γ. Ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων αὐτῷ, ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὥν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος, οὔτε δὲ πλειόνων οὔτε ἐλαττόνων οὐδεμιᾷ μηχανῇ. διπλάσιοι μὲν οὖν ἡμιολίους φύσουσιν, ὁ πρῶτος ἕνα, ὁ δεύτερος δύο, ὁ τρίτος τρεῖς, ὁ τέταρτος τέσσαρας, ὁ πέμπτος πέντε, ὁ ἕκτος ἕξ καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττονας, ἀλλʼ ἐξ ἀνάγκης πάσης, ὅταν τὴν σύμμετρον ποσότητα ἀπολάβωσιν οἱ γεννηθέντες ἐπιμόριοι ἰσάριθμοι γενόμενοι τοῖς γεννήσασι πολλαπλασίοις, τότε δὴ ἔκ τινος δαιμονίας μηχανῆς εὑρίσκεται ὁ πάντας περαίνων ἀριθμὸς ἀνεπίδεκτος ὢν φύσει ἐκείνου. τοῦ μορίου, καθʼ ὃ προέκοπτον οἱ ἐπιμόριοι· ἀπὸ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι πάντες προκόψουσι καὶ αὐτοὶ ἰσάριθμοι τοῖς γεννῶσιν οἱ γεννώμενοι [*](P) καὶ περαιούμενοί γε μετὰ τὴν αὐτάρκειαν τῆς προκοπῆς εἰς ἀριθμούς μὴ ἐπιδεκτικοὺς τρίτου· καὶ ἐπιτέταρτοι δὲ κατὰ ταυτὸν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορύφωσιν λαμβάνοντες ἀριθμὸν μετὰ τὴν αὐτάρκη πρόβασιν τετάρτου μὴ ἐπιδεκτικόν. οἷον διπλασίων μὲν ὑποδείγματος χάριν ἰσαρίθμους γεννώντων ἡμιολίους ὁ μὲν ἄνω στίχος ἔσται πολλαπλασίων ὁ πρῶτος [*](III. Io. Phil. rec. l, ιγ—ιϚ; rec. ll, ιβ—ιε. — Iambl p. 72. 73. — Boëth. II. 2.) [*](III. Μέθοδος, ὅπως δεῖ ἐκ τῶν πολλαπλασίων τοὺς ἑπιμορίους εὑρίσκειν — 2. ἀντιπαρωονυμούν- των H — ὁπόσος H — 3. τυγχάνει P -οι C — 7. ὁ ἕκτ. ἕξ om. H — 9. ἐπιμόριοι om. PC — 12. περαιῶν PC — 14. προκόπτουσι H — 15. γινόμενοι, om. οἱ C — 16. μετ αὐτὴν αὐτάρκη αὐτῆς προκ. P — 17. ἀριθμὸν SH — ἐπι- δεκτικ G δεκτικὸν H τρίτον ἀνεπιδεκτικὸν S — 18, πε- ρικορύφωσιν H — 20. δεκτικὸν. H)
77
α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ· ἐπεὶ δὲ πρῶτός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα, ἑνὸς κατάρξει οὗτος ἡμιολίου μόνου τοῦ γ, ὅςτις ἡμίσους ἐπιδεκτικὸς οὐκ ἔστιν, ἵνα καὶ ἄλλος αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος· ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος ἑνὸς μόνου γεννητικός ἐστιν ἡμιολίου, ὁ δὲ δεύτερος ὁ δ δυεῖν γεννητικὸς ἡμιολίων, αὐτοῦ μὲν γὰρ ὁ Ϛ, τοῦ δὲ Ϛ ὁ θ, τοῦ δὲ θ οὐκ ἔστιν ἄλλος, ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ὁ δὲ η τρίτος ὢν διπλάσιος τριῶν ἡμιολίων ἔσται πατήρ, ἑνὸς μὲν τοῦ ιβ πρὸς αὐτόν, ἑτέρου δὲ τοῦ ιη πρὸς τὸν ιβ, τρίτου δὲ τοῦ κζ πρὸς τὸν ιη, τετάρτου δὲ οὐκέτι διὰ τὸ καθολικόν, ὁ γὰρ κζ ἥμισυ οὐκέτι ἐπιδέχεται· ὁ δὲ ιϚ τέταρτος ὢν διπλάσιος τεσσάρων ἡγήσεται ἡμιολίων, τοῦ τε κδ, τοῦ λϚ, τοῦ νδ καὶ τοῦ πα τελευταίου, ἵνα ἰσάριθμοι ἀνάγκαίως ὦσι τοῖς γεννήσασιν, ὁ γὰρ πα οὐκέτι ἥμισυ φύσει ἐπιδέχεται· καὶ τούτο μέχρις ἀπείρου προιών ἀνάλογον εὑρήσεις. οἷον ὑποδείξεως ἕνεκα γεγράφθω οὕτως διπλασίου διάγραμμα
Διπλασίων διάγραμμα·
κατὰ τὸ πλάτος διπλάσιον.
α β δ η ιϚ λβ ξδ
γ Ϛ ιβ κδ μη ϞϚ
θ ιη λϚ οβ ρμδ
κζ νδ ρη σιϚ
πα ρξβ τκδ
σμη υπϚ
ψκθ
κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν τριπλάσιον.
κατὰ τὸ βάθος
ἡμιόλοιν
[*](1. ξδ] ρκη add. C — 3. ἄρξει S — μόνου] λόγου S, om. C — ὅς H — 4. ὑπ᾿ αὐτοῦ S ἀπ᾿ αὐτοῦ H — 5. γενητικός G — 6. ἔσται C — δυεῖν G — 7. ἡμιολίοιν S — 10. ἑαυτὸν S — 12. ὁ γὰρ] ὁ μὲν G — 13. ἐπιδέχεται] ἵνα καὶ ἄλλος ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος add. S — 16. τῶ γεννήσαντι ιϛ C — 16. 17. φύσ. ἥμ. οὐκ ἐπιδ. H — 18. ὑποδείγματος χάριν CS — ἕνεκεν — ἐγγεγράφθω S 19. διπλασίων H — 20. sclema om. PH: CS sic inscri-)78
δ. Τριπλασίου δὲ ὑπόδειγμα παραπλήσιον διαγράφειν δεῖ·
Τριπλασίων διάγραμμα·
κατὰ μὲν τὸ πλάτος τριπλάσιον.
α γ θ κζ πα σμγ ψκθ
δ ιβ λϚ ρη τκδ Ϡοβ
ιϚ μη ρμδ υλβ ᾳσϞϚ
ξδ ρϞβ φοϚ ᾳψκη
σνϚ ψξη βτδ
ᾳκδ γοβ
ᾳκδ γοβ
κατὰ δὲ τὴν ὑποτείνουσαν τετραπλάσιον.
