Introductio arithmetica

α. Οἱ παλαιοὶ καὶ πρῶτοι μεθοδεύσαντες ἐπιστήμην κατάρξαντος Πυθαγόρου ὡρίζοντο φιλοσοφίαν εἶναι φιλίαν σοφίας, ὡς καὶ αὐτὸ τὸ ὄνομα ἐμφαίνει, τῶν πρὸ Πυθαγόρου πάντων σοφῶν καλουμένων συγκεχυμένῳ ὀνόματι, ὥςπερ καὶ τέκτων καὶ σκυτοτόμος καὶ κυβερνήτης καὶ ἁπλῶς ὁ τέχνης τινὸς ἢ δημιουργίας ἔμπειρος· ἀλλʼ ὅ γε Πυθαγόρας [*](I. Ioannis Alex. Philoponi Schol. α—ιβ. — Iamblich. Chalcid. p. 1—5. — Anitii Manlii Seuerini Boëthii Arithm. I. 1. — Scholia codd. ΝΓ in Nobbii spec. p. 7—10.) [*](1. ΓΕΡΑΣΙΝΟΥ P — 2. ΠΥΘ. GmH ΠΥΘΑ- ΓΟΡΕΙΟΥ ΝΓ, om. ΡϹμ — 3. εἰςαγωγῆς om. ΡΝ, Boëth. εἰςαγωγὴ τ//// ἀρ. G1; τ in σ mut. G2 εἰςαγωγὴ τῆς ἀριθμ. m ἀριθμητικῆς εἰςαγωγή S τοῦ Γερασ. ἀριθμητικῆς εἰςαγω- γῆς πρῶτον βιβλίον μ cf. libri II titulum. II, 21, 1. II, 29, 5. inscr. tuentur Iambl. (περὶ τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰςἀγωγῆς λόγ. δ); Io. Phil. (εἰς τὸ πρῶτον τῆς Νικ. ἀριθ- μητικῆς εἰςαγωγῆς). — 4. εἰς //// δύο G εἰς τὰ δύο mH.) [*](I, 6. ὡρίσαντο H — 9. συνκεχ. P  — ὥςπερ τέκτ. C — 10. ἁπλῶς] πᾶς add. CμSHΓ)

συστείλας πάντων τὸ ὄνομα ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος ἐπιστήμην καὶ κατάληψιν καὶ μόνην τὴν ἐν τούτῳ γνῶσιν τῆς ἀληθείας σοφίαν ἰδίως καλέσας εἰκότως καὶ τὴν ταύτης ὄρεξιν καὶ μεταδίωξιν φιλοσοφίαν προςηγόρευσεν, οἷον σοφίας ὄρεξιν. ἀξιοχρεώτερος δέ ἐστι τῶν ἄλλως ὁριζομένων, παῤ ὅσον ἰδίου ὀνόματος καὶ πράγματος ἔννοιαν δηλοῖ· καὶ ταύτην δὲ τὴν σοφίαν ὡρίζετο ἐπιστήμην τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας, ἐπιστήμην μὲν οἰόμενος εἶναι κατάληψιν τοῦ ὑποκειμένου ἄπταιστον καὶ ἀμετακίνητον, ὄντα δὲ τὰ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡςαύτως ἀεὶ διατελοῦντα ἐν τῷ κόσμῳ καὶ οὐδέποτε τοῦ εἶναι ἐξιστάμενα οὐδὲ ἐπὶ βραχύ· ταῦτα ἂν εἴη τὰ ἄυλα καὶ ὧν κατὰ μετουσίαν ἕκαστον λοιπὸν τῶν ὁμωνύμως ὄντων καὶ καλουμένων τόδε τι λέγεται καὶ ἔστι. τὰ μὲν γὰρ σωματικὰ δήπου καὶ ὑλικὰ ἐν διηνεκεῖ ῥύσει καὶ μεταβολ διὰ παντός ἐστι μιμούμενα τὴν τῆς ἐξ ἀρχῆς ἀιδίου ὕλης καὶ ὑποστάσεως φύσιν καὶ ἰδιό τητα· ὅλη γὰρ διʼ ὅλης ἦν τρεπτὴ καὶ ἀλλοιωτή· τὰ δὲ περὶ αὐτὴν ἢ καὶ σὺν αὐτῇ θεωρούμενα ἀσώματα, οἷον ποιότητες, ποσότητες, σχηματισμοί, μεγέθη, [*](1. πάντων om. CμSNΓ — 2. τούτῳ] πάντων add. SHNΓ — 4. καὶ post εἰκ. om. SHNΓ — 5. προςηγόρ.] ἐκάλε σεν ΝΓ — σοφ. ὄρ. σοφ. ἔφεσιν SHNΓ ὄρ. Iambl. p. 5. ἔρεσ. ibid. p. 10. — 6. παρόσον codd. συνεσταλμένον add. Γ) [*](— 7. αὐτὴν ΗΝΓ — 11. κατὰ αὐτὰ Γ — διατελεῖντα G — 12 ἀφιστάμενα SNΓ — 13. ταῦτʼ ἂν Ρm ταῦτα δ᾿ ἂν CμSHNΓ — εἴη] ᾖ — καὶ ὧν] καὶ [τὰ H] ἀίδια, ὧν SH καὶ ἀίδια καὶ ὧν CμΓ, cf. Iambl. p. 5. — 14. λοιπ. ἕκ. ΝΓ — ὁμωνύμων m — ὄντων καὶ] καὶ om. PCμG2Γ ὁμων. οὕτω καλ. Η — 15. λέγεται] εἶναι add. G2H — 17. ἐστι] εἰσι Γ — 19. ἀλλοιωτή] περὶ τὰ ὑλικὰ καὶ σωματικά add. SH (ἔδει εἰπεῖν τρεπτικὴ καὶ ἀλλοιωτική lo. Phil. η) — 20. καὶ om. ΝΓ) μικρότητες, ἰσότητες, σχέσεις, ἐνέργειαι, διαθέσεις, [*](P) τόποι, χρόνοι, πάντα ἁπλῶς, οἷς περιέχεται τὰ ἐν ἑκάστῳ σώματι, ὑπάρχει καθʼ ἑαυτὰ ἀκίνητα καὶ ἀμετάπτωτα, συμβεβηκότως δὲ μετέχει καὶ παριπολαύει τῶν περὶ τὸ ὑποκείμενον σῶμα παθῶν. τῶν δὴ τοιούτων ἐξαιρέτως ἐπιστήμη ἐστὶν ἡ σοφία, συμβεβηκότως δὲ καὶ τῶν μετεχόντων αὐτῶν, ὅ ἐστι σωμάτων.

β. Ἀλλʼ ἐκεῖνα μὲν ἄυλα καὶ ἀίδια καὶ ἀτελεύτητα καὶ διὰ παντὸς ὄμοια καὶ ἀπαράλλακτα πέφυκε διατελεῖν, ὡςαύτως τῇ αὐτῶν οὐσίᾳ ἐπιδιαμένοντα, καὶ ἕκαστον αὐτῶν κυρίως ὂν λέγεται, τὰ δὲ ἐν γενέσει τε καὶ φθορᾷ καὶ αὐξήσει καὶ μειώσει καὶ μεταβολῇ παντοίᾳ καὶ μετουσίᾳ φαίνεται διηνεκῶς τρεπόμενα καὶ λέγεται μὲν ὁμωνύμως ἐκείνοις ὄντα, καθʼ ὅσον αὐτῶν μετέχει, ἔστι δὲ τῇ ἑαυτῶν φύσει οὐκ ὄντως ὄντα· οὐδὲ γὰρ τὸ βραχύτατον ἐπὶ ταὐτοῦ διαμένει, ἀλλ᾿ ἀεὶ μεταβαίνει παντοίως ἀλλασσόμενα κατὰ τὸν παρὰ Πλάτωνι Τίμαιον, ὅς φησι· τί τὸ ὂν ἀεί, [*](II. lo. Phil. ιγ—κα. — lambl. p. 6. 7. — Boëth. l. 1. — Scholia ΝΓ in Nobbii spec. p. 11—16.) [*](1. σμικρότητες Γ, lo. Ph. ι — ἰσότητες⌋ ἀνισότητες add. ΝΗΓ, lo. Ph. ι — 3. σώματα Γ — καθʼ αὑτὰ C — 4. 7. συμβεβηκότως G2 bis corr. ex συμβεβηκότα — 7. ὅ] ὅσα P.) [*](II, 9. μὲν] καὶ add. ΝΓ ἄυλα, ἀίδια C — 11. ἑαυ- τῶν CμSΓ — διαμένοντα CμSΗΝΓ — 12. αὐτῶν] αὐτοῦ εἴδους τούτων μ — τὰ] ταῦτα CμSΗΝΓ — 13. τε om. ΗΝΓ — 15. μὲν] cod. G2 ex μὴ corr. — καθόσον codd. — 16. τῆς ἑ. φύσεως Ρ — αὐτῶν μS — 17. ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ CμS — διαμένῃ m — 18. μεταβαίνει] μεταῤῥεῖ SΗΓ μεταῤῥεῖ καὶ μεταβ. Ast — παντοίως G2 corr. ex παντοία — ἀλλασσόμενον S — 19. Πλάτωνα S, cf. Tim. 27. D — ὂν] μὲν add. CμSΗΓ)

γένεσιν δὲ οὐκ ἔχον, καὶ τί τὸ γινόμενον μέν, ὂν δὲ οὐδέποτε, τὸ μὲν δὴ νοήσει μετὰ λόγου περιληπιόν, ἀεὶ καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ ὄν, τὸ δʼ αὖ δόξῃ μετʼ αἰσθήσεως ἀλόγου δοξαστόν, γινόμενόν τε καὶ ἀπολλύμενον, ὄντως δὲ οὐδέποτε ὄν. εὔλογον ἄρα καὶ ἀναγκαιότατον, εἰ τοῦ προςήκοντος καὶ ἀνθρώπῳ πρέποντος τέλους ἐφιέμεθα, τουτέστιν εὐζωίας (αὕτη δὲ διὰ φιλοσοφίας μόνης, ὑφʼ ἑτέρου δὲ οὐδενὸς συντελεῖται· φιλοσοφία δὲ ἡμῖν, ὡς ἔφην, σοφίας ὄρεξις, σοφία δὲ ἐπιστήμη τῆς ἐν τοῖς οὖσιν ἀληθείας, ὄντα δὲ τὰ μὲν κυρίως λεγόμενα, τὰ δὲ ὁμωνύμως), ἀκριβῶς διελεῖν καὶ διαρθρῶσαι τὰ τοῖς οὖσι συμβεβηκότα. τῶν τοίνυν ὄντων τῶν τε κυρίως καὶ τῶν καθʼ ὁμωνυμίαν, ὅπερ ἐστὶ νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, τὰ μέν ἐστιν ἡνωμένα καὶ ἀλληλουχούμενα, οἷον ζῶον, κόσμος, δένδρον καὶ τὰ ὅμοια, ἅπερ κυρίως καὶ ἰδίως καλεῖται μεγέθη, τὰ δὲ διῃρημένα τε καὶ ἐν παραθέσει καὶ οἷον κατὰ σωρείαν, ἃ καλεῖται πλήθη, οἷον ποίμνη, δῆμος, σωρός, χορὸς καὶ τὰ παραπλήσια. τῶν ἄρα δύο εἰδῶν τούτων ἐπιστήμην νομιστέον τὴν σοφίαν· ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶν πλῆθος καὶ πᾶν μέγεθος ἄπειρα τῇ αὑτῶν φύσει ἐξ ἀνάγκης [*](1. οὐκ] μὴ SΝΓ οὐκ in mg. Γ — γενόμενον m — 3. καὶ om. S — τ᾿ αὐτὰ P — 4. γιγνόμενον Gm — τε om. ΗΝΓ — 5. ὂν] ἔλεγε ταῦτα ὁ Τίμαιος παρὰ Πλάτωνι add. μ. — 7. αὐτή μ — 8. ὑφʼ om. S — 9. ἡμῖν] ἡμ/// G; om. Η, ἐστιν CμSΝΓ — 9. 10. σοφ. ἔφεσις Η, Γ in mg. — 12. διε- λεῖν] διεξελθεῖν (διελεῖν in mg.) S διελεῖν Γ, τε add. Γ — ἀρθρῶσαι — συμβεβηκότως m — 13. ὧν τοίνυν Γ — καὶ καθʼ Γ — 16. δένδ. κόσμ. SΗΝΓ, iidem om. καὶ — ἃ Γ — κυρίως] τε add. μ — 17. τε om. — 18. καλεῖται] καὶ add. Gm — 19. χορ. σωρ. CμSΗΝΓ, Boëth.; στρατός add. S — 20. δύο ἄρα C — τουτ. εἰδ. SΝΓ — 21. νομιστέον] νοη- τέον SΝΓ. — 22. ἄπειρον Γ — αὐτῶν G1P ἑαυτῶν Sμ) ἐστί (τὸ μὲν γὰρ πλῆθος ἀπὸ ὡρισμένης ῥίζης ἀρξάμενον [*](P) οὐ παύεται προκόπτον, τὸ δὲ μέγεθος ἀπὸ ὡρισμένης ὁλότητος διαιρούμενον οὐδαμὴ δύναται παύειν τὴν τομήν, ἀλλʼ ἐπʼ ἄπειρον διὰ ταῦτα προχωρεῖ), αἱ δὲ ἐπιστῆμαι πάντως πεπερασμένων εἰσὶν ἐπιστῆμαι, ἀπείρων δὲ οὐδέποτε, φαίνεται δή, ὅτι οὔτε περὶ ἁπλῶς μέγεθος οὔτε περὶ ἁπλῶς πλῆθος συσταίη ἄν ποτε ἐπιστήμη (ἀόριστον γὰρ ἑκάτερον καθʼ ἑαυτό ἐστι, πλῆθος μὲν ἐπὶ τὸ πλεῖον, μέγεθος δὲ ἐπὶ τὸ ἔλαττον), ἀλλὰ περί τι ἀπʼ ἀμφοῖν ἀφωρισμένον, ἀπὸ μὲν πλήθους περὶ τὸ ποσόν, ἀπὸ δὲ μεγέθους περὶ τὸ πηλίκον.

