Introductio arithmetica

α. Ἐπειδὴ στοιχεῖον λέγεται καὶ ἔστιν, ἐξ οὗ ἐλαχίστου συνίσταται τι καὶ εἰς ὃ ἐλάχιστον ἀναλύεται (οἷον γράμματα μὲν τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς στοιχεῖα λέγεται, ἐξ αὐτῶν τε γὰρ ἡ σύστασις τῆς συμπάσης ἐνάρθρου φωνῆς καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἀναλύεται· φθόγγοι δὲ μελῳδίας ἁπάσης, ἀφʼ ὧν ἄρχεται συγκρίνεσθαι καὶ εἰς οὓς ἀναλύεται· κοινῇ δὲ τοῦ κόσμου τὰ λεγόμενα τέσσαρα στοιχεῖα ἁπλᾶ ὑπάρχει [*](I. Io. Phi. Schol. ined. rec. l (codd. GH) α—δ; rec. II. (cod. C) α—δ. — Boëth. lI. 1.) [*](1. ΓΕΡΑΣΙΝΟΥ P — 2. ΠΥΘ om. P Πυθαγορείου S Τοῦ αὐτοῦ ϹΓ Τοῦ αὐτοῦ εἰς δύο δεύτερον μ — 3. εἰςαγωγῆς om. P — 4. εἰς τὰ δύο S — βιβλίον δεύτ. (om. τῶν εἰς δύο) H) [*](I. 6. ἐλαχίστ. συνίστ.] πρωτίστου ἄρχεταί — ἐλά- χιστον] γρ. ἔσχατον P in mrg. — 8. γὰρ om. G — 9. καὶ ἀναλ. om. GP — 10. ἀφ᾿ ὧν] φωνῆς P — 12. στοι- χεῖα] ἅπερ add. C — ἁπλῶς P)

σώματα, πῦρ, ὕδωρ, ἀήρ, γῆ· ἐκ γὰρ πρωτίστων αὐτῶν ἡ σύστασις τοῦ παντὸς φυσιολογεῖται καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἐπινοεῖται ἡ ἀνάλυσις), ἀποδεῖξαι δὲ βουλόμεθα, ὅτι καὶ ἡ ἰσότης στοιχεῖόν ἐστι τοῦ πρός τι ποσοῦ· τοῦ γὰρ ἀπλῶς καὶ καθʼ αὑτὸ ποσοῦ μονὰς ἦν καὶ δυὰς τὰ ἀρχικώτατα στοιχεῖα, ἐξ ὧν ἐλαχίστων καὶ ἐπʼ ἄπειρον ἀεὶ συνίσταται καὶ αὔξεται καὶ ἐπὶ τὸ μεῖον ἀναλυόμενον ἵσταται. ἀλλὰ τὴν μὲν ἐπὶ τῆς ἀνισότητος προκοπὴν καὶ ἐπαύξησιν ἀπεδείξαμεν ἀπὸ ἰσότητος γινομένην ἐπὶ πάσας ἁπλῶς τὰς σχέσεις μετά τινος εὐταξίας διὰ τριῶν προςταγμάτων· λοιπὸν δʼ, ἵνʼ ὡς ἀληθῶς στοιχεῖον ᾖ, ἀποδεικνύειν, ὅτι καὶ αἱ ἀναλύσεις ἐπʼ αὐτὴν ἐσχάτην περαιοῦνται· ἔφοδον ἰστέον τοιαύτην καθολικήν.·

β. Δοθέντων σοι τριῶν ὅρων ἐν ᾑτινιοῦν σχέσει καὶ ἀναλογίᾳ, εἴτε πολλαπλασίῳ εἴτε ἐπιμορίῳ εἴτε ἐπιμερεῖ εἴτε συνθέτῳ ἀπὸ τούτων πολλαπλασιεπιμορίῳ ἤτοι πολλαπλασιεπιμερεῖ, μόνον ἵνα ἐν τῷ αὐτ ῷ λόγῳ ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα θεωρῆται, ἐν ᾧ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ἢ ἀνάπαλιν, αἰεὶ τὸν ἐλάττονα ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ μέσου, ἐάν τε πρῶτος ᾖ κείμενος ἐάν τε ἔσχατος, καὶ τίθει αὐτὸν μὲν τὸν [*](II. lo. Phil. rec. I ε—ιβ: rec. II ε— ια. — Soterichi Schol. ined. (cod. H) — Boëth. II. 2.) [*](8. ἀναλυομένου G -μενα PSH — 9. ἐπὶ om. H — αὔξησιν — 12. 13. λοιπόν, ἵν᾿ ὡς ἀλ. ᾖ, ἀποδ. ὅτι στοιχεῖόν ἐστι καὶ ὅτι καὶ αἱ ἀναλ. C — 14. ἔφοδον] οὖν add. P δὲ H — καθολικῶς P) [*](II. Ἡ ἔφοδος P — 16. σχέσει] θέσει G1; σχέσει tue- tur Io. Phil. rec. II. ε — 18. ἐπισυνθέτῳ H — πολλα- πλασιπιμορίῳ om. GPH)