κατὰ δὲ τὸ βάθος ἐπίτριτον.
ἐν ᾧ κατὰ ταυτὰ ὀψόμεθα τὸν μὲν πρῶτον τὸν γ ἑνὸς μόνου ἐπιτρίτου ἡγούμενον λόγου τοῦ δ πρὸς αὐτόν, ὅςτις ἀποκλείει εὐθύς ἑτέρου γένεσιν ὁμοίου· τρίτον γὰρ οὐκ ἐπιδέχεται ὁ δ, οὐκ ἄρα οὐδʼ ἐπίτριτον ἕξει· δεύτερος δὲ τριπλάσιός ἐστιν ὁ θ, διὰ τοῦτο δυεῖν μόνων ἐπιτρίτων κατάρξει λόγων τοῦ τε ιβ πρὸς αὐτὸν καὶ τοῦ ιϚ πρὸς τὸν ιβ· ὁ δὲ ιϚ ἀνακόπτει τὴν πρόβασιν λοιπόν, τρίτου γὰρ οὐκ ἔστιν ἐπιδεκτικός, διόπερ οὐδὲ ἐπίτριτόν τινα ἔχει ἐν ἑαυτῷ. ἑξῆς δὲ τέτακται τριπλάσιος ὁ κζ ἐν τρίτῃ ἀπὸ μονάδος χώρᾳ τριπλασίων προχωρούντων [*](IV. lo. Phil. rec. l, ιζ, ιη. — Iambl. p. 72. 73. — Boëth. II. 2.) [*](bunt: διπλάσιοι κατὰ πλάτος —ἡμιόλιοι τῶν ἐπάνω οἱ κάτω — τριπλάσιοι οἱ διαγώνιοι πάντες; idem codd. seriem perpen- dicularem octauam addunt: ρκη. ρϞβ, σπη, υλβ, χμη, Ϡοβ. αυνη, βρπζ.) [*](IV, 1. τριπλασίων H — παράδειγμα om. — 3—11. Diagramma om. PH; Codd. CS, in quibus series septima ψκθ . . . δϞϚ abest, lasce praebent inscriptiones; τριπλὰσιοι κατὰ πλάτος — ἐπίτριτοι τῶν ἐπάνω οἱ κάτω — τετραπλά. σιοι οἱ διαγώνιοι — 12. ταυτὸν P — 14, ἀποκλείσει P — 16. ἔχει H — 17. 18. τουτέστι ιβ P — 19. τρίτον G — 20. τινα om. H — 20. 21. ἔχει ἑαυτοῦ — ἕξει αὐτοῦ H — 22. τριπλασίως CH)
79
α, γ, θ, κζ· [*](P) διὰ τοῦτο τριῶν μόνων κατάρξει καὶ αὐτὸς ἐπιτρίτων λόγων, πλειόνων δὲ οὐδαμῶς· αὐτοῦ μὲν γὰρ πρῶτος ὁ λϚ, τούτου δὲ δεύτερος ὁ μη, τρίτος δὲ τούτου ὁ ξδ, ὃς οὐκέτι τρίτον μέρος ἔχει, διὸ οὐδʼ ἐπιτρίτου δεκτικός, καὶ ὁ τέταρτος τεσσάρων ἡγεμών ἐστι λόγων καὶ ὁ πέμπτος δηλονότι πέντε. τὸ δὲ ὑπόδειγμα τοιοῦτον· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ πολυπλασίων ὁ αὐτὸς τῶν διαγραμμάτων ἔστω σοι τρόπος παρατηροῦντι, ὅτι καὶ ἐνταῦθα ἡ φύσις, ὥςπερ καὶ ἐν τοῖς προτεχνολογηθεῖσιν εὕρομεν, προγενεστέρους ἡμῖν παρεμφαίνει διπλασίους μὲν τριπλασίων, τριπλασίους δὲ τετραπλασίων, τούτους δὲ πενταπλασίων, καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντός· οἱ μὲν γὰρ ἐπὶ πλάτος στίχοι οἱ ἀνωτάτω, ἐὰν ὦσι διπλάσιοι, ὁμοίως ἕξουσι τοὺς ὑπ᾿ αὐτοὺς παραλλήλους κειμένους, τοὺς δὲ ὑποτείνοντας διαγωνίους τοῦ αὐτοῦ γένους τὸ συνεχὲς καὶ μονάδι μεῖζον εἶδος, ὅ ἐστι τριπλασίους, ἐν παραλλήλῳ ἐξετάσει θεωρουμένους· εἰ δʼ οἱ ἐπὶ πλάτος εἶεν τριπλάσιοι, πάντως οἱ διαγώνιοι ἔσονται τετραπλάσιοι, εἰ δὲ ἐκεῖνοι τετραπλάσιοι, εὐθὺς οὗτοι πενταπλάσιοι, καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί.