γ. Πάλιν δὲ ἐξ ἀρχῆς, ἐπεὶ τοῦ ποσοῦ τὸ μὲν ὁρᾶται καθʼ ἑαυτό, μηδεμίαν πρὸς ἄλλο σχέσιν ἔχον, οἷον ἄρτιον, περιττόν, τέλειον, τὰ ἐοικότα, τὸ δὲ πρὸς ἄλλο πως ἤδη ἔχον καὶ σὺν τῇ πρὸς ἕτερον σχέσει ἐπινοούμενον, οἷον διπλάσιον, μεῖζον, ἔλαττον, ἥμισυ, ἡμιόλιον, ἐπίτριτον, τὰ ἐοικότα, δῆλον ὅτι ἄρα δύο μέθοδοι ἐπιλήψονται ἐπιστημονικαὶ καὶ [*](III. Io. Phil. κα— λβ. — Iambl. p. 6—10. — Boëth. I. 1. — Theonis Smyrnaei Arithm. cap. l. — Schol. ΝΓ in Nobb. spec. p. 16—22.) [*](1. εἰσι C — γὰρ om. C — 4. διὰ ταύτης CμS διʼ αὐ- τῆς ΝΓ — 5. αἱ δὲ αἱ ἐπιστ. G, αἱ δὲ ἐπιστήμοι ἀπείρων δὲ οὐδέποτε φαίνεται, ἀλλὰ πάντως τῶν πεπερασμένων εἰσιν· δῆλον δὲ ὅτι μ — εἰσὶν] ἐστιν Ρ — 8. ποτε om. PSN — ἐπιστ. ποτε Cμ — ἑκάτερον] καὶ add. mPCμS, erasum in G — 9. καθʼ ἑαυτὸ ἑκ. — πλέον ΗΝΓ — 10. ἐπʼ μ — 11. μὲν] γὰρ add. S — πόσον G2) [*](III, 14. αὑτὸ P — 15. οἷον] τετράγωνον add. SΗΝΓ, Boëth. περισσόν ΝΓ — καὶ τὰ G2 — ἐοικώτως m — 16. ἔχον ἤδη C — 17. ἥμ. μεῖζ. ἔλ. CΝΓ. — ἔλασσον H — 18. καὶ τὰ G2 — δηλονότι codd. — 19. ἄρα om. CμSΗΝΓ — διαὶ λήψονται CμG2SΗΝΓ — ἐπιστ. post μεθ. CΝΓ)

διευκρινήσουσι πᾶν τὸ περὶ τοῦ ποσοῦ σκέμμα, ἀριθμητικὴμὲν τὸ περὶ τοῦ καθʼ ἑαυτό, μουσικὴ δὲ τὸ περὶ τοῦ πρὸς ἄλλο. πάλιν δὲ ἐπεὶ τοῦ πηλίκου τὸ μέν ἐστιν ἐν μονῇ καὶ στάσει, τὸ δὲ ἐν κινήσει καὶ περιφορᾷ, δύο ἕτεραι κατὰ τὰ αὐτὰ ἐπιστῆμαι ἀκρι τὸ πηλίκον, τὸ μὲν μένον καὶ ἠρεμοῦν γεωμετρία, τὸ δὲ φερόμενον καὶ περιπολοῦν σφαιρική. οὐκ ἄρα τούτων ἄνευ δυνατὸν τὰ τοῦ ὄντος εἴδη ἀκριβῶσαι οὐδʼ ἄρα τὴν ἐν τοῖς οὖσιν ἀλήθειαν εὑρεῖν, ἧς ἐπιστήμη σοφία, φαίνεται δέ, ὅτι οὐδʼ ὀρθῶς φιλοσοφεῖν· ὅπερ γὰρ ζωγραφίη συμβάλλεται τέχναις βαναύσοις πρὸς θεωρίης ὀρθότητα, τοῦτό τοι γραμμαὶ καὶ ἀριθμοὶ καὶ ἁρμονικὰ διαστήματα καὶ κύκλων περιπολήσιες πρὸς λόγων σοφῶν μαθήσιας συνεργίην ἔχουσιν, Ἀνδροκύδης φησὶν ὁ Πυθαγορικός. ἀλλὰ καὶ Ἀρχύτας ὁ Ταραντῖνος ἀρχόμενος τοῦ ἁρμονικοῦ τὸ αὐτὸ οὕτω πως λέγει· καλῶς μοι δοκοῦντι περὶ τὰ μαθήματα διαγνώμεναι καὶ οὐδὲν ἄτοπον αὐτοὺς ὀρθῶς, οἷα ἐντί, περὶ ἑκάστου φρο νέειν. περὶ γὰρ τᾶς τῶν ὅλων φύσιος καλῶς διαγνόντες ἔμελλον καὶ περὶ τῶν κατὰ μέρος, οἷα ἐντι, καλῶς ὀψεῖσθαι· περί τε δὴ τᾶς γεωμετρικᾶς καὶ ἀριθμητικᾶς καὶ σφαιρικᾶς παρέδωκαν ἄμμιν σαφῆ [*](1. αἳ διευκρ. Ast. — πόσου G2 — 2. αὑτὸ CΝΓ — τὸ post δὲ om. Γ — 3. ἐπεὶ] ἐπὶ PS — 5. τὰ om. P ταυτὰ S διακριβιὰσουσι H — 6. ἡρεμ. PH ὁρεμ. G1 — 9. ἀκρι- βῶσαι post δυνατὸν PCμ ἀκριβώσασθαι — 10. ἡ σοφ. — 11—15. ζωγραφία — θεωρίας — συνεργίαν — 12. τοι om. m καὶ add. H — 14. λόγον P — 17. τὸ αὐτὸ om. — 18. δοκοῦντι] τὸ add. PS τοὶ mCμNΓ cf. lo. Phil. κα — μαθηματικὰ P — 19. ὀρθῶς om. Cμ — ἑκάστω H — 20. τᾶς Gm τὰς P τῆς cet. — ὅλων] ἄλλων m ///λλων G — 22. τε] τι G1P — γεωμετρίας G2Cμ ΗΝΓ — τὰς γεω- μετρίας καὶ μουσικᾶς καὶ ἀριθμητικᾶς S — 23. καὶ σφαιρ. om. G1P — ἄμμι H) [*](P) διάγνωσιν, οὐχ ἥκιστα δὲ καὶ περὶ μουσικᾶς. ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι ἔμμεναι ἀδελφεά· περὶ γὰρ ἀδελφεὰ τὰ τοῦ ὄντος πρώτιστα δύο εἴδεα τὰν ἀναστροφὰν ἔχει. καὶ Πλάτων δὲ ἐπὶ τέλει τοῦ τριςκαιδεκάτου τῶν νόμων, ὅπερ τινὲς φιλόσοφον ἐπιγράφουσιν, ὅτι ἐν αὐτῷ περισκοπεῖ καὶ διορίζεται, ποταπὸν χρὴ τὸν ὄντως φιλόσοφον εἶναι, ἀνακεφαλαιούμενος τὰ διὰ πλειόνων προδιαλεχθέντα καὶ προδιαβεβαιωθέντα ἐπιφέρει· ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων φορᾶς τὴν ἀναλογίαν μίαν ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι, φανήσεται δʼ ἂν ὃ λέγομεν ὀρθῶς, εἴ τις εἰς ἓν βλέπων πάντα μανθάνει· δεσμὸς γὰρ ἁπάντων τούτων εἷς ἀναφανήσεται· εἰ δέ τις ἄλλως μεταχειριεῖται φιλοσοφίαν, τύχην δεῖ καλεῖν συνεργόν· οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ἡ ὁδός ποτε, ἀλλʼ οὗτος ὁ τρόπος, ταῦτα τὰ μαθήματα εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ ἰτέον, ἀμελεῖν δὲ οὐ δεῖ. τὸν δὲ ταῦτα πάντα οὕτω λαβόντα, ὡς ἐγὼ λέγω, τοῦτον ἐγὼ καλω σοφώτατον καὶ διισχυρίζομαι παίζων τε καὶ σπουδάζων. δῆλον γάρ, ὅτι κλίμαξί τισι καὶ γεφύραις ἔοικε ταῦτα τὰ [*](1. μουσικῶν P μωσικᾶς CμNΓ — ταῦτα δὲ P — 2. 3. περὶ γ. ἀδ. G1 om. — 4. Πλ.] epin. 13 — τριςκαιδ.] βιβλίου add. Γ τρεῖς καὶ δ. H — 5. ὅνπερ CΝΓ — 6. περισκοπεῖ om. σκοπεῖ SΝΓ — καὶ διορίζεται om. PCμ — 7. χρὴ] δεῖ PCμH — ὄντως om. PC — 8. τὰ G2 ex το//// [τοὺς?] — προλεχθέντα καὶ διαβεβαιωθέντα SΗΝΓ. διαλεχθ. μ. προβ. C, πρὸς διαλ. καὶ διαβ. P — 11. ὁμολογίαν CμSΗΝΓ Io. Phil. κε — μίαν om. H, εἶναι μίαν καὶ ἀναφ. μ — 13. ὁ λεγόμενας μ — τὰ πάντα SH ἅπαντα ΝΓ — 14. μαν- θάνῃ ΝΓ — τούτ. ἁπ. SHN τὸ τούτ. ἁπ. Γ —- 15. ἄλλος mC — τὴν φιλ. ΝΓ — 17. ταῦτα τὰ G, ταῦτα γὰρ τὰ m — 20. τούτ. δὴ S — τὸν σοφ. H — 21. τε] ἄμα S — 22. ὅτι] ὡς — τισιν ἢ SΝ ἢ καὶ Γ — ἐοίκασι ΝΓ) μαθήματα διαβιβάζοντα τὴν διάνοιαν ἡμῶν ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν καὶ δοξαστῶν ἐπὶ τὰ νοητὰ καὶ ἐπιστημονικὰ καὶ ἀπὸ τῶν συντρόφων ἡμῖν καὶ ἐκ βρεφῶν ὄντων συνήθων ὑλικῶν καὶ σωματικῶν ἐπὶ τὰ ἀσυνήθη τε καὶ ἑτερόφυλα πρὸς τὰς αἰσθήσεις, τῇ δὲ ἀυλίᾳ καὶ ἀιδιότητι συγγενέστερα ταῖς ἡμετέραις ψυχαῖς καὶ πολὺ πρότερον τῷ ἐν αὐταῖς νοητικῷ. καθὰ καὶ ὁ παρὰ Πλάτωνι ἐν τ πολιτείᾳ Σωκράτης τοῦ προςδιαλεγομένου αἰτίας τινὰς εὐλόγους ἐπιφέρειν δοκοῦντος τοῖς μαθήμασιν, ὡς εὔχρηστά εἰσι πρὸς τὸν ἀνθρώπινον βίον, ἡ μὲν ἀριθμητικὴ πρός λογισμοὺς καὶ διανομὰς καὶ συνειςφορὰς καὶ ἀμείψεις καὶ κοινωνίας, ἡ δὲ γεωμετρία πρὸς στρατοπεδεύσεις πόλεών τε καὶ ἱερῶν συγκτίσεις καὶ γεωμορίας, ἡ δὲ μουσικὴ πρὸς ἑορτὰς καὶ θυμηδίας καὶ θεῶν θρησκείας, σφαιρικὴ δὲ καὶ ἀστρονομία πρὸς γεωργίας τε καὶ ναυτιλίαν καὶ τὰς ἄλλας καταρχὰς τῶν πράξεων εὐχερείας καὶ ἐπιτηδειότητας προδηλοῦσα, [*](P) ἐπιπλήττων φησίν· ὡς ἡδὺς εἶ, ὅτι ἔοικας δεδιέναι, μὴ ἄρα ἄχρηστα ταῦτα τὰ μαθήματα προςτάττοιμι· τὸ δέ ἐστι παγχάλεπον, μᾶλλον δὲ ἀδύνατον· ὄμμα γὰρ τῆς ψυχῆς ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηἡμῶν [*](1. τὴν δ. S — 4. ὄντων] ἔτι SΝΓ, ὄντ. ἔτι H — 5. τε] om. ΝΓ, μὲν CμS — 7. πρῶτον P — τῶν . . . νοη- τικῶν P, τῷ . . . νοητῷ ΝΓ — 8. Πλᾴτ. cf. polit. VII, 9, 10. — 10. τοῖς μαθ. δοκ. ΝΓ — εἰσι] ἐστι Γ — 12. διαν. καὶ λογ. ΝΓ — 13. στρατοπ ///δεύσ G καὶ add. CμS — 14. συγκήσεις P συγκίσεις S — 16. καὶ ἀστρ. om. S — 17. γε- ωρ///γίας G -αν SΝΓ — ναυτιλίας C — 18. εὐχερείας Gm εὐχρείας P, in mg.: γρ. εὐκαιρίας, quod schol. in ceteros inrepsit. — ἐπιτηδειότητος P — προδηλοῦσαι G2 -ούσας S — 19. εἶ] ὦ λῷστε add. C λῶστε μ — 19. 20. ἔοικε δεδιέ- ται P — 20. ἄχρηστον P — ταῦτα om. μ τὰ μαθ. ταῦτα ΝΓ — 22. τῆς om. C) δευμάτων ἀποτυφλούμενον καὶ κατορυττόμενον διὰ τούτων μόνων ἀναζωπυρεῖται καὶ ἀνεγείρεται κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων σωματικῶν ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἡ περὶ τοῦ παντὸς ἀλήθεια ὁρᾶται.