ἐλάσσονα πρῶτον ὅρον, τὸ δὲ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ [*](P) δευτέρου μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν δεύτερον τάσσε ὅρον, ἑνὸς δὲ τοιούτου πρώτου καὶ δύο τοιούτων δεύτερων ἀφαιρεθέντων ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν δοθέντων σοι, τὸ λειπόμενον ποίει τρίτον ὅρον καὶ ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν ἄλλῃ τινὶ σχέσει προγενεστέρᾳ κατὰ φύσιν. πάλιν δὲ ἀπʼ αὐτῶν τούτων τῷ αὐτῷ τρόπῳ ἂν ἀφέλῃς ὅρου τὸ λειπόμενον, οἱ τρεῖς ὅροι ἀναπεποδισμένοι σοι εὑρεθήσονται εἰς πυθμενικωτέρους ἄλλους τρεῖς, καὶ τοῦτο ἀεὶ ἀκόλουθον εὑρήσεις γινόμενον, μέχρις ἂν εἰς ἰσότητα ἀναχθῶσιν· ἐξ οὗ πᾶσα ἀνάγκη δηλονότι ἀποφαίνεσθαι, τῆν ἰσότητα τοῦ πρός τι ποσοῦ στοιχεῖον πάντως εἶναι. παρέπεται δὲ τῇ τοιαύτῃ θεωρίᾳ ἐμμουσότατόν τι θεώρημα καὶ χρησιμώτατον εἴς τε τὴν Πλατωνικὴν ψυχογονίαν καὶ εἰς τὰ ἁρ μονικὰ διαστήματα πάντα· κελευόμεθα γὰρ ἐκεῖ πυκνῶς λόγου χάριν ἀποστῆσαι ἐφεξῆς δύο ἡμιολίους λόγους ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ ἐπʼ ἄπειρον ἢ δύο ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπογδόους ἢ οἵους δήποτε ἐπιμορίους καὶ καθʼ ἕκαστον αὐτῶν ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ μέχρις ὅσων τις προςτάσσει. εὔλογον δέ ἐστι, μὴ ἰδιωτικῶς καὶ ἀνεπιστημόνως, ἔστι δὲ ὅτε καὶ διημαρτημένως τὸ τοιοῦτον ποιεῖν, ἀλλʼ ἐντέχνως τε καὶ ἀπταίστως καὶ τάχιστα ἐφόδῳ τοιαύτῃ.

[*](1. τὸν δὲ λειφθέντα S — 3. δευτέρων om. H — 5. σοι om. G — 7. ἀπʼ] ἐπʼ S — 8. ἀφέλησι ἀπὸ τῶν αὐ- τῶν ὅρων P — 11. ἂν] οὗ S — 14. παντὸς H — εἶναι om. S — 15. ἐμμουσώτατον P τε καὶ γλαφυρώτατον add H εὐμουσότ. S ut ait Nicomachus ἑννοιόφατον θεώρ. Boëth. χρηομεύει Soterich. — 16. ψρχωγονίαν PS. cf. Plat. Tim. — 22. ὅσον P — 22. 23. ὅσων ἄν τις προςτάσσοι ὧν ἄν τις προςτάσσῃ S ἂν ὅσων τις ἐπιτάξῃ — 26. ἐφʼ ὅδῳ P)

