Adversus Mathematicos

ἀλλὰ τὸ μὲν μεῖζον ἀπὸ τοῦ ἥττονος οὐκ ἂν ἀφαιρεθείη· δεῖ γὰρ τὸ ἀπό τινος ἀφαιρούμενον περιέχεσθαι ἐν ἐκείνῳ τῷ ἐξ οὗ ἡ ἀφαίρεσις, ἐν δὲ τῷ ἥττονι οὐ περιέχεται τὸ μεῖζον. καὶ διὰ τοῦτο, ὡς οὐκ ἔστιν ἀπὸ τῶν πέντε ἀφαιρεῖν τὰ ἕξ οὐ γὰρ ἐμπεριέχεται τοῖς πέντε τὰ ἕξ), οὕτως οὐδὲ ἀπὸ τοῦ ἥττονος δυνατόν ἐστιν ἀφαιρεῖν τὸ μεῖζον· οὐ γὰρ ἐμπεριέχεται τῷ ἥττονι τὸ μεῖζον. τοίνυν οὐκ ἀφαιρεῖται ἀπὸ τοῦ ἥττονος τὸ μεῖζον.

καὶ μὴν οὐδὲ ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸ ἧττον. ὡς γὰρ ἐλέγομεν, δεῖ τὸ ἀπό τινος ἀφαιρούμενον ἐμπεριέχεσθαι τῷ ἐξ οὗ ἡ ἀφαίρεσις. οὐχὶ δέ γε τὸ ἔλαττον ἐμπεριέχεται τῷ πλείονι· ἀκολουθήσει γὰρ καὶ τὸ μεῖζον καὶ τὸ πλεῖον ἐμπεριέχεσθαι τῷ ἥττονι, ἀδύνατον δὲ τοῦτο ἐδείκνυτο. ὥστε οὐδὲ τὸ ἧττον ἐμπερισχεθήσεται τῷ μείζονι, οὑτωσὶ δ᾿ οὐδ᾿ ἀφαιρεθήσεται.

καὶ ὅτι τῷ ὄντι σῴζεται τὰ τῆς ἀκολουθίας, σκοπῶμεν ἐπὶ τῶν τιθεμένων τοῖς ἀπορητικοῖς ὑποδειγμάτων. εἰ γὰρ ἐν τοῖς ἓξ ἐμπεριέχεται τὰ πέντε ὡς ἐν πλείονι ἐλάττονα, ἀνάγκη κἀν τοῖς πέντε περιέχεσθαι τὰ τέσσαρα ὡς ἐν πλείονι ἐλάττονα, κἀν τοῖς τέσσαρσι τὰ τρία, κἀν τοῖς τρισὶ τὰ [*](13. 15. 18 πήχεως Bekk.: πήχεος G 21 <τοῦ> ἴσου Ες 25 <τοῦ> πηχυαίου Gen. 27 τὸ N 82 τὸ—33 ἥττονος om. N 9 et 10 fort. scribendum πλείοσιν coll. p. 141, 28 11 κἀν prius NLE: καὶ ς κἀν alter. Bekk.: καὶ G)

ἀλλ’ εἰ ἐν τῷ ἐξ κατὰ τὸν ἴδιον αὐτοῦ λόγον ἐμπεριέχεται τὰ πεντεκαίδεκα, κατ’ ἀνάγκην τῷ πέντε περισχεθήσεται τὰ τέσσαρα καὶ τρία καὶ δύο καὶ ἕν, ἅπερ ἐστὶ δέκα. ὃν τρόπον τε ἐν τοῖς πέντε περιέσχηται τὰ δέκα, οὕτω κἀν τοῖς τέσσαρσιν ἔσται τὰ τρία καὶ δύο καὶ ἕν, τουτέστι τὰ ἕξ, καὶ κατὰ τὸ ἀνάλογον ἐν τοῖς τρισὶ τὰ δύο καὶ τὸ ἔν, ἅπερ ἐστὶν ἄλλα τρία, κἀν τοῖς λειπομένοις δυσὶ τὸ ἔν.