δ. Τίνα οὖν ἀναγκαῖον πρωτίστην τῶν τεσσάρων τούτων μεθόδων ἐκμανθάνειν; ἢ δηλονότι τὴν φύσει πασῶν προυπάρχουσαν καὶ κυριωτέραν ἀρχῆς τε καὶ ῥίζης καὶ οἱονεὶ πρὸς τὰς ἄλλας μητρὸς λόγον ἐπέχουσαν. ἔστι δὲ αὕτη ἡ ἀριθμητικὴ οὐ μόνον, ὅτι ἔφαμεν αὐτὴν ἐν τῇ τοῦ τεχνίτου θεοῦ διανοίᾳ προυποστῆναι τῶν ἄλλων ὡςανεὶ λόγον τινὰ κοσμικὸν καὶ παραδειγματικόν, πρὸς ὃν ἀπερειδόμενος ὁ τῶν ὅλων δημιουργὸς ὡς πρὸς προκέντημά τι καὶ ἀρχέτυπον παράδειγμα τὰ ἐκ τῆς ὕλης ἀποτελέσματα κοσμεῖ καὶ τοῦ οἰκείου τέλους τυγχάνειν ποιεῖ, ἀλλὰ καὶ ὅτι φύσει προγενεστέρα ὑπάρχει, ὅσῳ συναναιρεῖ μὲν ἑαυτῇ τὰ λοιπά, οὐ συναναιρεῖται δὲ ἐκείνοις· οἷον τὸ ζῶον πρότερον τοῦ ἀνθρώπου φύσει ἐστίν· ἀναιρεθέντος γὰρ τοῦ ζώου ἀναιρεῖται καὶ ὁ ἄνθρωπος, οὐκέτι δὲ ἀναιρεθέντος τοῦ ἀνθρώπου συναναιρεῖται καὶ τὸ ζῶον· καὶ πάλιν ἄνθρωπος προγενέστερος γραμματικοῦ· μὴ γὰρ ὄντος ἀνθρώπου οὐδὲ γραμματικός ἐστι, μὴ ὄντος δὲ γραμματικοῦ δυνατὸν ἄνθρωπον εἶναι· ὥςτε ἐπεὶ συναναιρεῖ, [*](IV. Io. Phil. λγ —λη. — Iambl. p. 10. 11. — Theon. Smyrn. 2. — Boëth. I. 1. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 4.) [*](IV, 6. ἐκμαθεῖν Cμ — 11. κόσμιον P — 12. ἢ παραδ. S — 14. ἀποτελ. om. P — 15. ἀποκοσμεῖ P συγκ. CSH — 16. προγενέστερος ὑπάρχων P — 17. αὐτῇ S — 19. ἀνῄ- ρηται CS — ὁ om. G — 21. συνανῄρηται S ἀνῄρηται C — 21. 22. ὁ ἄνθρ. . . τοῦ γρ. CSH — 22. γὰρ om. P — 24. ἐπεὶ οὐ συναναιρεῖται μS)

διὰ τοῦτο καὶ πρεσβύτερον. καὶ ἐκ τοῦ ἐναντίου δὲ νεώτερον λέγεται καὶ ὑστερογενέστερον, ὃ συνεπιφέρει μὲν ἑαυτῷ τὸ λοιπόν, οὐ συνεπιφέρεται δὲ ἐκείνῳ, οἷον ὁ μουσικός· συνεπιφέρει γὰρ ἑαυτῷ πάντως τὸν ἄνθρωπον· καὶ πάλιν ἵππος· συνεπιφέρεται γὰρ πάντως τὸ ζῶον τούτῳ, οὐκ ἔμπαλιν δέ· ζώου γὰρ ὄντος οὐκ ἀναγκαῖον εἶναι ἵππον οὐδὲ ἀνθρώπου ὑπάρχοντος συνεπιφέρεσθαι μουσικόν. οὕτω καὶ ἐπὶ τῶν προλεχθεισῶν ἐπιστημῶν· οὔσης μὲν γὰρ γεωμετρίας ἀνάγκη καὶ τὴν ἀριθμητικὴν συνεπιφέρεσθαι· ἄμα γὰρ ταύτῃ τρίγωνον ἢ τετράγωνον ἢ ὀκτάεδρον ἢ εἰκοσάεδρον ἢ διπλάσιον [*](P) ἢ ὀκταπλάσιον ἢ ἡμιόλιον ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον, ὃ γεωμετρία λέγει, καὶ οὐκ ἄνευ τῶν ἑκάστῳ συνεπιφερομένων ἀριθμῶν ἐπινοεῖσθαι τὰ τοιαῦτα δύναται· πῶς γὰρ οἷόν τε τριπλάσιόν τι εἶναι ἢ λέγεσθαι μὴ προυποκειμένου τοῦ γ ἀριθμοῦ ὀκταπλάσιον μὴ ὑποκειμένου τοῦ η; ἔμπαλιν δὲ εἴη ἂν τὰ γ καὶ τὰ δ καὶ τὰ ἑξῆς μὴ ὄντων τῶν παρωνύμων σχημάτων. συναναιρεῖ ἄρα ἡ ἀριθμητικὴ τὴν γεωμετρίαν, ἀλλʼ οὐ συναναιρεῖται ὑπʼ αὐτῆς, καὶ συνεπιφέρεται μὲν ἐκείνῃ, οὐ συνεπιφέρει δὲ αὐτήν.

ε. Πάλιν δὲ ἐπὶ τῆς μουσικῆς· οὐ γὰρ μόνον [*](V. 10. Phil. λθ —μα. — Boëth. I. 1.) [*](1. πρεσβύτερος Ast. — 3. τὸ om. G1m, add. G2 — 5. πάντα G1m, -ως G2 cet. — 7. οὐκ G2 — 8. συνεπιφέρε- ται μουσικός — 10. τὴν om. SC — 11. ταύτη om. SC — 12. διπλάσιον] ἢ τριπλάσιον ἢ τετραπλάσμον add. CS — 13. ἢ ὀκταπλ. om. C — ἢ ἡμιόλ. om. H — ὃ] ὧν G2SH — 14. λέγων P — ἑκαστω G [ν?] — 15. τὰ τοι.] ταῦτα CS — 16. τε] καὶ add. G — τι om. P — 18. ὑποκειμένου om. CS — 19. τῶν om. P — ὁμωνύμων — 21. 22. συνεπιφέρεται . . . οὐ om. m — 22. ἐκείνῃ] ὑπʼ ἐκείνης CS) [*](V, 23. μόνον om. P)

ὅτι προγενέστερον τὸ καθʼ αὑτὸ τοῦ πρὸς ἄλλο, καθάπερ τὸ μέγα τοῦ μείζονος καὶ τὸ πλούσιον τοῦ πλουσιωτέρου καὶ ὁ ἄνθρωπος τοῦ πατρός, ἀλλʼ ὅτι καὶ αἱ μουσικαὶ συμφωνίαι διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν κατὰ ἀριθμόν εἰσιν ὠνομασμέναι· ὁμοίως καὶ τοὺς άρμονικοὺς λόγους ἀριθμητικοὺς πάντως ἔχουσιν, ἡ μὲν διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, ἡ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, ἡ δὲ διὰ πασῶν διπλάσιος, τριπλάσιος δὲ ἡ διὰ πασῶν ἅμα καὶ διὰ πέντε, τετραπλάσιος δὲ ἡ τελειοτάτη ἡ δὶς διὰ πασῶν. ἐκδηλότερόν γε μὴν ἡ σφαιρικὴ διʼ ἀριθμητικῆς τυγχάνει πάντων τῶν προςηκόντων αὐτῇ σκεμμάτων οὐ μόνον, ὅτι γεωμετρίας μεταγενεστέρα ἐστιν (ἡ γὰρ κίνησις φύσει μετὰ τὴν μονήν), οὐδʼ τι ἁρμονίας ἐκ παντὸς ἐμμελοῦς τὰ τῶν ἀστέρων κινήματα τέτευχεν, ἀλλʼ ὅτι καὶ ἀριθμῶν περιόδοις καὶ ποσότησιν ἀνατολαί τε καὶ δύσεις καὶ προποδισμοὶ καὶ ἀναποδισμοὶ καὶ ἐπιπροςθήσεις καὶ φάσεις παντοῖαι διαρθροῦνται. ὡς οὖν προγενεστέρας φύσει καὶ τιμιωτέρας καὶ πρεσβυτέρας ὡςανεὶ μητρὸς καὶ τιθήνης καλῶς προτέραν τὴν τεχνολογίαν ὑπεστησάμεθα, τὴν δὲ ἀρχὴν τῆς τεχνολογίας τοῦ σαφοῦς χάριν ἐντεῦθεν ποιησόμεθα.

[*](1. ἄλλο] ἕτερον CS — 4. 5. διὰ] ἡ διὰ ter H — 5. ἀριθ G1 μὸν G2 — ὀνομαστικαὶ superscr. ἤτοι ὀνομαζό- μεναι S — 7. ἔχουσι G1 ν G2 — 7—9. ἐπίτριτον . . . ἡμιό- λιον . . . διπλάσιον . . . τριπλάσιον . . . τετραπλάσιον CSH — 10. τελειότητα P — 11. ἐπιτυγχάνει — 12. ὅτι] ἐπειδὴ CS — 13. φύσει] ὑστέρα add. H — 16. περίοδον P — 18. φάσεις om. P φά///σεις G φαΰσεις m φαύσεις S lunae uariationes Boëth. — 19. φύσεως P — τιμιωτάτας H, in mg.: οἶμαι τιμιότητι — 21. τὴν] αὐτῇ — τεχνολ.] αὐτῆς add. CΓ — ἐπεστησ. S)

Ϛ. Πάντα τὰ κατὰ τεχνικὴν διέξοδον ὑπὸ φύσεως ἐν τῷ κόσμῳ διατεταγμένα κατὰ μέρος τε καὶ ὅλα φαίνεται κατὰ ἀριθμὸν ὑπὸ τῆς προνοίας καὶ τοῦ τὰ ὅλα δημιουργήσαντος νοῦ διακεκρίσθαι τε καὶ κεκοσμῆσθαι βεβαιουμένου τοῦ παραδείγματος οἷον λόγον προχαράγματος ἐκ τοῦ ἐπέχειν τὸν ἀριθμὸν προυποστάντα ἐν τῇ τοῦ κοσμοποιοῦ θεοῦ [*](P) διανοίᾳ, νοητὸν αὐτὸν μόνον καὶ παντάπασιν ἄυλον, οὐσίαν μέντοι τὴν ὄντως τὴν ἀίδιον, ἵνα πρὸς αὐτὸν ὡς λόγον τεχνικὸν ἀποτελεσθῇ τὰ σύμιπαντα ταῦτα, χρόνος, κίνησις, οὐρανός, ἄστρα, ἐξελιγμοὶ παντοῖοι. ἀναγκαῖον ἄρα, τὸν ἐπιστημονικὸν ἤδη ἀριθμὸν ἐπὶ τῶν τοιούτων ὑπάρχοντα καθʼ ἑαυτὸν ἡρμόσθαι καὶ οὐχ ὑπ᾿ ἄλλου, ἀλλʼ ὑφ᾿ ἑαυτοῦ. πᾶν δὲ ἡρμοσμένον ἐξ ἐναντίων πάντως ἥρμοσται καὶ ὄντων γε· οὔτε γὰρ τὰ μὴ ὄντα ἁρμοσθῆναι οἷά τε οὔτε τὰ ὄντα μέν, ὅμοια δὲ ἀλλήλοις, οὔτε τὰ διαφέροντα μέν, ἄλογα δὲ πρὸς ἄλληλα· ὑπολείπεται δὴ τά, ἐξ ὧν ἁρμόζεται, καὶ ὄντα εἶναι καὶ διάφορα καὶ λόγον πρὸς ἄλληλα ἔχοντα. ἐκ τοιούτων ἄρα καὶ ὁ ἐπιστημονικὸς [*](VI. 10. Phil. μβ—να. — Boëth. I. 8.) [*](VI, 1. ΠάνταG2 in ras. (-ως ?) — 2. τεταγμένα S — 5. κο- σμῆσθαι P διακεκ. CS κατακεκ. — διαβεβ. P — 6. ἐκ τοῦ pro τῷ, quod in edit. Wotfl. scripsi, e P restitui: „ eo, quod numerus imaginis instar est“; καὶ οἷον Gm; post λόγον add. καὶ G2 παράδ. ἐκ τοῦ οἷον ἀρχῆς λόγον πρὸ χαράγματος P οἷον ἀρχὴν καὶ λόγον προχ. C, idem omisso οἷον S οἷον post λόγον H καὶ οἷον ἀρχῆς λόγον καὶ προχ. Γ ἐκ τοῦ ἀρχῆς λόγον καὶ οἷον προχ. coni. Ast. p principale in animo condi- toris exemplar Boëth. — 8. αὐτὸν] ὄντα add. CS αὐτομόνον G — 9. τὴν ἀιδ. Gm καὶ ἀίδ. Cμ om. cet. — 10. ἀποτε- λεσθείη CS — 12. τὸν ἐπιστ.] καὶ αὐτὸν praemittunt Cμ — ἤδη] δὴ CSH — 15. τὸ ἡρμοσμ. CS — πάντα m — 18. ἄλλογα P — 20. ἐκ τούτων P)

ἀριθμός· ἔστι γὰρ τὰ ἐν αὐτῷ πρώτιστα εἴδη δύο οὐσίαν τε ἔχοντα τὴν τῆς ποσότητος καὶ διαφέροντα ἀλλήλων καὶ οὐχ ἑτερογενῆ, περιττὸν καὶ ἄρτιον, καὶ ἐναλλὰξ ὑπὸ θαυμαιτῆς καὶ θείας φύσεως διηρμοσμένα ἀλλήλοις ἀχωρίστως καὶ ἑνοειδῶς, ὡς αὐτίκα εἰσόμεθα.

ζ. Ἀριθμός ἐστι πλῆθος ὡρισμένον ἢ μονάδων σύστημα ἢ ποσότητος χύμα ἐκ μονάδων συγκείμενον, τοῦ δὲ ἀριθμοῦ πρώτη τομὴ τὸ μὲν ἄρτιον, τὸ δὲ περιττόν. ἔστι δὲ ἄρτιον μέν, οἷόν τε εἰς δύο ἷσα διαιρεθῆναι μονάδος μέσον μὴ παρεμπιπτούσης, περιττὸν δὲ τὸ μὴ δυνάμενον εἰς δύο ἶσα μερισθῆναι διὰ τὴν προειρημένην τῆς μονάδος μεσιτείαν. οὗτος μὲν οὖν ὁ ὅρος ἐκ τῆς δημώδους ὑπολήψεως· κατὰ δὲ τὸ Πυθαγορικὸν ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ τὴν εἰς τὰ μέγιστα καὶ τὰ ἐλάχιστα κατὰ ταὐτὸ τομὴν ἐπιδεχόμενος, μέγιστα μὲν πηλικότητι, ἐλάχιστα δὲ ποσόττι, κατὰ φυσικὴν τῶν δύο τούτων γενῶν ἀντιπεπόνθησιν, περισσὸς δὲ ὁ μὴ δυνάμενος τοῦτο παθεῖν, ἀλλʼ εἰς ἄνισα δύο τεμνομενος. ἑτέρῳ δὲ τρόπῳ κατὰ τὸ παλαιὸν ἄρτιός ἐστιν ὁ καὶ εἰς δύο ἶσα τμηθῆναι δυνάμενος καὶ εἰς ἄνισα δύο. πλὴν [*](VII. lo. Phil. νβ— ξα. — lambl. p. 11 seq. — Theon. 3—5. — Boëth. I. 3. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 4. 5.) [*](2. τὴν τῆς γῆς ποσότητα P — 4. θαυμαστοῦ P — 5. ἡρμοσμ. P ἐνηρμοσμ. CSH) [*](VΙΙ. Περὶ ἀριθμοῦ m; in G lacuna, quam G2 hisce expleuit uerbis: Ὅρος ἀριθμοῦ καὶ διαίρεσις. — Ὅροι ἀριθμο καὶ τῶν εἰδῶν αὐτοῦ μ Ὅρος ἀριθμρῦ — 7. Ἁπλῶς γὰρ ἀριθμ. SH — πλῆθ. ὡρ. ἢ om. ἢ om. S — 8. χύμα G, χῦμα ceteri, cf. Drac. Straton. 57. 6; 95. 25. 100. 20. — 10. ἔστι δὲ om. S — ἄρτιον cf. Eucl. VII, ὅρ. Ϛ, ζ — 11. μέσης CSH ἐν μέσῳ Io. Ph. νδ — 12. μερισθ.] διαιρεθῆναι CSΗ — 18. τὴν φυσ. CSH — 22. τμεθῆναι P)

τῆς ἐν αὐτῷ ἀρχοειδοῦς δυάδος θάτερον τὸ διχοτόμημα μόνον ἐπιδεχομένης τὸ εἰς ἶσα, ἐν ᾗτινι οὖν τομῇ παρεμφαίνων τὸ ἕτερον εἶδος μόνον τοῦ ἀριθμοῦ, ὅπως ἂν διχασθῇ, ἀμέτοχον τοῦ λοιποῦ· περισσὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ καθʼ ἡντιναοῦν τομὴν εἰς ἄνισα πάντως [*](P) γινομένην ἀμφότερα ἅμα ἐμφαίνων τὰ τοῦ ἀριθμοῦ δύο εἴδη οὐδέποτε ἄκρατα ἀλλήλων, ἀλλὰ πάντοτε σὺν ἀλλήλοις. ἐν δὲ τῷ διʼ ἀλλήλων ὅρῳ περιττός ἐστιν ὁ μονάδι ἐφʼ ἑκάτερα διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ, τουτέστιν ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, ἄρτιος δὲ ὁ μονάδι διαφέρων ἐφʼ ἑκάτερον περισσοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστι μονάδι μείζων καὶ μονάδι ἐλάσσων.

η. Πᾶς ἀριθμὸς τῶν παῤ ἑκάτερα συντεθέντων ἅμα ἥμισύς ἐστι καὶ τῶν ὑπὲρ ἕνα ἑκατέρωθεν κειμένων ὁμοίως ἥμισύς ἐστι καὶ ἔτι τῶν ὑπὲρ ἐκείνους καὶ τοῦτο μέχρις οὗ δυνατόν. μονωτάτη δὲ ἡ μονάς διὰ τὸ μὴ ἔχειν ἑκατέρωθεν αὐτὴν δύο ἀριθμοὺς ἑνὸς μόνου τοῦ παρακειμένου ἥμιούς ἐστιν· ἀρχὴ ἄρα πάντων φυσικὴ ἡ μονάς. καθʼ ὑποδιαίρεσιν δὲ τοῦ ἀρτίου τὸ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸ δὲ περισσάρτιον, τὸ δὲ ἀρτιοπέριττον· ἐναντία μὲν ἀλλήλοις [*](VIII. lo. Phil. ξβ— οη. — lambl. p. 26 —29. — Theon. 5. 8. — Boëth. l. 4–6. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 5. 6.) [*](2. ἐπιδεχομένου G1 -όμενος G2 — τομῇ om. H — 5. ////ἄριθ G — ἄνισον P — 6. ἐμφαίνοντα, τοῦ ἀρ. P — 8. ἀλλήλων] G2 del. ν. — 9. ἀριθμοῦ om. H — 11. ἑκά- τερα C ἑκάτερα τὰ μέρη lo. Ph. ξα — ἀριθμοῦ om. SH — 12. μονάδι om. P — ἐλ. τοῦ περισσοῦ H) [*](VIII. Ὅτι φύσει ἀρχή ἐστιν ἡ μονάς τοῦ ἀριθ. μοῦ H in mrg. — 13. ἑκάτερα] ἑκατέρου lo. Phil. ξβ κειμένων add. C — συντεθειμένων — 14. 15. καὶ τῶν . . . . ἐστι om. G1, in mg. G2 — 17. αὐτῆς S — 19. μονὰς καθ᾿ αὑτό διαίρεσις δὲ P)

ὥςπερ ἀκρότητες τὸ ἀρτιάκις ἄρτιον καὶ τὸ ἀρτιοπέρισσον, κοινὸν δὲ ἀμφοτέρων ὥςπερ μεσότης τὸ περισσάρτιον.