γ. Ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων αὐτῷ, ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὥν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος, οὔτε δὲ πλειόνων οὔτε ἐλαττόνων οὐδεμιᾷ μηχανῇ. διπλάσιοι μὲν οὖν ἡμιολίους φύσουσιν, ὁ πρῶτος ἕνα, ὁ δεύτερος δύο, ὁ τρίτος τρεῖς, ὁ τέταρτος τέσσαρας, ὁ πέμπτος πέντε, ὁ ἕκτος ἕξ καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττονας, ἀλλʼ ἐξ ἀνάγκης πάσης, ὅταν τὴν σύμμετρον ποσότητα ἀπολάβωσιν οἱ γεννηθέντες ἐπιμόριοι ἰσάριθμοι γενόμενοι τοῖς γεννήσασι πολλαπλασίοις, τότε δὴ ἔκ τινος δαιμονίας μηχανῆς εὑρίσκεται ὁ πάντας περαίνων ἀριθμὸς ἀνεπίδεκτος ὢν φύσει ἐκείνου. τοῦ μορίου, καθʼ ὃ προέκοπτον οἱ ἐπιμόριοι· ἀπὸ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι πάντες προκόψουσι καὶ αὐτοὶ ἰσάριθμοι τοῖς γεννῶσιν οἱ γεννώμενοι [*](P) καὶ περαιούμενοί γε μετὰ τὴν αὐτάρκειαν τῆς προκοπῆς εἰς ἀριθμούς μὴ ἐπιδεκτικοὺς τρίτου· καὶ ἐπιτέταρτοι δὲ κατὰ ταυτὸν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορύφωσιν λαμβάνοντες ἀριθμὸν μετὰ τὴν αὐτάρκη πρόβασιν τετάρτου μὴ ἐπιδεκτικόν. οἷον διπλασίων μὲν ὑποδείγματος χάριν ἰσαρίθμους γεννώντων ἡμιολίους ὁ μὲν ἄνω στίχος ἔσται πολλαπλασίων ὁ πρῶτος [*](III. Io. Phil. rec. l, ιγ—ιϚ; rec. ll, ιβ—ιε. — Iambl p. 72. 73. — Boëth. II. 2.) [*](III. Μέθοδος, ὅπως δεῖ ἐκ τῶν πολλαπλασίων τοὺς ἑπιμορίους εὑρίσκειν — 2. ἀντιπαρωονυμούν- των H — ὁπόσος H — 3. τυγχάνει P -οι C — 7. ὁ ἕκτ. ἕξ om. H — 9. ἐπιμόριοι om. PC — 12. περαιῶν PC — 14. προκόπτουσι H — 15. γινόμενοι, om. οἱ C — 16. μετ αὐτὴν αὐτάρκη αὐτῆς προκ. P — 17. ἀριθμὸν SH — ἐπι- δεκτικ G δεκτικὸν H τρίτον ἀνεπιδεκτικὸν S — 18, πε- ρικορύφωσιν H — 20. δεκτικὸν. H)

α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ·

ἐπεὶ δὲ πρῶτός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα, ἑνὸς κατάρξει οὗτος ἡμιολίου μόνου τοῦ γ, ὅςτις ἡμίσους ἐπιδεκτικὸς οὐκ ἔστιν, ἵνα καὶ ἄλλος αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος· ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος ἑνὸς μόνου γεννητικός ἐστιν ἡμιολίου, ὁ δὲ δεύτερος ὁ δ δυεῖν γεννητικὸς ἡμιολίων, αὐτοῦ μὲν γὰρ ὁ Ϛ, τοῦ δὲ Ϛ ὁ θ, τοῦ δὲ θ οὐκ ἔστιν ἄλλος, ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ὁ δὲ η τρίτος ὢν διπλάσιος τριῶν ἡμιολίων ἔσται πατήρ, ἑνὸς μὲν τοῦ ιβ πρὸς αὐτόν, ἑτέρου δὲ τοῦ ιη πρὸς τὸν ιβ, τρίτου δὲ τοῦ κζ πρὸς τὸν ιη, τετάρτου δὲ οὐκέτι διὰ τὸ καθολικόν, ὁ γὰρ κζ ἥμισυ οὐκέτι ἐπιδέχεται· ὁ δὲ ιϚ τέταρτος ὢν διπλάσιος τεσσάρων ἡγήσεται ἡμιολίων, τοῦ τε κδ, τοῦ λϚ, τοῦ νδ καὶ τοῦ πα τελευταίου, ἵνα ἰσάριθμοι ἀνάγκαίως ὦσι τοῖς γεννήσασιν, ὁ γὰρ πα οὐκέτι ἥμισυ φύσει ἐπιδέχεται· καὶ τούτο μέχρις ἀπείρου προιών ἀνάλογον εὑρήσεις. οἷον ὑποδείξεως ἕνεκα γεγράφθω οὕτως διπλασίου διάγραμμα

Διπλασίων διάγραμμα·

κατὰ τὸ πλάτος διπλάσιον.

α β δ η ιϚ λβ ξδ

γ Ϛ ιβ κδ μη ϞϚ

θ ιη λϚ οβ ρμδ

κζ νδ ρη σιϚ

πα ρξβ τκδ

σμη υπϚ

ψκθ

κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν τριπλάσιον.

κατὰ τὸ βάθος

ἡμιόλοιν

[*](1. ξδ] ρκη add. C — 3. ἄρξει S — μόνου] λόγου S, om. C — ὅς H — 4. ὑπ᾿ αὐτοῦ S ἀπ᾿ αὐτοῦ H — 5. γενητικός G — 6. ἔσται C — δυεῖν G — 7. ἡμιολίοιν S — 10. ἑαυτὸν S — 12. ὁ γὰρ] ὁ μὲν G — 13. ἐπιδέχεται] ἵνα καὶ ἄλλος ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος add. S — 16. τῶ γεννήσαντι ιϛ C — 16. 17. φύσ. ἥμ. οὐκ ἐπιδ. H — 18. ὑποδείγματος χάριν CS — ἕνεκεν — ἐγγεγράφθω S 19. διπλασίων H — 20. sclema om. PH: CS sic inscri-)