ταύτῃ συντιθεμένων τῶν ἐν τοῖς ἓξ ἀριθμῶν, φημὶ δὲ τοῦ πεντεκαίδεκα καὶ τοῦ δέκα καὶ τοῦ ἓξ καὶ τοῦ τρία, ἔτι καὶ τοῦ ἑνός, ἔσται ὁ ἐξ ἀριθμὸς περιεσχηκὼς τὸν τριάκοντα πέντε ἀριθμόν.

τούτου τ’ ἔτι συγχωρηθέντος ἀπειράκις ἀπείρων ἀριθμῶν περιληπτικὸς ἔσται ὁ ἕξ· πάλιν γὰρ ὁ τριάκοντα πέντε τῶν ὑποβεβηκότων ἀριθμῶν ἔσται περιληπτικός, οἶον τοῦ τριάκοντα τέσσαρα, καὶ οὗτος τοῦ τριάκοντα τρία, καὶ οὗτος τοῦ τριάκοντα δύο, καὶ οὕτω καθ’ ὑπόβασιν μέχρις ἀπείρου.

ἀλλ’ εἴπερ ἵνα τί τινος ἀφαιρεθῇ, δεῖ ἐμπεριέχεσθαι τὸ ἀφαιρούμενον τῷ ἐξ οὗ ἡ ἀφαίρεσις, δέδεικται δὲ οὔτε ἐν τῷ ἥττονι τὸ μεῖζον περιεχόμενον οὔτε ἐν τῷ μείζονι τὸ ἔλαττον, καὶ μὴν οὐδὲ ἐν τῷ ἴσῳ τὸ ἴσον (δεῖ γὰρ τὸ περιέχον μεῖζον εἶναι τοῦ περιεχομένου, τὸ δέ τινι ἴσον οὔτε ἔλαττόν ἐστιν ἐκείνου οὔτε μεῖζον τοῦ ᾧ ἴσον ἐστί), ῥητέον μηδὲν μηδενὸς ἀφαιρεῖσθαι.

Καὶ μὴν εἰ ἀφαιρεῖταί τι τινός, ἤτοι ὅλον ἀπὸ ὅλου ἀφαιρεῖται ἢ μέρος ἀπὸ μέρους ἢ μέρος ἀπὸ ὅλου ἢ ὅλον ἀπὸ μέρους· οὔτε δὲ ὅλον ἀπὸ ὅλου ἀφαιρεῖται οὔτε μέρος ἀπὸ μέρους οὔτε ὅλον ἀπὸ μέρους ἢ μέρος ἀφ’ ὅλου, ὡς παραστήσομεν· οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖταί τι τινός.

τὸ μὲν [*](308—317 ~ Hyp. ΙΙΙ 88—93.) [*](12 κἀν—13 δύο om. E 12 τρισὶ ’ς 13 καὶ <τὰ> τρία 16 τῶν ’ς τὰ om. LEς 17 <καὶ> ὃν Bekk. τε NE: 19 τὸ LEABR: τὸν V: om. N 24 ἀριθμὸς <καὶ> Gen. 30 τι om. N 4 ὧ Bekk.: οὖ G ἔστιν ἴσον N)

ἀδιανόητον δέ ἐστι καὶ τὸ ὅλον λέγειν ἀπὸ τοῦ μέρους ἀφαιρεῖσθαι. τὸ γὰρ μέρος ἦττόν ἐστι τοῦ ὄλου, καὶ τὸ ὅλον πλεῖόν ἐστι τοῦ μέρους· ἀπὸ δὲ τοῦ ἥττονος λέγειν τὸ πλέον ἀφαιρεῖσθαι σφόδρα ἐστὶν ἀπίθανον. οὐδὲ γὰρ ὑπέκειτο ἐν τῷ μέρει τὸ ὅλον, ἵνα ἀπ’ αὐτοῦ λάβῃ τὴν ἀφαίρεσιν, ἀλλ’ ἐν τῷ ὅλῳ τὸ μέρος.

