κα. Τάξις δὲ ἀμφοτέρων καὶ ἀκόλουθος γένεσις εὑρίσκεται, ὅταν ἐκθέμενοι τοὺς ἀπὸ τριάδος ἑξῆς ἀρτίους καὶ περιττοὺς ἀριθμοὺς πρὸς τούτους συγκρίνωμεν τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαροὺς συνεχεῖς [*](XXI. Io. Phil. ρνθ—ρξγ. — lambl. p. 59. 60. — Boëth. I. 23. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 15. 16.) [*](1. ἐνταῦθα C — ἡμίσεος S -ους H — ἄρχεσθαι om. H — ἂν] ἄνευ P — 4. τίθεμεν H — 5. αὐτὸν P — 6. ὥςτε] ἂν add. P — 7—12. εἶτα . . . καταλληλίᾳ om. G1 — 7. 8. ἀπὸ quater ponunt G2 — 7, ἑκδόμων P — 8. Περ- σῶν πρόβλησιν P — 9. τὰ γὰρ δ ὅτε παραλόγου P — 9. 10. ἡμ. ἐστι πάλ. G2 — 10. τρίτον] καὶ τὰ β ὄγδοα τέταοτον add. S — ἐπιμόριον P — 13. ἐπεπιμερής — 14. ὅλος om. SH — ἔχηται om. H — 15. ἑαυτοῦ C — 16. ἠ ἐφεξ CH) [*](XXI. Περὶ γενέσεως ἐπιμερῶν τε καὶ ὑπεπιμε- ρῶν P — 18. ἐκθέμενος — 19. συγκρίνομένους P -ίνομεν S -ίνω H in mrg. μεν.)
57
περισσοὺς μόνους, πρῶτον πρὸς πρῶτον, οἷον τὸν ε πρὸς τὸν γ, καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον, οἷον τὸν ζ πρὸς τὸν δ, καὶ τρίτον πρὸς τρίτον, οἷον τὸν θ πρὸς τὸν ε, καὶ τέταρτον πρὸς τέταρτον, οἷον τὸν ια πρὸς τὸν Ϛ, καὶ ἐφεξῆς τῇ αὐτῇ τάξει ἐφʼ ὁσονοῦν· οὕτως γὰρ εὔτακτα τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς τε καὶ
[*](P) ὑπεπιμεροῦς εἴδη κατὰ τοὺς ἑκάστου πυθμένας δηλωθήσεται, ἐπιδιμερὲς πρῶτον, εἶτα ἐπιτριμερὲς καὶ ἐπιτετραμερὲς καὶ ἐπιπενταμερὲς καὶ ἐφεξῆς ἐπὶ πλέον παραπλησίως· μετὰ γὰρ τοὺς πυθμένας ἑκάστου γενήσονται οἱ συνεχεῖς διπλασιαζομένων ἀμφοτέρων τῶν ὅρων ἢ τριπλασιαζομένων καὶ ὅλως κατὰ τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη μεγεθυνομένων.
οἱ πυθμένες.
ε γ ζ δ θ ε ια Ϛ ιγ ζ
ι ς ιδ η ιη ι κβ ιβ κϚ ιβ
ιε θ κα ιβ κζ ιε λγ ιη λθ κα
κ ιβ κη ιϚ κ μδ κδ νβ κη
κε ιε λε κ με κε νε λ ξε λε
λ ιη μβ κδ νδ λ ξϚ λϚ οη μβ
λε κα μθ κη ξγ λε οζ μβ Ϟα μθ
μ κδ νϚ λβ οβ μ πη μη ρδ νϚ
με κζ ξγ λϚ κα με Ϟθ νθ ριζ εγ
ἐπιδί- ἐπιτρι- ἐπιτετρά- ἐπιπέν- ἐφεκτέ-
τριτοι τέταρτοι πεμπτοι θεκτοι βδομοι
[*](1. πρὸς γ G συγκρίνων add. H — 3. οἷον] ὥςπερ — 6. 7. τε καὶ ὑπεπ. om. P — 8. 9. καὶ ἐπιτ. καὶ ἐπιπ.] εἶοτο . . . εἶτα S — 9. καὶ ἐπιπενταμ. om. C — ἐφεξῆς] ὁμοίως καὶ add. SH — 12. τριπλασιαζ.] ἢ τετραπλασιαζο μένων ἢ πενταπλασιαζομένων καὶ ἑξῆς κατὰ τὴν τάξιν τοῦ πολλαπλασιασμοῦ add. S — 15. bis proponitur schema in G ; in priore (οἱ πυθμ. om.) subscripta supra leguntur, post se- riem perpendicularem decimam ζ, ιδ . . . quarta repetitur; pro νε (20) legitur νθ, pro ξγ, λϚ (24) ξβ, λϛ; abest schema)58
προςεκτέον δέ, ὅτι ἐκ μὲν τῶν δύο μερῶν τῶν πρὸς τῷ ὅλῳ ἐνόντων τῷ μείζονι τὸ τρίτον ὑπακούεται, ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν τὸ τέταρτον, ἐπὶ δὲ τῶν τεσσάρων τὸ πέμπτον, ἐπὶ δὲ τῶν πέντε τὸ ἕκτον καὶ ἀεὶ οὕτως, ἵνα ἡ πρόβασις κατὰ τὴν ὀνομασίαν τοιαύτη τις ᾖ· ἐπιδίτριτος, ἐπιτριτέταρτος, ἐπιτετράπεμπτος, εἶτα ἐπιπένθεκτος καὶ παραπλησίως ἐπὶ τῶν λοιπῶν.
Αἱ μὲν οὖν τοῦ πρός τι ποσοῦ ἁπλαῖ καὶ ἀσύνθετοὶ σχέσεις αἵδε εἰσὶν αἱ προλεχθεῖσαι, αἱ δὲ σύνθετοι ἐξ αὐτῶν καὶ οἷον συμπλακεῖσαι ἐκ δυοῖν εἰς μίαν εἰσὶν αἵδε, ὧν πρόλογοι μὲν πολλαπλασιεπιμόριος καὶ πολλαπλασιεπιμερής, ὑπόλογοι δὲ αἱ εὐθύς ἑκατέρᾳ τούτων συνυφιστάμεναι, σὺν τῇ [*](a P; ex corum, quae reliqui codices praebent, numero hocce ex cod. C desumptum quod proponamus dignum uidetur: ε ζ θ ια ιγ ιε γ δ ε Ϛ ζ η ιϚ ιθ κα κγ κε κζ θ ι ια ιβ ιγ ιδ διπλὰ σιοι ι ιδ ιη κβ κϚ λ Ϛ η ι ιβ ιδ ιϚ λδ λη μβ μϚ ν νδ ιη κ κβ κδ κϚ κη τριπλά- πλάσιοι ιε κα κζ λγ λθ με θ ιβ ιε ιη κα κδ να νζ ξγ ξθ οε πα κζ λ λγ λϚ λθ μβ ν τετρα- πλάσιοι κ κη λϚ μδ νβ ξ ιβ ιϚ κ κδ κη λβ ξη οϚ πδ Ϟβ ρ ρη λϚ μ μδ μη νβ ιϚ) [*](1. ἐκ PG1, ἐπὶ C2SH in ras. C — 6. τις del. H — ἐπιδίτρ.] ἐπίτριτος P — ἐπιτριτέταρτ. om. P — 7. εἶτα. om. H — 11. ὧν om. — 13. ἑκατέρῳ P ἑκάτερα G2 αἱ ἐφʼ ἑκάτερα H —)
59
ὑπο προθέσει ὀνομαζόμεναι, πολλαπλασιεπιμορίῳ μὲν ἡ ὑποπολλαπλασιεπιμόριος, πολλαπλασιεπιμερεῖ δὲ ἡ ὑποπολλαπλασιεπιμερής, καὶ καθʼ ὑποδιαίρεσιν τῶν γενῶν αἱ εἰδικαὶ ταῖς εἰδικαῖς ἀνθυπακούσονται, μετὰ τῆς ὑπο προθέσεως καὶ αὗται ὀνομαζόμεναι.
κβ. Πολλαπλασιεπιμόριος μὲν οὖν ἐστι σχέσις, ὅταν τῶν συγκρινομένων ὁ μείζων πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ τὸν ἐλάσσονα καὶ πρὸς τούτῳ μοριόν τι ἓν αὐτοῦ οἷον δήποτε. διττῶς δὲ ὡς ἂν δὴ σύνθετος ὁ τοιοῦτος ποικίλλεται κατὰ τὴν τῶν συμπλεκομένων ὀνομάτων καθʼ ἑκάτερον ἰδιότητα· ἐπεὶ γὰρ ὁ πολλαπλασιεπιμόριος ἔκ τε τοῦ πολλαπλασίου καὶ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς σύγκειται, ἕξει ἐν ταῖς εἰδικαῖς ὑποδιαιρέσεσι ποικιλίαν τινὰ καὶ ἐξαλλαγήν, ἰδίᾳ μὲν κατὰ τὸ πρότερον μέρος τοῦ ὀνόματος, ἰδέα δὲ κατὰ τὸ δεύτερον, οἷον κατὰ μὲν τὸ πρότερον [*](P) τὸ τοῦ πολλαπλασίου τὸ διπλάσιον ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσιον ἢ πενταπλάσιον καὶ ἐφεξῆς, κατὰ δὲ τὸ δεύτερον ἀπὸ τοῦ ἐπιμορίου γενικῶς τὰ εἰδικὰ [*](XXII. lo. Phil. ρξδ —ροε. — Iambl. p. 60 seq. — Boëth. I. 24. 25. — Schol. ΝΓ Nobb. P. 17.) [*](1. ὀνομάζονται H — πολλαπλασιεπιμερῆ G — 2. 3. ἡ bis om. PCH — 5. αὐταὶ H.) [*](XXII. Περὶ πολλαπλασιεπιμορίου GPCH — 7. ἐστι om. G — σχέσ. τις P — 8. πολλάκις — 9. τούτο G1 — 9. αὐτῷ G1 — 10. διπλῶς CSH cf. lo. Phil. ρξε — δὴ om. P — 11. δισύνθετος G — τοιοῦτος] τρόπος add. P — συμπλακέντων G2SH — 14. γενικῶς] κατὰ τὸ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ἐπιμόριον add. G2 — 15. τινὰ om. SH — 16. 17. ἴδια bis P ἰδίαν S — 16. πρώτερον P — 17. δεύτερον] μέρος τὸ τοῦ ἐπιμορίου add. S — 19. ἐφεξῆς] ὥςτε τὴν σύν- θεσιν τοιαύτῃ τινὶ τάξει προχωρεῖν add G cf. p. 60 lin. 23. — 20. ἀπὸ τοῦ] ἀντὶ τοῦ S τὸ τοῦ CH — τα om. GP)
60
αὐτοῦ εὔτακτα τὸ ἐφημιόλιον, τὸ ἐπίτριτον, τὸ ἐπιτέταρτον, τὸ ἐπίπεμπτον καὶ ἐφεξῆς, ὥςτε τὴν σύνθεσιν τοιαύτῃ τινὶ τάξει προχωρεῖν· διπλασιεφήμισυς, διπλασιεπίτριτος, διπλασιεπιτέταρτος,
διπλασιεπίπεμπτος, διπλασιεπίεκτος καὶ ἀνάλογον, καὶ ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς τριπλασιεφήμισυς, τριπλασιεπίτριτος,
τριπλασιεπιτέταρτος, τριπλασιεπίπεμπτος, καὶ πάλιν ἄνωθεν τετραπλασιεφήμισυς, τετραπλασιεπίτριτος,
τετραπλασιεπιτέταρτος, τετραπλασιεπίπεμπτος, καὶ πάλιν ἄνωθεν πενταπλασιεφήμισυς, πενταπλασιεπίτιτρος,
πενταπλασιεπιτέταρτος, πενταπλασιεπίπεμπτος καὶ τὰ τούτοις ἐπʼ ἄπειρον ἀναλογοῦντα· ὁσάκις μὲν γὰρ ὁ μείζων τὸν ἐλάττονα ὅλον ἐν ἑαυτῷ ἔχει, παρὰ τὴν τοσαύτην ποσότητα παρονομασθήσεται τὸ πρότερον μέρος τοῦ λόγου τῶν συμπλεκομένων ἐν τῷ πολλαπλασιεπιμορίῳ, οἷον δʼ ἂν τὸ μόριον τὸ πρὸς τῷ πολλάκις ὅλῳ ἐνυπάρχον ἐν τῷ μείζονι ᾖ, πρὸς ἐκεῖνο παρώνυμον ἔσται τὸ δεύτερον εἶδος του λόγου, ἀφʼ οὗ σύνθετον τὸ πολλαπλασιεπιμόριον. ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ· ὁ μὲν ε τοῦ β διπλασιεφημιόλιος, ὁ δὲ ζ τοῦ γ διπλασιεπίτριτος,
[*](1. αὐτοῦ om. — ἴδια καὶ εὔτακτα — 1. 2. τὸ om. quater H — ἠμιόλιον S — 4. 5. διπλασιεφήμ. . . . δι- πλασιεπίπεμπτ. om. — 10—12. καὶ πάλιν . . . τετραπλα- σιεπίπεμπτ. om. G. — 13. ἄνωθεν om. H — 14. πεντα- ηλασιεπίπ. om. — 15. τὰ ἐπὶ τούτοις PH — 17. γὰρ] ἂν add — ὅλον om. C — 18. παρονομάσεται PS — 19. συμπλεγμένων H τὸ συμπεπληρώμενον — 21. προυπάρχον C προςυπάρχ. SH — 22. ἐστι SH — 23. εἶ- δος] μέρος SH — 25. διπλασιεφήμισυς G2CSH) 61
ὁ δὲ θ τοῦ δ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ ια τοῦ ε διπλασιεπίπεμπτος· καὶ αἰεὶ οὕτως εὐτάκτους αὐτοὺς γεννήσεις συγκρίνων τοῖς ἀπὸ δυάδος ἑξῆς ἀρτίοις καὶ περισσοῖς τοὺς ἀπὸ πεντάδος καθαρούς περισσούς, πρῶτον πρώτῳ, δεύτερον δευτέρῳ, τρίτον τρίτῳ καὶ τοὺς ἄλλους ὁμοταγεῖς τοῖς ὁμοταγέσιν, ἀπὸ δυάδος δὲ τῶν ἐφεξῆς πάντων ἀρτίων οἱ ἀπὸ πεντάδος συνεχεῖς πεντάδι διαφέροντες διπλασιεφημιόλιοι καθαροὶ ἔσονται ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν, ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου πάντων τῶν τριάδι διαφερόντων ἐκτεθέντων, οἷον
γ, Ϛ, θ, ιβ, ιε, ιη, κα, καὶ ἐν ἄλλῳ στίχῳ τῶν ἀπὸ ἑβδομάδος ἑβδομάδι διαφερόντων ἐπʼ ἄπειρον ἐκτεθέντων, οἷον
ζ, ιδ, κα, κη, λε, μβ, μθ, καὶ συγκρινομένων μειζόνων ἐλάττοσι, πρώτου πρώτῳ, δευτέρου δευτέρῳ, τρίτου τρίτῳ, τετάρτου τετάρτῳ, καὶ ἐφεξῆς, τὸ δεύτερον εἶδος ἀναφαίνεται
[*](P) τὸ τῶν διπλασιεπιτρίτων μετὰ τῆς οἰκείας εὐταξίας ἐκκείμενον. εἶτα πάλιν ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἂν ἐκτεθῇ ὁ τῶν τετραπλασίων καθαρὸς στίχος,
δ, η, ιβ, ιϚ, κ, κδ, κη, λβ, εἶτα παρεκτεθῇ αὐτῷ ἐν ἄλλῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ τῆς ἑνάδος ἀρχόμενος κατὰ ἐνάδος προκοπὴν συνεχὴς ἀριθμός, οἷον
θ, ιη. κζ, λϚ, με, νδ, ἕξομεν ἀναφαινόμενον πάλιν τὸν εἰδικὸν πολλαπλασιεπιμόριον,
[*](6. ὁμοταγεῖς om. H — 8. ἀπὸ τοῦ ε SH — 10. δια- φερόντων] προχωρούντων C διαφορᾷ προχ. S — 20. παρα- τεθῇ SH — 23 ἄλλος στιχος ἀπὸ — ὁ om. G — 24. ἐννάδος bis PH ἐννεάδος C — 24. 25. συνεχῶν ἀριθμῶν C — 26. νδ] ξγ, οβ add. H — 27. ἰδικὸν P) 62
τουτέστι τὸν διπλασιεπιτέταρτον εὔτακτον· καὶ τοῦτο ἐπινοεῖν πάρεστι τῷ βουλομένῳ μέχρις ἀπείρου. τὸ δὲ ἕτερον εἶδος ἄρχεται ἀπὸ τοῦ τριπλασιεφημίσους, οἷον ὁ ζ πρὸς τὸν β καὶ ὁ ιδ πρὸς τὸν δ καὶ ἀπλῶς οἱ καθʼ ἑβδομάδα προχωροῦντες πρὸς τοὺς ἀπὸ δυάδος εὐτάκτους ἀρτίους. εἶτα πάλιν ἐξ ὑπαρχῆς ὁ ι πρὸς τὸν γ τριπλασιεπίτριτός ἐστι πρῶτος, ὁ δὲ κ πρὸς τὸν Ϛ τριπλασιεπίτριτος δεύτερος, καὶ ἀπλῶς οἱ δεκαπλάσιοι ἐφεξῆς πρὸς τοὺς ἐφεξῆς τριπλασίους· ἃ δὴ ἀκριβέστερον κατιδεῖν δυνάμεθα καὶ τρανότερον ἐν τῷ προεπιγνωσθέντι διαγράμματι· πρὸς μὲν γὰρ τὸν πρῶτον στίχον οἱ ἐφεξῆς τάξει συγκείμενοι ὅλοι πρὸς ὅλον
[*](4. πρὸς τὸν ιβ † πρὸς τὸν β P τὰ β . . . τὰ ιδ . . . τὰ δ SH — 6. εὐτάκτους om. — 7. εἶτα om. CSH — τὰ ι . . . τὰ γ SH — 8. πρῶτος . . . τριπλ. om. G1 πρῶτος . . . δεύτ. om. P — τὰ δὲ κ . . . τὰ Ϛ G2SH — 9 δεύτερο G1 ς G2 — δεκαπλάσιοι] δεκάδι διαφέροντες G2 — 10. τριπλασίους ς] τριάδι διαφέροντας G2 superscr. S διπλασίους PH. G hocce add. diagramma διπλασι- εφήμισυς διπλασι- επίτριτος διπλασι- επιτέταρτος τριπλασι- εφήμισυς τριπλασι-επίτριτος τριπλασι- επιτέταρτος τετραπλασι- εφήμισυς τετραπλασι- επίτριτος ε β ζ γ θ δ ζ β ι γ ιγ δ θ β ιγ γ ι δ ιδ Ϛ ιη η ιδ δ κ Ϛ κϚ η ιη δ κϚ Ϛ ιε Ϛ κα θ κζ ιβ κα Ϛ λ θ λθ ιβ κζ Ϛ λθ θ κ η κη ιβ λϚ ιϚ κη η μ ιβ νβ ιϚ λϚ η νβ ιβ κε ι λε ιε με κ λε ι ν ιε ξε κ με ι ξε ιε λ ιβ μβ ιη νδ κδ μβ ιβ ξ ιη οη κδ ιβ οη ιη λε ιδ μθ κα ξγ κη μθ ιδ ο κα Ϟα κη ξγ ιδ Ϟα κα μ ιϚ νϚ κδ οβ λβ νϚ π κδ ρδ λβ οβ ιϚ ρδ κδ με ιη ξγ κζ πα λϚ ξγ ιη Ϟ κζ ριζ λϚ πα ιη ριζ κζ — 10. οὓς δὴ C — 12. διαγράμματι] cf. p. 51. — 13. ἐφεξῆς] στίχοι add. CS — συγκρινύμενοι CSH) 63
τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἐπʼ ἄπειρον ὑποδεικνύουσι πρὸς τὸν αὐτὸν ἀεὶ πρῶτον ἅπαντες συγκρινόμενοι, πρὸς δὲ τούς ὑπεράνω πάντας ἐφεξῆς εἷς ἕκαστος πρὸς τὸν γείτονα· τῆς ἀρχῆς ᾑμῖν ἀπὸ τοῦ δευτέρου γινομένης στίχου πάντα τὰ τοῦ ἐπιμορίου εἴδη κατὰ τὴν οἰκείαν εὐταξίαν γεννᾶται, ἀπὸ δὲ τοῦ τρίτου στίχου πρὸς αὐτόν τε πρῶτον καὶ τοὺς συνεχεῖς αὐτῷ καθʼ ἕκαστον οἱ ἀπὸ τοῦ πέμπτου περισσοταγεῖς πάντες ἀντεξεταζόμενοι τὰ τοῦ ἐπιμεροῦς πάντα εἴδη εὔτακτα ὑποδείξουσι· τοῦ δὲ πολλαπλασιεπιμορίου αἱ συγκρίσεις τάξιν φυσικὴν καὶ ἰδίαν ἕξουσιν, ἐὰν ἀπὸ τοῦ δευτέρου στίχου ἀρχόμενοι τοὺς ἀπὸ τοῦ πέμπτου συγκρίνωμεν ἀριθμούς, πρῶτον πρὸς πρῶτον καὶ δεύτερον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τρίτον καὶ οὕτως ἑξῆς, πρὸς δὲ τὸν τρίτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἑβδόμου, πρὸς δὲ τὸν τέταρτον τοὺς ἀπὸ τοῦ ἐνάτου, καὶ κατὰ τὴν ἁρμόζουσαν εὐταξίαν, μέχρις ἂν εὐτονῇ τις παρέπεσθαι. δῆλον δέ, ὅτι οἱ ἐλάττονες σὺν τῇ ὑπο προ ἀντονομάζονται καὶ ἐνθάδε πρὸς τοὺς μείζονας κατὰ τὰς ἐγκειμένας πᾶσι προςηγορίας.