[*](6. δεκτικός] ἐστι add. H — ἡμών G1 — 7. ἔσται SH — 10. παρατηροῦντι] σοι add. S — 11. ὥς περ καὶ] καθά- περ — εὑρίσκομεν H — 15. ἀνώτατοι S — 16. παραλ- λήλως P — 18. μονάδος P, om. — 19. ἐν παρ. . . θεωρουμ. om. S — 20. εἶεν] εἰσί H — 23. Diagrammata, quae supra adposuit, hic repetit codex G sic inscripta: 1. τριπλάσιοι πάντες οἱ διαγώνιοι ἡμιόλιοι τῶν ἄνω οἱ κάτω. 2. τετραπλάσιοι πάντες οἱ διαγώονιοι — ἐπίτριτοι τῶν ἄνω οἱ κάτω.)80
ε. Λοιπὸν δεῖ, σαφηνίσαντας τὰς τῶν λόγων συνθέσεις, τίνων ἑτέρων ἀποδοτικαί εἰσι, μεταβῆναι ἐπὶ τὰ τῆς εἰςαγωγῆς ἀκόλουθα. οἱ πρῶτοι τοίνυν τοῦ ἐπιμορίου δύο λόγοι συλληφθέντες εἰς τὸ αὐτὸ γεννῶσι τὸν τοῦ πολλαπλασίου πρῶτον λόγον, τουτέστι τὸν διπλάσιον· πᾶς γὰρ διπλάσιος σύστημα ἔσται ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου καὶ πᾶς ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος συντεθέντες ἀποδοτικοὶ ἑνὸς διπλασίου πάντως ἔσονται· οἷον ἐπεὶ ὁ γ ἡμιόλιος τοῦ β, ὁ δὲ δ ἐπίτριτος τοῦ γ, ἔσται τοῦ β ὁ δ διπλάσιος σύνθετος ὢν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου· πάλιν ἐπεὶ ὁ Ϛ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ, εὑρήσομεν ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον, ὃς ἐξ ἀνάγκης πρὸς μὲν τὸν ἕτερον τὸν ἐπίτριτον σώζει λόγον, πρὸς δὲ τὸν λοιπὸν τὸν ἡμιόλιον· ὁ γοῦν δ ἀνὰ μέσον κείμενος τοῦ Ϛ καὶ τοῦ γ πρὸς μὲν τὸν γ ἀποδίδωσι λόγον ἐπίτριτον, πρὸς δὲ τὸν Ϛ τὸν ἡμιόλιον. ὀρθῶς ἄρα ἐλέχθη διαλυόμενον μὲν τὸν διπλάσιον εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον διαλύεσθαι, συντιθεμένων δὲ πάντως ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου μόνον συνίστασθαι διπλάσιον [*](P) καὶ τὰ τοῦ ἐπιμορίου δύο πρώτιστα εἴδη συντεθέντα ποιητικὰ εἶναι τοῦ τῶν πολλαπλασίων πρωτίστου εἴδους. πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τὸ γεννηθὲν τοῦτο τοῦ πολλαπλασίου πρώτιστον εἶδος μετὰ τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων εἴδους ἀποδοτικὸν [*](V. Io. Phil. rec. I, ιθ, κ rec. II, ιϚ, ιζ. — Boëth. II. 3.) [*](V. 1. 2. Λοιπὸν δὴ . . . μεταβῆναι δέον C — 1. προ σαφηνίσαντας PCSH — τῶν ἀναλογιῶν λόγων G — 5. ὅ ἐστι SH — 8 συντιθέντες G — 9. πάντος G παντός P — 12. ἕνα τινὰ S — 14. σώσει S — 19. συντεθειμέ- νου P συντιθέμενον S — 21. δύο om. C — συντι- θέντα G)
81
γίνεται τοῦ ὁμογενοῦς αὐτῶν συνεχοῦς εἴδους, τουτέστι τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, ὅπερ ἐστὶ τριπλασίου· ἐκ γὰρ παντὸς διπλασίου καὶ ἡμιολίου συντεθέντων τριπλάσιον ἐξ ἀνάγκης φύεται· οἷον ἐπεὶ τοῦ Ϛ διπλάσιος ὁ ιβ, αὐτοῦ δὲ τούτου ἡμιόλιος ὁ ιη, εὐθὺς καὶ τριπλάσιος ὁ ιη τοῦ Ϛ· καὶ ἑτέρῳ τρόπῳ ἐὰν μὴ τὸν ιβ θέλω μέσον ποιεῖν, ἀλλὰ μᾶλλον τὸν τοῦ Ϛ ἡμιόλιον τὸν θ, τὸ αὐτό μοι ἀπαράλλακτον καὶ σύμφωνον συμβήσεται· τοῦ γὰρ θ ὁ ιη διπλάσιος ὢν τὸν τριπλάσιον λόγον σώσει πρὸς τὸν Ϛ· ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον καὶ εἰς αὐτὰ δὲ πάντως ἀναλύεται. ἰδού γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλάσιος ὢν ἕξει μέσον τὸν γ, ὃς δύο λόγους παραδείξει, τὸν μὲν ἡμιόλιον πρὸς τὸν β, πρὸς ἑαυτὸν δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ· ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεῇ ἐπτρίτῳ δευτέρῳ εἴδει ὄντι τοῦ ἐπιμορίου γένοιτ᾿ ἂν ἐξ ἀμφοτέρων τὸ συνεχὲς τοῦ πολλαπλασίου εἶδος, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, ὃ καὶ ἀναγκαίως εἰς ἀμφότερα ἀναλυθήσεται κατὰ τὴν αὐτὴν τοῖς προδεδηλωμένοις φύσιν· τὸ δὲ τετραπλάσιον προςλαβὸν τὸ ἐπιτέταρτον ποιητικὸν ἔσται τοῦ πενταπλασίου καὶ πάλιν ἐκεῖνο σὺν τῷ
[*](1. αὐτῷ C — 2. ὅ ἐστι CS — 4. συντιθέντων G — ἀνά- φύεται H γίνεται S — 7. μεσοποιεῖν P — 10. σώζει CH — 11. 12. πρώτου εἴδους ἐπιμορίου καὶ πρώτου εἴδους πο- λυπλασίου S — 13. πολυπλ. S — 15. τοῦ β] τοῦ δευτέρου G — 20. γένοιντʼ G — 21. τετραπλάσιον] τριπλάσιος δὲ ὁ ϛ τοῦ β [ἐπεὶ γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλ. H] ἐπίτριτος [δὲ H] ὁ η τοῦ Ϛ, ὁ η ἄρα τοῦ β τετραπλάσιος add. S — 24. προς- λαβών P) 82
ἐπιπέμπτῳ τοῦ ἑξαπλασίου, καὶ τοῦτο μέχρι παντός, ἵνα εὔτακτοι οἱ ἐξ ἀρχῆς πολλαπλάσιοι μετὰ εὐτάκτων τῶν ἐξ ἀρχῆς ἐπιμορίων ἀποδοτικοὶ εὑρίσκωνται τῶν ἐπὶ τὸ μεῖζον συνεχῶν πολλαπλασίων· διπλάσιος μὲν γὰρ μεθʼ ἡμιολίου τριπλασιότητος ποιητικός, τριπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτρίτου τετραπλασιότητος, τετραπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτετάρτου πεντα πλασιότητος καί, ἕως προχωρεῖν θέλεις, οὐδὲν
[*](P) ὑπεναντίον σοι συμβαῖνον φανεῖται.
ϛ. Μέχρι μὲν οὖν τοῦδε ἱκανῶς περὶ τοῦ πρὸς ἕτερόν πως ἔχοντος ποσοῦ διειλέγμεθα συμμετρησάμενοι κατʼ ἐκλογην τὰ προςήκοντα καὶ εὐπερίληπτα τῇ τῶν ἄρτι εἰςαγομένων ἕξει· τὰ γὰρ εἰς τὸν τόπον τοῦτον ὑπόλοιπα προςπληρωθήσεται διαλιπόντων πάλιν ἡμῶν καὶ προτεχνολογησάντων ἕτερά τινα προὐργιατέραν τὴν σκέψιν ἔχοντα ἐκ τῶν συμβεβηκότων τῷ καθʼ αὑτὸ ποσῷ καὶ μὴ τῷ πρὸς, ἕτερόν πως ἔχοντι, αἰεὶ γὰρ δἰ ἀλλήλων φιλεῖ πως διαρθροῦσθαι καὶ σαφηνίζεσθαι τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρήματα· ἃ δὲ χρὴ προεπισκοπῆσαι καὶ προθεάσασθαι, ἔστι περί τε γραμμικῶν ἀριθμῶν καὶ [*](VI. Io. PhiI rec. I, κα—κη; rec. ll, ιη—κα. — lambl. p. 80 — 82. — Boëth. II. 4.) [*](3. εὑρίσκονται P — 8. ἕως ἂν . . θέλῃς SH — 9. σοι] μοι C, om. P — συμβαῖνοι P — φανήσεται H — codices Nicomachi uerba sclematibus inlustrant huncce in modum compositis: o β γ δ ἡμιόλ. ἐπίτρ. cet. διπλάσ.) [*](VI. 10. οὖν om. C — 14. προςπληρωθήσονται C — 20. θεωρούμενα H — 20 21. ἐπισκοπ. καὶ θεάσασθαι S — 21. γραμμι////κῶν G)
83
ἐπιπέδων καὶ στερεῶν, κυβικῶν τε καὶ σφαιρικῶν, καὶ ἰσοπλεύρων καὶ σκαληνῶν, πλινθίδων τε καὶ δοκίδων καὶ σφηνίσκων καὶ τῶν ὁμοίων, ἃ δὴ ἰδίως μὲν ἐν τῇ γεωμετρικῇ παραδίδοται εἰςαγωγῇ τοῦ πηλίκου οἰκειότερα ὄντα, σπερματικώτερον δὲ προςπαραλαμβάνεται ἐν τῇ ἀριθμητικῇ ὡςὰν μητρὶ καὶ ἀρχεγονωτέρᾳ ἐκείνης· μεμνήμεθα γάρ, ὅτι πρὸ βραχέος τοιαύτη ἡμῖν ἐφάνη συναναιροῦσα μὲν τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἑαυτῇ, οὐ συναναιρουμένη δὲ ἐκείναις, καὶ ἔμπαλιν συνεπιφερομένη μὲν ἐκείναις ἀναγκαίως, οὐ συνεπιφέρουσα δὲ αὐτὰς ἑαυτῇ.
Πρότερον δὲ ἐπιγνωστέον, ὅτι ἕκαστον γράμμα, ᾧ σημειούμεθα ἀριθμόν, οἷον τὸ ι, ᾧ τὰ δέκα, τὸ κ, τὰ εἴκοσι, τὸ ω, ᾧ τὰ ὀκτακόσια, νόμῳ καὶ συνθήματι ἀνθρωπίνῳ, ἀλλʼ οὐ φύσει σημαντικόν ἐστι τοῦ ἀριθμοῦ, ἡ δὲ φυσικὴ καὶ ἀμέθοδος καὶ διὰ τοῦτο ἁπλουστάτη σημείωσις τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν ἡ τῶν μονάδων τῶν ἐν ἑκάστῳ οὐσῶν παράλληλος ἔκθεσις· οἷον μιᾶς μὲν μονάδος γραφὴ διὰ τοῦ ἑνὸς ἄλφα σημεῖον ἔσται τοῦ ἑνός, δυεῖν δὲ μονάδων παραλλήλων, τουτέστι δυεῖν ἄλφα ἔκθεσις σημεῖον ἔσται τῆς δυάδος, τριῶν δὲ ἐπʼ εὐθείας ἀλλήλοις κειμένων τριάδος ἔσται χαρακτήρ καὶ τεσσάρων ἐπʼ εὐθὺ τεταγμένων τετράδος καὶ πέντε πεντάδος καὶ ἀεὶ οὕτως· διὰ γὰρ τῆς τοιαύτης γραφῆς καὶ σημάνσεως ἡ τῶν φρασθησομένων ἐπιπέδων τε καὶ [*](1. κύβων H — τε] φημί add. C — 2. σκαλινῶν P cf. Eucl. l, ὅρ. κϚ — 3. σφηνίκων GP σφ. καὶ σφηκί- σκων H — 7. ἀρχαιγονωτέρα S — 11. ἀναγκαίως om. C — 14. ᾧ τὰ εἴκ. om. P — 17. εἴη ἂν] ὀρθῶς add. SH — 20. ἄλφα] ἔκθεσις add. C — 22. ἀλλήλοις] παρ- αλλήλοιν S)
84
στερεῶν σχηματογραφία τρανωθῆναι δύναιτʼ ἂν μόνως καὶ σαφηνισθῆναι, οἷον
μονὰς μὲν α,δυὰς δὲ αα,τριὰς δὲ ααα,τετρὰς δὲ αααα,[*](P)πεντὰς δὲ ααααα, καὶ εἰς πλείονα ἀεὶ ἀναλόγως. ἔσται οὖν ἡ μὲν μονὰς σημείου τόπον ἐπέχουσα καὶ τρόπον ἀρχή μὲν διαστημάτων καὶ ἀριθμῶν, οὔπω δὲ διάστημα οὐδὲ ἀριθμός, ὡς τὸ σημεῖον ἀρχὴ μὲν γραμμῆς καὶ διαστήματος, οὔπω δὲ γραμμὴ οὐδὲ διάστημα· ἀμέλει οὔτε σημείῳ σημεῖον συντεθὲν πλεῖόν τι ποιεῖ, ἀδιάστατον γὰρ ἀδιαστάτῳ συντεθὲν διάστημα οὐχ ἕξει, ὥςπερ εἴ τις τὸ οὐδὲν οὐδενὶ συντεθὲν σκέπτοιτο, οὐδὲν γὰρ ποιεῖ· κατὰ ταυτὰ γὰρ ἐφαίνετο καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἡμῖν ἐν ταῖς σχέσεσι, σώζεται μὲν γὰρ ἀναλογία, ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον, οὐ μὴν διάστημα γεννᾶταί τι τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους, ὥςπερ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν χωρὶς ἰσότητος σχέσεων πασῶν· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ μονὰς ἐκ παντὸς μόνη τοῦ ἀριθμοῦ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσασα οὐδὲν πλέον ἑαυτῆς γεννᾷ· ἀδιάστατος ἄρα ἡ μονὰς καὶ ἀρχοειδής, πρῶτον δὲ διάστημα εὑρίσκεται καὶ φαίνεται
[*](8. καὶ εἰ πλείονα εἴη ἀναλ. C καὶ εἰ ἐπὶ πλέον εἴη ἀναλ. S καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ ἀν. H — οὖν] ἡμῖν add. — 9. τόπον . . . τρόπον] λόγον . . . τόπον S — 10. διαστή- ματα οὐδὲ P — 13. 14. πλεῖον . . . συντεθὲν om. P — 14. ἀδιαστάτῳ] ἤτοι ἀμερὲς ἀμερεῖ add. S — 15. σκέψοιτο ἐπισκέπτοιτο — 16 κατὰ ταυτὰ γὰρ] καὶ τ. γ. Ast τὰ αὐτὰ δὲ — 19. οὕτως sol. — 21. ἄλλων τῶν om. H — 23. πολυπλασιάσασα S πλεονάσασα C) 85
ἐν δυάδι, εἶτʼ ἐν τριάδι, εἶτα ἐν τετράδι καὶ ἑξῆς ἐν τοῖς ἀκολούθοις· διάστημα γάρ ἐστι δυεῖν ὅρων τὸ μεταξὺ θεωρούμενον. πρῶτον δὲ διάστημα γραμμὴ λέγεται, γραμμὴ γάρ ἐστι τὸ ἐφʼ ἓν διαστατόν· δύο δὲ διαστήματα ἐπιφάνεια, ἐπιφάνεια γάρ ἐστι τὸ διχῆ διαστατόν· τρία δὲ διαστήματα στερεόν, στερεὸν γάρ ἐστι τὸ τριχῆ διαστατὸν καὶ οὐκ ἔστιν οὐδαμῶς ἐπινοεῖν στερεόν, ὃ πλεόνων τέτευχε διαστημάτων ἢ τριῶν, βάθους, πλάτους, μήκους· τούτοις γὰρ αἱ λεγόμεναι περὶ πᾶν σῶμα ὑπάρχειν ἓξ περιστάσεις ὁρίζονται, καθʼ ἃς αἱ κατὰ τόπον κινήσεις διακρίνονται, πρόσω, ὀπίσω, ἄνω, κάτω, δεξιά, ἀριστερά· ἑκάστῳ γὰρ διαστήματι δύο ἐξ ἀνάγκης περιστάσεις παρέπονται ἀλλήλαις ἀντίθετοι, ἑνὶ μὲν αἱ ἄνω καὶ κάτω, ἑτέρῳ δὲ αἱ πρόσω καὶ ὀπίσω, τῷ τρίτῳ δὲ αἱ ἐπὶ δεξιὰ καὶ ἀριστερά. καὶ συμβαίνει πως οὕτως ἀναστρέφειν τὸν λόγον· εἴ τι γὰρ στερεόν ἐστιν, ἐκεῖνο τὰς τρεῖς διαστάσεις πάντως ἔχει, μῆκος, βάθος, πλάτος καὶ ἔμπαλιν, εἴ τι ἔχει τὰς τρεῖς διαστάσεις, ἐκεῖνο πάντως στερεόν ἔστιν, ἄλλο δʼ οὐδέν. οὐκ ἄρα τὸ δύο μόνον ἔχον διαστάσεις ἔσται στερεόν, ἀλλʼ ἐπιφάνεια, αὕτη γὰρ διαστημάτων ἐπιδεκτικὴ δυεῖν ἐστι μόνων· καὶ ἐπʼ αὐτῆς
[*](P) δυνατὸν ὁμοιοτρόπως ἀντιστρέφειν τὸν λόγον, ἐπι- φάνειά τε γὰρ ὀρθῶς τὸ διχῆ διαστατὸν καὶ πάλιν
[*](1. ἐν δυάδι, εἶτ᾿ οm. P — 2. δύο H — 3. δὲ] γὰρ G — 4—6. δύο . . . διαστατὸν om. C — 7. 8. καὶ οὔτι ἔστιν οὐδαμοῦ S — 8, στερεόν om. — 10. αἱ λεγ.] ἐκλεγόμε- ναι P — 15. ἑτέρῳ] ἑκατέρῳ P — 16. αἱ om. GP — δεξιᾷ καὶ ἀριστερᾷ P — 17. ἀντιστρ. in mrg. — 19. μῆκ., βάθ., πλ. om. H — 21. μόνον] μόνας — 22. ἐστίν H — 23. δεκτική — 24. ὁμοιοτρόπος G ὁμοίως S ἀναστρ. H (in mrg. ἀντιστρ.) — 25. ὀρθῶς] ὑγιῶς CH — ἔμπαλιν S) 86
τὸ διχῆ διαστατὸν πάντως ἐπιφάνεια ἔσται. ἑνὶ ἄρα διαστήματι ἠλάττωται ἐπιφάνεια στερεοῦ, ἑνὶ δὲ καὶ γραμμὴ ἐπιφανείας οὖσα τὸ ἐφ᾿ ἓν διαστατὸν καὶ ἑνὸς μόνου τετευχυῖα δικστήματος, λειπομένη δὲ στερεοῦ δυσὶ διαστήμασι· ταύτης δʼ αὐτῆς λείπεται ἑνὶ διαστήματι τὸ σημεῖον· διὰ τοῦτο προελέχθη εἶναι ἀδιάστατον στερεοῦ μὲν τρισὶ διαστήμασι λειπόμενον, ἐπιφανείας δὲ δυσί, γραμμῆς δὲ ἑνί.
ζ. Ἔστιν οὖν σημεῖον ἀρχὴ διαστήματος, οὐ διάστημα δέ, τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἀρχὴ γραμμῆς, οὐ γραμμὴ δέ· καὶ γραμμὴ ἀρχὴ ἐπιφανείας, οὐκ ἐπιφάνεια δέ, καὶ ἀρχὴ τοῦ διχῆ διαστατοῦ, οὐ διχῆ δὲ διαστατόν. καὶ εἰκότως ἡ ἐπιφάνεια ἀρχὴ μὲν σώματος, οὐ σῶμα δέ, καὶ ἡ αὐτὴ ἀρχὴ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ, οὐ τριχῆ δὲ διαστατόν. οὕτως δὴ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἡ μὲν μονὰς ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ ἐφʼ ἓν διάστημα κατὰ μονάδα προβιβαζομένου, ὁ δὲ γραμμικὸς ἀριθμὸς ἀρχὴ ἐπιπέδου ἀριθμοῦ ἐφʼ ἕτερον διάστημα ἐπιπέδως πλατυνομένου, ὁ δὲ ἐπίπεδος ἀριθμὸς ἀρχὴ στερεοῦ ἀριθμοῦ ἐπὶ τρίτον διάστημα πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προςκτωμένου· οἷον καθʼ ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι καὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν ἐπὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ προχωροῦντες διάστημα, ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι ἀρχικωτάτης [*](VII. lo. Phil. rec. l, κθ, λ; rec. lI, κβ, κγ. — lambl. p. 80—82. — Io. Pedias. in Iahnii nou. ann. XCII, p. 371. 372. — Boëth. II. 5. 6.) [*](1. ἔσται om. PH — 2. ἐλαττοῦται H — 5. αὐτῆς] τῆς γραμμῆς — 7. λειπομένου G λειπουμένου P) [*](VII. 11. καὶ γρ.] γραμμὴ om. G, ἡ δὲ γρ. SH — 14. ἡ αὐτὸ G — 17. προβιβαζομένη — 20. ἐπιτρίτου P — 21. πρὸς] παρὰ — βάθη GP)
87
ῥίζης καὶ διὰ τῶν ἐξῆς συνεχῶν ἀριθμῶν προιόντες, λαμβάνοντες καὶ τὴν ἐπωνυμίαν κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν· πρώτιστοι γὰρ τρίγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς τετράγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς πεντάγωνοι, εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπʼ ἄπειρον· προςαγορεύονται δέ, ὡς ἔφαμεν, ἀπὸ τῶν ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς κειμένων ἀριθμῶν. ἀρχικώτατον ἄρα σχῆμα ἐπιπέδων καὶ στοιχειωδέστατον τὸ τρίγωνον εὑρίσκεται· καὶ γὰρ ἐν τοῖς γραμμικοῖς ἐπιπέδοις ἐὰν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι ἀχθῶσι, λυθήσεται ἕκαστον εὐθύγραμμον σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνα τοσαῦτα, ὅσαιπερ ἂν αὐτοῦ τυγχάνωσιν αἱ πλευραί, αὐτὸ δὲ τὸ τρίγωνον τὸ αὐτὸ τοῖς ἄλλοις παθὸν εἰς ἕτερόν τι οὐ μεταπεσεῖται, ἀλλʼ εἰς ἑαυτό· στοιχεῖον ἄρα καὶ ἐν ἐκείνοις τὸ
[*](P) ρίγωνον· εἰς αὐτὸ γὰρ τὰ ἄλλα πάντα ἀναλύεται ἀναγκαίως, αὐτὸ δὲ οὐκ εἰς ἕτερον· ἐκ τούτου ἂν καὶ συσταίη τὰ λοιπά, αὐτὸ δὲ ἐξ οὐδενός· στοιχεῖον ἄρα τοῦτο τῶν ἄλλων, αὐτοῦ δὲ οὐδέν. κἀν τοῖς ἀριθμητικοῖς δὲ ἐπιπέδοις προιὼν ὁ λόγος βεβαιώσει τὸ λεγόμενον.
η. Τρίγωνος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ διαλυόμενος [*](VIII. lo. Ph rec. l, λα, λβ; rec. II, κδ. — Iambl. p. 82 83. — Theon. 18. 19. 23 — lo. Pedias. I. I. — Hoëth. II. 6.) [*](3—5. hasce addunt codices figuras: 8. ἐπιπέδων om. H — 9. γὰρ om, G — 9. 10. ἐπὶ τῶν ραμμικῶν ἐπιπέδων S cf. Eucl. l, ὅρ. κ. — 11. ἔκαστος G — 12 τοσαῦτα] τῷ ἀριθμῷ, ὁπόσα add. S — 14, ἕτερον ἄλλο S — 16. εἰς ὃ CSH — λύεται SH — 17. εἰς ἄλλο SH VIII. Περὶ τριγώνου ΗΓ)
88
εἰς μονάδας καὶ τὴν κατʼ ἐπίπεδον θέσιν τῶν μορίων ἰσόπλευρον σχηματογραφῶν εἰς τριγωνισμόν, οὗ ὑποδείγμαπα ὁ
γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη καὶ οἱ ἐφεξῆς· σχηματογραφίαι γὰρ αὐτῶν εὔτακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε ἅμα καὶ ἰσόπλευροι, καὶ τὸ τοιοῦτον, μέχρις οὗ βούλει, προκόπτων τριγωνιζόμενον εὑρήσεις πρὸ πάντων στοιχειωδέστατον τάττων τὸ ἐκ μονάδος γινόμενον, ἵνα καὶ τρίγωνος δυνάμει φαίνηται ἡ μονάς, ἐνεργείᾳ δὲ πρῶτος ὁ γ. πλευραὶ δὲ παραυξηθήσονται τῷ συνεχεῖ ἀριθμῷ, τοῦ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτου πλευρὰ μονάς, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτου πλευρὰ δυάς, τουτέστι τοῦ γ, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρου πλευρὰ τριάς, τουτέστι τοῦ Ϛ, τοῦ δὲ τρίτου πλευρὰ τετρὰς καὶ τοῦ τετάρτου πεντὰς καὶ τοῦ πέμπτου ἑξὰς καὶ ἀεὶ οὕτως. γεννᾶται δὲ τοῦ φυσικοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος καὶ ἀεὶ ἀπʼ ἀρχῆς τῶν συνεχῶν κατὰ ἕνα συντιθεμένων, κατὰ γὰρ ἑκάστην σύνθεσιν καὶ προςσώρευσιν οἱ εὔτακτοι τρίγωνοι συντελοῦνται· οἷον ἐκ μὲν τοῦ φυσικοῦ στίχου τούτου
α, β, γ, δ, ε, Ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ, ιδ, ιε τὸν μὲν πρώτιστον λαβὼν ἔχω τὸν δυνάμει πρῶτον
[*](2. μορίων] μονάδων CS — ἰσοπλεύρως — 3. 4. οὗ . . . γ] ὑπόδειγμα γ S — 5. 6. εὔτακτοι ἔσονται] ἔσ. τοι- αῦται SH — 6. 7 τὸ τοιοῦτον om — 7. προκόπτον C — 9. γινόμενον] συγκείμενον H — δυνάμει] μονάδι G — 11. συνεχῆ G ἀπὸ [ὑπὸ H] τοῦ συνεχοῦς ἀριθμοῦ SH — 12 πρῶτον G1 — 12 13. τοῦτο ἐνεργ. G1 — 14 πλευρὰ om. — τριάς post ϛ GP — 15. τρίτου] τοῦ δέκα add. CSH — 17. φυσικόν G — στιχηδόν PC — 19. ἑκάστου SH — 20. εὔτακτοι] σύνθετοι add. S — 21. τούτου om. CSH — 22. ια . . . ιε om. H — ιε] ὁ α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε, ξϚ, οη, Ϟα, ρε, ρκ add. — 23. ἔχων PH) 89
τρίγωνον, τὴν μονάδα 1, εἶτα τὸν συνεχῆ αὐτῷ ἐπισωρεύσας ἔχω τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον, β γὰρ καὶ α ὁ γ ἐστί, καὶ τῇ γε σχηματογραφίᾳ οὕτως συνίσταται· ἐπὶ μιᾷ μονάδι δύο μονάδες παράλληλοι ὑποτίθενται καὶ τριγωνίζεται ὁ γ ἀριθμός 2· εἶτα ἑξῆς ἐπὶ τούτοις ὁ γ συνεχὴς προςσωρευθεὶς καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν Ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προςέτι σχηματογραφεῖ 3· καὶ πάλιν ὁ φύσει ἀκόλουθος ὁ δ ἐπὶ τούτοις σωρευθεὶς καὶ μοναδιστὶ ὑπογραφεὶς τὸν εὔτακτον μετὰ τοὺς εἰρημένους ἀποδίδωσι τὸν ι καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζεται 4· καὶ ὁ ε ἐπὶ τούτῳ, εἶτα ὁ ϛ, εἶτα ὁ ζ καὶ οἱ ἑξῆς ἅπαντες, ὥςτʼ ἐμμελῶς καὶ τὰς πλευρὰς ἑκάστου τοσούτων εἶναι
[*](P) μονάδων, ὁπόσοιπερ ἀριθμοὶ συνετέθησαν ἐκ τοῦ φυσικοῦ στίχου εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν 5 6 7·
[*](4. μιᾷ μ.] τῇ μ. S — 6. συνεχός G1 om. H — 7. μο- νάδας H — Ϛ] στίχον P — 9. σχηματογράφει GP — 12. σχῃματίζει CS — 13. εἶτα ὁ ζ om. H — καὶ οἱ λοιποὶ πάντες ἐφεξῆς H — 14. ἐμελῶς G — 15. ὁπόσοιπερ] ἂν καὶ add. SH — 16. στίχου] χύματος H — εἰς] πρὸς S — ἑαυ-)90
