Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900

δ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει, ὥστε τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΓΕΖ ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. ἐὰν δὴ τμηθῶσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τοῖς ∠, Ζ, Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ, ἔσται τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ, ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ, οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΑΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΖ, οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ, ὅ ἐστι δοθέν. δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ, ὅ ἐστι δοθὲν. καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ, τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ [*](fol. 101v) δι | πλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΧΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ∠ δοθέν ἐστι· θέσει ἄρα αἱ ∠Ε ΕΖ Ζ∠. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ

150

ΓΑ μονάδων ιε. ἔστω δὲ καὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μονάδων πδ. λοιπὰ ἄρα τὰ Α∠Ε ∠ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ. πολλαπλασίασον τὰ πδ ἐπὶ τὰ κ· γίνεται αχπ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται ϛψκ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ· μέρισον τὰ ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ· γίγνεται μϛ· καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ ΖΓ μονάδων εU+2220. καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς τὸ τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται μονάδων ε κε. πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιγ πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ. γίγνεται ἡ Β∠ μονάδων ε καὶ γ.

ε. Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς Α∠ τῇ ΒΓ διελεῖν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον κῇ ΕΖ εὐθείᾳ, ὥστε λόγον τοῦ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠ δοθέντι ἴσον εἶναι δοθεισῶν τῶν ΕΖ Γ∠ καὶ εἰς τὸ αὐτὸ νευουσῶν σημεῖον τὸ Η· διὰ δὴ τοῦτο ἔσται ὡς τὸ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ὥστε λόγος καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΓ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα [*](fol. 102r) τὸ Ζ· κατὰ τὰ αὐτὰ | δὴ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ β πρὸς τὰ γ· καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων κ, αἱ δὲ ΑΒ Γ∠ οἱαιδηποτοῦν. σύνθες τὰ β καὶ τὰ γ· γίγνεται [*](2 μ κδ: correxi 3 possis etiam μονάδας 9 [τὸ] del. m. 2 16 post λόγον add. εἶναι et post ΕΖΓ∠ add. δοθέντα m. 2; f. 〈θέσει〉 δοθεισῶν 17 post τῶν unam litteram del.) [*](2 (?) 22 τὸ ΕΖ: corr. m. 2 24 ὁ λόγος: sed ὁ del. m. 1)

152

ε· καὶ τὰ κε ἐπὶ τὸν β· γίγνεται ν· ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ι· τοσούτων ἀπειλήφθω μονάδων ἡ ΒΖ. πάλιν τὰ κ ἐπὶ τὰ β· γίγνεται μ· ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται η. τοσούτων ἀπόλαβε τὴν ΑΕ. καὶ ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΖ, ποιήσει τὸ προκείμενον.

ϛ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ ἐπιτετάχθω ἀπὸ τοῦ Η διαγαγεῖν τὴν ΗΘ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. διήχθω οὖν, ὡς ἐμάθομεν, ἡ ΕΖ διαιροῦσα τὸ χωρίον ἐν τῷ αὐτῷ| λόγῳ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΕΘ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ ΕΖ τῷ ΑΒΘΗ· ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΗΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἀπειλήφθω ἡ ΒΖ μονάδων ι· τοσούτου γὰρ ἀπεδείχθη· καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ ἐστὶ μονάδων η, ἡ δὲ ΑΗ μονάδων ε, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μονάδων γ. καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΘ· ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΖΘ μονάδων γ. ὥστε ὅλη ἡ ΒΘ ἔσται μονάδων ιγ· ἐπιζευχθείσης οὖν τῆς ΗΘ ἔσται τὸ προκείμενον.