[*](P)κγ. Πολλαπλασιεπιμερὴς δέ ἐστιν ἡ λοιπὴ σχέ- [*](XXIII. Io. Phil. ροϚ—ρϞα. — lambl. p. 60 seq. — Theοdori Protocensoris schol. (cf. Io. Phil. praef. p. XIV.) — Boëth. l. 26. 27. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 17. 18.) [*](1. ἐπʼ ἄπειρον om. H — 2. ἅπαντα G1 — 5. γινομέ- νου GP — 7. πρῶτον add. Ast — καὶ om. G — 8. αὐ- τοῦ G2 — ἀπὸ πέντε — 10. ἀποδείξουσι CS — 14. πρῶ- τον πρώτῳ . . . δεύτερον δευτέρῳ — 15. τρίτον] στίχον add. G2 — 15—17. artic. ante τρίτ., ἑβδ., τέτ., ἐν. om. H— 20. ἐνθάδε] ἐνάδα G1 — 21. ἐκκειμένας G2 — πάσας H) [*](XXIII. Περὶ πολλαπλ α σιεπιμ εροῦς GPH — 22. οἱ λοιπὴ G,)
64
σις τοῦ ἀριθμοῦ· αὕτη τε καὶ ἡ σὺν τῇ ὑπο προθέσει ἀντονομαζομένη αὐτῇ ἔστιν, ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἀριθμὸν ὅλον τε ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ πλεονάκις ἢ ἅπαξ (τουτέστι δὶς ἢ τρὶς ἢ ὁσακιςοῦν) καὶ πρὸς τούτῳ μέρη τινὰ αὐτοῦ πλείονα ἑνὸς ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς. ταῦτα δὲ οὐκ ἔστι μὲν ἡμίση διὰ τὰ προλεχθέντα ἤτοι δὲ τρίτα ἢ τέταρτα ἢ πέμπτα καὶ κατὰ τὴν ὁμοίαν ἀκολουθίαν. οὐ χαλεπὸν δὲ ἐκ τῶν προφρασθέντων νοῆσαι καὶ τὰ τούτου εἴδη, ὡς ὁμοίως καὶ ἀπαραλλάκτως τοῖς πρὸ αὐτοῦ ποικίλλεται, διπλασιεπιδιμερής, εἶτα διπλασιεπιτριμερής, εἶτα διπλασιεπιτετραμερής, καὶ ἀνάλογον· οἷον ὁ μὲν η τοῦ γ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ ὁ ιϚ τοῦ διπλασιεπιδιμερὴς καὶ καθόλου οἱ ἀπὸ ὀγδοάδος ὀγδοάδι διαφέροντες τῶν ἀπὸ τριάδος τριάδι διαφερόντων, ὁμοταγεῖς ὁμοταγῶν, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν εἰδῶν δύναιτʼ ἄν τις ἀκολουθῶν τοῖς προειρημένοις εὑρίσκειν τὴν εὐταξίαν· κἀνταῦθα δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει νοητέον προιοῦσαν καὶ συμμεταβαλλομένην τὴν τοῦ συγκρινομένου ἀντονομασίαν.
Καὶ οὕτως αἱ δέκα ἀριθμητικαὶ σχέσεις πέρας ἡμῖν τῆς θεωρίας, ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰςαγωγῇ· ἔστι δέ τις γλαφυρωτέρα ἔφοδος καὶ ἀναγκαιοτάτη πρὸς πᾶσαν τὴν τῶν ὅλων φυσιολογίαν, ἥτις ἡμῖν σαφέστατα καὶ ἀναμφιλέκτως παρίστησιν, [*](1. αὐτὴ S — 1. 2. αἱ . . . ἀντονομαζόμεναι GP — 2. ἔστιν additi — 3. πολλάκις P — 6. ταῦτα om. S — 10. τοῖς τοῦ πρὸ SH — 12. διπλασιεπιτετραμ.] εἶτα διπλα- σιεπιπενταμερής add. C καὶ πάλιν τριπλασιεπιδιμερής, τρι πλασιεπιτριμερής, τριπλασικπιτετραμερής add SH — 14. καθόλον P — 16. ὁμοταγων] διπλασιεπιδιμερείς εἰσι add. C — 19. συμπροιοῦσαν SH — συμβαλλομένην C— 20. αὐτο- νομασίαν G — 22. ἡμῖν τῆς om. CSH — λαμβάνει H — 23. γλαφυρότερος G — 24, πᾶσαν om. C)
65
ὅτι πρῶτον μὲν τὸ καλὸν καὶ ὡρισμένον καὶ ὑπὸ ἐπιστήμην πῖπτον φύσει προγενέστερον τοῦ ἀορίστου καὶ ἀπεριλήπτου καὶ αἰσχροῦ, εἶτα ὅτι καὶ τὰ τοῦ ἀπείρου καὶ ἀορίστου μέρη καὶ εἴδη ὑπʼ ἐκείνου μορφοῦται καὶ περαίνεται καὶ τοῦ προςήκοντος κόσμου καὶ εὐταξίας τυγχάνει καὶ ὥςπερ ὑπὸ σφραγιστῆρός τινος ἢ μέτρου πάντα τὰ ἐμπίπτοντα μεταλαμβάνει τῆς ὁμοιότητος καὶ ὁμωνυμίας· οὕτω γὰρ εὐλόγως καὶ τὸ τῆς ψυχῆς λογικὸν τοῦ ἀλόγου κοσμητικὸν ἔσται καὶ ὁ θυμὸς καὶ ἡ ἐπιθυμία ἐν τοῖς τῆς ἀνισότητος δυσὶν εἴδεσι τεταγμένα ὑπὸ
[*](P) τοῦ διανοητικοῦ εὐτακτηθήσονται ὡς ὑπό τινος ἰσότητος καὶ ταυτότητος. ἐκ δὲ τῆς ἀπισώσεως ταύτης ὀρθῶς ἡμῖν ἀποβήσονται αἱ λεγόμεναι ἠθικαὶ ἀρεταί, σωφροσύνη, ἀνδρεία, πρᾳότης, ἐγκράτεια, καρτερία καὶ αἱ ὅμοιαι.
Φέρε οὖν ἐπισκεψώμεθα, ποταπὸν τὸ εἰς τὰ φυσικὰ ταῦτα συντεῖνον θεώρημα· ἔστι δὲ ἀποδεικτικὸν τοῦ ἀπ᾿ ἰσότητος μονωτάτης καὶ πρωτίστης οἷον μητρός τινος καὶ ῥίζης γεννᾶσθαι πάντα τὰ τῆς ἀνισότητος ποικίλα εἴδη καὶ εἰδῶν διαφοράς. προκείσθωσαν γὰρ ἡμῖν ἐν τρισὶν ὅροις ἶσοί τινες ἀριθμοί, πρῶτον μὲν μονάδες, εἶτα δυάδες ἐν ἄλλοις τρισίν, εἶτα τριάδες, καὶ· ἑξῆς τετράδες, ἔπειτα πεντάδες, καὶ τοῦτο μέχρις οὗ βούλει· οὕτω γὰρ τῆς [*](1. ὡρισμένον] τὸ ἶσον add. — 2 πίπτον GPC — 4. καὶ ἀορ. μέρ. καὶ om. C — ὑπ᾿] ἐπ’ S — 10. ἐστί S — 11. τοῖς ἀνίσοις GP τοῖς τῆς ἀνισότητος CSH Io. Phil. ροη. has quodammo inaequalitatis formas Boëth. l. 27. — 15. ἀνδρία P — 16. καρτερία om. S — 17. 18. εἰς φυσ. τοιαῦτα H — 18. ἀποδεικτικὸν] μοναδικὸν S — 19. ἰσώ- τητος G — καὶ πρωτίστης om. P — 20. τινος om. P — 24. καὶ ἑξ τετρ. om. G — 25. τοῦτο om.)
66
τούτων ἐκθέσεως θείῳ τινὶ καὶ οὐκ ἀνθρωπίνῳ λόγῳ, ἀλλʼ ἀπὸ φύσεως αὐτῆς γεγονυίας πρῶτοι μὲν γενήσονται πολλαπλάσιοι, καὶ τούτων αὐτῶν ἡγήσεται μὲν διπλάσιος, μετʼ αὐτὸν δὲ τριπλάσιος, ἐπὶ δὲ τούτῳ τετραπλάσιος, εἶτα πενταπλάσιος, καὶ κατὰ τὴν προεπιγνωσθεῖσαν ἡμῖν τάξιν ἐπʼ ἄπειρον· δεύτερος δὲ ἐπιμόριος, καὶ τούτου πάλιν ἡγήσεται τὸ πρώτιστον εἶδος ἡμιόλιος, ἐπὶ τούτῳ δὲ τὸ μετʼ αὐτὸ ἐπίτριτος, ἐπὶ δὲ τούτοις ὁ τάξει ἑξῆς ἐπτέταρτος καὶ ἐπίπεμπτος καὶ ἔφεκτος καὶ ἀνάλογον ἐπʼ ἄπειρον· τρίτον δὲ τὸ ἐπιμερές, καὶ πάλιν αὐτοῦ τούτου ἐπιδιμερὲς μὲν ἡγήσεται, ἕπεται δʼ εὐθὺς ἐπὶ τούτῳ τὸ ἐπιτριμερές, εἶτα τὸ ἐπιτετραμερές, καὶ εὐθὺς τὸ ἐπιπενταμερές, καὶ μέχρις ἂν προχωρῇ τις ἀκολούθως τοῖς ἔμπροσθεν. προςτάγματα οὖν τινα δεῖ ἔχειν οἷον νόμους φυσικοὺς ἀπαρεγκλίτους καὶ ἀπαραβάτους, οἷς πᾶσα ἡ προλεχθεῖσα πρόβασις καὶ προχώρησις ἀπὸ τῆς ἰσότητος εὐοδώσει μὴ λειποτακτουμένη· τὰ δὲ προςτάγματα ταῦτά ἐστι, πρῶτον πρώτῳ ἶσον ποιῆσαι, δεύτερον δὲ πρώτῳ ἅμα καὶ δευτέρῳ, τρίτον δὲ πρώτῳ καὶ δυσὶ δευτέροις ἅμα καὶ τρίτῳ· γένοιτο γὰρ μετὰ τούτων τῶν νόμων πλάσσοντί σοι εὐθὺς μὲν τὰ τοῦ πολλαπλασίου ἅπαντα εἴδη τάξει ἐκ τῶν τῆς ἰσότητος
[*](1. ἑκάστης ἐκθέσ. SH — 2. ἀπὸ] ὑπὰ — γεγονᾶς P — 4. μετʼ αὐτὸν] μετὰ τοῦτον — 9. μετʼ αὐτὸν CSH — τούτοις] -ου -ῳ H — 10. εἶτα ἐπίπ. CSH — καὶ ἔφεκτος om. — 11. ἐπ᾿ om. G μέχρις ἀπείρου CSH — 12. τούτου om. — ἕψεται CSH — 13. ἐπὶ om. H — 14. καὶ . . . ἐπιπεντ om. G — εὐθύς] τούτῳ add. H — 15. ἀκολουθῶν P — 18, εὐδώσει — 20. ἔσται — ποί- ησον S — 22. γὰρ] ἂν add. Ast — 23. πλάσσώντι G — σοι] μοι C — 21. τῆς ἰσότ. om. P) 67
τριῶν ἐκκειμένων ὅρων οἷον βλαστάνοντα καὶ ἐκφυόμενα, σοῦ μηδὲν ἐπιτηδεύοντος μηδὲ συλλαμβάνοντος· καὶ ἐκ μὲν ἰσότητος εὐθὺς τὸ διπλάσιον,
[*](P) ἐκ δὲ διπλασίου εὐθὺς τὸ τριπλάσιον, ἐκ δὲ τριπλασίου ἑξῆς τὸ τετραπλάσιον καὶ ἐκ τούτου τὸ πενταπλάσιον εὐτάκτως καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί. ἐκ δὲ αὐτῶν τούτων τῶν εὐτάκτως πολλαπλασίων ἀναστραφέντων εὐθὺς γεννῶνται φύσει τινὶ ἀναγκαίᾳ διὰ τῶν αὐτῶν τριῶν προςταγμάτων οἱ ἐπιμόριοι, καὶ οὗτοι οὐχ ὡς ἔτυχεν οὐδὲ ἀτάκτως, ἀλλὰ τῇ προςηκούσῃ ἀκολουθίᾳ· ἐκ μὲν τοῦ πρώτου διπλασίου ἀναστραφέντος ὁ πρῶτος ἡμιόλιος, ἐκ δὲ τοῦ δευτέρου τριπλασίου ὁ ἐν ἐκείνοις δεύτερος ἐπίτριτος, εἶτα ἐπιτέταρτος ἐκ τετραπλασίου, καὶ ἀπλῶς ἕκαστος ἀπʼ ἐκείνου, ᾧ παρώνυμός ἐστιν. ἀπὸ δὲ ἄλλης ἀρχῆς αὐτῶν τῶν ἐπιμορίων ἐκκειμένων, ὥςπερ καὶ ἀνεφύησαν, ἀναστρόφως μέντοι, γεννῶνται οἱ φύσει μετʼ αὐτοὺς ἐπιμερεῖς· ἀπὸ μὲν τοῦ ἡμιολίου ἐπιδιμερής, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐπιτρίτου ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς ἐκ τοῦ ἐπιτετάρτου καὶ ἐπʼ ἄπειρον τῇ αὐτῇ ἀναλογίᾳ. μὴ ἀναστρεφομένων δέ, ἀλλʼ ὀρθῶς ἐκκειμένων τῶν εὐτάκτων ἐπιμορίων γεννῶνται διὰ τῶν αὐτῶν προςταγμάτων οἱ πολλαπλασιεπιμόριοι· διπλασιεφήμισυς μὲν ἐκ τοῦ πρώτου ἡμιολίου, διπλασιεπίτριτος δὲ ἐκ τοῦ δευτέρου ἐπιτρίτοu, διπλασιεπιτέταρτος δὲ ἐκ τοῦ τρίτου ἐπιτετάρτου,
[*](1. τριῶν om. — 3. τῆς ἰσότ. — 4. τοῦ διπλ. . . . τοῦ τριπλ SH — 5. ἑξῆς] om. εὐθὺς H — τὸ om GP — καὶ ἐκ . . . πενταπλ om. — πενταπλ.] εὐθὺς add. S — 6. εὐτάκτων GH — 7. ἀντιστραφέντων — 12. πρώ- τιστος — 13. ἐκείνης, οὗ H — 15. ἐστιν] δὲ G — 16. κειμένων — 17. ἀντιστρόφως PH — 18. ἐπιδιμερεῖς G — 21. ἀνεστραμμένων SH — 22. κειμένων H) 68
καὶ ἀεὶ οὕτως. ἐκ δὲ τῶν ἐξ ἀναστροφῆς τῶν ἐπιμορίων γεννηθέντων, τουτέστι τῶν ἐπιμερῶν, καὶ τῶν μὴ ἐξ ἀναστροφῆς, τουτέστι πολλαπλασιεπιμορίων, πάλιν τῷ αὐτῷ τρόπῳ διὰ τῶν αὐτῶν προςταγμάτων ἀπογεννῶνται ὀρθῶς τε κειμένων καὶ ἀναστρεφομένων οἱ τὰς λοιπὰς σχέσεις ἐμφαίνοντες ἀριθμοί. πάντων δὲ τῶν προειρημένων, γενέσεώς τε αὐτῶν καὶ τάξεως, ὀρθότητός τε καὶ ἀναστροφῆς ὑποδείγματα ἀρκείτω ἡμῖν πρὸς ὑπόμνησιν τὰ τοσαῦτα. ἐκ μὲν τῆς ἐν ἡμιολίοις σχέσεως καὶ ἀναλογίας ἀνεστραμμένης ἐκ τοῦ μείζονος ὅρου συνίσταται σχέσις ἐν ἐπιμερέσι λόγοις ἐπιδίτριτος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος κειμένης ὀρθῶς πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεφήμισυς, ὡς ἀπὸ τοῦ
θ, ϛ, δ ἤτοι
θ, ιε, κε ἢ
δ, ι, κε· ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἐπιμερὴς ἤτοι τριςεπιτέταρτος, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάσσονος διπλασιεπίτριτος, ὡς ἐκ τοῦ
ιϚ, ιβ, θ ἤτοι
ιϚ, κη, μθ ἢ
θ, κα, μθ· [*](1. ἀντιστροφῆς — 3 καὶ τῶν μὴ . . . πολλαπλ. om. CH — 6 καὶ μὴ ἀναστρ. καὶ μὴ ἀντιστρεφομένων οἱ τὰ εἴδη τῆς λοιπῆς σχέσεως ἐμφ ἀρ. τουτέστι τῆς πολλα- πλασιεπιμεροῦς C — 11. καὶ ἀναλογ om C — ἀντεστραμμ. H — 13. ὀρθῆς GC — 20. ἐπιτρίτης G — ἐπιμερής SH ἐπιτριμερής GPC — 21. ἐπιτριτέταρτος C) 69
[*](P) ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ ὑπερέχοντος ἐπιμερὴς ἤτοι τετρακιςεπίπεμπτος, ἐκ δὲ τοῦ ἐλάττονος πολλαπλασιεπιμόριος ἤτοι διπλασιεπιτέταρτος, ὡς ἐκ τοῦ
κε, κ, ιϚ ἤτοι
κε, μδ, πα ἢ
ιϚ, λϚ, πα. ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν διαζευχθεισῶν καὶ ἀφʼ ἧς ἀμφότεραι, ὁ μὲν ἔσχατος τετράγωνος ὁ αὐτὸς μένει, ὁ δὲ πρῶτος εἰς τὸν ἐλάττονα μεταβαίνει, πάντως δὲ οἱ ἄκροι τετράγωνοι. ἀλλὰ μὴν καὶ ἑτέρως ἐκ τῶν ἐπιμερῶν οἱ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἑτερογενεῖς ἐπιμερεῖς ἀναφαίνονται, οἷον ἐκ μὲν τῆς διςεπιτρίτου ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἡ διπλασία καὶ διςεπίτριτος· ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τριςεπίπεμπτος, ὡς ἐκ τοῦ
θ, ιε, κε ἤτοι
θ, κδ, ξδ ἢ
κε, μ, ξδ· ἐκ δὲ τῆς τριςεπιτετάρτου ἐκ μὲν τοῦ μικροτέρου ἡ διπλασία καὶ τριςεπιτέταρτος, ἐκ δὲ τοῦ μείζονος ἡ τετρακιςεφέβδομος, ὡς ἐπὶ τοῦ
[*](2. ἐπιμερεῖς G ἡ ἐπιμ. — ἐπιτετράπεμπτος C — 4. ἐκ τῆς S — 8. 9. ἢ . . . πα om. H — 10. διαζευχθει- σῶν] intell. σχέσεων cf. Io. Phil. ρπϚ. lambl. p. 70. — ἀμ- φότεραι] ἀμφότερα GP intell. σχέσεις γίνονται — 15. ἑπι- διτρίτου — 17. διπλασιεπιδίτριτος C — ἑπιτρίπεμπτος — 18. ἐκ τῆς θ H — 22. 23. ἢ κε ἢ μ ἢ ξδ P — 24. ἐπιτριτέταρτος C — 25. διπλασιεπιτριτέταρτος C — 26. ἐπι- τετραέβδομος C — ἐπὶ τῆς S) 70
ιϚ, κη, μθ ἤτοι
ιϚ, μδ, ρκα ἢ
μθ, οζ, ρκα. πάλιν δὲ ἐκ τῆς τετράκιςἐπιπέμπτου, οἷον τῆς
κε, μδ, πσ, ἀπὸ μὲν τοῦ ἐλάσσονος ἡ διπλασία καὶ τετρακιςεπίπεμπτος ἐν τοῖς,
κε, ο, ρϞϚ, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος πάλιν ἐπιμερὴς ᾔ πεντακιςεπένατος ὡς ἐν τοῖς
πα, ρκϚ, ρϞϚ, καὶ κατὰ τὰ ἐξῆς ἐπʼ ἄπειρον ἀνάλογα καὶ εὐάρμοστα εὑρήσεις.
