Metrica

| Μετὰ τὴν τῶν ἐπιφανειῶν μέτρησιν εὐθυγράμμων τε καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρητέον, ὧν καὶ τὰς ἐπιφανείας ἐν τῷ πρὸ τούτου βιβλίῳ ἐμετρήσαμεν ἐπιπέδους τε καὶ σφαιρικάς, ἔτι τε κωνικὰς καὶ κυλινδρικάς, πρὸς δὲ τούτοις ἀτάκτους, ὧν τὰς ἐπινοίας ὥσπερ παραδόξους οὔσας τινὲς εἰς Ἀρχιμήδην ἀναφέρουσιν κατὰ διαδοχὴν ἱστοροῦντες. εἴτε δὲ Ἀρχιμήδους εἴτε ἄλλου τινός, ἀναγκαῖον καὶ ταύτας προσυπογράψψαι, ὅπως κατὰ μηδὲν ἐνδεὴς ἡ πραγματεία τυγχάνῃ τοῖς βουλομένοις αὐτὰ μεταχειρίζεσθαι.

Στερεὸν εὐθύγραμμον ὀρθογώνιον μετρῆσαι δοθείσης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς, μήκους τε καὶ πλάτους καὶ βάθους ἢ πάχους· οὐδὲν γὰρ διοίσει εἰ ἢ κοῖλον ὑπάρχον μετρεῖσθαί τι σῶμα ἢ ναστόν. βάθος μὲν γὰρ καλεῖται ἐπὶ τῶν κοίλων σωμάτων, πάχος δὲ ἐπὶ τῶν ναστῶν. ἔστω δὲ τὸ μὲν μῆκος μονάδων κ, τὸ δὲ πλάτος μονάδων ιβ, τὸ δὲ πάχος μονάδων π. ἐὰν δὴ διʼ ἀλλήλων τοὺς ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσωμεν, γίγνονται μονάδες ατ. τοσούτων δὲ καὶ τὸ στερεὸν [*](1 titulum supplevi 11 προυπογράψαι: correxi 16 [εἰ]: ??. m. 1 19 sq. numeri corrupti)

α. Ἔστω δὴ κῶνον μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος η. ὕψος δὲ τοῦ κώνου καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον ἀγομένην, ἐάν τε ὀρθὸς ὁ κῶνος ὑπάρχῃ ἐάν [*](fol. 88v) τε σκαληνός. νενο|ήσθω δὴ κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. τούτου δὴ τοῦ κυλίνδρου τὸ στερεὸν ἔσται δοθέν. ἥ τε γὰρ διάμετρος αὐτοῦ τῆς βάσεως δοθεῖσά ἐστιν καὶ τὸ ὕψος δοθέν. καὶ ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χκη δ. ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου μονάδων σθ ια ὁμοίως οὖν καὶ πυραμίδος πάσης τὸ στερεὸν ληψόμεθα δοθείσης τῆς βάσεως αὐτῆς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἐπειδήπερ πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον.

β. Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος μονάδων η. ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον. νενοήσθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ· ἐπεὶ οὖν οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ. τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ στερεόν ἐστιν δοθέν· τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως· καὶ ἔστι μονάδων χκη δ. καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου ἔσται.

γ. | Ἔστω δὴ στερεὸν παραλληλεπίπεδον μετρῆσαι τὸ ὕψος ἔχον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. ἔστω δὲ λόγου ἕνεκεν ἡ μὲν βάσις αὐτοῦ ἑξάγωνος, ἰσόπλευρος καὶ ἰσογώνιος ἡ ΑΒΓ∠ΕΖ, ἡ δὲ ΑΒ πλευρὰ μονάδων ι, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ἐφέδρας κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον ἔστω μονάδων η· ἡ δὲ ἐφέδρα αὐτοῦ ἔσται ἡ ΗΘΚ ΛΜΝ. καὶ ἀπὸ τῆς ΗΘ ΚΛ ΜΝ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον αἱ ΗΞ ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΟ ΟΠ ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΞΟΠΡΣΤ ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν, ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜΝ στερεὸν τῷ ΞΟΠΡΣΤΗ ΘΚΛΜΝ στερεῷ. δοθὲν δὲ τὸ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚ ΚΛΜΝ. [*](17—18 supplevi)

δ. | Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα. καὶ. ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ι, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων η, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ κορυφῆς κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἐπίπεδον ἔστω μονάδων ε· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τοῦ πρίσματος. συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖΗ ποίσματος. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον·

ϛ. Ἔστω δὴ πυραμίδα κόλουρον μετρῆσαι τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν· ἔσται δὴ καὶ ἡ κορυφὴ αὐτῆς τρίγωνος ὁμοία τῇ βάσει. ἔστω οὖν ἡ μὲν βάσις αὐτῆς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ, ἡ δὲ κορυφὴ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ. ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιη, ἡ δὲ ΒΓ κδ, ἡ δὲ ΑΓ λϛ, ἡ δὲ ∠Ε ιμ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΕΖ ιϛ, ἡ δὲ ∠Ζ κδ. ἔστω δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν μονάδων ι. κείσθω τῇ μὲν ∠Ε ἴση ἡ ΑΗ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ, καὶ τετμήσθωσν δίχα αἱ ΒΘ ΒΗ τοῖς Κ, Λ σημείοις, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τρίγωνα, ὡς ἔστιν ἡ ΑΒ πρὸς ∠Ε, τουτεστι πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, τουτέστι πρὸς ΓΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΚΒ καὶ παράλληλοι αἱ ΚΝΜ ΒΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΗ τῇ ΝΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΛ τῇ ΛΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΛΝΞ τῇ ΑΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ, τουτέστι τῇ ΑΓ. παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καὶ ἴσα ἐστίν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΗΚ ΛΝ τῷ ΝΚΛΘ ἴσον ἐστί. λοιπὸν τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον τῶ τῷ ΝΘΓΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΝΞ [*](fol. 90v) τῇ ∠Ε, ἡ δὲ ΓΘ, τουτέστιν ἡ ΜΝ, τῇ ΕΖ | καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΞΜ τῇ ∠Ζ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΞ ΜΓ, ἴση

ζ. Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων τριγώνους ἔχον βάσεις. ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, παράλληλον δὲ τῷ ΑΒΓ τὸυ ∠ΕΖ. ἐπίπεδα δὲ ἔστω τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΕΖ ΑΓ∠Ζ. καὶ δοθεῖσα --- ἑκάστη [*](fol. 91v) τῶν Α --- Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καὶ ἔτι ἡ ἀ|πὸ τοῦ ∠ΕΖ [*](1 tres litterae foramine evanidae; supplevi 19 αεδ΄: correxi 24 τρίγωνων correxi 26 〈δὲ〉 add. et τοῦ in τὸ)

η. Ἔστω δὲ στερεὸν μετρῆσαι ὑπὸ εὐθυγράμμων περιεχόμενον ἐπιπέδων, οὗ βάσις ἔστω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΖΗΘ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον ἤτοι ὅμοιον τῷ ΑΒΓ∠ ἢ μή. καὶ κείσθω τῇ μὲν ΕΖ ἴση ἡ ΑΚ, τῇ δὲ ΖΘ ἡ ΒΛ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΒΚ ΓΛ δίχα τοῖς Φ, Χ καὶ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΥ, ΦΜ, ΛΝ, ΧΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ ΗΡ ΛΗ ΗΝ ΘΝ. τὸ δὴ εἰρημένον στερεὸν ἔσται κατατετμημένον εἴς τε στερεὸν παραλληλεπίπεδον, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΡ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, κορυφὴ δὲ τὸ ΕΗ, καὶ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, [*](4 supplevi litt. evanidas 16 ἀποφαινούμεθα: correxi 21 οὖν post ἤτοι ins. m. 2 25 ΗΝ: Ν in ras. m. 2 28 ΕΝ: corr. m. 2)

ι. Ἔστι δὲ καὶ ἄλλως τὸν κόλουρον κῶνον μετρῆσαι προδηλοτέρᾳ μὲν ἀποδείξει χρησάμενον, τῇ δὲ περὶ τοὺς ἀριθμοὺς λήψει οὐκ εὐχερεστέρᾳ τῆς προγεγραμμένης. ἔστιν κῶνος κόλουρος, οὗ κέντρα τῶν βάσεων τὰ Α, Β, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ. καὶ δοθεὶς ἔστω ὅ τε [*](6 correxi et supplevi 18 post ιϛ inseruit 〈ταῦτα〉 m. 2 f. τετράγωνον 19 supplevit m.2)

ια. Σφαίρας δοθείσης τῆς διαμέτρου μονάδων ι εὑρεῖν τὸ στερεόν. Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 34 corroll. vol. l p. 146 Heib.) [*](16 τὸ τρίτον σημεῖον: suprascr. Γ m. 1 19 ΒΑ: corr. Nath)