[*](fol. 102v)

ζ. | Πάλιν δὲ τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΑΒ τῇ Γ∠ ἀγαγεῖν αὐταῖς παράλληλον τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ [*](3 ἡ ΒΓ: correxit m. 2 12 ΑΒ τῷ: supplevi 24 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. m. 1 26 ΑΕ: corr. m. 2)

154

ΓΑ ∠Β ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΓΖ∠, λόγος ἄρα ἐστὶν καὶ τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἔστιν τὸ ΑΓΒ∠ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ, λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΒΑ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ· καὶ διελόντι τῆς ΓΑ πρὸς ΑΗ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ· κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΗΒ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΖΒ πετράπλευρον δοθέν ἐστιν. καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΕΗΖ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΗΒ· ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ· δοῦὲν ἄρα τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ Ζ. θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιε, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ϛ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠, ὡς ἐπάνω ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ρνϛ. ἔστω δὲ ὁ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς πὰ ε· σύνθες οὖν γ καὶ ε· γίγνεται η. καὶ τὰ ρνϛ ἐπὶ τὰ γ· γίγνεται υξη. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν η. γίγνεται νηU+2220. τοσούτου ἔσται τὸ ΑΕΒΖ. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ϛ· λοιπὰ ιδ. καὶ τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ϛ· γίγνεται οη. [*](6 τῆς Γ∠: correx 8 ἡ ΑΗ: corr. m. 2 25 ἔστω: ω ex αι fec. m. 1 29 τὰ η ἐπὶ: correxi)

156

[*](fol. 108r) παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· | γίγνεται ε καὶ δ. ἔσται ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ δ. πάλιν τὰς ιε ἐπὶ τὸν ϛ· γίγνεται παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ϛ γ. καὶ ἔσται ἡ ΒΗ μονάδων ϛ καὶ γ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ϛ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΗΒ τριγώνου ἔσται μονάδων ιε καὶ γ. τοῦ δὲ ΑΕΖΒ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν νηU+2220· ὅλου ἄρα τοῦ ΕΖΗ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων ογ ιγ. καὶ πολλαπλασίασον μονάδας ε καὶ δ ἐφ᾿ ἑαυτά· γίγνεται λα καὶ β. ἐπὶ τὰ ογ ιγ, καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν ιε καὶ γ, καὶ τῶν γενομένων πλευρὰν λαβέ· γίγνεται ιβ καὶ ιδʹ ὡς ἔγγιστα· καὶ ἀπὸ τῆς εὑρεθείσης πλευρᾶς ἄφελε τὰ ε καὶ δ· ἔσονται λοιπαὶ μονάδες ϛU+2220· ἀπόλαβε οὖν τὴν ΑΕ μονάδων ϛU+2220 καὶ ποίησον ὡς ιγ πρὸς ιε, οὕτως ϛU+2220 πρὸς τί· ἔσται δὲ πρὸς μονάδας ζU+2220· ἀπόλαβε τὴν ΒΖ μονάδων ζU+2220· ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

η. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων β· καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΗΘ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον. διήχθωσαν οὖν αἱ ΗΘ, ΕΖ τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαι τὸ τετράπλευρον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ, ΕΘ· ἔσται δὴ ὁμοίως ἴσον τὸ ΑΗΒΘ τῷ ΑΕΖΒ. ὥστε καὶ τὸ ΗΕΖ τρίγωνον [*](3 supplevi 4 ἡ ΑΗ: correi 8 et 10 οδ↑ι΄δʹ: correxi dubitanter; f. μ τεσσαρεσκαιδεκάτου δεουσῶν οδ 9 μ κ καὶ δ: correxi λα καὶ β: correxi 11—12 ιβ καὶ γ΄: correxi) [*](15 πρὸς μ ζι: sed ζ ex ι fec. m. 1)

158

ἴσον ἐστὶν τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ. παράλληλος ἄρα ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ. ἤχθω δὴ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΚΖ τρίγωνον τῷ ΕΖΘ. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΖΚ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ. [*](fol. 103v) δοθὲν | ἄρα τὸ Θ· ἀλλὰ καὶ τὺ Η· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ποίησον ὡς τὰ ιγ πρὸς τὰ ιε, οὕτως τὰ β πρὸς τί· γίγνεται β καὶ δ. ὅλη δὲ ἡ ΒΖ ἦν ζU+2220· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ ἔσται μονάδων ε καὶ ε. ἡ δὲ ΑΗ ε καὶ δ· καὶ σύνθες τὰς ϛU+2220 καὶ μονάδας ε καὶ δ· γίγνεται ιβ ιδ΄. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ μονάδας ε καὶ ε· καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς μονάδας ε καὶ δ· γίγνονται μονάδες. η δ΄. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΖΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ποιήσει τὸ προκείμενον.