λείπεται οὖν τὸ πιθανώτερον εἷναι δοκοῦν, ἢ τὸ μέρος ἀπὸ τοῦ ὅλου ἀφαιρεῖσθαι ἢ τὸ μέρος ἀπὸ τοῦ μέρους. ἀλλὰ καὶ τοῦτο τῶν ἀπόρων ἐτύγχανεν. σκοπῶμεν δὲ τὸ λεγόμενον, ὧς ἔθος τοῖς ἀπὸ τῆς σκέψεως, ἐπὶ ἀριθμοῦ.

ὑποκείσθω γὰρ δεκάς, καὶ ἀφαιρείσθω ἀπὸ ταύτης μονάς. οὐκοῦν ἡ ἀφαιρουμένη μονὰς ἤτοι ἀπὸ τῆς ὑποκειμένης δεκάδος ἀφαιρεῖται ἢ ἀπὸ τῆς μετὰ τὴν ἄρσιν ὑπολειπομένης ἐννεάδος· οὔτε ἀπὸ τῆς ἐννεάδος δὲ οὔτε ἀπὸ τῆς δεκάδος ἀφαιρεῖται, ὧς δείξομεν· οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖται τῆς δεκάδος <ἡ> μονάς, ᾧ ἕπεται τὸ μηδὲν μηδενὸς ἀφαιρεῖσθαι.

εἰ γὰρ ἀπὸ τῆς δεκάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἤτοι ἕτερόν τί ἐστιν ἡ δεκὰς παρὰ τἀς κατὰ μέρος μονάδας, ἢ ἀθροισμὸς τῶν κατὰ μέρος μονάδων ἐστὶν ἡ δεκάς. ἀλλ’ ἑτέραν μὲν τῶν κατὰ μέρος μονάδων οὐκ εἰκὸς εἷναι τὴν δεκάδα· καὶ γὰρ ἀναιρεθεισῶν αὐτῶν συναναιρεῖται καὶ ὑποκειμένων πάρεστιν.

εἰ δὲ ἐν αὐταῖς ἐστι ταῖς μονάσιν ἡ δεκάς, πάντως ἐὰν λέγωμεν ἀπὸ τῆς δεκάδος ἀφαιρεῖσθαι τὴν μονάδα, ἐπεὶ ἡ δεκὰς οὐδέν ἐστι παρὰ τἀς μονάδας, ὁμολογήσομεν τὴν μονάδα ἀφ’ ἑκάστης μονάδος ἀφαιρεῖσθαι· ἀλλὰ καὶ ἀφ’ ἑαυτῆς διά τὸ σὺν ταύτῃ νοεῖσθαι τὴν δε- [*](312—319 ~ adv. math. ΙV 24—30.) [*](15 τοῦ om. ς 23/24 ὧς ἔθος δὲ τοῖς ἀπὸ τῆς σκέψεως, σκοπῶμεν τὸ λεγόμενον ἐπὶ ς 25 <ἡ> δεκάς N 28 δὲ om. fort. scribendum οὔτε <δὲ> coll. v. 8. p. 454, 1. 24 30 ἡ 2 ἐστὶν ἡ δεκάς ut glossema del. Rüstow)

ἀπὸ πάσης δὲ μονάδος ἀφαιρουμένης καὶ ἀφ’ ἑαυτῆς τῆς μιᾶς μονάδος ἔσται ἡ τῆς μιᾶς μονάδος ἄρσις <δεκάδος ἄρσις> ἄτοπον δέ ἐστι τὴν τῆς μονάδος δεκάδος λέγειν ἄρσιν ὑπάρχειν. ἄτοπον ἄρα καὶ ἀπὸ δεκάδος ἀξιοῦν ἀφαιρεῖσθαι μονάδα. καὶ μὴν ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος οὐκ ἂν εἴποιμεν ταύτην ἀφαιρεῖσθαι. εἰ γὰρ ἀπὸ τῆς ἐννεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, οὐκ ὤφειλε μετὰ τὴν ἄρσιν αὐτῆς ὁλόκληρος θεωρεῖσθαι ἡ ἐννεάς· τὸ γὰρ ἀφ’ οὗ τι ἀφαιρεῖται, οὐ μένει ὁλόκληρον μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν, ἐπεὶ οὐκ ἔσται γεγονυῖά τις ἀπ’ αὐτοῦ ἀφαίρεσις.