ιβ. Ἔστω δὴ τμῆμα σφαίρας μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ιβ, ἡ δὲ κάθετος μονάδων β. πάλιν οὖν ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν (de sph. et cyl. lI, 2 coroll. vol. l p. 200 Heib.), ὅτι πᾶν τμῆμα σφαίρας πρὸς τὸν κῶνον τὸν τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντα αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον λόγον ἔχει, ὃν ἡ τοῦ λοιποῦ τμήματος κάθετος μετὰ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν αὐτὴν κάθετον. ἔστω οὖν τμῆμα τὸ εἰρημένον τῆς σφαίρας τὸ κατὰ τὸ ΑΒΓ τοῦ κύκλου, οὗ κάθετος ἡ Β∠. καὶ ἔστω τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Ζ. ὡς ἄρα τὸ τμῆμα τῆς σφαίρας πρὸς τὸν εἰρημένον κῶνον, οὕτω συναμφότερος ἡ ∠Ε ΕΖ πρὸς τὴν ∠Ε καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΓ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Α∠· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Α∠, τουτέστι τὸ ὑπὸ Β∠ ∠Ε. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΕ δοθεῖσά ἐστιν. ὥστε καὶ ἡ ΕΖ. καὶ συναμφότερος ἄρα ἡ ∠Ε ΕΖ δοθεῖσά ἐστιν.

ιγ. Τῶν κωνικῶν καὶ κυλινδρικῶν καὶ σφαιρικῶν σχημάτων μεμετρημένων, ἐὰν δέῃ καὶ καμάρας ἐχούσας τὰ προειρημένα σχήματα μετρεῖν ἢ θόλους, ἀκολούθως τῇ ἐπὶ τοῦ λουτῆρος μετρήσει ποιήσομεν· τῆς γὰρ ἐντὸς ἐπιφανείας κοίλης οὔσης, τουτέστι κενῆς, πάλιν [*](fol. 92v) ἔσται ἑκάστη αὐτῶν | δύο ὁμοίων τμημάτων ὑπεροχή. ἔστω δὲ σπεῖραν μετρῆσαι πρότερον ἐκθέμενον τὴν γένεσιν αὐτῆς. ἔστω γάρ τις ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο τυχόντα ἐπʼ αὐτῆς σημεῖα. εἰλήφθω ὁ ΒΓ∠Ε κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα, καὶ μένοντος τοῦ Α σημείου περιφερέσθω κατὰ τὸ ἐπίπεδον ἡ ΑΒ, ἄχρι οὗ εἰς τὸ αὐτὸ ἀποκατασταθῇ συμπεριφερομένου καὶ τοῦ ΒΓ ∠Ε κύκλου ὀρθοῦ διαμένοντος πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον. ἀπογεννήσει ἄρα τινὰ ἐπιφάνειαν ἡ ΒΓ∠Ε περιφέρεια, ἣν δὴ σπειρικὴν καλοῦσιν· κἂν μὴ ᾖ δὲ ὅλος ὁ κύκλος, ἀλλὰ τμῆμα αὐτοῦ, πάλιν ἀπογεννήσει τὸ τοῦ κύκλου τμῆμα σπειρικῆς ἐπιφανείας τμῆμα, καθάπερ εἰσὶ καὶ αἱ ταῖς κίοσιν ὑποκείμεναι σπεῖραι· τριῶν γὰρ οὐσῶν ἐπιφανειῶν ἐν τῷ καλουμένῳ ἀναγραφεῖ, ὃν δή τινες καὶ ἐμβολέα καλοῦσιν, δύο μὲν κοίλων τῶν ἄκρων, μιᾶς δὲ μέσης καὶ κυρτῆς, ἅμα περιφερόμεναι αἱ τρεῖς ἀπογεννῶσι τὸ εἶδος τῆς τοῖς κίοσιν ὑποκειμένης σπείρας. δέον οὖν ἔστω τὴν ἀπογεννηθεῖσαν σπεῖραν ὑπὸ τοῦ ΒΓ∠Ε κύκλου μετρῆσαι. δεδόσθω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων κ, ἡ δὲ ΒΓ διάμετρος μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, [*](12 supplevi 22 diversus ἀναγραφεύς a Philone Byz. mech synt. IV p. 52, 43 sq. memoratus 25 περιφερομένων; correxi)