[*](6. ἐπιτετρακιςεπιπέμπτου GP — 7. κε, με, πα inuerso ord. GPH — 8. διπλασιεπιτετράπεμπτος C — 9. ἐν τοῖς] οἷον C — 11. ἐπιπεντέννατος C — 12. ὡς ἐν τοῖς] οἷον C — 13. πα, με. κε ἢ add. G1P (om. ἢ) — 14. τὰ ἑξ. PH — 15. εὑρήσεις] CSH[N] Γ (G2 adscholialo. Philoponi cf. p. XV ed. meae) haecce addunt; ἐπὶ πασῶν μέντοι τῶν ἐκκειμένων θέσεων [ἐκθέ- σεων G2SΓ] πάντως οἱ ἄκροι τετράγωνοί εἰσιν· οἱ δὲ μέσοι ἐκ τῶν πλευρῶν αὐτῶν ἐπʼ ἀλλήλοις [-αις G2 -ας -ας Γ] γινομένων [γεν. G2S] καὶ ὁ μὲν πρῶτος [α G2] τῆς ἀπογεν- νώσης εἰς τὸν ἐλάττονα [ἐλάχιστον C] τῆς γινομένης μετα- βαίνει, ἐν ἀμφοτέραις δὲ ταῖς γεννηθείσαις ὁ ἔσχατος καὶ μείζων τετράγωνος ὁ αὐτός ἐστιν [ὡςαύτως εἰσὶν Γ]. his additamenti uerbis cum codicum lectione compositis (§ 15) Aetius lanc proposuit scripturam: ἐπὶ πασῶν δὲ τῶν ἐκκει- μένων σχέσεων, τῶν διαζευχθεισῶν καὶ ἀφ᾿ ἧς ἀμφότεραι, πάντες οἱ ἄκροι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ μέσοι ἐκ τῶν πλευ ρῶν αὐτῶν ἐπαλλήλων γίνονται· καὶ ὁ μὲν πρῶτος τῆς ἀπογεν- νώσης εἰς τὸν ἐλάττονα τῆς γεννωμένης μεταβαίνει, ἐν ἀμφο- τέραις δὲ ταῖς γεννηθείσαις ὁ ἔσχατος καὶ μείζων τετράγωνος ὁ αὐτὸς ἐστίν. — ln omnihus fere codicibus Nicomacli praece- pta exemplis quibuIsdam inlustrantur, e quibus ea, quae cod. Gotting. adscripsit, lectori proponere satis habuimus:)71
1. (§. 8): ὅρα, πῶς ἐκ τῆς ἰσότητος ἀπογεννῶνται τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη·
α α αδιπλ.α β δτριπλ. α γ θτετραπλ.α δ ιϚπενταπλ.α ε κεἑξαπλ.α Ϛ λϚἑπταπλ.α ζ μθὀκταπλ.α η ξδἐναπλ.α θ παδεκαπλ.α ι ρ 2. (§. 9): ὅρα, πῶς οἱ ἡμιόλιοι ἀπὸ τῶν διπλασίων ἀναστραφέντων·
διπλάσιοι ἀναστραφέντες δ β αἡμιόλιοι δ ϛ θ· ὅρα, πῶς οἱ ἐπίτριτοι ἀπὸ τῶν τριπλασίων, ἀναστραφέντων καὶ τούτων·
τριπλάσιοι ἀναστραφέντες θ γ αἐπίτριτοι θ ιβ ιϛ· ὅρα, πῶς καὶ οἱ ἐπιτέταρτοι ἀπὸ τῶν τετραπλασίων ἀναστραφέντων·
τετραπλάσιοι ιϚ δ αἐπιτέταρτοι ιϚ κ κε· πῶς καὶ ἐκ τῶν πενταπλασίων οἱ ἐπέπεμιπτοι·
κε ε ακε λ λϚ· πῶς ἐκ τῶν ἑξαπλασίων οἱ ἔφεκτοι· λϚ Ϛ α
λϚ μβ μθ· πῶς ἐκ τῶν ἑπταπλασίων οἱ ἐφέβδομοι· μθ ζ α
μθ νϛ ξδ· 72
καὶ ἐκ τῶν ὀκταπλασίων οἱ ἐπόγδοοι· ξδ η α
ξδ οβ πα· καὶ ἐκ τῶν ἐναπλασίωον οἱ ἐπένατοι· πα θ α
πα Ϟ ρ· καὶ ἐκ τῶν δεκαπλασίων οἱ ἐπιδέκατοι· ρ ι α
ρ ρι ρκα. 3. (§. 10): ὅρα, πῶς ἀναστρόφως ἐκκείμενοι οἱ ἐπιμόριοι ἀπεγέννησαν τοὺς ἐπιμερεῖς·
τὰ εἴδη τοῦ ἐπιμορίου·
ἡμιόλιοι
ἀναστραφέντες ἐπίτριτοι ἐπιτέταρτοι
θ ϛ δ ιϛ ιβ θ κε κ ιϚ
ἐπιδιμερεῖς ἐπιτριμερεῖς ἐπιτετραμερεῖς
θ ιε κε ιϚ κη μθ κε με πα
ἐπίπεμπτοι ἔφεκτοι ἐφέβδομοι
λϚ λ κε μθ με λϛ ξδ νϚ μθ
ἐπιπενταμερεῖς ἐφεξαμερεῖς ἐφεπταμερείς
ξϚ ρκα μθ Ϟα ρξθ ξδ ρκ σκε
ἐπόγδοοι ἐπένατοι ἐπιδέκατοι
πα οβ ξδ ρ Ϟ πα ρκα ρι ρ
ἐποκταμερεῖς ἐπεναμερεῖς ἐπιδεκαμερεῖς
πα ρνγ σπθ ρ ρϞ τξα ρκα σλα υμα (in exemplis tribus extremis cod. G articulum adponit: οἱ ἐπόγδ. cet.)
Τέλος P. Τέλος τοῦ πρώτου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς εἰς δύο τοῦ Γερασυνοῦ μ. Τέλος τοῦ πρώτου βιβλίου ΗΓ
73
[*](Ed. Par. p. 39)α. Ἐπειδὴ στοιχεῖον λέγεται καὶ ἔστιν, ἐξ οὗ ἐλαχίστου συνίσταται τι καὶ εἰς ὃ ἐλάχιστον ἀναλύεται (οἷον γράμματα μὲν τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς στοιχεῖα λέγεται, ἐξ αὐτῶν τε γὰρ ἡ σύστασις τῆς συμπάσης ἐνάρθρου φωνῆς καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἀναλύεται· φθόγγοι δὲ μελῳδίας ἁπάσης, ἀφʼ ὧν ἄρχεται συγκρίνεσθαι καὶ εἰς οὓς ἀναλύεται· κοινῇ δὲ τοῦ κόσμου τὰ λεγόμενα τέσσαρα στοιχεῖα ἁπλᾶ ὑπάρχει [*](I. Io. Phi. Schol. ined. rec. l (codd. GH) α—δ; rec. II. (cod. C) α—δ. — Boëth. lI. 1.) [*](1. ΓΕΡΑΣΙΝΟΥ P — 2. ΠΥΘ om. P Πυθαγορείου S Τοῦ αὐτοῦ ϹΓ Τοῦ αὐτοῦ εἰς δύο δεύτερον μ — 3. εἰςαγωγῆς om. P — 4. εἰς τὰ δύο S — βιβλίον δεύτ. (om. τῶν εἰς δύο) H) [*](I. 6. ἐλαχίστ. συνίστ.] πρωτίστου ἄρχεταί — ἐλά- χιστον] γρ. ἔσχατον P in mrg. — 8. γὰρ om. G — 9. καὶ ἀναλ. om. GP — 10. ἀφ᾿ ὧν] φωνῆς P — 12. στοι- χεῖα] ἅπερ add. C — ἁπλῶς P)
74
σώματα, πῦρ, ὕδωρ, ἀήρ, γῆ· ἐκ γὰρ πρωτίστων αὐτῶν ἡ σύστασις τοῦ παντὸς φυσιολογεῖται καὶ εἰς αὐτὰ ἔσχατα ἐπινοεῖται ἡ ἀνάλυσις), ἀποδεῖξαι δὲ βουλόμεθα, ὅτι καὶ ἡ ἰσότης στοιχεῖόν ἐστι τοῦ πρός τι ποσοῦ· τοῦ γὰρ ἀπλῶς καὶ καθʼ αὑτὸ ποσοῦ μονὰς ἦν καὶ δυὰς τὰ ἀρχικώτατα στοιχεῖα, ἐξ ὧν ἐλαχίστων καὶ ἐπʼ ἄπειρον ἀεὶ συνίσταται καὶ αὔξεται καὶ ἐπὶ τὸ μεῖον ἀναλυόμενον ἵσταται. ἀλλὰ τὴν μὲν ἐπὶ τῆς ἀνισότητος προκοπὴν καὶ ἐπαύξησιν ἀπεδείξαμεν ἀπὸ ἰσότητος γινομένην ἐπὶ πάσας ἁπλῶς τὰς σχέσεις μετά τινος εὐταξίας διὰ τριῶν προςταγμάτων· λοιπὸν δʼ, ἵνʼ ὡς ἀληθῶς στοιχεῖον ᾖ, ἀποδεικνύειν, ὅτι καὶ αἱ ἀναλύσεις ἐπʼ αὐτὴν ἐσχάτην περαιοῦνται· ἔφοδον ἰστέον τοιαύτην καθολικήν.·
β. Δοθέντων σοι τριῶν ὅρων ἐν ᾑτινιοῦν σχέσει καὶ ἀναλογίᾳ, εἴτε πολλαπλασίῳ εἴτε ἐπιμορίῳ εἴτε ἐπιμερεῖ εἴτε συνθέτῳ ἀπὸ τούτων πολλαπλασιεπιμορίῳ ἤτοι πολλαπλασιεπιμερεῖ, μόνον ἵνα ἐν τῷ αὐτ ῷ λόγῳ ὁ μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα θεωρῆται, ἐν ᾧ ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ἢ ἀνάπαλιν, αἰεὶ τὸν ἐλάττονα ἀφαίρει ἀπὸ τοῦ μέσου, ἐάν τε πρῶτος ᾖ κείμενος ἐάν τε ἔσχατος, καὶ τίθει αὐτὸν μὲν τὸν [*](II. lo. Phil. rec. I ε—ιβ: rec. II ε— ια. — Soterichi Schol. ined. (cod. H) — Boëth. II. 2.) [*](8. ἀναλυομένου G -μενα PSH — 9. ἐπὶ om. H — αὔξησιν — 12. 13. λοιπόν, ἵν᾿ ὡς ἀλ. ᾖ, ἀποδ. ὅτι στοιχεῖόν ἐστι καὶ ὅτι καὶ αἱ ἀναλ. C — 14. ἔφοδον] οὖν add. P δὲ H — καθολικῶς P) [*](II. Ἡ ἔφοδος P — 16. σχέσει] θέσει G1; σχέσει tue- tur Io. Phil. rec. II. ε — 18. ἐπισυνθέτῳ H — πολλα- πλασιπιμορίῳ om. GPH)
75
ἐλάσσονα πρῶτον ὅρον, τὸ δὲ λειφθὲν ἀπὸ τοῦ
[*](P) δευτέρου μετὰ τὴν ἀφαίρεσιν δεύτερον τάσσε ὅρον, ἑνὸς δὲ τοιούτου πρώτου καὶ δύο τοιούτων δεύτερων ἀφαιρεθέντων ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ μείζονος τῶν δοθέντων σοι, τὸ λειπόμενον ποίει τρίτον ὅρον καὶ ἔσονται αἱ γινόμεναι ἐν ἄλλῃ τινὶ σχέσει προγενεστέρᾳ κατὰ φύσιν. πάλιν δὲ ἀπʼ αὐτῶν τούτων τῷ αὐτῷ τρόπῳ ἂν ἀφέλῃς ὅρου τὸ λειπόμενον, οἱ τρεῖς ὅροι ἀναπεποδισμένοι σοι εὑρεθήσονται εἰς πυθμενικωτέρους ἄλλους τρεῖς, καὶ τοῦτο ἀεὶ ἀκόλουθον εὑρήσεις γινόμενον, μέχρις ἂν εἰς ἰσότητα ἀναχθῶσιν· ἐξ οὗ πᾶσα ἀνάγκη δηλονότι ἀποφαίνεσθαι, τῆν ἰσότητα τοῦ πρός τι ποσοῦ στοιχεῖον πάντως εἶναι. παρέπεται δὲ τῇ τοιαύτῃ θεωρίᾳ ἐμμουσότατόν τι θεώρημα καὶ χρησιμώτατον εἴς τε τὴν Πλατωνικὴν ψυχογονίαν καὶ εἰς τὰ ἁρ μονικὰ διαστήματα πάντα· κελευόμεθα γὰρ ἐκεῖ πυκνῶς λόγου χάριν ἀποστῆσαι ἐφεξῆς δύο ἡμιολίους λόγους ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ ἐπʼ ἄπειρον ἢ δύο ἐπιτρίτους ἢ ἐπιτετάρτους ἢ ἐπογδόους ἢ οἵους δήποτε ἐπιμορίους καὶ καθʼ ἕκαστον αὐτῶν ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ πέντε ἢ μέχρις ὅσων τις προςτάσσει. εὔλογον δέ ἐστι, μὴ ἰδιωτικῶς καὶ ἀνεπιστημόνως, ἔστι δὲ ὅτε καὶ διημαρτημένως τὸ τοιοῦτον ποιεῖν, ἀλλʼ ἐντέχνως τε καὶ ἀπταίστως καὶ τάχιστα ἐφόδῳ τοιαύτῃ.
[*](1. τὸν δὲ λειφθέντα S — 3. δευτέρων om. H — 5. σοι om. G — 7. ἀπʼ] ἐπʼ S — 8. ἀφέλησι ἀπὸ τῶν αὐ- τῶν ὅρων P — 11. ἂν] οὗ S — 14. παντὸς H — εἶναι om. S — 15. ἐμμουσώτατον P τε καὶ γλαφυρώτατον add H εὐμουσότ. S ut ait Nicomachus ἑννοιόφατον θεώρ. Boëth. χρηομεύει Soterich. — 16. ψρχωγονίαν PS. cf. Plat. Tim. — 22. ὅσον P — 22. 23. ὅσων ἄν τις προςτάσσοι ὧν ἄν τις προςτάσσῃ S ἂν ὅσων τις ἐπιτάξῃ — 26. ἐφʼ ὅδῳ P)76
γ. Ἅπας πολλαπλάσιος τοσούτων ἐπιμορίων ἡγήσεται λόγων ἀντιπαρωνύμων αὐτῷ, ὁπόστος ἂν αὐτὸς ὥν τυγχάνῃ ἀπὸ μονάδος, οὔτε δὲ πλειόνων οὔτε ἐλαττόνων οὐδεμιᾷ μηχανῇ. διπλάσιοι μὲν οὖν ἡμιολίους φύσουσιν, ὁ πρῶτος ἕνα, ὁ δεύτερος δύο, ὁ τρίτος τρεῖς, ὁ τέταρτος τέσσαρας, ὁ πέμπτος πέντε, ὁ ἕκτος ἕξ καὶ οὔτε πλείονας οὔτε ἐλάττονας, ἀλλʼ ἐξ ἀνάγκης πάσης, ὅταν τὴν σύμμετρον ποσότητα ἀπολάβωσιν οἱ γεννηθέντες ἐπιμόριοι ἰσάριθμοι γενόμενοι τοῖς γεννήσασι πολλαπλασίοις, τότε δὴ ἔκ τινος δαιμονίας μηχανῆς εὑρίσκεται ὁ πάντας περαίνων ἀριθμὸς ἀνεπίδεκτος ὢν φύσει ἐκείνου. τοῦ μορίου, καθʼ ὃ προέκοπτον οἱ ἐπιμόριοι· ἀπὸ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι πάντες προκόψουσι καὶ αὐτοὶ ἰσάριθμοι τοῖς γεννῶσιν οἱ γεννώμενοι [*](P) καὶ περαιούμενοί γε μετὰ τὴν αὐτάρκειαν τῆς προκοπῆς εἰς ἀριθμούς μὴ ἐπιδεκτικοὺς τρίτου· καὶ ἐπιτέταρτοι δὲ κατὰ ταυτὸν ἐκ τετραπλασίων ἐπικορύφωσιν λαμβάνοντες ἀριθμὸν μετὰ τὴν αὐτάρκη πρόβασιν τετάρτου μὴ ἐπιδεκτικόν. οἷον διπλασίων μὲν ὑποδείγματος χάριν ἰσαρίθμους γεννώντων ἡμιολίους ὁ μὲν ἄνω στίχος ἔσται πολλαπλασίων ὁ πρῶτος [*](III. Io. Phil. rec. l, ιγ—ιϚ; rec. ll, ιβ—ιε. — Iambl p. 72. 73. — Boëth. II. 2.) [*](III. Μέθοδος, ὅπως δεῖ ἐκ τῶν πολλαπλασίων τοὺς ἑπιμορίους εὑρίσκειν — 2. ἀντιπαρωονυμούν- των H — ὁπόσος H — 3. τυγχάνει P -οι C — 7. ὁ ἕκτ. ἕξ om. H — 9. ἐπιμόριοι om. PC — 12. περαιῶν PC — 14. προκόπτουσι H — 15. γινόμενοι, om. οἱ C — 16. μετ αὐτὴν αὐτάρκη αὐτῆς προκ. P — 17. ἀριθμὸν SH — ἐπι- δεκτικ G δεκτικὸν H τρίτον ἀνεπιδεκτικὸν S — 18, πε- ρικορύφωσιν H — 20. δεκτικὸν. H)
77
α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ· ἐπεὶ δὲ πρῶτός ἐστιν ὁ β μετὰ τὴν μονάδα, ἑνὸς κατάρξει οὗτος ἡμιολίου μόνου τοῦ γ, ὅςτις ἡμίσους ἐπιδεκτικὸς οὐκ ἔστιν, ἵνα καὶ ἄλλος αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος· ὁ πρῶτος ἄρα διπλάσιος ἑνὸς μόνου γεννητικός ἐστιν ἡμιολίου, ὁ δὲ δεύτερος ὁ δ δυεῖν γεννητικὸς ἡμιολίων, αὐτοῦ μὲν γὰρ ὁ Ϛ, τοῦ δὲ Ϛ ὁ θ, τοῦ δὲ θ οὐκ ἔστιν ἄλλος, ἥμισυ γὰρ οὐκ ἔχει· ὁ δὲ η τρίτος ὢν διπλάσιος τριῶν ἡμιολίων ἔσται πατήρ, ἑνὸς μὲν τοῦ ιβ πρὸς αὐτόν, ἑτέρου δὲ τοῦ ιη πρὸς τὸν ιβ, τρίτου δὲ τοῦ κζ πρὸς τὸν ιη, τετάρτου δὲ οὐκέτι διὰ τὸ καθολικόν, ὁ γὰρ κζ ἥμισυ οὐκέτι ἐπιδέχεται· ὁ δὲ ιϚ τέταρτος ὢν διπλάσιος τεσσάρων ἡγήσεται ἡμιολίων, τοῦ τε κδ, τοῦ λϚ, τοῦ νδ καὶ τοῦ πα τελευταίου, ἵνα ἰσάριθμοι ἀνάγκαίως ὦσι τοῖς γεννήσασιν, ὁ γὰρ πα οὐκέτι ἥμισυ φύσει ἐπιδέχεται· καὶ τούτο μέχρις ἀπείρου προιών ἀνάλογον εὑρήσεις. οἷον ὑποδείξεως ἕνεκα γεγράφθω οὕτως διπλασίου διάγραμμα
Διπλασίων διάγραμμα·
κατὰ τὸ πλάτος διπλάσιον.
α β δ η ιϚ λβ ξδ
γ Ϛ ιβ κδ μη ϞϚ
θ ιη λϚ οβ ρμδ
κζ νδ ρη σιϚ
πα ρξβ τκδ
σμη υπϚ
ψκθ
κατὰ τὴν ὑποτείνουσαν τριπλάσιον.
κατὰ τὸ βάθος
ἡμιόλοιν
[*](1. ξδ] ρκη add. C — 3. ἄρξει S — μόνου] λόγου S, om. C — ὅς H — 4. ὑπ᾿ αὐτοῦ S ἀπ᾿ αὐτοῦ H — 5. γενητικός G — 6. ἔσται C — δυεῖν G — 7. ἡμιολίοιν S — 10. ἑαυτὸν S — 12. ὁ γὰρ] ὁ μὲν G — 13. ἐπιδέχεται] ἵνα καὶ ἄλλος ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἡμιόλιος add. S — 16. τῶ γεννήσαντι ιϛ C — 16. 17. φύσ. ἥμ. οὐκ ἐπιδ. H — 18. ὑποδείγματος χάριν CS — ἕνεκεν — ἐγγεγράφθω S 19. διπλασίων H — 20. sclema om. PH: CS sic inscri-)78
δ. Τριπλασίου δὲ ὑπόδειγμα παραπλήσιον διαγράφειν δεῖ·
Τριπλασίων διάγραμμα·
κατὰ μὲν τὸ πλάτος τριπλάσιον.
α γ θ κζ πα σμγ ψκθ
δ ιβ λϚ ρη τκδ Ϡοβ
ιϚ μη ρμδ υλβ ᾳσϞϚ
ξδ ρϞβ φοϚ ᾳψκη
σνϚ ψξη βτδ
ᾳκδ γοβ
ᾳκδ γοβ
κατὰ δὲ τὴν ὑποτείνουσαν τετραπλάσιον.
κατὰ δὲ τὸ βάθος ἐπίτριτον.
ἐν ᾧ κατὰ ταυτὰ ὀψόμεθα τὸν μὲν πρῶτον τὸν γ ἑνὸς μόνου ἐπιτρίτου ἡγούμενον λόγου τοῦ δ πρὸς αὐτόν, ὅςτις ἀποκλείει εὐθύς ἑτέρου γένεσιν ὁμοίου· τρίτον γὰρ οὐκ ἐπιδέχεται ὁ δ, οὐκ ἄρα οὐδʼ ἐπίτριτον ἕξει· δεύτερος δὲ τριπλάσιός ἐστιν ὁ θ, διὰ τοῦτο δυεῖν μόνων ἐπιτρίτων κατάρξει λόγων τοῦ τε ιβ πρὸς αὐτὸν καὶ τοῦ ιϚ πρὸς τὸν ιβ· ὁ δὲ ιϚ ἀνακόπτει τὴν πρόβασιν λοιπόν, τρίτου γὰρ οὐκ ἔστιν ἐπιδεκτικός, διόπερ οὐδὲ ἐπίτριτόν τινα ἔχει ἐν ἑαυτῷ. ἑξῆς δὲ τέτακται τριπλάσιος ὁ κζ ἐν τρίτῃ ἀπὸ μονάδος χώρᾳ τριπλασίων προχωρούντων [*](IV. lo. Phil. rec. l, ιζ, ιη. — Iambl. p. 72. 73. — Boëth. II. 2.) [*](bunt: διπλάσιοι κατὰ πλάτος —ἡμιόλιοι τῶν ἐπάνω οἱ κάτω — τριπλάσιοι οἱ διαγώνιοι πάντες; idem codd. seriem perpen- dicularem octauam addunt: ρκη. ρϞβ, σπη, υλβ, χμη, Ϡοβ. αυνη, βρπζ.) [*](IV, 1. τριπλασίων H — παράδειγμα om. — 3—11. Diagramma om. PH; Codd. CS, in quibus series septima ψκθ . . . δϞϚ abest, lasce praebent inscriptiones; τριπλὰσιοι κατὰ πλάτος — ἐπίτριτοι τῶν ἐπάνω οἱ κάτω — τετραπλά. σιοι οἱ διαγώνιοι — 12. ταυτὸν P — 14, ἀποκλείσει P — 16. ἔχει H — 17. 18. τουτέστι ιβ P — 19. τρίτον G — 20. τινα om. H — 20. 21. ἔχει ἑαυτοῦ — ἕξει αὐτοῦ H — 22. τριπλασίως CH)
79
α, γ, θ, κζ· [*](P) διὰ τοῦτο τριῶν μόνων κατάρξει καὶ αὐτὸς ἐπιτρίτων λόγων, πλειόνων δὲ οὐδαμῶς· αὐτοῦ μὲν γὰρ πρῶτος ὁ λϚ, τούτου δὲ δεύτερος ὁ μη, τρίτος δὲ τούτου ὁ ξδ, ὃς οὐκέτι τρίτον μέρος ἔχει, διὸ οὐδʼ ἐπιτρίτου δεκτικός, καὶ ὁ τέταρτος τεσσάρων ἡγεμών ἐστι λόγων καὶ ὁ πέμπτος δηλονότι πέντε. τὸ δὲ ὑπόδειγμα τοιοῦτον· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν δὲ πολυπλασίων ὁ αὐτὸς τῶν διαγραμμάτων ἔστω σοι τρόπος παρατηροῦντι, ὅτι καὶ ἐνταῦθα ἡ φύσις, ὥςπερ καὶ ἐν τοῖς προτεχνολογηθεῖσιν εὕρομεν, προγενεστέρους ἡμῖν παρεμφαίνει διπλασίους μὲν τριπλασίων, τριπλασίους δὲ τετραπλασίων, τούτους δὲ πενταπλασίων, καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντός· οἱ μὲν γὰρ ἐπὶ πλάτος στίχοι οἱ ἀνωτάτω, ἐὰν ὦσι διπλάσιοι, ὁμοίως ἕξουσι τοὺς ὑπ᾿ αὐτοὺς παραλλήλους κειμένους, τοὺς δὲ ὑποτείνοντας διαγωνίους τοῦ αὐτοῦ γένους τὸ συνεχὲς καὶ μονάδι μεῖζον εἶδος, ὅ ἐστι τριπλασίους, ἐν παραλλήλῳ ἐξετάσει θεωρουμένους· εἰ δʼ οἱ ἐπὶ πλάτος εἶεν τριπλάσιοι, πάντως οἱ διαγώνιοι ἔσονται τετραπλάσιοι, εἰ δὲ ἐκεῖνοι τετραπλάσιοι, εὐθὺς οὗτοι πενταπλάσιοι, καὶ τοῦτο μέχρις ἀεί.
[*](6. δεκτικός] ἐστι add. H — ἡμών G1 — 7. ἔσται SH — 10. παρατηροῦντι] σοι add. S — 11. ὥς περ καὶ] καθά- περ — εὑρίσκομεν H — 15. ἀνώτατοι S — 16. παραλ- λήλως P — 18. μονάδος P, om. — 19. ἐν παρ. . . θεωρουμ. om. S — 20. εἶεν] εἰσί H — 23. Diagrammata, quae supra adposuit, hic repetit codex G sic inscripta: 1. τριπλάσιοι πάντες οἱ διαγώνιοι ἡμιόλιοι τῶν ἄνω οἱ κάτω. 2. τετραπλάσιοι πάντες οἱ διαγώονιοι — ἐπίτριτοι τῶν ἄνω οἱ κάτω.)80
ε. Λοιπὸν δεῖ, σαφηνίσαντας τὰς τῶν λόγων συνθέσεις, τίνων ἑτέρων ἀποδοτικαί εἰσι, μεταβῆναι ἐπὶ τὰ τῆς εἰςαγωγῆς ἀκόλουθα. οἱ πρῶτοι τοίνυν τοῦ ἐπιμορίου δύο λόγοι συλληφθέντες εἰς τὸ αὐτὸ γεννῶσι τὸν τοῦ πολλαπλασίου πρῶτον λόγον, τουτέστι τὸν διπλάσιον· πᾶς γὰρ διπλάσιος σύστημα ἔσται ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου καὶ πᾶς ἡμιόλιος καὶ ἐπίτριτος συντεθέντες ἀποδοτικοὶ ἑνὸς διπλασίου πάντως ἔσονται· οἷον ἐπεὶ ὁ γ ἡμιόλιος τοῦ β, ὁ δὲ δ ἐπίτριτος τοῦ γ, ἔσται τοῦ β ὁ δ διπλάσιος σύνθετος ὢν ἐξ ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου· πάλιν ἐπεὶ ὁ Ϛ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ, εὑρήσομεν ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἀριθμόν τινα τεταγμένον, ὃς ἐξ ἀνάγκης πρὸς μὲν τὸν ἕτερον τὸν ἐπίτριτον σώζει λόγον, πρὸς δὲ τὸν λοιπὸν τὸν ἡμιόλιον· ὁ γοῦν δ ἀνὰ μέσον κείμενος τοῦ Ϛ καὶ τοῦ γ πρὸς μὲν τὸν γ ἀποδίδωσι λόγον ἐπίτριτον, πρὸς δὲ τὸν Ϛ τὸν ἡμιόλιον. ὀρθῶς ἄρα ἐλέχθη διαλυόμενον μὲν τὸν διπλάσιον εἰς ἡμιόλιον καὶ ἐπίτριτον διαλύεσθαι, συντιθεμένων δὲ πάντως ἡμιολίου καὶ ἐπιτρίτου μόνον συνίστασθαι διπλάσιον [*](P) καὶ τὰ τοῦ ἐπιμορίου δύο πρώτιστα εἴδη συντεθέντα ποιητικὰ εἶναι τοῦ τῶν πολλαπλασίων πρωτίστου εἴδους. πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τὸ γεννηθὲν τοῦτο τοῦ πολλαπλασίου πρώτιστον εἶδος μετὰ τοῦ πρώτου τῶν ἐπιμορίων εἴδους ἀποδοτικὸν [*](V. Io. Phil. rec. I, ιθ, κ rec. II, ιϚ, ιζ. — Boëth. II. 3.) [*](V. 1. 2. Λοιπὸν δὴ . . . μεταβῆναι δέον C — 1. προ σαφηνίσαντας PCSH — τῶν ἀναλογιῶν λόγων G — 5. ὅ ἐστι SH — 8 συντιθέντες G — 9. πάντος G παντός P — 12. ἕνα τινὰ S — 14. σώσει S — 19. συντεθειμέ- νου P συντιθέμενον S — 21. δύο om. C — συντι- θέντα G)
81
γίνεται τοῦ ὁμογενοῦς αὐτῶν συνεχοῦς εἴδους, τουτέστι τοῦ δευτέρου πολλαπλασίου, ὅπερ ἐστὶ τριπλασίου· ἐκ γὰρ παντὸς διπλασίου καὶ ἡμιολίου συντεθέντων τριπλάσιον ἐξ ἀνάγκης φύεται· οἷον ἐπεὶ τοῦ Ϛ διπλάσιος ὁ ιβ, αὐτοῦ δὲ τούτου ἡμιόλιος ὁ ιη, εὐθὺς καὶ τριπλάσιος ὁ ιη τοῦ Ϛ· καὶ ἑτέρῳ τρόπῳ ἐὰν μὴ τὸν ιβ θέλω μέσον ποιεῖν, ἀλλὰ μᾶλλον τὸν τοῦ Ϛ ἡμιόλιον τὸν θ, τὸ αὐτό μοι ἀπαράλλακτον καὶ σύμφωνον συμβήσεται· τοῦ γὰρ θ ὁ ιη διπλάσιος ὢν τὸν τριπλάσιον λόγον σώσει πρὸς τὸν Ϛ· ἐξ ἡμιολίου ἄρα καὶ διπλασίου πρώτων εἰδῶν ἐπιμορίου καὶ πολλαπλασίου συνίσταται μιγέντων τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τὸ τριπλάσιον καὶ εἰς αὐτὰ δὲ πάντως ἀναλύεται. ἰδού γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλάσιος ὢν ἕξει μέσον τὸν γ, ὃς δύο λόγους παραδείξει, τὸν μὲν ἡμιόλιον πρὸς τὸν β, πρὸς ἑαυτὸν δὲ διπλάσιον τὸν τοῦ Ϛ· ἐὰν δὲ καὶ ὁ τριπλάσιος οὗτος δεύτερον εἶδος ὢν τοῦ πολλαπλασίου συντεῇ ἐπτρίτῳ δευτέρῳ εἴδει ὄντι τοῦ ἐπιμορίου γένοιτ᾿ ἂν ἐξ ἀμφοτέρων τὸ συνεχὲς τοῦ πολλαπλασίου εἶδος, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, ὃ καὶ ἀναγκαίως εἰς ἀμφότερα ἀναλυθήσεται κατὰ τὴν αὐτὴν τοῖς προδεδηλωμένοις φύσιν· τὸ δὲ τετραπλάσιον προςλαβὸν τὸ ἐπιτέταρτον ποιητικὸν ἔσται τοῦ πενταπλασίου καὶ πάλιν ἐκεῖνο σὺν τῷ
[*](1. αὐτῷ C — 2. ὅ ἐστι CS — 4. συντιθέντων G — ἀνά- φύεται H γίνεται S — 7. μεσοποιεῖν P — 10. σώζει CH — 11. 12. πρώτου εἴδους ἐπιμορίου καὶ πρώτου εἴδους πο- λυπλασίου S — 13. πολυπλ. S — 15. τοῦ β] τοῦ δευτέρου G — 20. γένοιντʼ G — 21. τετραπλάσιον] τριπλάσιος δὲ ὁ ϛ τοῦ β [ἐπεὶ γὰρ ὁ Ϛ τοῦ β τριπλ. H] ἐπίτριτος [δὲ H] ὁ η τοῦ Ϛ, ὁ η ἄρα τοῦ β τετραπλάσιος add. S — 24. προς- λαβών P) 82
ἐπιπέμπτῳ τοῦ ἑξαπλασίου, καὶ τοῦτο μέχρι παντός, ἵνα εὔτακτοι οἱ ἐξ ἀρχῆς πολλαπλάσιοι μετὰ εὐτάκτων τῶν ἐξ ἀρχῆς ἐπιμορίων ἀποδοτικοὶ εὑρίσκωνται τῶν ἐπὶ τὸ μεῖζον συνεχῶν πολλαπλασίων· διπλάσιος μὲν γὰρ μεθʼ ἡμιολίου τριπλασιότητος ποιητικός, τριπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτρίτου τετραπλασιότητος, τετραπλάσιος δὲ μετʼ ἐπιτετάρτου πεντα πλασιότητος καί, ἕως προχωρεῖν θέλεις, οὐδὲν
[*](P) ὑπεναντίον σοι συμβαῖνον φανεῖται.
ϛ. Μέχρι μὲν οὖν τοῦδε ἱκανῶς περὶ τοῦ πρὸς ἕτερόν πως ἔχοντος ποσοῦ διειλέγμεθα συμμετρησάμενοι κατʼ ἐκλογην τὰ προςήκοντα καὶ εὐπερίληπτα τῇ τῶν ἄρτι εἰςαγομένων ἕξει· τὰ γὰρ εἰς τὸν τόπον τοῦτον ὑπόλοιπα προςπληρωθήσεται διαλιπόντων πάλιν ἡμῶν καὶ προτεχνολογησάντων ἕτερά τινα προὐργιατέραν τὴν σκέψιν ἔχοντα ἐκ τῶν συμβεβηκότων τῷ καθʼ αὑτὸ ποσῷ καὶ μὴ τῷ πρὸς, ἕτερόν πως ἔχοντι, αἰεὶ γὰρ δἰ ἀλλήλων φιλεῖ πως διαρθροῦσθαι καὶ σαφηνίζεσθαι τὰ ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρήματα· ἃ δὲ χρὴ προεπισκοπῆσαι καὶ προθεάσασθαι, ἔστι περί τε γραμμικῶν ἀριθμῶν καὶ [*](VI. Io. PhiI rec. I, κα—κη; rec. ll, ιη—κα. — lambl. p. 80 — 82. — Boëth. II. 4.) [*](3. εὑρίσκονται P — 8. ἕως ἂν . . θέλῃς SH — 9. σοι] μοι C, om. P — συμβαῖνοι P — φανήσεται H — codices Nicomachi uerba sclematibus inlustrant huncce in modum compositis: o β γ δ ἡμιόλ. ἐπίτρ. cet. διπλάσ.) [*](VI. 10. οὖν om. C — 14. προςπληρωθήσονται C — 20. θεωρούμενα H — 20 21. ἐπισκοπ. καὶ θεάσασθαι S — 21. γραμμι////κῶν G)
83
ἐπιπέδων καὶ στερεῶν, κυβικῶν τε καὶ σφαιρικῶν, καὶ ἰσοπλεύρων καὶ σκαληνῶν, πλινθίδων τε καὶ δοκίδων καὶ σφηνίσκων καὶ τῶν ὁμοίων, ἃ δὴ ἰδίως μὲν ἐν τῇ γεωμετρικῇ παραδίδοται εἰςαγωγῇ τοῦ πηλίκου οἰκειότερα ὄντα, σπερματικώτερον δὲ προςπαραλαμβάνεται ἐν τῇ ἀριθμητικῇ ὡςὰν μητρὶ καὶ ἀρχεγονωτέρᾳ ἐκείνης· μεμνήμεθα γάρ, ὅτι πρὸ βραχέος τοιαύτη ἡμῖν ἐφάνη συναναιροῦσα μὲν τὰς ἄλλας ἐπιστήμας ἑαυτῇ, οὐ συναναιρουμένη δὲ ἐκείναις, καὶ ἔμπαλιν συνεπιφερομένη μὲν ἐκείναις ἀναγκαίως, οὐ συνεπιφέρουσα δὲ αὐτὰς ἑαυτῇ.
Πρότερον δὲ ἐπιγνωστέον, ὅτι ἕκαστον γράμμα, ᾧ σημειούμεθα ἀριθμόν, οἷον τὸ ι, ᾧ τὰ δέκα, τὸ κ, τὰ εἴκοσι, τὸ ω, ᾧ τὰ ὀκτακόσια, νόμῳ καὶ συνθήματι ἀνθρωπίνῳ, ἀλλʼ οὐ φύσει σημαντικόν ἐστι τοῦ ἀριθμοῦ, ἡ δὲ φυσικὴ καὶ ἀμέθοδος καὶ διὰ τοῦτο ἁπλουστάτη σημείωσις τῶν ἀριθμῶν εἴη ἂν ἡ τῶν μονάδων τῶν ἐν ἑκάστῳ οὐσῶν παράλληλος ἔκθεσις· οἷον μιᾶς μὲν μονάδος γραφὴ διὰ τοῦ ἑνὸς ἄλφα σημεῖον ἔσται τοῦ ἑνός, δυεῖν δὲ μονάδων παραλλήλων, τουτέστι δυεῖν ἄλφα ἔκθεσις σημεῖον ἔσται τῆς δυάδος, τριῶν δὲ ἐπʼ εὐθείας ἀλλήλοις κειμένων τριάδος ἔσται χαρακτήρ καὶ τεσσάρων ἐπʼ εὐθὺ τεταγμένων τετράδος καὶ πέντε πεντάδος καὶ ἀεὶ οὕτως· διὰ γὰρ τῆς τοιαύτης γραφῆς καὶ σημάνσεως ἡ τῶν φρασθησομένων ἐπιπέδων τε καὶ [*](1. κύβων H — τε] φημί add. C — 2. σκαλινῶν P cf. Eucl. l, ὅρ. κϚ — 3. σφηνίκων GP σφ. καὶ σφηκί- σκων H — 7. ἀρχαιγονωτέρα S — 11. ἀναγκαίως om. C — 14. ᾧ τὰ εἴκ. om. P — 17. εἴη ἂν] ὀρθῶς add. SH — 20. ἄλφα] ἔκθεσις add. C — 22. ἀλλήλοις] παρ- αλλήλοιν S)
84
στερεῶν σχηματογραφία τρανωθῆναι δύναιτʼ ἂν μόνως καὶ σαφηνισθῆναι, οἷον
μονὰς μὲν α,δυὰς δὲ αα,τριὰς δὲ ααα,τετρὰς δὲ αααα,[*](P)πεντὰς δὲ ααααα, καὶ εἰς πλείονα ἀεὶ ἀναλόγως. ἔσται οὖν ἡ μὲν μονὰς σημείου τόπον ἐπέχουσα καὶ τρόπον ἀρχή μὲν διαστημάτων καὶ ἀριθμῶν, οὔπω δὲ διάστημα οὐδὲ ἀριθμός, ὡς τὸ σημεῖον ἀρχὴ μὲν γραμμῆς καὶ διαστήματος, οὔπω δὲ γραμμὴ οὐδὲ διάστημα· ἀμέλει οὔτε σημείῳ σημεῖον συντεθὲν πλεῖόν τι ποιεῖ, ἀδιάστατον γὰρ ἀδιαστάτῳ συντεθὲν διάστημα οὐχ ἕξει, ὥςπερ εἴ τις τὸ οὐδὲν οὐδενὶ συντεθὲν σκέπτοιτο, οὐδὲν γὰρ ποιεῖ· κατὰ ταυτὰ γὰρ ἐφαίνετο καὶ ἐπὶ τῆς ἰσότητος ἡμῖν ἐν ταῖς σχέσεσι, σώζεται μὲν γὰρ ἀναλογία, ὡς ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, οὕτως ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον, οὐ μὴν διάστημα γεννᾶταί τι τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους, ὥςπερ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῶν χωρὶς ἰσότητος σχέσεων πασῶν· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ μονὰς ἐκ παντὸς μόνη τοῦ ἀριθμοῦ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσασα οὐδὲν πλέον ἑαυτῆς γεννᾷ· ἀδιάστατος ἄρα ἡ μονὰς καὶ ἀρχοειδής, πρῶτον δὲ διάστημα εὑρίσκεται καὶ φαίνεται
[*](8. καὶ εἰ πλείονα εἴη ἀναλ. C καὶ εἰ ἐπὶ πλέον εἴη ἀναλ. S καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ ἀν. H — οὖν] ἡμῖν add. — 9. τόπον . . . τρόπον] λόγον . . . τόπον S — 10. διαστή- ματα οὐδὲ P — 13. 14. πλεῖον . . . συντεθὲν om. P — 14. ἀδιαστάτῳ] ἤτοι ἀμερὲς ἀμερεῖ add. S — 15. σκέψοιτο ἐπισκέπτοιτο — 16 κατὰ ταυτὰ γὰρ] καὶ τ. γ. Ast τὰ αὐτὰ δὲ — 19. οὕτως sol. — 21. ἄλλων τῶν om. H — 23. πολυπλασιάσασα S πλεονάσασα C) 85
ἐν δυάδι, εἶτʼ ἐν τριάδι, εἶτα ἐν τετράδι καὶ ἑξῆς ἐν τοῖς ἀκολούθοις· διάστημα γάρ ἐστι δυεῖν ὅρων τὸ μεταξὺ θεωρούμενον. πρῶτον δὲ διάστημα γραμμὴ λέγεται, γραμμὴ γάρ ἐστι τὸ ἐφʼ ἓν διαστατόν· δύο δὲ διαστήματα ἐπιφάνεια, ἐπιφάνεια γάρ ἐστι τὸ διχῆ διαστατόν· τρία δὲ διαστήματα στερεόν, στερεὸν γάρ ἐστι τὸ τριχῆ διαστατὸν καὶ οὐκ ἔστιν οὐδαμῶς ἐπινοεῖν στερεόν, ὃ πλεόνων τέτευχε διαστημάτων ἢ τριῶν, βάθους, πλάτους, μήκους· τούτοις γὰρ αἱ λεγόμεναι περὶ πᾶν σῶμα ὑπάρχειν ἓξ περιστάσεις ὁρίζονται, καθʼ ἃς αἱ κατὰ τόπον κινήσεις διακρίνονται, πρόσω, ὀπίσω, ἄνω, κάτω, δεξιά, ἀριστερά· ἑκάστῳ γὰρ διαστήματι δύο ἐξ ἀνάγκης περιστάσεις παρέπονται ἀλλήλαις ἀντίθετοι, ἑνὶ μὲν αἱ ἄνω καὶ κάτω, ἑτέρῳ δὲ αἱ πρόσω καὶ ὀπίσω, τῷ τρίτῳ δὲ αἱ ἐπὶ δεξιὰ καὶ ἀριστερά. καὶ συμβαίνει πως οὕτως ἀναστρέφειν τὸν λόγον· εἴ τι γὰρ στερεόν ἐστιν, ἐκεῖνο τὰς τρεῖς διαστάσεις πάντως ἔχει, μῆκος, βάθος, πλάτος καὶ ἔμπαλιν, εἴ τι ἔχει τὰς τρεῖς διαστάσεις, ἐκεῖνο πάντως στερεόν ἔστιν, ἄλλο δʼ οὐδέν. οὐκ ἄρα τὸ δύο μόνον ἔχον διαστάσεις ἔσται στερεόν, ἀλλʼ ἐπιφάνεια, αὕτη γὰρ διαστημάτων ἐπιδεκτικὴ δυεῖν ἐστι μόνων· καὶ ἐπʼ αὐτῆς
[*](P) δυνατὸν ὁμοιοτρόπως ἀντιστρέφειν τὸν λόγον, ἐπι- φάνειά τε γὰρ ὀρθῶς τὸ διχῆ διαστατὸν καὶ πάλιν
[*](1. ἐν δυάδι, εἶτ᾿ οm. P — 2. δύο H — 3. δὲ] γὰρ G — 4—6. δύο . . . διαστατὸν om. C — 7. 8. καὶ οὔτι ἔστιν οὐδαμοῦ S — 8, στερεόν om. — 10. αἱ λεγ.] ἐκλεγόμε- ναι P — 15. ἑτέρῳ] ἑκατέρῳ P — 16. αἱ om. GP — δεξιᾷ καὶ ἀριστερᾷ P — 17. ἀντιστρ. in mrg. — 19. μῆκ., βάθ., πλ. om. H — 21. μόνον] μόνας — 22. ἐστίν H — 23. δεκτική — 24. ὁμοιοτρόπος G ὁμοίως S ἀναστρ. H (in mrg. ἀντιστρ.) — 25. ὀρθῶς] ὑγιῶς CH — ἔμπαλιν S) 86
τὸ διχῆ διαστατὸν πάντως ἐπιφάνεια ἔσται. ἑνὶ ἄρα διαστήματι ἠλάττωται ἐπιφάνεια στερεοῦ, ἑνὶ δὲ καὶ γραμμὴ ἐπιφανείας οὖσα τὸ ἐφ᾿ ἓν διαστατὸν καὶ ἑνὸς μόνου τετευχυῖα δικστήματος, λειπομένη δὲ στερεοῦ δυσὶ διαστήμασι· ταύτης δʼ αὐτῆς λείπεται ἑνὶ διαστήματι τὸ σημεῖον· διὰ τοῦτο προελέχθη εἶναι ἀδιάστατον στερεοῦ μὲν τρισὶ διαστήμασι λειπόμενον, ἐπιφανείας δὲ δυσί, γραμμῆς δὲ ἑνί.
ζ. Ἔστιν οὖν σημεῖον ἀρχὴ διαστήματος, οὐ διάστημα δέ, τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἀρχὴ γραμμῆς, οὐ γραμμὴ δέ· καὶ γραμμὴ ἀρχὴ ἐπιφανείας, οὐκ ἐπιφάνεια δέ, καὶ ἀρχὴ τοῦ διχῆ διαστατοῦ, οὐ διχῆ δὲ διαστατόν. καὶ εἰκότως ἡ ἐπιφάνεια ἀρχὴ μὲν σώματος, οὐ σῶμα δέ, καὶ ἡ αὐτὴ ἀρχὴ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ, οὐ τριχῆ δὲ διαστατόν. οὕτως δὴ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἡ μὲν μονὰς ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ ἐφʼ ἓν διάστημα κατὰ μονάδα προβιβαζομένου, ὁ δὲ γραμμικὸς ἀριθμὸς ἀρχὴ ἐπιπέδου ἀριθμοῦ ἐφʼ ἕτερον διάστημα ἐπιπέδως πλατυνομένου, ὁ δὲ ἐπίπεδος ἀριθμὸς ἀρχὴ στερεοῦ ἀριθμοῦ ἐπὶ τρίτον διάστημα πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προςκτωμένου· οἷον καθʼ ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι καὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν ἐπὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ προχωροῦντες διάστημα, ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι ἀρχικωτάτης [*](VII. lo. Phil. rec. l, κθ, λ; rec. lI, κβ, κγ. — lambl. p. 80—82. — Io. Pedias. in Iahnii nou. ann. XCII, p. 371. 372. — Boëth. II. 5. 6.) [*](1. ἔσται om. PH — 2. ἐλαττοῦται H — 5. αὐτῆς] τῆς γραμμῆς — 7. λειπομένου G λειπουμένου P) [*](VII. 11. καὶ γρ.] γραμμὴ om. G, ἡ δὲ γρ. SH — 14. ἡ αὐτὸ G — 17. προβιβαζομένη — 20. ἐπιτρίτου P — 21. πρὸς] παρὰ — βάθη GP)
87
ῥίζης καὶ διὰ τῶν ἐξῆς συνεχῶν ἀριθμῶν προιόντες, λαμβάνοντες καὶ τὴν ἐπωνυμίαν κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν· πρώτιστοι γὰρ τρίγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς τετράγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς πεντάγωνοι, εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπʼ ἄπειρον· προςαγορεύονται δέ, ὡς ἔφαμεν, ἀπὸ τῶν ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς κειμένων ἀριθμῶν. ἀρχικώτατον ἄρα σχῆμα ἐπιπέδων καὶ στοιχειωδέστατον τὸ τρίγωνον εὑρίσκεται· καὶ γὰρ ἐν τοῖς γραμμικοῖς ἐπιπέδοις ἐὰν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι ἀχθῶσι, λυθήσεται ἕκαστον εὐθύγραμμον σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνα τοσαῦτα, ὅσαιπερ ἂν αὐτοῦ τυγχάνωσιν αἱ πλευραί, αὐτὸ δὲ τὸ τρίγωνον τὸ αὐτὸ τοῖς ἄλλοις παθὸν εἰς ἕτερόν τι οὐ μεταπεσεῖται, ἀλλʼ εἰς ἑαυτό· στοιχεῖον ἄρα καὶ ἐν ἐκείνοις τὸ
[*](P) ρίγωνον· εἰς αὐτὸ γὰρ τὰ ἄλλα πάντα ἀναλύεται ἀναγκαίως, αὐτὸ δὲ οὐκ εἰς ἕτερον· ἐκ τούτου ἂν καὶ συσταίη τὰ λοιπά, αὐτὸ δὲ ἐξ οὐδενός· στοιχεῖον ἄρα τοῦτο τῶν ἄλλων, αὐτοῦ δὲ οὐδέν. κἀν τοῖς ἀριθμητικοῖς δὲ ἐπιπέδοις προιὼν ὁ λόγος βεβαιώσει τὸ λεγόμενον.
η. Τρίγωνος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ διαλυόμενος [*](VIII. lo. Ph rec. l, λα, λβ; rec. II, κδ. — Iambl. p. 82 83. — Theon. 18. 19. 23 — lo. Pedias. I. I. — Hoëth. II. 6.) [*](3—5. hasce addunt codices figuras: 8. ἐπιπέδων om. H — 9. γὰρ om, G — 9. 10. ἐπὶ τῶν ραμμικῶν ἐπιπέδων S cf. Eucl. l, ὅρ. κ. — 11. ἔκαστος G — 12 τοσαῦτα] τῷ ἀριθμῷ, ὁπόσα add. S — 14, ἕτερον ἄλλο S — 16. εἰς ὃ CSH — λύεται SH — 17. εἰς ἄλλο SH VIII. Περὶ τριγώνου ΗΓ)
88
εἰς μονάδας καὶ τὴν κατʼ ἐπίπεδον θέσιν τῶν μορίων ἰσόπλευρον σχηματογραφῶν εἰς τριγωνισμόν, οὗ ὑποδείγμαπα ὁ
γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη καὶ οἱ ἐφεξῆς· σχηματογραφίαι γὰρ αὐτῶν εὔτακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε ἅμα καὶ ἰσόπλευροι, καὶ τὸ τοιοῦτον, μέχρις οὗ βούλει, προκόπτων τριγωνιζόμενον εὑρήσεις πρὸ πάντων στοιχειωδέστατον τάττων τὸ ἐκ μονάδος γινόμενον, ἵνα καὶ τρίγωνος δυνάμει φαίνηται ἡ μονάς, ἐνεργείᾳ δὲ πρῶτος ὁ γ. πλευραὶ δὲ παραυξηθήσονται τῷ συνεχεῖ ἀριθμῷ, τοῦ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτου πλευρὰ μονάς, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτου πλευρὰ δυάς, τουτέστι τοῦ γ, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρου πλευρὰ τριάς, τουτέστι τοῦ Ϛ, τοῦ δὲ τρίτου πλευρὰ τετρὰς καὶ τοῦ τετάρτου πεντὰς καὶ τοῦ πέμπτου ἑξὰς καὶ ἀεὶ οὕτως. γεννᾶται δὲ τοῦ φυσικοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος καὶ ἀεὶ ἀπʼ ἀρχῆς τῶν συνεχῶν κατὰ ἕνα συντιθεμένων, κατὰ γὰρ ἑκάστην σύνθεσιν καὶ προςσώρευσιν οἱ εὔτακτοι τρίγωνοι συντελοῦνται· οἷον ἐκ μὲν τοῦ φυσικοῦ στίχου τούτου
α, β, γ, δ, ε, Ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ, ιδ, ιε τὸν μὲν πρώτιστον λαβὼν ἔχω τὸν δυνάμει πρῶτον
[*](2. μορίων] μονάδων CS — ἰσοπλεύρως — 3. 4. οὗ . . . γ] ὑπόδειγμα γ S — 5. 6. εὔτακτοι ἔσονται] ἔσ. τοι- αῦται SH — 6. 7 τὸ τοιοῦτον om — 7. προκόπτον C — 9. γινόμενον] συγκείμενον H — δυνάμει] μονάδι G — 11. συνεχῆ G ἀπὸ [ὑπὸ H] τοῦ συνεχοῦς ἀριθμοῦ SH — 12 πρῶτον G1 — 12 13. τοῦτο ἐνεργ. G1 — 14 πλευρὰ om. — τριάς post ϛ GP — 15. τρίτου] τοῦ δέκα add. CSH — 17. φυσικόν G — στιχηδόν PC — 19. ἑκάστου SH — 20. εὔτακτοι] σύνθετοι add. S — 21. τούτου om. CSH — 22. ια . . . ιε om. H — ιε] ὁ α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε, ξϚ, οη, Ϟα, ρε, ρκ add. — 23. ἔχων PH) 89
τρίγωνον, τὴν μονάδα 1, εἶτα τὸν συνεχῆ αὐτῷ ἐπισωρεύσας ἔχω τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον, β γὰρ καὶ α ὁ γ ἐστί, καὶ τῇ γε σχηματογραφίᾳ οὕτως συνίσταται· ἐπὶ μιᾷ μονάδι δύο μονάδες παράλληλοι ὑποτίθενται καὶ τριγωνίζεται ὁ γ ἀριθμός 2· εἶτα ἑξῆς ἐπὶ τούτοις ὁ γ συνεχὴς προςσωρευθεὶς καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν Ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προςέτι σχηματογραφεῖ 3· καὶ πάλιν ὁ φύσει ἀκόλουθος ὁ δ ἐπὶ τούτοις σωρευθεὶς καὶ μοναδιστὶ ὑπογραφεὶς τὸν εὔτακτον μετὰ τοὺς εἰρημένους ἀποδίδωσι τὸν ι καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζεται 4· καὶ ὁ ε ἐπὶ τούτῳ, εἶτα ὁ ϛ, εἶτα ὁ ζ καὶ οἱ ἑξῆς ἅπαντες, ὥςτʼ ἐμμελῶς καὶ τὰς πλευρὰς ἑκάστου τοσούτων εἶναι
[*](P) μονάδων, ὁπόσοιπερ ἀριθμοὶ συνετέθησαν ἐκ τοῦ φυσικοῦ στίχου εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν 5 6 7·
[*](4. μιᾷ μ.] τῇ μ. S — 6. συνεχός G1 om. H — 7. μο- νάδας H — Ϛ] στίχον P — 9. σχηματογράφει GP — 12. σχῃματίζει CS — 13. εἶτα ὁ ζ om. H — καὶ οἱ λοιποὶ πάντες ἐφεξῆς H — 14. ἐμελῶς G — 15. ὁπόσοιπερ] ἂν καὶ add. SH — 16. στίχου] χύματος H — εἰς] πρὸς S — ἑαυ-)90
θ. Τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ συνεχὴς τούτῳ καὶ μηκέτι τρεῖς, ὡς ὁ πρόσθεν, ἀλλὰ τέσσαρας ἐν τῇ καταγραφῇ γωνίας ἀποδιδούς, ἐν ἰσοπλεύρῳ μέντοι καὶ αὐτὸς σχηματισμῷ, οἷον
α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ,ξδ, πα, ρ· τούτων γὰρ αἱ καταγραφαὶ ἰσόπλευροι τετραγωνισμοὶ οὕτω πως γίνονται·
[*](IX. Io. Phil. rec. l, λγ, λδ; rec. Il, κε. — lambl. p. 83—85. — Theon. 11. 15. 19—21 25. 28. — Boëth. lI. 7.)[*](τοῦ GP — figuras no habent PH; G hoc addit schema, quod nos margini adposuimus, (simile Γ):)[*](IX. Περὶ τετραγώνου - ων Γ — 1. Τρίγωνος P — 3. καὶ om. SH, del. C — ὡς πρόσθ. — 7. αὐτῷ G — 10. τούτοις S — καταγαφαὶ G — figuras om. GP)91
καὶ ἐφεξῆς οὕτως, μέχρις οὗ βούλει. καὶ τούτοις δὲ συμβέβηκεν, ὥςπερ καὶ τοῖς πρὸ αὐτῶν, τὴν τῶν πλευρῶν πρόβασιν κατὰ τὸν φυσικὸν ἀριθμὸν προκόπτειν· τῷ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτῳ τῷ ἑνὶ πλευρὰ μονάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτῳ τῷ δ πλευρὰ δυάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρῳ τῷ θ πλευρὰ τριάς, τῷ δὲ μετʼ αὐτὸν ἐνεργείᾳ τρίτῳ τῷ ιϚ πλευρὰ τετρὰς καὶ τῷ τετάρτῳ πεντὰς καὶ τῷ πέμπτῳ ἑξὰς καὶ καθόλου ἑξῆς τοῖς ἐφεξῆς. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος στοιχηδὸν ἐκτεθέντος φυσικοῦ ἀριθμοῦ τῇ μονάδι ἐπισωρευθέντων οὐκέτι τῶν ἐφεξῆς τοῖς ἐφεξῆς, ὡς δέδεικται, ἀλλὰ τῶν παῤ ἕνα κειμένων πάντων, τουτέστι τῶν περισσῶν· πρῶτος γὰρ ὁ α δυνάμει πρῶτος τετράγωνος, δεύτερος ὁ α καὶ γ ἐνεργείᾳ πρῶτος τετράγωνος, τρίτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε ἐνεργείᾳ δεύτερος τετράγωνος, τέταρτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε καὶ ζ ἐνεργείᾳ τρίτος τετράγωνος καὶ ὁ ἑξῆς τοῖς προτέροις προςσωρευθέντος τοῦ θ γίνεται καὶ ὁ μετ᾿ αὐτόν τοῦ ια προςτεθέντος καὶ οὕτως ἀεί. καὶ ἐπὶ τούτων δὲ συμβέβηκε τοσούτων μονάδων τὴν ἑκάστου πλευρὰν εἶναι, ὁπόσοιπερ ἂν ὦσιν οἱ εἰς τὴν αὐτοῦ γένεσιν ἐπισωρευθέντες ἀριθμοί.
[*](1. οὕτως om. H — μεχ. ὅσου H — 3. 4. κόπτειν P — 4. πρώτῳ] μόνῳ C — 6—8. τῷ δὲ μετʼ . . . ἑξὰς] καὶ τῷ τετάρτῳ τετρὰς καὶ τῷ πέμπτῳ πεντὰς καὶ τῶ ϛ ἑξάς S — 9. αἱ ἐφεξῆς τοῖς ἐφ. C οἱ ἐφεξῆς τοῖς ἑξῆς S οἱ ἐφεξῆς — οὗτος] ἀπὸ τοῦ add. CSH — στιχηδὸν C — 10. ἐπισωρευθέντος P ἐπισωρευομένων CH — 12. δέδει- κται] ἐπὶ τῶν τριγώνων add. S — 14. α] πρῶτος G — 17. ὁ ante ἑξῆς om. GP — προτέροις] πρώτως P πρότε- ρον C, om, — 17. προςσωρευθέντα G — 22. συσσω- ρευθέντες SH — schema, quod GΓ adponunt, hoc est: β δ Ϛι η ι ιβ ιδ ιϚ ιη κ ἀριθμοὶ περιττοί α γ ε ζ θ ια ιγ ιε ιζ ιθ τετράγωνοι· α δ θ ιϛ κε λϚ μθ ξδ πα ρ)92
ι. Πεντάγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καὶ αὐτὸς κατὰ τὴν ἐξάπλωσιν τὴν εἰς μονάδα σχηματογραφούμενος ἐπιπέδως εἰς πενταγωνικὸν σχῆμα πάντη ἰσόπλευρον, οἷον
α, ε, ιβ, κβ, λε, να, ο καὶ οἱ ἀνάλογοι. ἀλλʼ ἔστι τοῦ μὲν πρώτου κατʼ ἐνέργειαν, τουτέστι τοῦ ε ἑκάστη πλευρὰ δυάς, μονὰς μὲν γὰρ τοῦ δυνάμει πρωτίστου πενταγώνου ὑπάρχει τοῦ ἑνός, τοῦ δὲ τῶν ἐκκειμένων δευτέρου τοῦ ιβ πλευρὰ τριὰς καὶ τοῦ μετʼ αὐτὸν τοῦ κβ τετρὰς καὶ τοῦ ἑξῆς τοῦ λε πεντὰς καὶ ἑξὰς τοῦ ἐπὶ τούτῳ τοῦ να καὶ ἀεὶ οὕτως· καθόλου γὰρ τοσούτων μονάδων ἡ πλευρά ἐστιν, ὅσοιπερ εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν συνεσωρεύθησαν ἀριθμοὶ ἐκλεγέντες ἐκ τοῦ κατὰ φύσιν στοιχηδὸν ἐκκειμένου ἀριθ
[*](P) χύματος· παραπλησίως γὰρ καὶ ὁμοιοτρόπως ἐπισωρεύονται ἀλλήλοις εἰς πενταγώνου γένεσιν οἱ ἀπὸ μονάδος δύο διαλείποντες ἐφʼ ὁσονοῦν, τουτέστιν οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντες· ἡ μὲν μονὰς δυνάμει πρῶτος καὶ σχηματογραφεῖται οὕτως 1, ὁ δὲ ε δεύτερος ἐκ τοῦ α καὶ δ συντεθέντων σχηματογραφούμενος καὶ αὐτὸς οὕτως 2, ὁ δὲ ιβ ὁ τρίτος
[*](X. Io. PhiI rec. l, λε—λζ; rec. II, κϚ, κζ. — lambl. p. 85. — Theon. 26. — Boëth. II. 8.) [*](X. Περὶ πενταγώνου H -ων Γ — 2. μονάδας PC secundum unitatem Hoëth. II. 8. — σχηματογραφόμενος P — 6. ἀνάλογον CSH — 7. τουτέστι] ἥγουν H — ἑκάστου P, om. — 9. ἑνὸς] πρώτου S — 12 13. καθ. γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων τοσ. H — 13. ἑκάστου SH — ἔσται H — 14. ἐκλέγοντος P — 15. στιχηδόν PC — 21. ἐκ τοῦ πρώτου καὶ τετάρτου G — 21. 22. σχηματογραφούμ. . . . οὕ- τως om. H — 22. ὁ δὲ ιβ ὁ om. H) 93
ἔκ τε τῶν δύο προτέρων καὶ τοῦ ζ ἐπισωρευθέντος αὐτοῖς, ἵνα καὶ αὐτὸς τριάδα πλευρὰν σχῇ, ὡς τριῶν συντεθέντων εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν, ὡς καὶ ὁ πρὸ αὐτοῦ ὁ ε δυάδα πλευρὰν εἶχεν ἐκ δύο συντεθείς, ἡ δὲ σχηματογραφία αὐτοῦ τοιαύτη ἐστίν· οἱ δὲ ἐπὶ τούτοις γενήσονται καθεξῆς προςσωρευομένων τῶν κατὰ τριάδος ὑπεροχὴν εὐτάκτων μετὰ τὴν ἑβδομάδα. ὄντων, οἷον τοῦ
ι, ιγ, ιϚ, ιθ, κβ, κε καὶ ἐπʼ ἄπειρον· ἔσονται γὰρ
κβ, λε, να, ο, Ϟβ, ριζ καὶ τοῦτο μέχρι παντός.
[*](2. ἔχῃ S — 5. ὁμάδι H —)[*](10. τούτῳ — 14. ὄντων] οὕ- τως G — οἷον τοῦ om. H — in co- dice G (Γ) haec adposita sunt: ὅρα, πῶς ἐκ τοῦ φυσικοῦ χύματος ἀποτε- λοῦνται οἱ πεντάγωνοι (u. mrg.)·)94
ια. Ἑξάγωνοι δὲ καὶ ἑπτάγωνοι καὶ οἱ ἑξῆς κατὰ τὴν αὐτὴν ἔφοδον προβιβασθήσονται ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος τοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος αἰεὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν τῶν ἀποστάσεων γινομένων· ὡς γὰρ ὁ μὲν τρίγωνος τοὺς μονάδι διαφέροντας, μηδὲν παραλείποντας εἰς τὴν σωρείαν δεχόμενος ἀπετελεῖτο, ὁ δὲ τετράγωνος τοὺς δυάδι μὲν διαφέροντας, ἕνα δὲ παραλείποντας, πεντάγωνος δὲ ἀκολούθως τοὺς τριάδι μὲν διαφέροντας, δύο δὲ παραλείποντας, οὓς καὶ ἀπεδείξαμεν ὑποδείγματα αὐτῶν τε καὶ τῶν ἀποτελουμένων ἐκθέμενοι ἐξ αὐτῶν, οὕτως καὶ ἑξάγωνοι γνώμονας ἕξουσι τοῦς τετράδι μὲν διαφέροντας, τρεῖς δὲ παραλείποντας, ἐξ ὧν συντεθέντων σωρηδὸν ἀποτελοῦνται, οἷον
α, ε, θ, ιγ, ιζ, κα καὶ ἐφεξῆς, ἵνα οἱ ἀποτελούμενοι ἑξάγωνοι ὦσιν
α, Ϛ, ιε, κη, με, ξϛ καὶ ἀεί, μέχρις ἄν τις θέλῃ. οἱ δὲ τούτοις ἀκόλουθοι ἑπτάγωνοι τοὺς μὲν γνώμονας ἔχουσι πεντάδι μὲν διαφέροντας, τετράδι δὲ διαλείποντας, οἷον
α, Ϛ, ια, ιϚ, κα, κϚ, λα, λϚ καὶ ἐφʼ ὁσονοῦν, αὐτοὶ δὲ οἱ συνιστάμενοί εἰσιν
[*](XI. lo. Phil. rec. l, λη—μα; rec. II. κη, κθ. — lambl. p. 85. 86. — Theon. 27. — Boëth. II. 9.) [*](XI. 1. καθεξῆς — 2. αὐτῶν G — 3. τοῦ ἀρ. . . . ἐκτεθ. om PC — στιχηδὸν H — 10. ὑπεδείξαμεν CH — 11. θέμενοι H — 14. οἷον] τοὺς add. P — 18. ἂν] οὗ HS — θέλοι P θέλει S — G hanc adscribit figuram (u. marg.) : — οἱ] εἰ G — 19. ἕξουσι C Io, Phil. rec. l, μ) 95
α, ζ, ιη, λδ, νε, πα, ριβ, ρμη καὶ τοῦτο μέχρι παντός. ὀκτάγωνοι δὲ κατὰ τὴν
[*](P) αὐτὴν τάξιν τοῖς τε γνώμοσιν ἑξάδι διαφέροντες προκόπτουσι καὶ τοῖς συστήμασιν ἀναλόγως. ἵνα δὲ ἐπὶ πάντων παρατηροῦντι τοῦτο καθολικὸν σύμφωνον ᾖ, ἑκάστου πολυγώνου τοὺς γνώμονας διαφέρειν ἀλλήλων δυάδι ἐλαττόνως, ἢ κατὰ τὴν ἐν τῷ ὀνόματι ποσότητα τῶν γωνιῶν, τουτέστι μονάδι μὲν τὸν τρίγωνον, δυάδι δὲ τὸν τετράγωνον, τριάδι δὲ τὸν πεντάγωνον, τετράδι δὲ τὸν ἑξάγωνον καὶ πεντάδι τὸν ἑπτάγωνον καὶ ἀεὶ κατὰ παραύξησιν οὕτως.
ιβ. Καὶ περὶ μὲν τῆς τῶν πολυγώνων φύσεως Xl τῶν ἐπιπέδων ἱκανὰ ταῦτα ὡς ἐν πρώτῃ εἰςαγωγῇ· ὅτι δὲ συμφωνοτάτη διδασκαλία ἡ περὶ αὐτῶν τῇ γραμμικῇ καὶ οὐκ ἀπᾴδουσα, δῆλον ἂν εἴη οὐ μόνον [*](XII. lo. Phil. rec. l, μβ—μδ; rec. lI, λ—λγ. — Iambl. p. 86—101. — Boëth. II. 10. 11.) [*](1. ριβ, ρμη om. H — 2. ὀκταγώνιοι — haec sche- mata adponit G: α β γ δ ε ϛ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ ιε ιϚ ιζ ιη ιθ κ κα 5. τὸ αὐτὸ SH) [*](XII. 15. συμφωνότατος H — παῤ αὐτῶν C)
96
ἐκ τῆς σχηματογραφίας τῆς καθʼ ἕκαστον, ἀλλὰ κἀκεῖθεν· πᾶν τετράγωνον σχῆμα διαγωνίως διαιρεθὲν εἰς δύο τρίγωνα λύεται καὶ πᾶς τετράγωνος ἀριθμὸς εἰς δύο τριγώνους συνεχεῖς λύεται καὶ ἐξ ἄρα δύο τριγώνων συνεχῶν συνέστηκεν· οἷον τρίγωνοι μέν εἰσιν
α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε καὶ οἱ ἑξῆς, τετράγωνοι δὲ
α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ δύο δή, οὓς ἂν θέλῃς, τριγώνους συνεχεῖς ἀλλήλοις συνθεὶς πάντως τετράγωνον ποιήσεις καὶ ὁντινοῦν τετράγωνον ἄρα διαλύσας δυνήσῃ δύο ἀπʼ αὐτῶν τριγώνους ποιῆσαι· καὶ πάλιν παντὶ τετραγώνῳ σχήματι τρίγωνον προςζευχθὲν ὁθενοῦν πεντάγωνον ποιεῖ, οἷον τῷ δ τετραγώνῳ ὁ α τρίγωνος προςζευχθεὶς τὸν ε πεντάγωνον ποιεῖ καὶ τῷ θ τῷ ἑξῆς ὁ ἑξῆς προςτεθείς, δηλονότι ὁ γ, πεντάγωνον τὸν ιβ ποιεῖ, τῷ δὲ ιϛ ὄντι ἀκολούθῳ ὁ Ϛ ἀκόλουθος ἐπισυντεθεὶς τὸν κβ ἀκόλουθον ἀποδίδωσιν καὶ τῷ κε
[*](3. Ηocce sclema codicis G: τετράγωνον εἰς δύο δια- λυόμενον τρί- γωνα. — 5. συνέστη H — 7. με, νε om. H — 9. πα, ρ om. — 10. ἐθέλοις C — 12. αὐτοῦ S — 14. τρίγωνον σχῆμα συζευχθέν — πρωτάγωνον G1 — 15. δ] τετάρτῳ G — προςζευχθεὶς] προςτεθεὶς S συντεθεὶς — 16. ε om. — 16 17. ὁ ἑξῆς om. P τῷ ἑξ. τῶ θ ὁ ἑξ. τρίτος προςτε θεὶς τὸν ἑξῆς πενταγ. ιβ S τῷ ἑξῆς τρίγωνος ὁ γ τὸν ἐξῆς τὸν ιβ πεντάγ. H — 18. ἀκολούθως H) 97
ὁ ι τὸν λε καὶ ἀεὶ οὕτως. κατὰ δὲ τὰ αὐτὰ κἂν τοῖς πενταγώνοις οἱ τρίγωνοι προςτιθοῖντο τῇ αὐτῇ τάξει, τοὺς εὐτάκτους γεννήσουσιν ἑξαγώνους καὶ πάλιν ἐκείνοις οἱ αὐτοὶ προςπλεκόμενοι τοὺς ἐν τάξει ἑπταγώνους ποιήσουσι καὶ μετʼ ἐκείνους τοὺς ὀκταγώνους καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον. πρὸς δὲ ὑπόμνησιν ἐκκείσθωσαν ἡμῖν πολυγώνων στίχοι παραλλήλως γεγραμμένοι οἵδε, ὁ πρῶτος τρίγωνων, ὁ μετʼ αὐτὸν τετραγώνων, μετὰ δὲ ἀμφοτέρους πενταγώνων, εἶτα ἑξαγώνων, εἶτα ἑπταγώνων, εἶτα, εἰ ἐθέλοι τις, καὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων·
μῆκος καὶ πλάτος
τρίγωνοι α γ Ϛ ι ιε κα κη λϚ με νε
τετράγωνο α δ θ ιϚ κε λϚ μθ ξδ πα ρ
πεντάγωνοι α ε ιβ κβ λε να ο Ϟβ ριζ ρμε
ἑξάγωνοι α Ϛ ιε κ με ξϚ Ϟα ρκ ρνγ ρϞ
ἑπτάγωνοι α ζ ιη λδ νε πα ριβ ρμη ρπθ σλε
βάθος
ἔξεστι δὲ καὶ τῶν ἐφεξῆς πολυγώνων τὴν ἔκθεσιν ἐν [*](P) παραλλήλοις οὕτω στίχοις ποιήσασθαι. καθολικῶς γὰρ εὑρήσεις τοὺς μὲν τετραγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς σύστημα ὄντας ὁμοταγῶν τριγώνων καὶ ἔτι τῶν ὑπερκειμένων ἐκείνοις ὁμογενῶν, οἷον [*](1. τὰ αὐτὰ] ταῦτα — 2. εἰ τρίγων προςτεθοῖντο S εἰ τρίγ, προςτίθενται H — 3, 4. καὶ πάλιν μετ᾿ H — 6. ὀκταγών. om. H — τοῦτο] οὕτως — 7 ἐκκείσθω S — παράλληλοι H — 8. οἵδε om. CH — 8. 9. ὁ μετʼ αὐτὸν] ὁ δεύτερος — 9. ἀμφότερα G — 10. εἶτα ἑξῆς ἑξαγ H — 11. θέλει SH — 13—17. schema om. PH — 18 ἔξεστι . . . πολυγ. om. H ἔξεστι γὰρ καὶ τὴν τούτων ἔκθεσιν C — ἐν om. — 19. οὕτω om. C — στίχοις] ὥςπερ τῶν πρὸ αὐτῶν add. S — ποιεῖσθαι H — 20. 21. αὐτοὺς] κειμέ- νων add. S — 22. ὑπερκειμ.] ὑπὲρ ἐκείνους κειμένων H)
98
τὸν δ τοῦ γ καὶ α,τὸν θ τοῦ Ϛ καὶ γ,τὸν ιϚ τοῦ ι καὶ Ϛ,τὸν κε τοῦ ιε καὶ ι,τὸν δὲ λϚ τοῦ κα καὶ ιε καὶ μέχρις ἀεὶ οὕτως· τοὺς δὲ πενταγώνους τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν τετραγώνων σύστημα ὄντας καὶ προςέτι τῶν πρωτογενῶν τριγώνων, ὅσοι εἰσὶ μονάδι ἔλαττον ὁμοταγεῖς, οἷον
ὁ μὲν ε τοῦ δ καὶ α,ὁ δὲ ιβ τοῦ θ καὶ γ,ὁ δὲ κβ τοῦ ιϛ καὶ ϛ,ὁ δὲ λε τοῦ κε καὶ ι καὶ ἀεὶ οὕτως. πάλιν δὲ οἱ ἑξάγωνοι τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς ὁμοταγῶν πενταγώνων καὶ τῶν προεκτεθέντων τριγώνων ὁμοίως, οἷον
ὁ Ϛ τοῦ ε καὶ α,ὁ ιε τοῦ ιβ καὶ γ,ὁ δὲ κη τοῦ κῆ καὶ Ϛ,ὁ δὲ με τοῦ λε καὶ ι καὶ μέχρις οὗ βούλει. τῶν δὲ ἑπταγώνων ὁ αὐτὸς τρόπος·
ὁ μὲν γὰρ ζ σύστημα τοῦ Ϛ καὶ α,ὁ δὲ ιη τοῦ ιε καὶ γ,ὁ δὲ λδ τοῦ κη καὶ Ϛ καὶ οἱ ἑξῆς ἀκολούθως, ἵνα ἕκαστος πολύγωνος σύστημα τοῦ τε ὑπὲρ αὐτὸν ὁμοταγοῦς μονάδι ἐλάττονος
[*](1. α] τοῦ α codd. — 3. Ϛ] τοῦ Ϛ codd. — 5. τὸν δὲ λϚ . . . ιε om. — 6. μέχρις om. H — κἂν τοῖς πενταγώ- νοις εὕροις — 8. πρωτογώνων S — 9. ἐλάττονες SH — 14. ἀεὶ οὕτως] μέχρις οὗ βούλει P — 15. πενταγώνων om. SH — προεκθέντων P — 16. οἷον om SH — 27 αὐτῶ G) 99
ὁμογωνίου καὶ τοῦ ἀνωτάτου τριγώνου τοῦ μονάδι ἐλάττονος ὁμοταγοῦς παῤ ἓν κειμένου. εἰκότως ἄρα στοιχεῖον πολυγώνων τὸ τρίγωνον καὶ ἐν γραμμαῖς καὶ ἐν ἀριθμοῖς· καὶ γὰρ καὶ κατὰ βάθος καὶ κατὰ πλάτος ἐν τῷ διαγράμματι εὑρίσκονται οἱ συνεχεῖς αἰεὶ ἀριθμοὶ κατὰ τοὺς στίχους αὐτούς ἔχοντες διαφορὰς τοὺς εὐτάκτους τριγώνους.
ιγ. Ἐντεῦθεν ἤδη ῥᾴδιον συνιδεῖν, τίς τε ὁ στερεὸς ἀριθμὸς καὶ πῶς ἰσοπλεύρως ὁ τοιοῦτος προκόπτει· ὁ γὰρ πρὸς τοῖς δυσὶ διαστήμασι τοῖς ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ θεωρουμένοις ἐπὶ μῆκος καὶ ἐπὶ πλάτος τρίτον διάστημα προςειληφώς, ὅ τινες μὲν βάθος, τινὲς δὲ πάχος καλοῦσιν, ἔνιοι δὲ ὕψος, ἐκεῖνος ἂν εἴη στερεὸς ἀριθμὸς ὁ τριχῆ διαστατὸς καὶ ἔχων ἐν ἑαυτῷ μῆκος, βάθος, πλάτος.