Ἀρτιάκις οὖν ἄρτιος ἄριθμός ἐστιν ὁ αὐτός τε εἰς δύο ἶσα δυνάμενος διχασθῆναι κατὰ τὴν τοῦ γένους φύσιν καὶ τῶν ἑαυτοῦ μερῶν ὁποτερονοῦν τοιοῦτον ἔχων δίχα διαιρετόν καὶ πάλιν κατὰ τὰ αὐτὰ τῶν ἐν ἐκείνῳ μερῶν ὁποτερονοῦν εἰς δύο ἶσα διαιρετὸν καὶ μέχρις ἂν εἰς τὴν φύσει ἄτομον μονάδα καταντήσῃ ἡ τῶν ἀεὶ ὑπομερισμῶν διαίρεσις. οἷον ὑποδείγματος χάριν ὁ ξδ· τούτου γὰρ ἥμισυς ὁ λβ καὶ τούτου ὁ ιϚ καὶ τούτου ἥμισυς ὁ η καὶ τούτου ὁ δ καὶ τούτου ὁ β, ἔπειτα τὸ τελευταῖον μονὰς τούτου ἡμίσεια, ἥτις φύσει ἄτομος οὖσα οὐκέτι ἐπιδέχεται τὸ ἥμισυ. παρακολουθεῖ δὲ αὐτῷ καί, ὅ τι ἂν ἐν αὐτῷ μέρος ληφθῇ, πάντως ἀρτιάκις ἀρτιώνυμον εἶναι τὴν προςηορίαν, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῇ ποσότητι τῶν ἐν αὐτῷ μονάδων ἀρτιάκις ἀρτιοδύναμον, μηδέποτε δὲ ἑτέρῳ γένει κοινωνεῖν ἑκάτερον τούτων. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο ἀρτιάκις ἄρτιος ὠνόμασται, ὅτι αὐτὸς ἄρτιος ὢν καὶ τὰ μέρη καὶ τὰ τῶν μερῶν μέρη μέχρι μονάδος ἄρτια [*](1. καὶ τὸ] τὸ om. G — 3. περισσάρτιον] τοῦ τε ἀρτιά- κις ἀρτίου καὶ ἀρτιοπερίσσου add. S) [*](VIII, 4. Ὅρος τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου G in mrg. Περὶ ἀρτιάκις ἀρτίου CH, cf. Eucl. VII, ὅρ. η; lambl. p. 37. 41; lo. Phil. ξη, praef. p. V. — 5. διχασθῆναι] τμηθῆναι SH — 7. ἔχον GP, om. C — αἱρετὸν G1, δι add. G2 — 8. ἐν om. G1P, add. G2SH — ἐκείνων m ἐκείνου C — 9. φύσ/// G1 φύσει G2 φύσιν P — 10. ὑποδιαίρεσις S — 11. χάριν] ἔστω add. C — τὸ ἥμισυ — 12. ἥμισυς om. C — 13. ὁ β] πάλιν praem. SH — εἶτα S — 13. 14. τούτου ἥμισυ H — 14. παραδέχεται S — 17. τῇ προςηγορίᾳ G2CSH, αὐτῇ add. S — 18. ἀρτιάκις om. P — 19. δὲ om. G — 20. μήτι G2CSH μὴ ἄρα lo. Phil. ξζ — ἄρα om. C — 21. 22. καὶ τὰ μέρη om. C)

ἀεὶ ἔχει ὀνόματί τε καὶ δυνάμει· καὶ ἑτέρως πᾶν μέρος, ὃ ἐὰν ἔχῃ, ἀρτιάκις ἄρτιον κατὰ τὸ ὄνομά ἐστι, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἀρτιάκις ἄρτιόν ἐστι κατὰ τὴν [*](P) δύναμιν. γένεσις δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ὥςτε μηδένα διαφυγεῖν, ἀλλʼ ἐξ ἑνὸς πάντας ὑποπίπτειν αὐτῇ, εἰ γένοιτο ἂν οὕτως· ἀπὸ μονάδος ὡς ἀπὸ ῥίζης κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον προχωροῦντι μέχρις ἀπείρου, ὅσοι καὶ ἂν γένωνται, οὗτοι πάντες ἀρτιάκις ἄρτιοι εἰσιν, ἄλλους δὲ παρὰ τούτους ἀμήχανόν ἐστιν εὑρεῖν, οἷον πρὸς ὑπόδειγμα

α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ, φιβ

καὶ ἐφ᾿ ὁσονοῦν. ἕκαστος δὴ τῶν προκειμένων γέγονε μὲν κατὰ τὸν ἀπὸ μονάδος διπλασίονα ἀεὶ λύγον, ὑπάρχει δὲ ἀρτιάκις ἄρτιος πάντως καὶ πᾶν δὲ μέρος, ὃ ἂν εὑρεθῇ ἔχων, πάντως καὶ παρώνυμόν ἐστιν ἑνὸς τῶν ἐντὸς αὐτοῦ καὶ μονάδος σύστημα ἐν τούτῳ ὑπάρχει τοσοῦτον, ὁπόσος τῶν ἐντὸς αὐτοῦ εἷς τις ἐστί, κατὰ ἀντιπερίστασιν μέντοι καὶ ἀμοιβήν, ἐὰν μὲν ὦσιν ἄρτιοι αἱ ἐκθέσεις τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασιασμῶν· μία μὲν οὐχ οἵα τε μεσότης εὑρεθῆναι, πᾶντως δὲ δύο, ἀφʼ ὧν ἀρχομένη ἡ ἀντιπερίστασις καὶ ἀμοιβὴ μερῶν πρὸς δυνάμεις καὶ [*](1. ἀεὶ om. — ἑτέρως] ὅτι add. PSH — 2. ἐὰν GP. ἂν cet. — 3. ἔσται H — ἐστι om. H — 2. 3. ἀρτιάκις . . . αὐτὸ καὶ om. C — 5. διαφεύγειν ἐκφυγεῖν (διαφεύ- ξεται) Io. Phil. οβ — ἐξ ἑνὸς] ἑξῆς G2SH, ἐξ ἑν. in mrg. — πάντα H — 6. εἰ Gm καὶ PH, om CS — ἀπὸ μον. ὡς om. P — 8. καὶ om. CSH — ἂν om. P — γένοιντο CS γίνωνται P — 10 ἐστιν om. CSH — εὑρεῖν om. G m — 12. δὴ] γὰρ mC δὲ H — προκειμ.] προειρημένων C — 13. ἀεὶ om. P — 16. μονάδων CSH — 17. ἐν τούτῳ πρὸς τοῦτο S om. C — τοσούτων C — ὁπόσον P -ων CSH — 19. μὲν ὦσιν] μέλλωσιν P — ἄρτιαι S — 20. οὐχ] οὖν praem. G1, del. G2) δυνάμεων πρὸς μέρη προχωρήσει τάξει, πρῶτον μὲν ἐπὶ τοὺς παῤ ἑκάτερα δύο, εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπερκειμένους ἑκατέρωθεν, μέχρις ἂν ἐπὶ τοὺς ἀκροτάτους ἀφίκηται, ὥςτε καὶ τὸ ὅλον ἀντιπαρωνυμεῖσθαι τῇ μονάδι καὶ τὴν μονάδα τῷ ὅλῳ· οἷον λόγου χάριν, ἐὰν τὸν ρκη θῶμεν τὸν μέγιστον, ἀρτιογενεῖς ἔσονται αὐτῷ αἱ ἐκθέσεις τῶν ὅρων, ὀκτὼ γὰρ αἱ μέχρις αὐτοῦ πᾶσαι, καὶ μίαν μεσότητα οὐχ ἕξουσιν, ἀδύνατον γὰρ ἐν ἀρτίῳ, ἀλλʼ ἀναγκαίως δύο, τήν τε η καὶ τὴν ιϛ, αἵτινες ἀνταποκρινοῦνται ἀλλήλαις παρὰ μέρος· τοῦ γὰρ ὅλου τοῦ ρκη ὄγδοον μέν ἐστι τὰ ιϛ, ἔμπαλιν δὲ ἑκκαιδ έκατον τὰ η· καὶ προιόντες ἐφʼ ἑκάτερον τέταρτον μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ δ, καὶ πάλιν ἥμισυ μὲν τὰ ξδ, ἑξηκοστοτέταρτον δὲ τὰ β, καὶ τελευταῖον κατὰ τὰς ἀκρότητας ἑκατοστοεικοστόγδοον μὲν ἡ μονάς, ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ἔμπαλιν τὰ ρκή. ἐὰν δὲ ἐν περισσοῖς ὅροις ἡ ἔκθεσις γένηται, οἷον ἐν ἑπτά, προχειρισαμένων ἡμῶν τὰ ξδ, ἡ μεσότης ἀναγκαίως μία ἔσται κατὰ τὴν τῶν περισσῶν [*](P) φύσιν καὶ αὐτὴ μὲν ἑαυτῇ ἀνταποκρινεῖται διὰ τὸ σύζυγον μὴ ἔχειν, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν αὐτῆς ἀεὶ ἀλλήλοις, μέχρις ἂν εἰς τὰ ἄκρα ἡ ἀνταπόκρισις τελευτήσῃ· οἷον ἑξηκοστοτέταρτον μὲν ἡ μονὰς ἔσται, [*](2. ἐπὶ τὰ P — εἶτα ἐπὶ] εἶτα ὑπὲρ GmPC εἶτα ἐπὶ τοὺς ὑπὲρ ἐκείνους ὑπερκ. S — 6. ἀρτιογενεῖς] ἀρτιοπλη- θεῖς C -πλησθεὶς μ -ταγεῖς mSΓ -παγεῖς H — 7. αὐτοῦ CS — 9. 10. τὴν] τὸν bis G2 CSH — ἀλλῆλαι P — 11. τῶν ρκη P — 12. ἑξκαιδ. mG2 — προιόντες GP (intell. οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι . . ἔχουσι cf. Io. Phil. ογ.) προιόντι ceteri. — 13. ἑκάτερα C — τριακοστόδυο G1 ν add. G2 — 14. ἑξηκοντατέταρτον G1P — 15. ἐκατοστοεικόγδοον P — 18. προχειρησαμένων P — 19. μεσότης] πάντως add. H — 20. αὐτὴ] αὕτη P) ὅλον δὲ κατὰ τὴν μονάδα ξδ, καὶ ἥμισυ μὲν τὰ λβ, τριακοστόδυον δὲ τὰ β, καὶ τέταρτον μὲν τὰ ιϚ, ἑκκαιδ έκατον δὲ τὰ δ, ὄγδοον δὲ ἄνευ ἀντιδιαστολῆς αὐτὰ τὰ ή. συμβέβηκε δὲ πάσαις ταῖς ἐκθέσεσι συντεθειμέναις σωρηδὸν ἴσαις εἶναι τῷ μετʼ αὐτὰς παρὰ μονάδα, ὥςτε ἀναγκαίως ἡ ὁπωςοῦν συγκεφαλαίωσις περισσὸς ἀριθμὸς ἔσται· αἰεὶ γὰρ ὁ παρὰ μονάδα ἶσος τῷ ἀρτίῳ περισσός ἐστι. χρησιμεύσει δʼ ἡμῖν αὕτη ἡ ἐπίγνωσις, ὅσον οὐδέπω, πρὸς τὴν τῶν τελείων ἀριθμῶν σύστασιν· ὑποδείγματος δὲ χάριν τῷ σνϚ οἱ ἐντὸς αὐτοῦ μέχρι μονάδος ἶσοί εἰσι συγκεφαλαιωθέντες παρὰ μίαν μονάδα, τῷ δὲ ρκη τῷ εὐθὺς ὑπʼ αὐτὸν οἱ ἐντὸς αὐτοῦ πάντες ὁμοίως εἰσὶν ἶσοι παρὰ μίαν μονάδα καὶ τοῖς συνεχέσι δὲ ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ οἱ ἐντός, καθὰ καὶ αὐτὴ ἡ μονὰς παρὰ μονάδα ἴση τῷ μετʼ αὐτήν, ὅ ἐστι τῷ β, καὶ οἱ συναμφότεροι παρὰ μονάδα τῷ μετʼ αὐτοὺς καὶ οἱ σύντρεις παρὰ μονάδα τῷ ἑξῆς, καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον προχωροῦν ἄπταιστον εὑρήσεις. κἀκεῖνο δὲ μεμνῆσθαι ἀναγκαιότατον· ἐὰν μὲν γὰρ ἄρτιοι ὦσιν αἱ τοῦ προκεχειρισμένου ἀρτιάκις ἀρτίου ἐκθέσεις, πάντως τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων πρὸς ἄλληλα πολυπλασιαζομένων [*](1. κατὰ τὴν μον. om. SH μονάδαν P — τὰ ξδ C — 2. ἑξκαιδ. mG2 — 3. ἀντιδιαστολῆς] ἀντὶ G2 ex al- tero ἄνευ corr., διαστολῆς SH — 4. ή] om. G1 ὀκτώ add. G2 — συντιθεμέναις C — 5. σωρηδ G1 ὸν G2 — ἴσας C — εἶναι] ἐνὶ P ἑνὶ HΓ, qui post μονάδα add. γίνεσθαι — 6. ὁποσονοῦν G2 ὁποσωνοῦν S ὁποσοῦν C — 7. ἐστι] ἔσται SH — μονάδ G1 -α G2 — χρησιμεύσηῃ P — εύει CSH — 9. γνῶσις C — 11. τῶ [τῶν] σνϚ G τῶν ??νς — αὐ- τοῦ] πάντες add. CSH — ἄχρι H — εἰσὶ om. S — 12. μίαν om. S — 13 ὑπʼ] μετ᾿ — πάντες] μέχρι μονάδος add. — 14. καὶ ἐν τοῖς — 18. σὺν τρεῖς P(G1 ?) — 20 ἄρτιαι G2S — 21. προκεχειρ. om. S — ἀρτίου] ἀριθ- μοῦ add. H) συντελούμενον ἶσον ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν μέσων πρὸς ἄλληλα, ἐὰν δὲ περισσαί, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἶσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πρὸς ἑαυτό· ἅπαξ γὰρ ρκη ἐν ἀρτίαις ἐκθέσεσιν ἶσόν ἐστι τῷ ὀκτάκις ιϚ καὶ ἔτι τῷ δὶς ξδ καὶ πάλιν τῷ τετράκις λβ καὶ τοῦτο διʼ ὅλου· ἐν δὲ περισσαῖς ἐκθέσεσιν ἶσον τὸ ἅπαξ ξδ τῷ δὶς λβ καὶ τοῦτο τῷ τετράκις ιϚ καὶ τοῦτο πάλιν τῷ ὀκτάκις η μόνον μέσου πρὸς ἑαυτὸν πολλαπλασιαζομένου.

θ. Ἀρτιοπέριττος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τῷ γένει καὶ αὐτὸς ἄρτιος ὤν, ἀντιδιαστελλόμενος δὲ ἰδικῶς τῷ προφρασθέντι ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ὁ τὴν μὲν εἰς δύο ἶσα διαίρεσιν ἐπιδεχόμενος κατὰ τὸ κοινὸν γένος, τῶν μέντοι μερῶν ἑκάτερον εὐθὺς εἰς δύο ἶσα ἄτμητον ἔχων, οἷον [*](P)

ὁ ϛ, ὁ ι, ὁ ιδ, ὁ ιη, ἡ κβ, ὁ κϛ,

οἱ ὅμοιοι· μετὰ γὰρ τὸ διχασθῆναι ἕκαστον τούτων ἀδίχαστα εὐθὺς τὰ μέρη εὑρίσκεται. συμβέβηκε δὲ αὐτῷ πᾶν, ὃ ἐὰν εὑρεθῇ μέρος ἔχων, ἐναντιώνυμον τῇ δυνάμει εἶναι καὶ πᾶσαν μέρους ποσότητα ἐναντιοδύναμον τῷ ὀνόματι, μηδέποτε δὲ μηδενὶ τρόπῳ [*](IX. Io. Phil. οθ— πη. — lambl. p. 29—31. — Theon. 9. — Boëth. l. 7. — Schol. NΓ Nobb. p. 6.) [*](1. ἔστι S — ὑπὸ] ἀπὸ P — 3. ὁ ρκη PC — ἐν ἀρτ.] ἐναντίαις H — 4. ἴσος PC — 7. πάλιν om. H — 8. μόνον G μόνου τοῦ ceteri — ἑαυτὸ μ — πολλαπλασιαζ. P, ante μόνον G2, πολυπλ. ΗΓ, om. G1mCμS) [*](IX. Περὶ ἀρτιοπερίσσου mCμ H Περὶ τοῦ ἀρ- τιοπ. S — 10. εἰδικῶς CSH — 13. ἑκάτερον G2 [α ?] — εὐθὺς om. S — 15. ὁ Ϛ, ὁ ι om. H — 16. καὶ οἱ ὅμ. CH — 17. εὑρεθήσεται (εὑρίσκ. in mrg.) — 18. ἂν CSH — ἔχον Gm — 19. εἶναι om. H — πᾶσαν μέρ. mCS πᾶσαν τὴν τοῦ μ. G πᾶσαν τῆν τοῦ μ. PH — 20. δὲ om. G) ὁμογενῆ τὴν δύναμιν τοῦ μέρους τῷ αὐτῷ ὀνόματι ὑπάρχειν· οἷον ἐφʼ ἑνὸς τοῦ ιη τὸ μὲν ἥμισυ ἀρτιακῶς ὠνομασμένον ὑπάρχει θ, περισσὸν τῇ δυνάμει, τὸ δὲ τρίτον ἔμπαλιν περισσῶς ὀνοματοπεποιημένον Ϛ ἄρτιον τῇ δυνάμει· τὸ δὲ ἐξ ἀντιστροφῆς γ καὶ τὸ θον β, κἀπὶ τῶν ἑτέρων ὁ αὐτὸς εὑρεθήσεται τρόπος. μήτοι δὲ ἄρα καὶ παρὰ τοῦτο τοιαύτης προςηγορίας τέτευχεν, ὅτι ἄρτιος ὢν περισσῶν τῶν ἡμισευμάτων εὐθὺς τετύχηκε. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι διαφερόντων, ὅ ἐστι περισσῶν, εὐτάκτως ἐκτεθέντων, μέχρις οὗ βούλει, δυάδι πολυπλασιασθέντων· οἱ γὰρ ἀποτελούμενοι γένοιντο ἂν τάξει οὗτοι

Ϛ, ι, ιδ, ιη, κβ, κϛ, λ,

καὶ μέχρις ἂν προχωρεῖν ἐθέλῃς· διαφέρουσι δὲ ἀλλήλων τετράδι οἱ μείζονες ἀεὶ τῶν ἐγγὺς ἐλαττόνων· αἴτιον δὲ τούτου, ὅτι οἱ ἐξ ἀρχῆς γνώμονες αὐτῶν, τουτέστιν οἱ περισσοί, δυάδι ἀλλήλων ὑπερ φέροντες δυάδι ἐμηκύνθησαν, ἵνα οὗτοι γένωνται, δυὰς δὲ δυάδα πολυπλασιάσασα τετράδα ποιεῖ. ἐν οὖν τῷ φυσικῷ ὕφει τοῦ ἀριθμοῦ εὑρεθήσονται οἱ ἀρτιοπέρισσοι πέμπτοι μὲν ἀπʼ ἀλλήλων, τετράδι δὲ ὑπερέχοντες, τρεῖς δὲ ὑπερβαίνοντες, δυάδι δὲ μηκυνομένων [*](1. αὐτοῦ S ἑαυτοῦ C — 3. ὀνομασμ. G — τὸ δὲ θ περ. S ὁ δὲ θ περισσὸς H — 4. ὠνοματοπεποιημένον G — 5. δυ- νάμει Gm (H in mrg.) ὑποστάσει PCSH — G1 ον G2 — ἀντιστρόφου mC ἀναστρόφου P ἀναστροφῆς S — 6. θG1 -ον G2 — 7. μήτι ἄρα S — 12. διάδι G — πολλαπλασ. CS — 15. ἐθέλοις C θέλῃς S — 16. ἐγγὺς] μ add.: σχόλιον τινὸς ἀνωνύμου· ἀναγκαῖον κτλ. seq. Io. Phil. Schol. πδ. — 18. ὑπερέχοντες C — 19. ///μικ///ύνθησαν G1 ι in η mut. G2 — γενῶνται P γεννῶνται S — 23. τρεῖς] τριάδι PH — δυάδι δὲ] δὲ om. G) τῶν περισσῶν γεννώμενοι. ἐναντιοπαθεῖν δὲ λέγονται τοῖς ἀρτιάκις ἀρτίοις, ὅτι τούτων μὲν τὸ μέγιστον ἄκρον μόνον διαιρετόν, ἐκείνων δὲ τὸ ἐλάχιστον μόνον ἦν ἀδιαίρετον· καὶ δὴ καί, ὅτι ἐπʼ ἐκείνων μὲν ἡ ἀντιπερίστασις τῶν μερῶν ἀπʼ ἀκροτήτων εἰς μεσότητα ἢ μεσόσητας ἀπετέλει τὸ ὑπό‾ ἶσον τῷ ἀπό‾ ἢ τῷ ὑπό‾· τούτων δὲ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀμοιβὴν καὶ ἐξέτασιν ὑποδιπλάσιον τὸ μέσον τῶν δύο ἄκρων συντεθέντων, ἢ εἰ δύο εἴη τὰ μέσα, καὶ αὐτὰ ἶσα ἀμφότερα τοῖς δυσὶν ἄκροις.

ι. Περισσάρτιος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὸ τρίτον εἶδος τοῦ ἀρτίου ἐμφαίνων, κοινὸς ὢν ἀμφοτέρων [*](P) τῶν εἰρημένων ὡςανεὶ δύο ἀκροτήτων μία τις ὢν αὐτὸς μεσότης· ὅμοιος γὰρ κατὰ μέν τι τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ ὑπάρχει, κατὰ δέ τι τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, καὶ μὲν τοῦ ἑτέρου ἀπήλλακται, τούτῳ κοινωνεῖ τῷ λοιπῷ, δὲ κοινόν τι ἔχει πρὸς ἕτερον, τούτῳ διαφέρει τοῦ λοιποῦ. ἔστι δέ, ὅταν ἀριθμὸς ἄρτιος [*](X. Io. Phil. πθ — ??ε. — lambl. p. 31—35. — Theon. 10. — Boëth. l. 8. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 6. 7.) [*](1. γενόμενοι C (γεννώμ. in mrg.) procreati Boëth. — 2. ἀρ- τιάκοις ἀρτ. GP — 4. ἦν om. SH — 6. 7. τοῖς ὑπο ἢ τῶ ἀπο G2 τῷ ὑπὸ ἢ ἀπὸ C τὸ ἀπὸ ἶσον τῷ ἀπὸ τῷ μείζῳ ἢ τοῖς ὑπὸ τοῦ μέσου P, in mrg. †. intellegendum τὸ ὑπὸ τῶν ἀκροτητων ἶσον τῷ ἀπὸ τῆς μεσότητος ἢ τῷ ὑπὸ τῶν μεσοτήτων — 7. τούτων] ἐπὶ praemitt. G2H ἐπὶ τῶν ἀρτιοπερίσσων add. S — 8. ἀντεξέτασιν G2CH καὶ κατ᾿ ἐξέτασιν S — 9. εἰ om. G1m — ἢ καὶ δύο εἰσί P — 10. δύο H) [*](X. Περὶ περισσαρτίου codd. tit. om. P — 12. ὢν om. CSH — 13. προειρημένων SH — 15. ὑπάρχει om. H — 16. ἀπήλακται P — 17. ᾧ] ὃ H — τὸν ἕτερον H τὸ C — 18. λοιποῦ] ἑτέρου SH)

εἰς δύο ἶσα διαιρεθῆναι δυνάμενος διαιρούμενα ὁμοίως τὰ ἑαυτοῦ μέρη ἔχῃ, ἔστι δʼ ὅτε καὶ τῶν μερῶν τὰ μέρη, μέχρι μέντοι μονάδος μὴ δυνάμενος τὴν τῶν μερῶν λύσιν ἀγαγεῖν· οἷός ἐστιν

ὁ κδ, ὁ κη, ὁ μ·

ἥμισυ μὲν γὰρ ἕκα αστος τούτων ἴδιον ἔχει καὶ πάντως ἡμίσους ἥμισυ· ἔστι δʼ ὅτε ἐν αὐτοῖς τις εὑρίσκεται καὶ ἐπὶ πλέον τὸν διχασμὸν ἐπιδεχόμενος εἰς τὰ μέρη, οὐδεὶς μέντοι τὸ παράπαν μέχρι τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος τὰ μέρη μεριστὰ εἰς ἡμίση ἕξει. τῷ μὲν οὖν πλείονας μιᾶς τομῆς ἐπιδέχεσθαι ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιάκις ἀρτίῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιοπερίσσου, τῷ δὲ μὴ ἀπολήγειν ποτὲ εἰς μονάδα αὐτοῦ τὰς τομὰς ὁμοιοῦται μὲν τῷ ἀρτιοπερίσσῳ, ἀφίσταται δὲ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου. συμβέκηκε δʼ αὐτῷ μόνῳ ὑφʼ ἓν τὰ ἑκατέρῳ ἐκείνων ἰδίως συμβεβηκότα καὶ πάλιν ἃ μηδετέρῳ· καὶ γὰρ ἐκείνων ὁ μὲν τὸ μέγιστον μόνον μέρος εἶχε τμητόν, ὁ δὲ τὸ μικρότατον μόνον ἄτμητον, οὗτος δὲ οὐδέτερον· πλείονα μὲν γὰρ τοὺ ἑνὸς τμήματα ἐν τῷ μείζονι μέρει ἔχων ὁρᾶται, πλείονα δὲ τοῦ ἑνὸς ἄτμητα ἐν τῷ ἐλάττονι. καὶ πάλιν ἐστὶν ἐν αὐτῷ τινα μὲν μέρη μὴ ἐναντιωνυμοῦντα ταῖς δυνάμεσι μηδʼ ἑτερογενοῦντα πρὸς [*](1. διαιρούμενος P — 2. ἔχει P ἔχων C — 2. 3. ἔστι δʼ . . . μέρη om. — 3. ἄχρι H — μέντοι om. G1; tuetur Io. PhiI. ??α — 4. λῦσιν G — 5. ὁ κδ] ὁ ιβ praemittit P — μ] μη PH — 7. ἐν αὐτοῖς] καὶ τῶν ἐν αὐτῷ H — 8. ἐπι- δεχόμενον P — 9. φύσει om. H — 10. ἀτόμου om. S — ἥμισυ P — 11. τομὰς H τὰς τομὰς S — 13. μονάδας H — 16. μόνῳ om. C — ὑφ᾿ ἓν ἔχειν τὰς ἑκ. ἐκείνῳ P — 17. ἃ] τὰ S — μηδετέρῳ] ἔχειν add. G2 — καὶ γὰρ] ὅτι S — 19. οὗτος δὲ οὐδ.] τούτῳ δὲ οὐδέτερον τούτων ὑπάρχει P id. S, om. τούτων — 20. τμήματος P — 20. 21. ἐν τῷ μ. . . . ἄτμητα om. G1mP — 21. ὁρᾶται] ὑπάρχει S — 22. ἐστὶν] πάντως add. G2CSH) αὐτὰς κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου, ἔνεστι δὲ πάντως καὶ ἕτερα ἐναντιωνυμούμενα ἑτερογενῶς ὑπὸ τῶν δυνάμεων κατʼ εἰκόνα τοῦ ἀρτιοπερίσσου· οἷον ἐν τῷ κδ οὐκ ἐναντιωνυμεῖ μὲν μέρη δυνάμεσι, τέταρτον Ϛ, ἥμισυ ιβ, ἕκτον δ, δωδέκατον β, ἐναντιοπαθεῖ δὲ τρίτον η, ὄγδοον γ, εἰκοστοτέταρτον α· καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν παραπλησίως. γεννᾶται δὲ οὗτος ἐφόδῳ τινὶ ποικιλωτέρᾳ σημαίνων τρόπον τινὰ καὶ ἐν τῇ γενέσει αὐτοῦ, ὅτι μῖγμα ἀμφοτέρων ἐστίν· ἐπειδὴ γὰρ ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἐξ ἀρτίων ὑφίσταται τῶν ἀπὸ μονάδος διπλασίων ἐς ἀεί, ὁ δὲ ἀρτιοπέρισσος ἀπὸ περισσῶν τῶν ἀπὸ τριάδος προιόντων [*](P) ἐς ἀεί, ἀναγκαῖον τοῦτον ἐξ ἀμφοτέρων τῶν γενῶν συνυφαίνεσθαι, ὡς κοινὸν ἀμφοτέρων. ἐκθώμεθα δὴ τοὺς ἀπὸ τριάδος περιττοὺς ἰδίᾳ εὐτάκτως ἐν ἑνὶ στίχῳ

γ, ε, ζ, θ, ια, ιγ, ιε, ιζ, ιθ

καὶ ἐφεξῆς, τοὺς δὲ ἀπὸ τετράδος ἀρτιάκις ἀρτίους πάλιν ἐφεξῆς ἐν ἑτέρῳ στίχῳ κατὰ τὴν τάξιν τὴν αὐτῶν

δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ

καὶ ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀπὸ ὁποτέρου δὴ στίχου (ἀδιάφορον γάρ) τῷ πρώτῳ κειμένῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε ἐξ ἀρχῆς πάντας ἑξῆς τοὺς ἐν τῷ λοιπῷ στίχῳ καὶ τοὺς ἀποτελουμένους σημειοῦ, εἶτα [*](2. καὶ G2 in ras., καὶ ante ὑπὸ eras. G — 4. οὐκ om. G1mP — μέρος Gm μέρει S — 6. ὄγδ. γ om. H — 7. παραπλησ.] ὁμοίως H — δὲ] καὶ add. P — 8. τινὶ om. H — 10. καὶ ἐξ P — ὑφίστατο mCH nascebantur Boëth. — 11. διπλασίον G — 13. ἐς om. m — 14. συνυφάνεσθαι G συνυφίστασθαι — 17. ιθ] κα, κγ, κε, κζ add. H — 18. ἀρτίου P — 19. ἐν om. G — κατὰ τὴν ἑαυτῶν τάξιν CSH — 21. σκη, ??νϛ P φιβ add. C φιβ, ακδ ΗΓ — 24. πολλαπλ. S) πάλιν τοῦ αὐτοῦ στίχου τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ πολυπλασίαζε τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, μέχρις οὗ ἔχεις, καὶ τοὺς γινομένους ἀπογράφου· εἶτα τῷ τρίτῳ πάλιν ἀριθμῷ τοὺς αὐτοὺς ἄνωθεν, καὶ μέχρις ἂν προχωρῇς, οὐδένες ἄλλοι σοι ἀπογεννήσονται πλὴν οἱ περισσάρτιοι. χάριν δὲ ὑποδείγματος χρησώμεθα τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ στίχου τῶν περισσῶν καὶ πολυπλασιάσωμεν αὐτῷ τοὺς ἐν τῷ ἑτέρῳ στίχῳ τάξει πάντας,

τρὶς δ, τρὶς η, τρὶς ιϚ, τρὶς λβ,

καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου· ἔσονται γὰρ

ιβ, κδ, μη, ??Ϛ,

οὓς δεῖ σημειώσασθαι ἐν ἑνὶ στίχῳ· εἶτα ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς πάλιν τῷ δευτέρῳ ἀριθμῷ τὸ αὐτὸ ποίει, πεντάκις δ, πεντάκις η, πεντάκις ιϚ, πεντάκις λβ· ἀποτελεσθήσονται γὰρ οἵδε

κ, μ, π, ρξ·

εἶτα πάλιν τῷ τρίτῳ ἀριθμῷ τῷ ζ τὸ αὐτὸ ποίει, ἑπτάκις δ, ἑπτάκις η, ἑπτάκις ιϛ, ἑπτάκις λβ· οἱ γὰρ γινόμενοί εἰσιν

κη, νϚ, ριβ, σκδ,

καὶ κατὰ τὰ αὐτά, μέχρις οὗ βούλει, προχωρεῖν συμφωνήσει σοι·

[*](2. αὐτοὺς om. H — 2–4. μέχρις . . . ἄνωθεν om. P — 2. οὗ ἔχεις] ὅτου ἔχεις C ὅτου ἔχῃς H — 2. 3. καὶ τοὺς γεννωμένους ἀπογρ. post ἄνωθεν H — 3. πάλιν om. H — 4. προχωρῇς S -ῇ ceteri. — 5. ἀπογενήσονται GP — 6. χρησόμεθα H — 7. στίχου] τοῦ add. S — πολυπλασιά- σομεν H — 13. δεῖ] δὴ H — ἔν τινι στίχω S — 14. ποιεῖν CSΗ — 18. τρίτῳ om P — ποιήσεις CS ποιεῖν H — 22. καὶ om. P)

γ ε ζ θ ια ιγ ιε

δ η ιϚ λβ ξδ ρκη σνϚ οἱ γνώ- μονες τοῦ περισσαρ- τίου.

πλάτος. ιβ κδ μη ??Ϛ ρ??β τπδ ψξη

κ μ π ρξ τκ χμ ‚ασπ

κη νϚ ριβ σκδ υμη ω??Ϛ ‚αψ??β

λϚ οβ ρμδ σπη φοϚ ‚αρνβ ‚βτδ

μδ πη ροϚ τνβ ψδ ‚ανη ‚βωιϚ οἱ περισσάρτιοι.

μῆκος.

ὅταν δὴ τοὺς ἐξ ἑκάστου πολυπλασιασμοὺς ἐν ἰδίῳ στίχῳ τάξῃς παραλλήλους ποιούμενος τοὺς στίχους, φανήσεταί σοι θαυμαστῶς κατὰ μὲν τὸ πλάτος συμβαῖνον τὸ τῶν ἀρτιοπερίσσων· ἰδίωμα, ὅτι ἀεὶ τῶν ἄκρων ὁ μέσος ὑποδιπλάσιος, εἰ εἷς εἴη, εἰ δὲ δύο μέσοι, ἶσοι κατὰ σύνθεσιν· κατὰ δὲ τὸ μῆκος τὸ τῶν ἀρτιάκις ἀρτίων· τὸ γὰρ ὑπό‾ ἶσον τῷ ἀπό‾, εἰ μία εἴη μεσότης, ἢ τῷ ὑπό‾, εἰ δύο εἴησαν· ὥςτε τὰ ἀμφοτέρων ἰδιώματα τούτῳ μόνῳ συμβέβηκεν, ὡς ὄντι φυσικῷ μίγματι αὐτῶν.

ια. Τοῦ δὲ περισσοῦ καὶ πάλιν καθʼ ὑποδιαίρεσιν διακεκριμένου πρὸς τὸν ἄρτιον καὶ κατὰ μηδὲν [*](XI. Io. Phil. ??Ϛ — ??ζ. — Iambl. p. 35 –37. — Theon. 5. 6. — Boëth l. 9. 10. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 7.) [*](1–8. Schema praebent G2CμSΓ, cf. lambl. p. 35. — 9. πολυπλασιασμοῦ PCSH — 10. τάξις m ἐκτάξῃς P ἐντάξης S — παραλλήλως P — 12. 13. τοῖς ἄκροις ὁ μέσος δι- πλάσει P — 13. εἴη C ᾖ cet. — 14. ἶσσι] εἰσι κατὰ σύνθ. τοῖς δυσὶν ἄκροις H — 16. ἢ τοῖς ὑπὸ — εἴησαν om. H — τὰ] τῶν add. H) [*](XI. Περὶ τοῦ περισσοῦ GmH, Διαίρεσις τοῦ περιττοῦ N, Περὶ περισσοῦ ἀριθμοῦ Γ, om. cet. — 19. περ. ἀριθμοῦ πάλιν S — καθʼ ὑποδ. om. H — 20. διακεκριμένου P διακρινομένου C)

κοινωνοῦντος, εἴπερ ἐκεῖνος μὲν διχὴ εἰς ἶσα διαιρετός, οὗτος δὲ εἰς δύο ἶσα ἀδιαίρετος, τρία ὁμοίως εἴδη εὑρίσκεται ἀλλήλων διαφέροντα, ὧν τὸ μὲν καλεῖται [*](P) πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, τὸ δὲ ἀντικείμενον τούτῳ δεύτερο καὶ σύνθετον, τὸ δὲ ἐν μεταιχμίῳ ἀμφοῖν τούτοιν θεωρούμενον ὡς μεσότης ἐν ἀκρότησιν, ὃ καθʼ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον.

Τὸ μὲν οὖν πρώτιστον εἶδος τὸ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον γίνεται, ὅταν ἀριθμὸς περισσὸς μόριον μηδὲν ἕτερον ἐπιδέχηται, εἰ μὴ τὸ παρώνυμον ἑαυτῷ, ὃ καὶ ἐξ ἀνάγκης μονὰς ἔσται, οἷον