ιδ. | Ἔστω κυλίνδρου τμῆμα μετρῆσαι τετμημένου διὰ τοῦ κέντρου μιᾶς τῶν βάσεων· καὶ ἔστω ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἡ ΑΒ μονάδων ζ, τὸ δὲ ὕψος τοῦ τμήματος μονάδων κ· ἀποδέδειχεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι τὸ τοιοῦτον τμῆμα ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ περιγραφόμενον περὶ τὴν βάσιν τοῦ κυλίνδρου τετράγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ τμήματι. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου· ὅθεν δεήσει τὰ ζ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὸ ὕψος, τουτέστιν ἐπὶ τὰ κ· γίγνεται Ϡπ· καὶ τούτων τὸ ἕκτον γίγνεται ρξγ γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ τμῆμα τοῦ κυλίνδρου.

ιε. Ὁ δʼ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ αὐτῷ βιβλίῳ δείκνυσιν, ὅτι ἐὰν εἰς κύβον δύο κύλινδροι διωσθῶσιν τὰς βάσεις ἔχοντες ἐφαπτομένας τῶν πλευρῶν τοῦ κύβου, τὸ κοινὸν τμῆμα τῶν κυλίνδρων δίμοιρον ἔσται [*](1 delevi; f. πολλαπλασίασον 2 θϠU+A7FCϛ δ΄ ϛʹ: correxi 8 ὡς supra lin. add. m. 1 11 ζϠU+A7FCβ: correxi. θϠνϛ δʹ: correxi)

Ἀκόλουθον δέ ἐστι καὶ τὰς τῶν πέντε σχημάτων τῶν Πλάτωνος καλουμένων, λέγω δὴ κύβου τε καὶ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου, ἔτι δὲ καὶ δωδεκαέδρου καὶ εἰκοσαέδρου, τὰς μετρήσεις προσεντάξαι. ὁ μὲν οὖν κύβος φανερὰν τὴν μέτρησιν ἔχει· δεῖ γὰρ κυβίσαι τὰς διδομένας τῆς πλευρᾶς αὐτοῦ μονάδας καὶ ἀποφαίνεσθαι αὐτοῦ τὸ στερεόν.

ιϛ. Ἔστω δὲ πυραμίδα μετρῆσαι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρον τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον. ἧς ἑκάστης πλευρὰς ἔστω μονάδων ιβ. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Ε ΕΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ τουτέστι τὸ ἀπὸ τοῦ Γ∠, τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΕ ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε· καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ Γ∠ μονάδων ρμδ. τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Ε ἔσται μονάδων U+A7FCϛ· αὐτὴ δε ἡ ∠Ε ὡς ἔγγιστα μονάδων αθU+2220γ΄· ἐπεὶ οὖν ἑκάστη τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ δέδοται, δέδοται δὲ καὶ ἡ κάθετος ἡ ∠Ε, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ στερεὸν τῆς πυραμίδος. ὥστε δεήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἰσοπλεύρου τριγώνου ὡς ἐμάθομεν πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὰς θU+2220γ΄· καὶ τῶν γιγνομένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.

ιζ. | Ἔστω δὲ ὀκτάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη πλευρά ἐστι μονάδων ζ. ἔστω τὸ εἰρημένον ὀκτάεδρον, οὗ [*](3 ἔνιαι ταῖς; correxi 5 f. εὐθετεῖ 6 τὰς f. delendum 23 〈δέδοται〉 addidi; πρὸς add. m. 2)

ιη. Ἔστω εἰκοσάεδρον μετρῆσαι, οὗ ἑκάστη τῶν πλευρῶν ἔστω μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν τὸ εἰκοσάεδρον ὑπὸ εἴκοσι τριγώνων ἰσοπλεύρων περιέχεται, νενοήσθωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπιζευγμέναι [*](fol. 98r) εὐθεῖαι ἐπὶ τὰς τῶν τριγώνων γωνίας· ἔ|σονται ἄρα εἴκοσι πυραμίδες ἴσαι βάσεις μὲν ἔχουσαι τὰ τοῦ εἰκοσαέδρου τρίγωνα, κορυφὰς δὲ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας· καὶ μία αὐτῶν νενοήσθω, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ σημεῖον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλου τὸ Ε. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Ε· ἐπεὶ οὖν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ πρὸς τὴν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας κάθετον ἀγομένην ἐπὶ ἓν τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου τριγώνων λόγον ἔχει, ὃν τὰ ρκζ πρὸς τὰ U+A7FCγ, καὶ ἔστιν ἡ οῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ μονάδων υ, ἔσται ἄρα ἡ