, γράψαι ἕτερον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον αὐτῷ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠, διαιροῦντα τὸν ἐξ ἀρχῆς κύκλον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.

160

ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τῆς ΑΒ Γ∠ ἴτυος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλον δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ Γ∠ κύκλου δοθείς. ὡς δὲ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω τὰ ἀπὸ τῶν δίαμέτρων τετράγωνα· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ δοθείς· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Γ∠. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ διάμετρος μονάδων κ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε. σύνθες τὰ γ καὶ τὰ ε· γίγνεται η· καὶ τὰ κ ἐφ᾿ ἐαυτά· γίγνεται υ· ἐπὶ τὸν ε· γίγνεται β. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν η· γίγνεται σν· τούτων πλευρὰν λαβὲ ὡς ἔγγιστα· γίγνεται ιε ιγ. τοσούτου ἔσται ἡ Γ∠ διάμετρος.

[*](fol. 104r)

ι. | Ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθμοῖς διαιρεῖσθαι, προγέγραπται· ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι, δι᾿ ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται, ταῦτα γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα.

Ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβληθείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠ Ε διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ δοθέντι. γεγονέτω· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον, συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΖΑ Ε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ∠. εἰς δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ, ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διῆκταί τις εὐθεῖα [*](2 τὸν Γ∠: correxi 3 κύκλον: correxi 10 τὸ νε: correxi 12 ιε ιγ΄: correxi 13 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. m. 1 25 del. m. 2 26 θέσεις: θέσει δεδομένας m. 2 ΑΒ, ΑΕ: ?? Nath.)

162

χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν· δοθέντα ἄρα τὰ Ε, Ζ σημεῖα. τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς δέδεικται. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον. κἂν τὸ ∠ σημεῖον μὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ, ἀλλʼ ὡς ἔτυχεν, οὐδὲν διοίσει.

ια. Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τμηθείσης τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ τέμνουσαν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον ἐν τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ∠Ε λόγῳ. γεγσνέτω· καὶ ἤχθω τῇ μὲν Α∠ παράλληλος ἡ ΓΗ, τῇ δὲ ΕΒ ἐπιζευχθείσῃ παράλληλος ἡ ΗΘ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ ΕΘ ΕΗ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΘ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΕ. [*](fol. 104v) τὸ | ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΘΕ τετραπλεύρῳ· ὡς ἄρα τὸ ΑΗΕ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως τὸ ΑΒΘΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΓ∠ τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΓΘ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠, τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ, τουτέστι τὸ ΕΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΓΖ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΖ∠Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠· ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ Γ, θέσει ἄρα καὶ ἡ ΓΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. καὶ ἔστι παρὰ θέσει τὴν ΒΕ ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΘ· καὶ τέτμηται ἐν δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν ἐπιζεῦξαι τὴν ΒΕ καὶ τῇ μὲν ∠Ε παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΓΗ, τῇ δὲ ΒΕ τὴν ΗΘ, καὶ τεμεῖν τὴν ΘΓ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ [*](3 δέδεικται: ab Apollonio Pergaeo 4 ΒΕ: correxi 8 τηῖσ: correxi 9 supplevi 12 τὸ ΕΒΘ: correxi 22—23 παραθέσει: correxi dubitanter 27 τῆι ∠Ε ΒΕ: correxi)

164

πρὸς Ε∠, οὕτω τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

ιβ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεδόσθω τι τυχὸν σημεῖον τὸ Ε καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω· καὶ διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΘΕ τῷ αὐτῷ λόγῳ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον. δοθέντα ἄρα τὰ Η, Θ. δοθὲν δὲ καὶ [*](fol. 105r) τὸ Ε· θέσει | ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΗΖ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἔσται δὴ αὕτη ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιγ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ διδόμενον σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς ἔστω πλευρᾶς τοῦ τετραπλεύρου. καὶ ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Ε· καὶ ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ [*](8 τὸ ΗΘ: correxi 14 ἔστω: correxi)

166

ποιοῦσαν λόγον τοῦ ΑΒΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΓ∠ δοθέντα· καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΒΖΗ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ ΖΗ. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστιν ἡ Α∠ τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ ΑΒΖΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΒΖ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ἀπὸ τοῦ Α καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ κάθετος· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒ ΖΗ· θέσει ἄρα ἡ ΖΕ. τοῦτο γὰρ ἑξῆς. εἰ δὲ μή εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ τετράπλευρον. καὶ ὅλον ἄρα [*](fol. 105v) τὸ ΗΖΘ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ | Θ γωνία· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΖ· ἀπῆκται ἄρα εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ.