Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Scho╠łne, Teubner, 1900

[*](fol. 79r)

κα. | Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ∠, ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ. ἡ ἄρα ὑπὸ ∠ΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε τετάρτου ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ∠ΚΛ. συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ Κ∠Μ· τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ∠Μ· ἡμίσους ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Λ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Λ τῇ ΜΛ. διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Μ τοῦ ἀπὸ ΜΛ· ἡ ἄρα ∠Μ πρὸς ΜΛ λόγον ἔχει ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ιβ. ἴση δέ ἐστιν ἡ [*](1 ΜΒ: Β in rasura m. 2 (?) 4 inserui 17 ἑξῆς ἡ κα- ταγραφή in marg. inf. m. 1)

60
ὃν ιβ πρὸς ιζ. πρὸς ἄρα τὸ ἐννάγωνον λόγον ἔχει, ὃν ιβ πρὸς οϛU+2220, τουτέστιν ὃν κδ πρὸς ρνγ, τουτέστιν ὃν η πρὸς να. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐννάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ να· γίγνεται ερ. τούτων τὸ η΄· γίγνεται χλζU+2220. τοσούτου ἔσται τοῦ ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδόν.

κγ. Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαναἱ ΜΕ, ΜΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ. [*](fol. 80r) | ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΜΝ πέμπτου ἐστὶν ὀρθῆς. συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ· δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΝΞΕ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ· λόγος ἄρα τῆς ΕΞ πρὸς ΝΞ, ὃν ε πρὸς δ, πρὸς δὲ τὴν ΕΝ, ὃν ε πρὸς [*](1 ἐνάγωνον: correxi 4 ἐνάγωνον (sic) m. 1 19 ΘΙΚ: sed Ι del. m. 1)

62
γ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΞ τῇ ΞΜ, ἡ δὲ ΕΝ τῇ ΝΖ· ἔσται ἄρα λόγος τῆς ΕΖ πρὸς ΜΝ, ὃν ϛ πρὸς θ, τουτέστιν ὃν β πρὸς γ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἂρα πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ ΜΝ, ὃν β πρὸς γ· ὥστε πρὸς τὸ ΕΖΜ τρίγωνον, ὃν β πρὸς αU+2220· ὥστε πρὸς τὸ δεκάγωνον λόγον ἔχει, ὃν β πρὸς ιε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΕΖ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ δεκάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιε· γίγνεται αφ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ψν· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ δεκαγώνου.

κδ. Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΗ. τὸ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέκατα τοῦ ἑνδεκαγώνου ἐστὶν. δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι λόγος τῆς ΖΞ πρὸς ΖΗ ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν κε πρὸς ζ, ὁ δὲ τῆς πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν κδ πρὸς ζ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΞ τρίγωνον λόγος ὁ τῶν μθ πρὸς πδ, τουτέστιν ὁ τῶν [*](fol. 80v) ζ πρὸς ιβ. τοῦ δὲ τριγώνου | πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγος, ὃν β πρὸς ια· ὥστε πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὃν ζ πρὸς ξϛ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑνδεκάγωνον. συντεθήσεται δὴ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϛ· γίγνεται ϛχ. τούτων τὸ ἕβδομον· γίγνεται Ϡ μβ ϛ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου.

[*](1 ΝΞΖ: sed Ξ del. m. 1 3 τοῦ ἀπὸ Ε: supplevi 4 ΕΖΜ: supplevi 10 τοσοῦτον: correxi 17 cf. quae ad p. 58, 19 ad- scripsi 20 ΖΗΖ: correxi 25 ΖΗ∠· ὅθεν: correxi)
66

Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὔκ ἐστιν ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια, ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρούμενα μετρεῖται· τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων καὶ καθόλου τῶν ἐπιφανειῶν ὅσαι δύνανται μετρεῖσθαι, ἑξῆς κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐκθησόμεθα.

κϛ. Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει c. 2 t. Ι p. 262 Heib.) δείκνυσιν, ὅτι ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίγνεται ὡς ἔγγιστα ιδ κύκλοις· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ι, δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιῆσαι· γίγνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται αρ· ὧν τὸ ιδ΄. γίγνεται οηU+2220ιδ΄. τοσούτου δεῖ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὁ δὲ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ἐν τῷ περὶ πλινθίδων καὶ κυλίνδρων, ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα μὲν λόγον ἔχει ἢ ὃν ἔχει μ αωοε πρὸς μ ζυμα, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὃν ἔχειν μ ζωπη πρὸς μ βτνα· ἀλλʼ ἐπεὶ οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ πρὸς τὰς μετρήσεις οὐκ εὐθετοῦσι, καταβιβάζονται εἰς ἐλαἀριθμούς, ὡς τὸν κβ πρὸς τὰ ζ. ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ιδ καὶ βούληταί τις τὴν περίμετρον εὑρεῖν, δεῖ ποιῆσαι τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων λαβεῖν τὸ ἕβδομον, καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὴν περίμετρον· ἔστι δὲ μονάδων μδ. [*](fol. 81v) καὶ ἀνάπα |λιν δὲ, ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποιήσομεν τὰ μδ ἑπτάκις καὶ τῶν γενομένων τὸ κβ΄ λαβόντες ἕξομεν τὴν διάμετρον· ἔστι δὲ ιδ. δείκνυσι δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει (c. 1 t. I p. 259 Heib.), ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε

68
ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ, λαβόντες τῆς διαμέτρου τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες ζ· πολλαπλασιάσομεν ἐπὶ τὰ μδ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ λαβόντες· εἰσὶ δὲ μονάδες ρνδ· τοσούτου ἀποφαινούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου.

Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον πορίσασθαι, λαβόντες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ χωρίου· ἔστω δὲ μονάδων ρνδ· τούτων τὰ ιδ ἑνδέκατα· ἃ γίγνεται ρ𝔮ϛ· καὶ τούτων πάλιν λαβόντες πλευρὰν· ἔστι δὲ μονάδων ιδ· τοσούτου ἀποφανούμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον.

Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν μετρήσαντα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφελόντα ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα. ἵνα δὲ μὴ δύο κύκλων μέτρησιν ποιησώμεθα, δείξομεν οὕτως.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ Γ∠. ἐπεὶ οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύκλου καὶ ὁμοίως τοῦ ἀπὸ τῆς Γ∠ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάσσονος κύκλου, τῆς ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΒ Γ∠ ὑπεροχῆς τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ εἰρημένου χωρίου, ὃ καλεῖται ἴτυς. ἡ δὲ τῶν ἀπὸ ΑΒΓ∠ ὑπεροχὴ τὸ τετράκις ἐστὶν ὑπὸ ΓΒ Β∠· ἐπειδήπερ καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ΓΒ Β∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ Β∠. συναμφότερος δὲ ἡ ΓΒ Β∠ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ Β∠ τῇ ΑΓ ἴση ἐστὶν. ὥστε ἐὰν δοθῇ [*](4 ἀποφαινούμεθα: corr. m. 1 9 post ιδ spatium 2 litt- erarum; 〈ια〉 ins. m. 2 11 ἀποφαινομένου: correrxi 20 ιδ ια: corr. m. 2 23 ιδ ια: correxi 25 〈τὸ〉 inserui)

70
[*](fol. 82r) ἡ μὲν Γ∠ μονάδων ιδ, ἑκατἑρα δὲ τῶν ΑΓ | Β∠ μονάδων ϛ, ἔσται ἡ ΓΒ μονάδων κ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ϛ· γίγνεται ρκ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται υπ· τούτων τὰ ια ιδ΄. γίγνεται τοζ ζ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἴτυος.

κζ. Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγράψομεν ταῦτα. ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια ἀλλήλων τὰ Α, Β, Γ, ∠ ἢ καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ μεγίστου τοῦ Α· λέγω ὅτι τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠· ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ Β, τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ τέτταρσι τοῖς Β. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β καὶ τῷ γ΄ τοῦ Β. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γ΄ τοῦ Β ἴσον ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γ΄ ἴσον ἐστὶ τῷ ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠. ὥστε τὸ γ΄ τοῦ Ἂ ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠.

κη. Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ Β∠ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Β∠, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ Α∠ τῆς ∠Ε, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ. [*](3 τὰ in τὸ mut. m. 2 ιδ ια: correxi 10 in mg. τὸ τριτημόριον τοῦ Α m. 1 καὶ: ἔτι supra scr. m. 2 11 τῷ γ΄: ριτημορίῳ supra scr. m. 2 14 τέταρσι: correxi)

72
[*](fol. 82v) ὥστε | καὶ τὸ ὑπὸ Η∠Ε τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΗΚΒ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΚΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ Η∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ Η∠, ΚΒ, τουτέστιν ἢ ∠Β πρὸς ΒΚ. ἡ ἄρα ∠Β τῆς ΒΚ μείζων ἐστὶν ἢ τετραπλῆ· ἀναστρέψαντι ἄρα ἡ ∠Β τῆς ∠Κ, τουτέστι τῆς ΕΖ, ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος.

κθ. Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ∠Β καὶ δίχα αἱ ΑΒ, ΒΓ περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε, Ζ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ, παράλληλος δὲ τῇ Β∠ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ Κ∠. ἡ ἄρα Β∠ τῆς ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. τῆς δὲ ΗΚ ἔστι διπλῆ· ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλασίων· ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΘΗ, τὸ ΑΚΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλάσιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒ∠· ἔλαττον ἄρα ἢ τετραπλάσιον τὸ ΑΒ∠ τοῦ ΑΒΘ· τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου. πολλῷ ἄρα τὸ Α∠Β ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ∠ΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.

[*](fol. 83r)

λ. | Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν. συντιθέντες [*](1 Η∠Β: sed ∠ in ras. m. 2 (?) 6 〈ἢ〉 add. m. 2 18 〈ἡ〉 add. m. 2)

74
γὰρ αὐτοῦ τὴν βάσιν καὶ τὴν κάθετον καὶ τούτων τὸ ἥμισυ λαμβάνοντες ἐπὶ τὴν κάθετον ἐποίουν καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος ἀπεφαίνοντο. δοκοῦσι δὲ οὗτοι ἠκολουθηκέναι τοῖς τὴν περίμετρον τοῦ κύκλου τριπλασίονα ὑπολαμβάνουσιν τῆς διαμέτρου. ἐὰν γὰρ ἡμικύκλιον κατὰ τὴν τοιαύτην ὑπόθεσιν μετρῶμεν, ἀκολουθήσει τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου σύμφωνον τῇ εἰρημένῃ μεθόδῳ. οἷον ἔστω ἡμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ καὶ κάθετος ἡ Γ∠. καὶ ἔστω ἡ διάμετρος μονάδων ιβ. ἡ ἄρα Γ∠ μονάδων ϛ. οὐκοῦν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια ἔσται μονάδων λϛ. ἡ ἄρα τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων ιη. ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη, ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ χωρίου, δεῖ τὰ ιη πολλαπλασιάσαντας ἐπὶ τὰ ϛ λαβεῖν τὸ ἥμισυ· εἰσὶ δὲ μονάδες νδ. ὥστε τοῦ ἡμικυκλίου τὸ ἐμβαδὸν κατὰ τὴν εἰρημένην ὑπόθεσιν ἔσται μονάδων νδ. τὸ δʼ αὐτὸ ἔσται κἂν συνθῇς τὰ ιβ καὶ τὰ ϛ, ἃ γίγνεται ιη. ὧν ἥμισυ λαβὼν ἐπὶ τὰ τῆς καθέτου ποιήσεις· γίγνεται ὁμοίως νδ.

λα. Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ [*](fol. 83v) εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος | τὸ ιδ΄ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ, καθʼ ἣν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῷ ζ΄ μέρει μείζων· ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ, τὴν δὲ ∠Γ κάθετον ζ, ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ· ἐπὶ τὸν ζ· γίγνεται ρνδ. ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ. καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι. [*](2 τούτου: corr. m. 2 〈τοῦ〉 addidit m. 2 5 ταύτην: corr. m. 2)

76
τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἐὰν οὕτως ποιήσωμεν. σύνθες τὰ ιδ καὶ τὰ ζ· ὧν ἥμισυ γίγνεται ιU+2220· ἐπὶ τὰ ζ· γίγνεται ογU+2220. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως μονάδων μθ. τούτων καθόλου τὸ ιδ΄· γίγνεται γU+2220. ταῦτα πρόσθες τοῖς ογU+2220· γίγνεται οζ. ταύτῃ οὖν τῇ ἐφόδῳ χρήσασθαι δεῖ ἐπὶ τῶν ἐλασσόνων τοῦ ἡμικυκλίου τμημάτων· οὐ μέντοι ἐπὶ παντὸς τμήματος πάλιν καὶ αὕτη ἁρμόσει ἡ ἔφοδος, ἀλλʼ ὅταν ἡ βάσις τοῦ τμήματος μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ τῆς καθέτου· ἐπεί τοι, ἐὰν ἡ βάσις ᾖ μονάδων ξ, ἡ δὲ κάθετος α, ἔσται τὸ περιεχόμενον σχῆμα μονάδων ξ, ὃ δὴ μεῖζόν ἐστι τοῦ τμήματος. τούτου δὲ μεῖζόν ἐστι τὸ ιδ΄ τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως· ἔστι γὰρ μονάδων ξδ ιδ΄. ὥστε οὐκ ἐπὶ παντὸς τμήματος ἁρμόσει ἡ εἰρημένη ἔφοδος, ἀλλʼ, ὡς εἴρηται, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μὴ μείζων ᾖ ἢ τριπλῆ. ἐὰν δὲ ᾖ μείζων ἢ τριπλῆ, τῇ ἑξῆς ἐφόδῳ χρησόμεθα.