καὶ ἄλλως· εἰ ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος ἀφαιρεῖται ἡ μονάς, ἤτοι ἀπὸ ὅλης τῆς ἐννεάδος ἀφαιρεῖται ἢ ἀπὸ τῆς ἐσχάτης μονάδος. οὔτε δὲ ἀπὸ τῆς ὅλης ἐννεάδος ἀφαιρεῖται, ἐπεὶ ἔσται, μὴ ἑτέρας οὔσης παρὰ τὰς κατὰ μέρος μονάδας τῆς ἐννεάδος, ἡ μονάδος ἄρσις ἐννεάδος ἄρσις, ὅπερ ἦν ἄτοπον·

οὔτε ἀπὸ τῆς ἐσχάτης μονάδος, ἐπεὶ πρῶτον μὲν ἀμερὴς καὶ ἀδιαίρετός ἐστιν ἡ μονάς, ἔπειτα πῶς ὁλόκληρος ἀπολείπεται ἡ ἐννεάς, <. . . . .> ἀλλ’ οὐ παρὰ μονάδα; εἰ δὲ μήτε ἀπὸ τῆς δεκάδος αἴρεται μονὰς μήτε ἀπὸ τῆς περιλειπομένης ἐννεάδος, παρὰ δὲ ταῦτα οὐδὲν ἔστι τρίτον ἐπινοεῖσθαι, λεκτέον μὴ ἀφαιρεῖσθαι τῆς δεκάδος μονάδα.

πρὸς τούτοις· εἰ ἀπὸ τῆς δεκάδος αἴρεται <ἡ> μονάς, ἤτοι ἀπὸ μενούσης ἔτι τῆς δεκάδος αἴρεται μονὰς ἤ ἀπὸ μὴ μενούσης· οὔτε δὲ <ἀπὸ> μὴ μενούσης αἴρεταί ποτε μονὰς οὔτε ἀπὸ μενούσης· παρὰ δὲ τὸ εἶναι καὶ μὴ εἶναι οὐδὲν ἔστιν· οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖται ἀπὸ τῆς δεκάδος μονάς.

ἀπὸ μὲν οὖν μενούσης τῆς δεκάδος αὐτόθεν φαίνεται μὴ ἀφαιρεῖσθαι ἡ μονάς· ἐφ’ ὅσον γὰρ μένει δεκάς, οὐδὲν ἀφαιρεῖται ἀπ’ αὐτῆς. ἀπὸ δὲ μὴ μενούσης πάλιν ἀφαιρεῖσθαι ἄτοπον· ἀπὸ γὰρ τοῦ μὴ ὄντος οὐδὲ ἀφαιρεθῆναί τι δύναται. οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖταί τι [*](318—319 cf. adv. math. I 162.) [*](10 ἀφαιρουμένης Bekk.; ἀφαιρουμένη G 12 δεκάδος ἄρσις add. Bekk. 27 lacunam post ἐννεάς statui 28 οὐ <μειοῦται> Rüstow 32 ἡ addidi 1 ἀπὸ add. Bekk. 6 ἀπ’ om.)

ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ περὶ τῆς ἀπὸ τῶν μετρητῶν ἀφαιρέσεως, οἷον τῆς ἀπὸ χοέως ἀφαιρουμένης κοτύλης ἢ τοῦ ἀπὸ πήχεως ἀφαιρουμένου παλαιστοῦ. ἢ γὰρ ἀπὸ ὄλου τοῦ χοέως ῥητέον γίνεσθαι τὴν ἀφαίρεσιν ἢ ἀπὸ μέρους, καὶ ἤτοι ἀπὸ μένοντος ἢ μὴ μένοντ’ ὃς· ἀπ’ οὐδενὸς δὲ τούτων, ὡς παρεστήσαμεν· τοίνυν οὐδὲ ταύτῃ ἀφαιρεῖταί τι τινός.