θ. Τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ συνεχὴς τούτῳ καὶ μηκέτι τρεῖς, ὡς ὁ πρόσθεν, ἀλλὰ τέσσαρας ἐν τῇ καταγραφῇ γωνίας ἀποδιδούς, ἐν ἰσοπλεύρῳ μέντοι καὶ αὐτὸς σχηματισμῷ, οἷον
α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ,ξδ, πα, ρ· τούτων γὰρ αἱ καταγραφαὶ ἰσόπλευροι τετραγωνισμοὶ οὕτω πως γίνονται·
[*](IX. Io. Phil. rec. l, λγ, λδ; rec. Il, κε. — lambl. p. 83—85. — Theon. 11. 15. 19—21 25. 28. — Boëth. lI. 7.)[*](τοῦ GP — figuras no habent PH; G hoc addit schema, quod nos margini adposuimus, (simile Γ):)[*](IX. Περὶ τετραγώνου - ων Γ — 1. Τρίγωνος P — 3. καὶ om. SH, del. C — ὡς πρόσθ. — 7. αὐτῷ G — 10. τούτοις S — καταγαφαὶ G — figuras om. GP)91
καὶ ἐφεξῆς οὕτως, μέχρις οὗ βούλει. καὶ τούτοις δὲ συμβέβηκεν, ὥςπερ καὶ τοῖς πρὸ αὐτῶν, τὴν τῶν πλευρῶν πρόβασιν κατὰ τὸν φυσικὸν ἀριθμὸν προκόπτειν· τῷ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτῳ τῷ ἑνὶ πλευρὰ μονάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτῳ τῷ δ πλευρὰ δυάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρῳ τῷ θ πλευρὰ τριάς, τῷ δὲ μετʼ αὐτὸν ἐνεργείᾳ τρίτῳ τῷ ιϚ πλευρὰ τετρὰς καὶ τῷ τετάρτῳ πεντὰς καὶ τῷ πέμπτῳ ἑξὰς καὶ καθόλου ἑξῆς τοῖς ἐφεξῆς. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος στοιχηδὸν ἐκτεθέντος φυσικοῦ ἀριθμοῦ τῇ μονάδι ἐπισωρευθέντων οὐκέτι τῶν ἐφεξῆς τοῖς ἐφεξῆς, ὡς δέδεικται, ἀλλὰ τῶν παῤ ἕνα κειμένων πάντων, τουτέστι τῶν περισσῶν· πρῶτος γὰρ ὁ α δυνάμει πρῶτος τετράγωνος, δεύτερος ὁ α καὶ γ ἐνεργείᾳ πρῶτος τετράγωνος, τρίτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε ἐνεργείᾳ δεύτερος τετράγωνος, τέταρτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε καὶ ζ ἐνεργείᾳ τρίτος τετράγωνος καὶ ὁ ἑξῆς τοῖς προτέροις προςσωρευθέντος τοῦ θ γίνεται καὶ ὁ μετ᾿ αὐτόν τοῦ ια προςτεθέντος καὶ οὕτως ἀεί. καὶ ἐπὶ τούτων δὲ συμβέβηκε τοσούτων μονάδων τὴν ἑκάστου πλευρὰν εἶναι, ὁπόσοιπερ ἂν ὦσιν οἱ εἰς τὴν αὐτοῦ γένεσιν ἐπισωρευθέντες ἀριθμοί.
[*](1. οὕτως om. H — μεχ. ὅσου H — 3. 4. κόπτειν P — 4. πρώτῳ] μόνῳ C — 6—8. τῷ δὲ μετʼ . . . ἑξὰς] καὶ τῷ τετάρτῳ τετρὰς καὶ τῷ πέμπτῳ πεντὰς καὶ τῶ ϛ ἑξάς S — 9. αἱ ἐφεξῆς τοῖς ἐφ. C οἱ ἐφεξῆς τοῖς ἑξῆς S οἱ ἐφεξῆς — οὗτος] ἀπὸ τοῦ add. CSH — στιχηδὸν C — 10. ἐπισωρευθέντος P ἐπισωρευομένων CH — 12. δέδει- κται] ἐπὶ τῶν τριγώνων add. S — 14. α] πρῶτος G — 17. ὁ ante ἑξῆς om. GP — προτέροις] πρώτως P πρότε- ρον C, om, — 17. προςσωρευθέντα G — 22. συσσω- ρευθέντες SH — schema, quod GΓ adponunt, hoc est: β δ Ϛι η ι ιβ ιδ ιϚ ιη κ ἀριθμοὶ περιττοί α γ ε ζ θ ια ιγ ιε ιζ ιθ τετράγωνοι· α δ θ ιϛ κε λϚ μθ ξδ πα ρ)92
ι. Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καὶ αὐτὸς κατὰ τὴν ἐξάπλωσιν τὴν εἰς μονάδα σχηματογραφούμενος ἐπιπέδως εἰς πενταγωνικὸν σχῆμα πάντη ἰσόπλευρον, οἷον
α, ε, ιβ, κβ, λε, να, ο καὶ οἱ ἀνάλογοι. ἀλλʼ ἔστι τοῦ μὲν πρώτου κατʼ ἐνέργειαν, τουτέστι τοῦ ε ἑκάστη πλευρὰ δυάς, μονὰς μὲν γὰρ τοῦ δυνάμει πρωτίστου πενταγώνου ὑπάρχει τοῦ ἑνός, τοῦ δὲ τῶν ἐκκειμένων δευτέρου τοῦ ιβ πλευρὰ τριὰς καὶ τοῦ μετʼ αὐτὸν τοῦ κβ τετρὰς καὶ τοῦ ἑξῆς τοῦ λε πεντὰς καὶ ἑξὰς τοῦ ἐπὶ τούτῳ τοῦ να καὶ ἀεὶ οὕτως· καθόλου γὰρ τοσούτων μονάδων ἡ πλευρά ἐστιν, ὅσοιπερ εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν συνεσωρεύθησαν ἀριθμοὶ ἐκλεγέντες ἐκ τοῦ κατὰ φύσιν στοιχηδὸν ἐκκειμένου ἀριθ
[*](P) χύματος· παραπλησίως γὰρ καὶ ὁμοιοτρόπως ἐπισωρεύονται ἀλλήλοις εἰς πενταγώνου γένεσιν οἱ ἀπὸ μονάδος δύο διαλείποντες ἐφʼ ὁσονοῦν, τουτέστιν οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες· ἡ μὲν μονὰς δυνάμει πρῶτος καὶ σχηματογραφεῖται οὕτως 1, ὁ δὲ ε δεύτερος ἐκ τοῦ α καὶ δ συντεθέντων σχηματογραφούμενος καὶ αὐτὸς οὕτως 2, ὁ δὲ ιβ ὁ τρίτος
[*](X. Io. PhiI rec. l, λε—λζ; rec. II, κϚ, κζ. — lambl. p. 85. — Theon. 26. — Boëth. II. 8.) [*](X. Περὶ πενταγώνου H -ων Γ — 2. μονάδας PC secundum unitatem Hoëth. II. 8. — σχηματογραφόμενος P — 6. ἀνάλογον CSH — 7. τουτέστι] ἥγουν H — ἑκάστου P, om. — 9. ἑνὸς] πρώτου S — 12 13. καθ. γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων τοσ. H — 13. ἑκάστου SH — ἔσται H — 14. ἐκλέγοντος P — 15. στιχηδόν PC — 21. ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου G — 21. 22. σχηματογραφούμ. . . . οὕ- τως om. H — 22. ὁ δὲ ιβ ὁ om. H) 93
ἔκ τε τῶν δύο προτέρων καὶ τοῦ ζ ἐπισωρευθέντος αὐτοῖς, ἵνα καὶ αὐτὸς τριάδα πλευρὰν σχῇ, ὡς τριῶν συντεθέντων εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν, ὡς καὶ ὁ πρὸ αὐτοῦ ὁ ε δυάδα πλευρὰν εἶχεν ἐκ δύο συντεθείς, ἡ δὲ σχηματογραφία αὐτοῦ τοιαύτη ἐστίν· οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις γενήσονται καθεξῆς προςσωρευομένων τῶν κατὰ τριάδος ὑπεροχὴν εὐτάκτων μετὰ τὴν ἑβδομάδα. ὄντων, οἷον τοῦ
ι, ιγ, ιϚ, ιθ, κβ, κε καὶ ἐπʼ ἄπειρον· ἔσονται γὰρ
κβ, λε, να, ο, Ϟβ, ριζ καὶ τοῦτο μέχρι παντός.
[*](2. ἔχῃ S — 5. ὁμάδι H —)[*](10. τούτῳ — 14. ὄντων] οὕ- τως G — οἷον τοῦ om. H — in co- dice G (Γ) haec adposita sunt: ὅρα, πῶς ἐκ τοῦ φυσικοῦ χύματος ἀποτε- λοῦνται οἱ πεντάγωνοι (u. mrg.)·)94
ια. Ἑξάγωνοι δὲ καὶ ἑπτάγωνοι καὶ οἱ ἑξῆς κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον προβιβασθήσονται ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος τοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος αἰεὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν τῶν ἀποστάσεων γινομένων· ὡς γὰρ ὁ μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας, μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο, ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν διαφέροντας, ἕνα δὲ παραλείποντας, πεντάγωνος δὲ ἀκολούθως τοὺς τριάδι μὲν διαφέροντας, δύο δὲ παραλείποντας, οὓς καὶ ἀπεδείξαμεν ὑποδείγματα αὐτῶν τε καὶ τῶν ἀποτελουμένων ἐκθέμενοι ἐξ αὐτῶν, οὕτως καὶ ἑξάγωνοι γνώμονας ἕξουσι τοῦς τετράδι μὲν διαφέροντας, τρεῖς δὲ παραλείποντας, ἐξ ὧν συντεθέντων σωρηδὸν ἀποτελοῦνται, οἷον
α, ε, θ, ιγ, ιζ, κα καὶ ἐφεξῆς, ἵνα οἱ ἀποτελούμενοι ἑξάγωνοι ὦσιν
α, Ϛ, ιε, κη, με, ξϛ καὶ ἀεί, μέχρις ἄν τις θέλῃ. οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας, τετράδι δὲ διαλείποντας, οἷον
α, Ϛ, ια, ιϚ, κα, κϚ, λα, λϚ καὶ ἐφʼ ὁσονοῦν, αὐτοὶ δὲ οἱ συνιστάμενοί εἰσιν
[*](XI. lo. Phil. rec. l, λη—μα; rec. II. κη, κθ. — lambl. p. 85. 86. — Theon. 27. — Boëth. II. 9.) [*](XI. 1. καθεξῆς — 2. αὐτῶν G — 3. τοῦ ἀρ. . . . ἐκτεθ. om PC — στιχηδὸν H — 10. ὑπεδείξαμεν CH — 11. θέμενοι H — 14. οἷον] τοὺς add. P — 18. ἂν] οὗ HS — θέλοι P θέλει S — G hanc adscribit figuram (u. marg.) : — οἱ] εἰ G — 19. ἕξουσι C Io, Phil. rec. l, μ) 95
α, ζ, ιη, λδ, νε, πα, ριβ, ρμη καὶ τοῦτο μέχρι παντός. ὀκτάγωνοι δὲ κατὰ τὴν
[*](P) αὐτὴν τάξιν τοῖς τε γνώμοσιν ἑξάδι διαφέροντες προκόπτουσι καὶ τοῖς συστήμασιν ἀναλόγως. ἵνα δὲ ἐπὶ πάντων παρατηροῦντι τοῦτο καθολικὸν σύμφωνον ᾖ, ἑκάστου πολυγώνου τοὺς γνώμονας διαφέρειν ἀλλήλων δυάδι ἐλαττόνως, ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ ὀνόματι ποσότητα τῶν γωνιῶν, τουτέστι μονάδι μὲν τὸν τρίγωνον, δυάδι δὲ τὸν τετράγωνον, τριάδι δὲ τὸν πεντάγωνον, τετράδι δὲ τὸν ἑξάγωνον καὶ πεντάδι τὸν ἑπτάγωνον καὶ ἀεὶ κατὰ παραύξησιν οὕτως.