λβ. Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος [*](fol. 84r) ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ | ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Β καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ. τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, --- [*](1 συνθέντες: corr. Heiberg 4 τὰ ιδ΄: correxi 16 μεῖζον: correxi 23 ἐπίτριτος: corr. m. 2 28 τοῦ ΘΚ: correxi; τὸν m. 2)

78
τὸ Η, τὸ δὲ Θ τοῦ Λ, τὸ δὲ τοῦ Μ. καὶ τοῦτο γιγνέσθω, ἕως οὗ τὸ τοῦ ἐσχάτου τρίτον ἔλαττον γένηται τοῦ Κ. γεγονέτω καὶ ἔστω τὸ Μ. καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ περιφέρειαι δίχα καὶ ἐπὶ τὰς διχοτομίας ἐπεζεύχθωσαν· τὰ ἄρα ΑΕΒ ΒΖΓ τρίγωνα τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονα ἔσται ἢ τετραπλάσια· τὸ δὲ ΘΚ τοῦ Λ μεῖζον ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν· τὰ ἄρα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Λ. ἔστω αὐτοῖς ἴσα τὰ ΛΝ. καὶ πάλιν τετμήσθωσαν αἱ γενόμεναι περιφέρειαι καὶ ἐπεζεύχθωσαν ὁμοίως. τὰ ἄρα προειρημένα, οἷς ἴσα ἐστὶ τὰ ΛΝ, τῶν γενομένων τριγώνων ἐλάττονά ἢ τετραπλάσια, τὸ δὲ ΛΝ τοῦ Μ μεῖζόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ὥστε τὰ ἔσχατα γενόμενα τρίγωνα μείζονά ἐστι τοῦ Μ. ἔστω αὐτοῖς ἴσον τὸ ΜΞ. καὶ ἐπεὶ τὰ ΗΘ ΛΜ τετραπλάσιά ἐστιν ἀλλήλων, τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἴσον ἐστὶ τοῖς ΘΛΜ καὶ τῷ γ΄τοῦ Μ, τὸ δὲ γ΄ τοῦ Μ ἔλαττόν ἐστι τῶν ΚΝΞ ἐπεὶ καὶ τοῦ Κ. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Η ἔλασσόν ἐστι τῶν ΘΚΛ ΝΜΞ. τὸ ἄρα Η τῶν εἰρημένων ἔλασσόν ἐστιν ἢ τριπλάσιον. τὸ Η ἄρα μετὰ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ τῶν ΘΚ ΛΝ ΜΞ ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον· ἀναστρέψαντι ἄρα τὰ [*](1 τὸ δὲ Η τοῦ Θ τετραπλάσιον, τὸ m. 2; 〈ἔστω δὴ τοῦ Θ τετραπλάσιον〉 Heiberg f. τὸ δὲ 〈Λ〉 9 ∠Ν: corr. m. 2)
80
ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η τοῦ Η --- ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τὰ δὲ ΘΚ ΛΝ ΜΞ μετὰ τοῦ Η ἴσα τῷ ἐγγραφέντι εἰς τὸ τμῆμα πολυγώνῳ· τὸ ἄρα ἐγγεγραμμένον εἰς τὸ τμῆμα πολύγωνον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον· πολλῷ ἄρα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ [*](fol. 84v) τμῆμα τοῦ ΑΒΓ τρι| γώνου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον. ὥστε ἐὰν μετρήσωμεν τὸ τρίγωνον καὶ τούτου τὸ τρίτον προσθῶμεν, ἀποφανούμεθα ὡς ἔγγιστα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἁρμόσει δὲ ἡ αὐτὴ μέθοδος, ὅταν ἡ βάσις τῆς καθέτου μείζων ᾖ ἢ τριπλασίων· ἐὰν μέντοι τμῆμα ᾖ περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ παραβολῆς καὶ δοθῇ ἡ τε βάσις αὐτῆς καὶ ἡ κάθετος, τουτέστιν ὁ ἄξων ὁ μέχρι τῆς βάσεως, καὶ τούτου βουλώμεθα τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν, μετρήσαντες τὸ τρίγωνον τὸ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχον αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον καὶ τούτῳ προσθέντες τὸ τρίτον αὐτῶν ἀποφανούμεθα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τμήματος. ἔδειξε γὰρ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπὸ εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ βάσιν μὲν ἔχοντος αὐτῷ τὴν αὐτὴν καὶ ὕψος δὲ ἴσον.

Λῆμμα. Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ, τοῖς δὲ Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ τὸ ΒΓ∠, τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον ἢ τριπλάσιον ἔστω· πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ, τουτέστι τὸ Η μετὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ, τοῦ ΑΒ, τουτέστι τοῦ Η, μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον; ἔστω γὰρ τὸ Α∠ τοῦ ∠Γ τριπλάσιον· τὸῦ ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ∠Γ. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ Α∠ ἐπίτριτόν ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.

[*](1 〈μείζονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα. τῷ δὲ Η〉 Heiberg 5 πλω. ἄρα: correxit m. 2 16 αὐτῶν: αὐτοῦ Heiberg 18 ἀπὸ: correxi 22 τὸ ΒΓ∠: [∠] seclusit Nath 25 〈ἢ〉 add. m. 2 26 τοῦ ΑΓ: corr. m.2)
82
[*](fol. 85r)

λγ. | Ἐὰν δὲ δέῃ τμῆμα μετρῆσαι μεῖζον ἡμικυκλίου, μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸῦ ΑΒΓ, οὗ ἡ μὲν ΑΓ βάσις ἔστω μονάδων ιδ, ἡ δὲ Β∠ κάθετος μονάδων ιδ. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β∠Ε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Α∠ μονάδων ἐστὶ μθ, ἔσται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε μονάδων μθ. καὶ ἔστιν ἡ Β∠ μονάδων ιδ ἡ ἄρα ∠Ε ἔσται μονάδων γU+2220· ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων ιδ· τοῦ ἄρα ΑΕΓ τμήματος, ὅ ἐστιν ἔλασσον ἡμικυκλίου, τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων, ὡς ἐμάθομεν, λδ η΄. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Β∠ ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ∠Ε γU+2220, ἡ ἄρα ΒΕ διάμετρος ἔσται μονάδων ιζU+2220· τοῦ ἄρα κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ὡς ἐμάθομεν ἔσται σμU+2220η΄. ὧν τὸ τοῦ ΑΕΓ τμήματος ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λδη΄. λοιπὸν ἄρα τὸ τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων σϛU+2220.

λδ. Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ. ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται (c. 5 t. l p. 312 Heib.) ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ ἐλλείψει, δεήσει τὰ ιϛ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα [*]( τοῦ ΑΒΓ: correxi 19 ante λδ η΄ delevit μν m. 1 20 γε: corr. m. 2 28 〈διάμετρον〉 κύκλου ἴσου coni. Heiberg)

84
τούτων λαβεῖν τὰ ια ιδ΄· ἔστι δὲ ρμϛU+2220· τοσούτου ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐλλείψεως.

λε. Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν βάσις ἐστὶ μονάδων ιβ, ὁ δὲ Β∠ ἄξων μονάδων ε. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. τῷ ἄρα ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΑΓ [*](fol. 85v) Β∠, | τουτέστι μονάδων λ. ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λ. τὸ ἄρα τῆς παραβολῆς ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων μ.

λϛ. Ἔστω κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μετρῆσαι χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῶν βάσεών ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ε. ἐὰν δὴ νοήσωμεν τετμημένην τὴν ἐπιφάνειαν κατά τινα πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου καὶ ἀνηπλωμένην, τουτέστιν ἐκτεταμένην εἰς ἐπίπεδον, ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ἔσται ἡ περιφέρεια τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ πλάτος τὸ τοῦ κυλίνδρου ὕψος. ἐπεὶ οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ ἄρα περιφέρεια ἔσται μονάδων μδ· τὸ ἄρα τοῦ παραλληλογράμμου μῆκος ἔσται μονάδων μδ. τὸ δὲ πλάτος μονάδων ε· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἔσται μονάδων σκ.

86
τοσούτου δὲ καὶ ἡ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, τουτέστι μονάδων σκ, ὡς καὶ ὑποτέτακται.

[*](fol. 86r)

λζ. | Κώνου δὲ ἰσοσκελοῦς τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν ἀκολούθως ἐκπετάσαντες αὐτήν· ἐὰν γὰρ νοήσωμεν ὁμοίως κατὰ πλευρὰν ἀνηπλωμένην καὶ εἰς ἐπίπεδον ἐκτεταμένην, ἔσται τις κύκλου τομεὺς ὥσπερ ὁ ΑΒΓ∠ ἔχων τὴν μὲν ΑΒ πλευρὰν ἴσην τῇ πλευρᾷ τοῦ κώνου, τὴν δὲ ΒΓ περιφέρειαν ἴσην τῇ περιφερείᾳ τῆς βάσεως τοῦ κώνου. ἐὰν οὖν πάλιν δοθῇ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κώνου μονάδων ιδ, ἡ δὲ πλευρὰ μονάδων ι, ἔσται ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια μονάδων μδ, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι. δέδεικται δὲ Ἀρχιμήδει ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει, ὅτι πᾶς τομεὺς ἥμισύς ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ τομέως περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, οὗ ἔστιν ὁ τομεύς· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἐστὶ μονάδων υπ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τομέως ἔσται μονάδων σκ.

λη. Τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ὁ αὐτὸς ἐμέτρησεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 23 t. l p. 136 Heib.) ἀποδείξας τετραπλασίονα οὖσαν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ·

88
ὥστε ἐὰβ δοθῇ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας μονάδων ιδ, δεῖ εὑρεῖν κύκλον τετραπλασίονα τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρός ἐστι μονάδων ιδ. εἰ δὲ ὁ κύκλος τοῦ κύκλου ἐστὶ τετραπλάσιος, ἡ ἄρα διάμετρος τῆς διαμέτρου ἐστὶ διπλασία, ἐπείπερ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τῶν κύκλων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. τὰ ιδ δίς· γίγνεται κη. τὸ [*](fol. 86v) δὲ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου, οὗ ἡ διάμετρος κη, | ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χιϛ. ὥστε καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια ἔσται μονάδων χιϛ. ἢ καὶ ἄλλως· ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης, ὅτι ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας ἴση ἐστὶν ἐπιφανείᾳ κυλίνδρου χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἴση ἐστὶ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, τὸ δὲ ὕψος ἴσον· ὥστε δεήσει ἐπιφάνειαν κυλίνδρου μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεώς ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος ὁμοίως ιδ. ὡς οὖν προεδείχθη, ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ ἐστι μονάδων χιϛ· τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

λθ. Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα σφαίρας, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ, τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ μονάδων ΚΛ, ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ. ἡ δὲ ΖΕ μονάδων ε· ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν. ἀπέδειξεν δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (I c. 42sq. t. l p. 176 Heib.) ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ τμήματος· ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· καὶ ἔστι μονάδων ιγ. ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ

90
εἰρημένου κύκλου ἐστὶ μονάδων κϛ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν, ὡς προείρηται, ἔσται μονάδων φλα ζ΄. τοσούτου ἄρα καὶ ἡ τοῦ τμήματος τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια.

Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν, αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι, ἀναγκαῖον δὲ ὡς [*](fol. 87r) οἶμαι πρὸς τὰς | ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας, ὡς δέον αὐτὰς μετρεῖσθαι. εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν, ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει, δεήσει ἐπʼ αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀποᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ σχῆμα γραμμῆς, καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς τρίγωνα καταδιαιροῦντα. εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ ἐπιφάνεια, ἀλλʼ ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς τοιούτου, δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ, ἄχρι ἂν περιειληθῇ, εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σινδόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου γραμμῆς, ὡς προείρηται, καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐπιφανείας. εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν, μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρημένων· καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι.

[*](9 f. ἐπὶ ταύτης 23 subscriptum: Ἥρωνος Ἀλεξανδρέως ἐπιπέδων μέτρησις εὐτυχῶς.)