Πρώτιστα δὲ οὗτος φαντάζεται ἐν ταῖς λεγομέναις πυραμίσιν. αὗται δὲ γίνονται ἐκ πλατυτέρων βάσεων μειουριζόμεναι εἰς ὀξεῖαν κορυφήν, πρῶτον μὲν κατὰ τριγωνισμὸν ἀπὸ τριγώνου βάσεως, δεύτερον δὲ κατὰ τετραγωνισμὸν ἀπὸ τετραγώνου βάσεως, ἑξῆς δὲ τούτοις κατὰ πενταγωνισμὸν ἀπὸ [*](XIII. Io Phil. rec. I, με, μϚ; rec. II, λδ, λε. — Iambl. p 131—138. — Theon. 28 —30. — Boëth. II. 12— 14.) [*](1. ὁμογωνίου] -ώνου πολυγώνου C — ἀνωτάτου om. C — 2. [μον. ἐλάττ.] delenda censeo; librarii negle- gentia repetita sunt. — παῤ ἓν κειμένου] τῷ πολυγώνῳ τριγώνου CH, om S — 5. καὶ κ. πλάτος, quae Ast deleuit, tuetur Io. Phil. I, μδ (II, λγ) — 6. καὶ κατὰ G) [*](XIII. Περὶ στερεῶν Ϲμ — 9. ἰσόπλευρος P — 14. στερεὸς om. P) [*](XIII, 2. Περὶ πυραμίδων Ϲμ — 17. πλατυτ.] ἐπι- ει πέδων βάσ. add. H — 18. μειουριζομένων GS μυουριζό- μεναι C — 20. βάσεως om. H δεύτερος . . . βάσεως om. S 21. ἑξῆς . . . ἀπὸ om. P)
100
πενταγώνου βάσεως, εἶτα ἀνάλογον ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ ὀκταγώνου καὶ ἀεὶ ἐπʼ ἄπειρον.
[*](P) καθάπερ ἀμέλει καὶ ἐν τοῖς γεωμετρικοῖς στερεοῖς σχήμασιν ἀπὸ τριγώνου ἰσοπλεύρου ἐάν τις εὐθείας ἐννοήσῃ τρεῖς ἀπὸ τῶν γωνιῶν τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς καθʼ ὕψος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον, πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ὑπὸ τεσσάρων περιεχομένη τριγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἴσων ἀλλήλοις, ἑνὸς μὲν τοῦ ἐξ ἀρχῆς τριγώνου, τριῶν δὲ τῶν περιγραφέντων ὑπὸ τῶν λεχθεισῶν τριῶν εὐθειῶν. καὶ πάλιν ἀπὸ τετραγώνου ἐπιπέδου ἐάν τις τέσσαρας εὐθείας λογίσηται τῷ μήκει ἴσας ταῖς τοῦ τετραγώνου πλευραῖς ἑκάστην ἑκάστῃ πάλιν κατὰ τὸ ὕφος συννευούσας εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον, πυραμὶς ἂν ἀποτελεσθείη ἀπὸ τετραγώνου βάσεως τετραγωνικῶς μειουριζομένη, περιεχομένη δὲ ὑπὸ τεσσάρων μὲν τριγώνων ἰσοπλεύρων, ἑνὸς δὲ τετραγώνου τοῦ ἐξ ἀρχῆς. καὶ ἀπὸ πενταγώνου δὲ καὶ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου καὶ μέχρις οὗ βούλεταί τις προχωρεῖν, τῷ αὐτῷ τρόπῳ εὐθεῖαι ἰσάριθμοι ταῖς γωνίαις ἀπʼ αὐτῶν τῶν γωνιῶν ἀνεγειρόμεναι καὶ εἰς ἓν καὶ τὸ αὐτὸ συννεύουσαι σημεῖον πυραμίδα ἀποκορυφοῦσιν ὀνομαζομένην ἀπὸ πενταγώνου βάσεως ἢ ἑξαγώνου ἢ ἑπταγώνου
[*](1. πενταγώνου βάσεως om. P — πενταγ.] τριγώνου G — 5. ἐπινοήσῃ CSH — τῷ μήκει om. H — 8. ὑπὸ τ. περιεχ. om. H — 10. παραγραφέντων G — 12. λογήσηται GP — 15. ἂν ἀποτελ. om. S — 16. τετραγωνικῶς om. H — μηουριζ. G μυουριζ. C — G adponit hasce figuras: — 17. ἰσοπλεύρων om. H — 20. βούλει C — προχωροῦσι H) 101
ἢ ἀνάλογον. οὕτω δὲ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἀπὸ μὲν μονάδος ὡς ἀπὸ σημείου πᾶς γραμμικὸς ηὐξήθη ἀριθμός, οἷον
α, β γ, δ, ε καὶ οἱ ἑξῆς ἐπʼ ἄπειρον· ἀπʼ αὐτῶν δὲ τούτων γραμμικῶν ὄντων καὶ ἐφ᾿ ἓν διαστατῶν πως συντεθέντων καὶ οὐχ ὡς ἔτυχεν οἱ πολύγωνοι καὶ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πλάσσονται, τρίγωνοι μὲν παρὰ μηδένα συντεθέντων τῶν γνωμόνων, τετράγωνοι δὲ παρὰ ἕνα, πεντάγωνοι δὲ παρὰ δύο καὶ ἀεὶ οὕτως. τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ αὐτῶν τούτων τῶν ἐπιπέδων πολυγώνων ἀριθμῶν ἐπισωρευομένων ἀλλήλοις καὶ ὡςανεὶ ἐποικοδομουμένων αἱ ὁμογενεῖς ἑκάστῳ πυραμίδες γεννῶνται, ἡ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως ἀπʼ αὐτῶν τῶν τριγώνων, ἡ δὲ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ἀπʼ αὐτῶν τῶν τετραγώνων, ἡ δὲ ἀπὸ πενταγώνου ἀπὸ τῶν πενταγώνων καὶ ἡ ἀπὸ ἑξαγώνου ἀπὸ τῶν ἑξαγώνων καὶ τοῦτο δι᾿ ὅλου. εἰσὶν οὖν αἱ μὲν ἀπὸ τριγώνου βάσεως εὔτακτοι αὗται
α, δ, ι, κ, λε, νϚ, πδ [*](2. γραμμικῶς GP (-ός tuetur Io. Phil. l, μϚ (lI, λε) — 3 οἷον om H — 6. διαστατὸν C — 8—10. τρίγωνος . . . τετράγωονς . . . πεντάγωνος H — 11. τούτων om. H — 13. ὡς ἂν ἐπ. S — ἐπικοδομ. G ἐνοικοδ. H — 14. ἀπο- γενν. H — 15. αὐτῶν om. S — οἱ δὲ G — 16. βάσεως om. — αὐτῶν om. SΗ — 16. 17. βάσεως . . . πεντα- γώνου om. G — 17. καὶ ἡ . . . ἑξαγώνου om Η — 18. G adscribit: πρώτη πυραμίς. δευτέρα πυραμίς. [τρίτη πυραμίς. om. G] α α α α α α αα αα αα ααα ααα ααα ααα ααααα ααααα) 102
καὶ ἐφεξῆς, ὧν ἡ γένεσις αὐτοὶ οἱ τρίγωνοι ἀλλήλοις ἐπισωρευόμενοι, πρῶτος μὲν ὁ α, εἶτα ὁ αγ, P εἶτα ὁ αγϚ, εῖτα πρὸς τούτοις ὁ ι καὶ ἐφεξῆς σύν τοῖς πρόσθεν ὁ ιε καὶ ἐπὶ τούτοις ὁ κα καὶ ἐξῆς ὁ κη καὶ ἐπʼ ἄπειρον. δῆλον δέ, ὅτι καὶ ὁ μείζων τῶν ἀριθμῶν κατώτατος νοεῖται, αὐτὸς γὰρ βάσις εὑρίσκεται, ὁ δὲ εὐθύς μετ᾿ αὐτὸν ὑπὲρ αὐτὸν καὶ ὁ μετ᾿ ἐκεῖνον ὑπὲρ τοῦτον, ἕως ἄν ἡ μονὰς ἐπὶ τῇ κορυφῇ φανῇ καὶ ὡςανεὶ εἰς σημεῖον ἀπομειουρίσῃ τὴν τελείωσιν τῆς πυραμίδος.
ιδ. Αἱ δὲ ἐξῆς πυραμίδες εἰσὶν αἱ ἀπὸ τετραγώνου βάσεως ὁμοιοσχημόνως ἀνιστάμεναι ἐφʼ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ σημεῖον· αὗται δὲ τῷ αὐτῷ τρόπῳ πλάσσονται ταῖς προλεχθείσαις τριγωνικαῖς· τούς γὰρ ἀπὸ μονάδος εὐτάκτους τετραγώνους στοιχηδὸν ἐκθέμενος
α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ, ξδ, πα, ρ καὶ τοὺς ἑξῆς πάλιν σωρηδὸν ἐπιτίθημι ἀλλήλοις κατὰ βάθος αὐτούς, τὸν α ἐπάνω τοῦ δ, καὶ γίνεται πυραμὶς ἡ ε ἐνεργείᾳ πρώτη ἀπὸ τετραγώνου βάσεως, δυνάμει γὰρ πρώτη καὶ ἐνταῦθα ἡ μονάς. πάλιν δ᾿ αὐτὴν ταύτην, ὡς ἔχει, τὴν πυραμίδα τὴν ἐκ πέντε μονάδων ἐπιτίθημι ὅλην τῷ θ τετραγώνῳ
[*](XIV. Io. Phil. rec. I, μζ, μη; rec. lI, λε—λζ. — Iambl. p. 131 — 138. — Boëth. lI. 14. 15.) [*](2. ἐπισορ. G — 7. εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν H — 8. ἐκεῖνον] καὶ add. G — ἕως [ὡς H] ἂν εἰς SH — 9. ἀπομυου- ρίσῃ C; H in mrg: δύναται καὶ οὕτως ἀπογινώσκεσθαι· ἀπομυουρίσῃ.) [*](XIV. 12. ἱστάμεναι S — 15. εὐτάκτως — στιχη- δὸν PC — 19. γίνονται C — 20. τὰ ε — βάσεως] πλευρὰν ἔχουσα πάντοθι [-θεν H] δυάδα add. CH — 21. δινάμει G — πρώτη] α — 21—(p. 103)2. δυνάμει. . . .) 103
καὶ συνίσταταί μοι ἡ ιδ πυραμὶς ἀπὸ τετραγώνου βάσεως πλευρὰν ἔχουσα πάντοθι τριάδα, τῆς προτέρας δυάδα ἐχούσης τῆς ε, τῆς δὲ δυνάμει πρωτίστης μονάδα· δεῖ γὰρ καὶ ἐνθάδε τοσούτων ἑκάστην πλευρὰν ἡςτινοςοῦν πυραμίδος μονάδων εἶναι, ὅσοιπέρ εἰσι τὸν ἀριθμὸν οἱ εἰς σύστασιν αὐτῆς συσσωρευθέντες πολύγωνοι. πάλιν γὰρ τὴν ιδ πυραμίδα συνόλην βάσιν ἔχουσαν τὸν θ τετράγωνον ἐπιτίθημι τῷ ιϚ τετραγώνῳ καὶ ἀποτελεῖταί μοι ἡ λ πυραμὶς τρίτη κατ᾿ ἐνέργειαν τῶν ἀπὸ τετραγώνου βάσεως οὖσα· τῇ δ᾿ αὐτῇ τάξει καὶ ἀγωγῇ καὶ ἀπὸ πενταγώνου βάσεως καὶ ἀπὸ ἑξαγώνου καὶ ἑπταγώνου βάσεως καὶ ἐπὶ πλεῖον ἀεὶ προχωροῦντες πυραμίδας συστησόμεθα τούς ἀναλογοῦντας ἑκάστῃ πολυγώνους ἐπισωρεύοντες ἀλλήλοις ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι ὡς ἀπὸ ἐλαχίστου καὶ προχωροῦντες μέχρις ἀπείρου καθ᾿ ἑκάστην. καὶ ἐκ τούτου δῆλον γίνεται, ὅτι στοιχειωδέστερα τὰ τρίγωνα· πᾶσαι γὰρ ἁπλῶς αἱ δεικνύμεναι καὶ φαινόμεναι πυραμίδες ἀπὸ τῶν καθ᾿ ἑκάστην πολυγώνων βάσεων τριγώνοις μέχρι κορυφῆς περιέχονται.
[*](βάσεως om H, qui haec sola scribit: εἶτα βα πυραμὶς ὁ ιδ. G adscribit: α α αα αα αα αα ααα ααα ααα)[*](2. πάντοθεν S πανταχόθεν H — τριάδος P — 6. τῶν ἀριθμῶν G — αὐτοῦ GP — 7. συσωρ. GP ubique; σω- om. C — 13. βάσεως om. CSH — 14. ἑκάστους P — τούτων δὲ δ. H — 18. στοιχιωδ. G — 19. ἁπλῶς om. S — ὑφαινόμεναι GH)104
Ἵνα δὲ μὴ ἀνήκοοι ὦμεν κολούρων καὶ δικολούρων [*](P) καὶ τρικολούρων πυραμίδων, ὧν τοῖς ὀνόμασιν ἐντευξόμεθα ἐν συγγράμμασι μάλιστα τοῖς θεωρηματικοῖς, ἰστέον, ὅτι, ἐὰν πυραμὶς ἀφ᾿ ἡςτινοςοῦν βάσεως, τουτέστιν ὁντιναοῦν πολύγωνον ἔχουσα βάσιν εἴτε τρίγωνον εἴτε τετράγωνον εἴτε πεντάγωνον εἴτε τῶν ἐξῆς τινα τῶν ὁμογενῶν πολυγώνων, κατὰ σωρείαν αὐξηθεῖσα μὴ ἐπὶ μονάδα μειουρισθῇ, κόλουρος ἀπλῶς λέγεται ἐστερημένη τῆς φυσικῆς καὶ πᾶσιν ἐπιβαλλούσης κορυφώσεως· οὐ γὰρ εἰς τὸν δυνάμει πολύγωνον τὴν μονάδα τελευτᾷ αὕτη ὡς εἰς ἕν τι σημεῖον, ἀλλ᾿ εἰς ἕτερον ἐνεργείᾳ, καὶ οὐκέτι μονὰς κορυφή, ἀλλ᾿ ἐπίπεδον αὐτῇ τὸ πέρας γίνεται ἰσογώνιον τῇ βάσει· ἐὰν δὲ πρὸς τῷ μὴ εἰς μονάδα τελευτᾶν ἔτι καὶ μὴ εἰς τὸν παρὰ τὴν μονάδα ἐνεργεία πρῶτον τελευτήσῃ, δικόλουρος λέγεται ἡ τοιαύτη· ἐὰν δὲ καὶ ἔτι μὴ ἔχῃ τὸν ἐνεργείᾳ δεύτερον πολύγωνον ἐπὶ τῷ συμπεράσματι, ἀλλὰ μόνον τὸν ὑπ᾿ αὐτόν, τρικόλουρος κεκλήσεται καὶ τετρακόλουρός γε, ἂν καὶ τὸν μετ᾿ ἐκεῖνον μὴ ἔχῃ, καὶ πεντακόλουρος κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ ἀεὶ μέχρι βούλει παρεκτείνειν τὸ ὄνομα.
[*](XIV, 5. Περὶ κολούρων SH — 1. ἀνείκοοι G — 3. θεωρητικοῖς Ρ θεολογικοῖς S (cf. Io. Phil. rec. I, μη: ἐπειδήπερ τοῖς τοιούτοις ὀνόμασιν, οἷα εἰκός, ἐντευξόμεθα ἐν βιβλίοις τισὶ θεωρητικοῖς — καὶ αὐτὸς γὰρ μεγίστην πραγματείαν θεολογικὴν τοιαύτην ἔγραψεν — εἴπωμεν κτλ — rec. ll, λζ: ὥστε μὴ ἀνεννοήτους ἡμᾶς τούτων εἶναι παν- τάπασι, φησίν, ὡς ἐπειδήπερ τοῖς τοιούτοις ὀνόμασιν ἐντευ- ξόμεθα ἐν βιβλίοις τισὶ θεωρηματικοῖς, τουτέστι θεω- ρήματα μαθηματικὰ περιέχουσι — καὶ αὐτὸς γὰρ ὁ Νικό- μαχος μεγίστην πραγματείαν περὶ τούτων ἔγραψεν — εἴπω- μεν κτλ.) — 4. ὁςτινοςοῦν G ἡντιναοῦν G — 6. εἴτε πεντ. om. S — 7. τὸν ἐξ. P — 8. μὴ] καὶ G — μυουρι σθῇ C μειουρηθῇ S — 9. ἅπολος Ρ — 10. ἐπιβαλούσης P — 15. καὶ εἰς, om. μὴ GS — 21: μέχρις οὗ PCH)105
ιε. Καὶ ἡ μὲν τῶν ἰσοπλεύρων στερεῶν ἀριθμῶν πυραμοειδῶν γένεσις καὶ προκοπὴ καὶ ἐπαύξησις καὶ φύσις τοιαύτη σπέρμα καὶ ῥίζαν ἔχουσα τούς πολυγώνους αὐτούς καὶ τὴν ἐκείνων εὔτακτον ἐπισωρείαν, ἑτέρα δέ τις στερεῶν ἑτερογενῶν εὐταξία ἐστὶ τῶν λεγομένων κύβων, δοκίδων, πλινθίδων, σφηνίσκων, σφαιρικῶν, παραλληλεπιπέδων, τήν τῆς προβάσεως τάξιν ἔχουσα τοιαύτην τινά. οἱ προφρασθέντες τετράγωνοι
α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ μθ, ξδ καὶ οἱ ἑξῆς διχῆ ὄντες διαστατοὶ καὶ ἐν τῇ ἐπιπέδῳ σχηματογραφίᾳ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχοντες ἔτι καὶ τρίτον προςλήψονται διάστημα καὶ ἔσονται στερεοὶ καὶ τριχῆ διαστατοί, ἐὰν τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ ἕκαστος πολλαπλασιασθῇ, ὁ μὲν δ δὶς β ὢν πάλιν δὶς γενόμενος, ἵνα ὀγδοὰς ἀποτελεσθῇ, ὁ δὲ θ τρὶς γ ὤν πάλιν τριάδι ἐπ᾿ ἄλλο διάστημα αὐξηθῇ καὶ γένηται ὁ κζ, ὁ δὲ ιϚ τετράκις δ ὑπάρχων πάλιν τετράδι τῇ αὐτοῦ πλευρᾷ μεγεθυνθῇ καὶ γένηται ὁ ξδ, καὶ οἱ ἑξῆς παραπλησίως μέχρι παντός. τοσούτων
[*](XV. Io. Phil. rec. l, μθ, ν; rec. II, λη. — Iambl. p. 137. 138. — Boëth II. 16.) [*](XV. 2. πυραμίδων Ρ -μίδων H — γέννησις H in mrg. — 2. 3. ἐπαύξησις καὶ φύσις Ρ ἐπαύξησις, φύσις G ἐπαυξήσεως φύσις CSH ἐπαύξησις φυσική Ast — 5. Περι κύβων, δοκίδων, σφηνίσκων καὶ πλινθίδων H — ἑτέρων C — ἑτερογενῶν om. — 7. σφηωίκων C — 10. ξδ om. PCH — 11. ὄντες] ἐπὶ μῆκος ἢ πλάτος add. S — 14. πλευρᾷ] πάλιν add. H — 15. πολυπλ. H διπλασια- σθῇ S — δὶς] ἕκαστος S — 16. γενόμενοι C — ἀποτελε- σθείη H — 16 — 18. ὁ δὲ θ . . . κζ om. C — 19. τῇ αὐτῇ CSH — 18. 19. ὁ κζ . . . γένηται om P — 19. ὁ om. G — 20. παντὸς] κύβοι οὗτοι πάντες καλοῦν- ται add. C) 106
δὲ καὶ ἐνθάδε μονάδων αἱ πλευραὶ ἔσονται,
[*](P) ὅσωνπερ ἧσαν καὶ αἱ τῶν τετραγώνων, ἀφ᾿ ὧν ἐγένοντο, ἕκαστος ἀφ᾿ ἑκάστου, αἱ μὲν τοῦ η δυάδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ δ, αἱ δὲ τοῦ κζ τριάδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ θ, αἱ δὲ τοῦ ξδ τετράδων, ὅσων καὶ αἱ τοῦ ιϚ, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς, ὥςτε καὶ ἡ τῆς δυνάμει κύβου μονάδος πλευρὰ μονὰς ἔσται πανταχόθι, ὅσηπερ καὶ ἡ τῆς δυνάμει τετραγώνου μονάδος. καθόλου δὲ ἕκαστος τετράγωνος ἓν μὲν ἐπίπεδόν ἐστι, γωνίας δὲ ἔχει τέσσαρας καὶ πλευρὰς τέσσαρας, ἕκαστος δὲ κύβος ηὐξημένος ὢν ἐξ ἑκάστου τετραγώνου τῇ ἰδίᾳ πλευρᾷ πολυπλασιασθέντος ἐπίπεδα μὲν ἕξει πάντως ἔξ, ὧν ἕκαστον ἶσον τῷ προγόνῳ αὐτοῦ τετραγώνῳ, πλευρὰς δὲ δώδεκα, ὦν ἑκάστῃ ἴση καὶ μο νάδων γε τῶν αὐτῶν τῇ τοῦ προγόνου τετραγώνου πλευρᾷ, γωνίας δὲ ὀκτώ στερεάς, ὧν ἑκάστη περιέχεται ὑπὸ τριῶν πλευρῶν, οἵα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ἐν τῷ προγόνῳ τετραγώνῳ.
ιϚ. Ἐπειδὴ οὖν πάντη ἰσόπλευρον ἐπὶ μῆκος καὶ [*](XVI. Io. Phil. rec. I, να, νβ; rec. II. λθ. — Theon. 29. — Boëth. II. 16.) [*](1. μονάδι H — 3. ἕκαστος] ἕκάστ G -ον Ρ — 5. αἱ πλευραὶ τοῦ θ H — 6. ὥςτε] ὅθεν H — 7. πανταχόθεν P — ὅσηςπερ GSH ὅση P ὅσηπερ C — 12. πολλαπλ. — ἔχει H - 13. ἕξ] ἐξ P — 14316. μονάδων γε τοσαύ- των, ὅση τοῦ προγ. τετραγ. πλευρά P, μον. γε τοσαύτων, ὅσων καὶ C] ἡ τοῦ προγ. τετρ. πλευρά CH — 17. πλευ- ρῶν] τοιούτων scil. γωνιῶν] Ast. see intellegendum γραμμι- κῶν, non ἐπιπέδων; lo Phil. uocem πλευρῶν hoc loco ignorauit cf. rec. l, ν: ὑπὸ γ δέ τινων· γραμμῶν δηλονότι· τί- νων γὰρ ἄλλων; αἱ μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ γωνίαι ἑκάστη ὑπὸ β γραμμῶν περιέχεται, βαθυνομένου δὲ τοῦ ἐπιπέδου πρός ταῖς β τῆς γωνίας γραμμαῖς καὶ γ αὐταῖς προςτίθε- ται ἡ τού βάθους. — rec ll, λη: . . . γίνεται στερεὰ γω- νία περιεχομένη ὑπὸ γ εὐθειῶν — ἐν om. P)
107
βάθος καὶ πλάτος σχῆμα στερεὸν ὑπάρχει ὁ κύβος καὶ ἐπὶ τὰς λεγομένας ἓξ περιστάσεις ἰσοδιάστατον, ἀκόλουθον ἄρα ἐστίν, ἀντικεῖσθαι αὐτῷ τὸ μηδαμῆ ἴσας ἔχον τὰς διαστάσεις ἀλλήλαις, ἀλλ᾿ ἄνισον τὴν τοῦ βάθους τῇ τοῦ πλάτους καὶ ἑκατέρᾳ τούτων τὴν τοῦ μήκους, οἷον δὶς τρὶς τετράκις ἢ δὶς τετράκις ὀκτάκις ἢ τρὶς πεντάκις δωδεκάκις ἢ κατά τινα ἄλλην ἀνισότητα τοιαύτην. τὰ δὲ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα λέγεται σκαληνὰ ἁπλῶς, ὧν πάντη τὰ διαστήματα ἄνισα ἀλλήλοις ἐστι· τινὲς δὲ αὐτὰ πωλυνωύμως σφηνίσκους καλοῦσι, καὶ γὰρ καὶ οἱ σφῆνες ἀνισόπλευροι πανταχῆ τεκτονικοί τε καὶ οἰκοδομικοὶ καὶ χαλκευτικοὶ καὶ οἱ τῶν ἄλλων τεχνῶν πλάσσονται ἀπὸ ὀξυτέρου ἄκρου διαδύνειν ἀρχόμενοι καὶ αἰεὶ μᾶλλον πλατυνόμενοι ἀνομοίως κατὰ πάντα τὰ διαστήματα· τινὲς δὲ τούς αὐτούς σφηκίσκους καλοῦσι, τοιοῦτος γὰρ καὶ ὁ τῶν σφηκῶν μάλιστα ἄγκος ἀποσφιγγόμενος κατὰ μέσον καὶ τὴν λεχθεῖσαν ὁμοιότητα ἐμφαίνων· παρὰ τοῦτο εἰκὸς καὶ τὸ σφήκωμα ὠνομάσθαι, ἔνθα γὰρ ἂν ἀποσφίγξῃ, τὴν τού σφηκὸς ἐντομὴν μιμεῖται· ἕτεροι δὲ τούς αὐτούς βωμίσκους προςαγορεύουσιν
[*](p) ἀπὸ οἰκείας εἰκόνος, οἱ γὰρ παλαιότροποι βωμοί, μάλιστα δὲ ἰωνικοί, οὔτε τὸ πλάτος τῷ βάθει οὔτε συναμφότερα τῴ μήκει ἶσα ἔχουσιν οὕτε τὴν βάσιν τῇ κορυφῇ, ἀλλὰ πάντη εἰσὶν ἐξηλλαγμένοι
[*](XVI. 3. ἄρα om. S — μηδαμῶς PSH — 4. ἔχων P ἄνισον] ἔχον add. H — 5. 6 ἑκατέραν . . . τῇ S — 6. 7. οἷον θὶς ε, τετράκις ε, ἢ δις δ, τετράκις δ, ὀκτάκις δ, ἢ τρὶς γ, πεντάκις γ, δωδεκάκις γ ἢ κατὰ . . Ρ θὶς τρία τε- τράκις ἢ δὶς δ ὀκτάκις ἢ τρὶς ε δωδεκάκις — 10. σφῆ- ναις G — 16. σφηνίσκους καὶ σφηκ. — 17. μάλιστα om. S — ἀποσφηγγόμ. G ἀποσφιγγόμενοι P — 18. ἀνο- μοιότητα H — 22 παλαιότεροι H — 25. ἐξηλαγμ. P) 108
ταῖς διαστάσεσιν. ὡς οὖν ἀκροτήτων δύο κύβου τε καὶ σκαληνοῦ, τοῦ μὲν κατ᾿ ἰσότητα διεστῶτος, τοῦ δὲ κατ᾿ ἀνισότητα πάντη, μέσοι εἰσὶ στερεοὶ ἀριθμοὶ οἱ λεγόμενοι παραλληλεπίπεδοι, ὧν καὶ τὰ ἐπίπεδα ἑτερομήκεις ὑπάρχουσιν ἀριθμοί, ὥςπερρ καὶ τῶν κύβων αὐτῶν τετράγωνοι ἀριθμοὶ ἦσαν τὰ ἐπίπεδα, ὡς ἐδείχθη.
ιζ. Πάλιν οὖν ἄνωθεν ἑτερομήκης ἀριθμὸς λέγεται, οὐ ἐπιπέδως σχηματογραφηθέντος τετράπλευρος μὲν καὶ τετραγώνιος γίνεται ἡ καταγραφή, οὐ μὴν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ πλευραὶ οὐδὲ τὸ μῆκος τῷ πλάτει ἶσον, ἀλλὰ παρὰ μονάδα, οἷον
ὁ β, ὁ Ϛ, ὁ ιβ, ὁ κ, ὁ λ, ὁ μβ καὶ οἱ ἐξῆς· ἂν γὰρ αὐτούς ἐπιπέδως διαγράφῃ τις, πάντως οὕτω ποιήσει·
ἅπαξ β β, δὶς γ Ϛ, τρὶς δ ιβ καὶ τοὺς ἐξῆς ἀναλόγως·
τετράκις ε, πεντάκις ς, ἑξάκις ζ, ἑπτάκις η καὶ ἐπ᾿ ἄπειρον, μόνον ἵνα μονάδι μείζων ἡ ἑτέρα πλευρὰ τῆς λοιπῆς ᾖ, ἄλλῳ δὲ μηδενὶ ἀριθμῷ· ἐὰν δὲ ἄλλως παρὰ τὴν μονάδα διαφέρωσιν ἀλλήλων αἱ πλευραὶ, οἷον δυάδι, τριάδι, τετράδι ἢ ἐφεξῆς, ὡς τὰ
δὶς δ ἢ τρὶς Ϛ ἢ τετράκις η [*](XVII. Io. Phil. rec. l, νγ—νζ; rec. ll, μ—-μβ. — Iambi. p. 102 seq. — Theon. 24. 29 — Boëth. II. 17—20.) [*](3. πάντη om. S) [*](XVII. Περὶ ἑτερομήκους GP — 8. ἑτερομήκις G — 10. τετράγωνος C — 14. διαγράφει P — 15. οὕυτω om S — 16. β . . . Ϛ . . \β om. — 17. ἀνάλογον H — 18. ε, πεντ. om. P — 20. οὐδενὶ SΗ — 21. ἄλλως] ἄλλω H — 22. δυάδι η τρ. ἢ τετρ. SH — 24. τρὶς η GRH cf. XVIII, 2.) 109
ἢ ὅπως ποτὲ οὖν ἑτέρως, οὐκέτι κυρίως ὁ τοιοῦτος ἑτερομήκης κληθήσεται, ἀλλὰ προμήκης· ἕτερον γὰρ καὶ ἑτερότητα οἱ παλαιοὶ οἱ περί τε Πυθαγόραν καὶ τούς ἐκείνου διαδόχους πυθμενικῶς ἐν τῇ δυάδιἐθεώρουν, ταυτὸν δὲ καὶ ταυτότητα ἐν τῇ μονάδι, ὡς ἐν δυσὶν ἀρχαῖς τῶν ὅλων· εὑρίσκονται δὲ αὗται μονάδι μόνον ἀλλήλων διαφέρουσαι, ὥςτε καὶ τὸ ἕτερον σπερματικῶς μονάδι ἕτερόν ἐστι καὶ οὐκ ἄλλῳ ἀριθμῷ· διόπερ καὶ συνήθως ἐπὶ δυοῖν, ἀλλʼ οὐκ ἐπὶ πλειόνων τὸ ἕτερον λέγεται παρὰ τοῖς ὀρθῶς διαλεγομένοις. ἀλλὰ μὴν καὶ μονάδι μὲν εἰδοποιεῖσθαι ἀπεδείχθη ὁ περισσὸς πᾶς ἀριθμός, δυάδι δὲ ὁ ἄρτιος πᾶς Ὅθεν εἰκότως τὸν μὲν περισσὸν τῆς ταυτοῦ
[*](P) φύσεως ἐροῦμεν μετέχειν, τὸν δὲ ἄρτιον τῆς θατέρου, καὶ γὰρ δὴ καὶ κατὰ σωρείαν ἑκατέρου ἀποτελοῦνται φύσει, ἀλλʼ οὐχ ἡμῶν θεμένων, τῇ μὲν τοῦ ἀπὸ μονάδος περισσοῦ ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τετραγώνων φύσις, τῇ δὲ τοῦ ἀπὸ δυάδος ἀρτίου ἐπ᾿ ἄπειρον ἡ τῶν ἑτερομηκῶν. πᾶσα ἄρα ἀνάγκη, τὸν μὲν τετράγωνον οἴεσθαι πάλιν τῆς ταυτοῦ φύσεως μετέχειν· τὸν γὰρ αὐτὸν λόγον καὶ ὅμοιον καὶ ἀπαράλλακτον καὶ ἐν ἰσότητι κείμενον αἱ πλευραὶ αὐτοῦ ἀποδεικνύουσι πρὸς ἑαυτάς, τὸν δὲ ἑτερομήκη τῆς θατέρου· ὃν γὰρ μονὰς πρὸς δυάδα τρόπον παρήλλακται μονάδι μόνῃ διαφέρουσα, τοῦτον καὶ παντὸς ἑτερομήκους αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας διαλλάσσουσιν,
[*](2. ἑτερομήκες G — προμήκις G — 5. 6. ὡς . . . μονάδι om P — 6. δυσὶν] δισσαὶ CS — 9. ἐπὶ δυ.] ἐστὶ δυ. H — 12. ὁ περισσὸς om. — ὁ ante ἄρτιος om. GH — 13. τῆς τοὺ ταυτοῦ S — 17. τετραγώνου P — 20. αὐτοῦ P — μετέχειν] εἶναι S — 25. μόνον S — τοῦτο P τούτῳ S — παντὸς] παντὶ τοῦ S) 110
ἡ ἑτέρα τῆς ἑρέρας μονάδι μόνον διαφέρουσα· οἷον ἐκκειμένου μοι τοῦ ἀπὸ μονάδος συνεχοῦς ἐξῆς ἀριθμοῦ ἐκλεξάμενος ἰδίᾳ μὲν τούς περισσούς τάσσω ἐν ἑνὶ στίχῳ, ἰδία δὲ τούς ἀρτίους ἐν ἑτέρῳ, καὶ γίνονταί μοι δύο στίχοι τοιοῦτοι·
α, γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ, κα, κγ, κε, κζ·β, δ, Ϛ, η, ι, ιβ, ιδ, ιϚ, ιη, κ, κβ, κδ, κϚ, κη. ἀρχὴ μὲν οὖν τοῦ τῶν περισσῶν στίχου ἡ μονὰς ὁμογενής τε οὖσα καὶ τὴν τοῦ ταυτοῦ φύσιν ἔχουσα· διὸ οὔτε ἐὰν τε ἑαυτὴν πολυπλασιάσῃ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, ἑτεροιοῦται οὔτε ἄλλον ὁντιναοῦν ἐξίστησι τοῦ ἐξ ἀρχῆς, ἀλλὰ τηρεῖ αὐτὸν ἐν ταυτῷ· τὸ δὲ τοιοῦτον περὶ ἄλλον ἀριθμὸν εὑρεῖν ἀδύνατον. τοῦ δ᾿ ἄλλου στίχου ἄρχει ἡ δυὰς ὁμογενὴς αὐτῷ οῡσα καὶ ἑτερότητος καταρκτική· εἴτε γὰρ ἑαυτὴν εἴτε ἄλλον πολυπλασιάσειεν, ἔκστασιν ποιεῖ, οἷον
δὶς β, θὶς γ. Ὅταν δὲ ᾖ
ὀκτάκις η δὶς ἢ τρίς, τὰ τοιαῦτα στερεὰ σχήματα πλινθίδες λέγονται ἰσάκις ἶσοι ἐλαττονάκις· ἐὰν δὲ καὶ μείζονα τὰ ὕψη τῷ τετραγώνῳ προςγένηται, δοκίδες οἱ τοιοῦτοι ἀριθμοὶ λέγονται, οἷον
τρὶς γ ἑπτάκις ἢ ὀκτάκις ἢ ἐνάκις [*](2. μοι om. P, ἡμῖν SH — συνεχῶς H. om. — 4. τάσσων S — 5. δύο om. S — τοιοῦτοι CSH — 8. ἄρχει P — 9. τὴν τοῦ αὐτοῦ P τὴν ταυτοῦ S — 10. διόπερ H — ἐάν τε om. CH — αὐτήν H — πολυπλασιάσασα CH — 11. ἑτεριοῦται P — 12 τοῦ ἐξ ἀρχ.] τῆς ἀρχ. — 14. ἄλ- λου] ἑτέρου S — ἀρχὴ S — 15. ἑαυτὸν GP — 16. ἄλλην H — 18. ᾖ om SH — 21. 22. τῶν τετραγώνων SH — 22. γένηται S προςγίν. H — 24 — (p. 111) 1. ἑπτάκις μόνον] τετράκις ἢ πεντάκις ἢ ἑξάκις η ἑπτάκις ἢ ὁσακιςοῦν μόριον ὑπερβ. S — 24. ἐννάκις P ἐννεάκις CH) 111
ἢ ὁσακιςοῦν μόνον ὑπερβαλλόντως· ἔστι δὲ δοκὶς ἀριθμὸς ἰσάκις ἶσος μειζονάκις· οἱ δέ γε σφηνίσκοι ἦσαν ἀνισάκις ἄνισοι ἀνισάκις καὶ οἱ κύβοι ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις. αὐτῶν δὲ τῶν κύβων ὅσοι πρὸς τῷ ἰσάκις ἶσοι ἰσάκις εἶναι ἔτι ἔχουσι καὶ τὸ αἰεὶ καταλήγειν κατὰ πᾶσαν πολυπλασίασιν εἰς τὸ αὐτό, ἀφ᾿ οὗπερ ἤρξαντο, σφαιρικοὶ καλοῦνται, οἱ δʼ
[*](P) αὐτοὶ καὶ ἀποκαταστατικοί, ὥςπερ ἀμέλει ὁ ἀπὸ τῆς ε πλευρᾶς καὶ ὁ ἀπὸ τῆς Ϛ· ὅσαις γὰρ ἂν αὐξήσεσιν αὐξήσω τούτων ἑκάτερον, εἰς τὸ αὐτὸ συμπέρασμα ἀεὶ τελευτήσει πάντως, ὁ μὲν ἀπὸ τοὺ Ϛ εἰς αὐτὸ τὸ Ϛ, ὁ δὲ ἀπὸ τοῦ ε εἰς αὐτὸ τὸ ε· οἷον πεντάκις ε εἰς τὸ ε τελευτήσει καὶ τοῦτο πεντάκις καὶ εἰ δέοι πάλιν πεντάκις τοῦτο καὶ μέχρις ἀπείρου ἑτέρα τις τελευτὴ οὐχ εὑρεθήσεται, πλὴν εἰ μὴ ἡ ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ϛ τὸν αὐτὸν τρόπον ἡ Ϛ καὶ ἄλλη οὐδεμία· ὥςτε καὶ ἡ μονὰς δυνάμει σφαιρική ἐστι καὶ ἀποκαταστατική, τὸ γὰρ αὐτὸ πάσχει τοῦτο, ὡς εἰκός, πάθος τὸ περὶ τὰς σφαίρας καὶ τούς κύκλους· ἐκείνων γὰρ ἑκάτερον, ὅθεν ἄρχεται, ἐκεῖ καὶ τελευτὰ περικυκλούμενον καὶ περιστρεφόμενον. ὡς καὶ οἱ λεχθέντες οὗτοι ἀριθμοὶ μονώτατοι τῶν ἄλλων τῶν ἰσάκις ἴσων καταστρέφουσιν εἰς τὴν αὐτὴνἀρχήν,
[*](2. ἴσον P — 5. τῷ] τὸ G — ἔτι] εἰ add. H — 6. πολυπλάσιον P — 9. ὅσαι P — ἂν om. H — 12. 13. πεντ. ε] κε add. S — 13. 14. καὶ τοῦτο . . . τοῦτο] καὶ τοῦτο πάλιν πεντάκις εἰς τὸ αὐτὸ τελευτήσει καὶ πάλιν τοῦτο πεντάκις καὶ εἰ δέοι πάλιν πεντάκις τοῦτο καὶ μέχρ. C καὶ πάλ. τοῦτον πεντάκ. καὶ εἰς τὸν αὐτὸν τελευτήσει πάλιν ρκε καὶ μέχρ. S καὶ τοῦ πεντ. πάλ. ρκε εἰς τὸ αὐτὸ τελ. καὶ πάλ. τοῦ πεντάκις καὶ μέχρ. Η — 14. τοῦτο scripsi pro ε (GP) — 15. εἰ μὴ om. S ὁ ε CH — 16. ὁ Ϛ C — 19. τὸ παρὰ P τῶ περὶ C — 23. ἴσων καὶ εἰς, om. καταστρέφουσιν P — εἰς . . . ἀρχὴν] εἰς τούς αὐτούς S) 112
ὅθεν ἤρξαντο, κατὰ πάσας τὰς αὐξήσεις· ἀλλ᾿ ἄν μὲν ἐπιπέδως δυσὶ διαστήμασι προκόψωσι, κυκλικοὶ λέγονται, ὡς ὁ
α, κε, λϚ ἐκ τοῦ ἅπαξ α καὶ τοῦ πεντάκις ε καὶ τοῦ ἑξάκις Ϛ· ἐὰν δὲ τρία διαστήματα ἔχωσιν ἢ ἐπὶ πλέον τούτων πολλαπλασιασθῶσι, σφαιρικοὶ στερεοὶ λέγονται, ὡς ὁ
α, ρκε, σιϚ ἤ ἄλλως
α, χκε, σσ??Ϛ.