ὁ γ, ὁ ε, ὁ ζ, ὁ ια, ὁ ιγ, ὁ ιζ, ὁ ιθ, ὁ κγ, ὁ κθ, ὁ λα·

τούτων δὲ ἕκαστος οὐδεμιᾷ μηχανῇ εὑρεθήσεται ἔχων ἑτερώνυμον μόριον, ἀλλὰ μόνον τὸ ἑαυτῷ παρώνυμον καὶ τοῦτο μονάδα πάντως ἐν ἑκάστῳ· ὁ μὲν γὰρ γ μόνον τρίτον τὸ ἑαυτοῦ παρώνυμον καὶ τοῦτο πάντως μονάδα, ὁ δὲ ε μόνον πέμπτον καὶ ὁ ζ μόνον ἕβδομον καὶ ὁ ια μόνον ἑνδέκατον, καὶ ἐν πᾶσι ταῦτα τὰ μέρη μονὰς ὑπάρχει. τέτευχε δὲ τοῦ ὀνόματος τούτου, ὅτι τῷ κοινῷ πάντων ἀριθμῷ καὶ [*](1. διαιρετός] ὁ ἄρτιος add. H — 2. οὗτος δὲ] πάντως add. S — ἀδιαίρ.] διαίρ. G1 — 4. ἀντικείμενον] ἀντίθε- τον S — 7. ὃ om. H) [*](XI, 2. Περὶ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου C — 11. ἑαυ- τοῦ SH — 13. artic. abest a libr. Mon. — 14. δὲ] γὰρ G2 in ras., CSH — 15. μόνον] μόριον Ast. — ἑαυτοῦ SH — 17. γὰρ om. CS — γ om. P — τὸ ἑαυτ. παρ. om. C, om. ἑαυτ. superscr. S — 17. 18. [τὸ . . . μονάδα] delenda cenuseo. — 18. πάντως om. CS — 18, 19. καὶ ὁ ζ μόν. ἕβδ. C sol. — 19. ἑνδέκατον] καὶ ὁ τριάκοντα, ἓν τριακοστὸν μόνον add. P καὶ ὁ λα τριακοστομόνον SH — 20. ταῦτα] πάντα add. CS — μονὰς] μόνα Ast, haec (pars) unitas Boëth. I. 10 — 21. ἀριθμῷ] μέτρῳ G2CSH nullus nu- merus metietur Boëth. l. 10, cf. Io. Phil. ??Ϛ) πρωτίστῳ μονάδι μόνῃ δύναται μετρεῖσθαι, ἑτέρῳ δὲ οὐδενί, ἀλλὰ καὶ ὑπ᾿ οὐδενὸς ἑτέρου ἀριθμοῦ ἑαυτῷ συντεθέντος γεγένηται, ἀλλὰ μόνης μονάδος, πεντάκις μὲν συντεθείσης ὁ ε, ἑπτάκις δὲ ὁ ζ, καὶ οἱ λοιποὶ κατὰ τὴν ἑαυτῶν ποσότητα· αὐτῶν μέντοι συντεθέντων ἑαυτοῖς δύναιντʼ ἂν ἄλλοι γενέσθαι ἀπὸ πηγῆς ὡςανεὶ καὶ ῥίζης αὐτῶν τούτων ἀρχόμενοι, διόπερ πρῶτοι καλοῦνται ὡςανεὶ ἀρχαὶ ἐκείνων προυποκείμενοι· ἀρχὴ δὲ πᾶσα στοιχειώδης καὶ ἀσύνθετος, εἰς ἣν πάντα ἀναλύεται καὶ ἐξ ἧς πάντα συνίσταται, αὐτὴ δὲ εἰς οὐδὲν καὶ ἐξ οὐδενός.

ιβ. Δεύτερος δὲ καὶ σύνθετός ἐστιν ἀριθμὸς περισσὸς μὲν διὰ τὸ ἐξ ἑνὸς καὶ τοῦ αὐτοῦ γένους διακεκρίσθαι, ἀρχοειδὲς δὲ οὐδὲν ἔχων ἐν ἑαυτῷ· συντεθέντος γὰρ ἑτέρου τινὸς τὴν γένεσιν αὐτὸς ἔσχε· διόπερ συμβαίνει αὐτῷ πρὸς τῷ παρωνύμῳ μέρει ἔτι καὶ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα κεκτῆσθαι, τὸ μὲν παρώνυμον καθὰ καὶ ἐπὶ πάντων μονάδα εἶναι πάντως, τὸ δὲ ἑτερώνυμον ἢ ἑτερώνυμα οὐδέποτε μονάδα, ἀλλὰ πάντως ἢ ἐκεῖνον ἢ ἐκείνους, ὧν συντεθέντων ἀπετελέσθη, οἷον [*](10. Phil. ??η, ??θ. Iambl. p. 37, 38. Theon. 7. — Boëth. I. 11.) [*](2. ὑπʼ om. H — ἑτέρου om. P — 3. συντεθέντος] αὐ- τὸς add. SC — γένηται P — 5. ἑαυτῶν] αὐτῶν PC — 6. ἂν om. GP — 9. προυποκείμεναι PC — 10. 11. ἀναλύ- ονται . . . συνίστανται P ἐξ οὗ . . συνίστανται Gm — 9 — 11. στοιχειῶδες καὶ ἀσύνθετον, εἰς ὃ . . . καὶ ἐξ οὗ . . ., αὐτὸ SH) [*](XII. Περὶ β καὶ συνθέτου Cμ — 12. δὲ καὶ] καὶ om. G — 16. πρὸς om. P — 17. ἑτερώμυμα] μέρη add. μ — 18. καθὸ S — 19. εἶναι om. C — 20. ἢ ἐκεῖνο ἢ S πάντ. ἢ ἐκείνοις ὧν P)

θ, ιε, κα, κε, κζ, λγ, λε, λθ·

τούτων γὰρ ἕκαστος καὶ ὑπὸ μονάδος μετρεῖται ὡς [*](P) οἱ ἕτεροι καὶ παρώνυμον ἔχει μέρος ὡς κἀκεῖνοι διὰ τὴν τοῦ κοινοῦ γένους φύσιν, ἐξηλλαγμένως δὲ καὶ ἰδιαίτερον ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ μέρει ἢ μέρεσι χρῆται, ὁ μὲν θ πρὸς τῷ ἐνάτῳ ἔτι καὶ τρίτῳ, ὁ δὲ ιε ἔτι καὶ τρίτῳ καὶ πέμπτῳ πρὸς τῷ ιεῳ, ὁ δὲ κα καὶ ἑβδόμῳ καὶ τρίτῳ πρὸς τῷ εἰκοστοπρώτῳ, ὁ δὲ κε πρὸς τῷ εἰκοστοπέμπτῳ τῷ παρωνύμῳ ἔτι καὶ ἑτερωνύμῳ χρῆται τῷ πέμπτῳ. δεύτερος οὖν λέγεται, ὅτι καὶ ἄλλῳ σὺν τῇ μονάδι μέτρῳ δύναται χρῆσθαι, καὶ ὅτι οὐκ ἀρχοειδής, ἀλλʼ ἑτέρου προςτεθέντος πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρὸς ἕτερον συντεθέντος αὐτὸς ἐγένετο, ὁ μὲν θ τοῦ γ, ὁ δὲ ιε τοῦ ε ἢ νὴ Δία τοῦ γ, καὶ οἱ ἐφεξῆς κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον· σύνθετος δὲ ἐκ τοιαύτης αἰτίας, ὅτι διαλυθείη ἂν εἰς ἐκείνους, ἐξ ὧν συνέστηκεν, εἴπερ καὶ μετρηθείη ἂν ὑπ᾿ αὐτῶν· οὐδὲν δὲ διαλυτὸν ἀσύνθετον, ἀλλὰ πάντως σύνθετον.

ιγ. Ἀντικειμένων δὴ ἀλλήλοις τῶν δύο τούτων εἰδῶν [*](XIII. lo. Phil. ρ—ριγ. — lambl. p. 38—41. — Boëth. 1. 12—14. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 7—9.) [*](3. μέρος] γένος G — 5. ἰδιαίτως P — 6. ἐνάτῳ GP — ἔτι καὶ τρίτῳ] χρᾶται ἤτοι τῇ τριάδι S — 7. ιε ἔτι] ιε καὶ τρ. ἅμα C ιε αμα κ. τρ. S — 8. ἑκδόμῳ P — εἰκο- στομόνῳ CH — 9. παρωνύμ.] ἑαυτοῦ praem. CH — 12. 13. προςτεθέντος om. CS πρὸς ἑαυτὸν . . . συντεθ. om. P προςτεθ. . . . ἕτερον om. H — 14. αὐτὸς] οὑτος CS — 14. 15. ἐκ τοῦ ε . . ἐκ τοῦ γ H — ἢ νὴ Δία τοῦ γ] καὶ τοῦ γ C ἢ τοῦ γ S — 16. τοιαύτης] τῆς αὐτῆς CSH — 17. εἰς ἐκεῖνα P εἰς τοὺς αὐτοὺς — συνέστημεν P — 18. ἂν om. CSH — ὑπʼ] παῤ H) [*](XIII. Περὶ τοῦ καθ᾿ ἑαυτὸ [αὑτὸ μ] μὲν συνθέ- του, πρὸς [om. μ] ἄλλο [ἀλλὸ μ] δὲ ἀσυνθέτου C — 20. δύο τούτων om. GmP)

τοῦ περισσοῦ τρίτον ἀνὰ μέσον τι θεωρεῖται οἱονεὶ ἐξ ἀμφοτέρων εἰδοποιούμενον τὸ καθʼ αὑτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, ὅταν ἀριθμὸς πρὸς τῷ κοινῷ μέτρῳ τῇ μονάδι ἔτι καὶ ἑτέρῳ μετρεῖταί τινι μέτρῳ καὶ διὰ τοῦτο δυνάμενος καὶ ἑτερώνυμον μέρος ἢ μέρη ἐπιδέξασθαι πρὸς τῷ παρωνύμῳ, πρὸς ἄλλον τινὰ ὁμοίως ἔχοντα ἀντεξεταζόμενος εὑρίσκεται μήτε κοινῷ μέτρῳ μετρηθῆναι δυνάμενος πρὸς ἐκεῖνον, μήτε τὸ αὐτὸ ὁμώνυμον μέρος ἔχων τῶν ἁπλῶς ἐν ἐκείνῳ· οἷον ὁ θ πρὸς τὸν κε· ἑκάτερος γὰρ καθʼ ἑαυτὸν δεύτερός ἐστι καὶ σύνθετος, πρὸς δὲ ἀλλήλους μονάδι μόνῃ κοινῷ μέτρῳ χρῶνται καὶ οὐδὲν μόριον ὁμωνυμεῖ ἐν ἀμφοτέροις, ἀλλὰ τὸ ἐν τούτῳ τρίτον οὐκ ἔστιν ἐν ἐκείνῳ οὐδὲ τὸ ἐν ἐκείνῳ πέμπτον ἐν τούτῳ εὑρίσκεται.

Ἡ δὲ τούτων γένεσις ὑπὸ Ἐρατοσθένους καλεῖται κόσκινον, ἐπειδὴ ἀναπεφυρμένους τοὺς περισσοὺς λαβόντες καὶ ἀδιακρίτους ἐξ αὐτῶν τῇ τῆς γενέσεως μεθόδῳ ταύτῃ διαχωρίζομεν, ὡς διʼ ὀργάνου ἢ κοσκίνου τινὸς καὶ ἰδίᾳ μὲν τοὺς πρώτους καὶ ἀσυνθέτους, ἰδίᾳ δὲ τοὺς δευτέρους καὶ συνθέτριάδος [*](2. κατʼ αὐτὸ m — 4. κοινῷ μ.] μέτρῳ om. S — 5. ἔτι om. H — μετρῆται C μετρούμενος — τινὶ μ.] μέτρῳ om. C — 8. παρεξεταζόμενος S ἐξεταζ. — εὑρίσκη- ται C — 9. 10. τὸ αὐτὸ om. CS — 10. παρώνυμον S — ἔχειν SH — τοῖν ἁπλ. P — 11. ἑκάτερ G1 ος G2 — 15. 16. ἐν τούτῳ om. H) [*](XIII. 2. Περὶ τῆς γενέσεως τῶν τρίων τούτων εἰδῶν τοῦ περισσοῦ μ — 19. λαβόντον P λαμβάνοντες S — 21. μὲν G2 ex ἐς)

τους, χωρὶς δὲ τοὺς μικτοὺς εὑρίσκομεν. ἔστι δὲ ὁ τρόπος τοῦ κοσκίνου τοιοῦτος· ἐκθέμενος τοὺς ἀπὸ πάντας ἐφεξῆς περισσοὺς ὡς δυνατὸν μάλιστα ἐπὶ μήκιστον στίχον, ἀρξάμενος ἀπὸ τοῦ πρώτου ἐπισκοπῶ, τίνας οἷός τέ ἐστι μετρεῖν, καὶ εὑρίσκω δυνατὸν ὄντα τοὺς δύο μέσους παραλείποντας μετρεῖν, μέχρις οὗ ἂν προχωρεῖν ἐθέλωμεν, οὐχ [*](ex eorum, quae in cod. reliquis reperiuntur, numero id suf- ficiat adponere diagramma, quod cod. Ciz. praebet: τὸ Ἐρατοσθένειον κόσκινον. γ γ γ ε ζ θ ια ιγ ιε ιζ γ ε γ ε γ γ ιθ κα κγ κε κζ κθ λα λγ ζ ε θ ια ε γ γ ε ζ λε λζ λθ μα μγ με μζ μθ ζ ιγ ιε θ ζ γ ε γ γ ζ ε να νγ νε νζ νθ ξα ξγ ξε ιζ ια ιθ κα θ ιγ γ γ [ε] θ γ ξζ ξθ οα ογ οε οζ οθ πα κγ κε [ιγ] θ κζ [ε] [γ] [ζ] [γ] [ε] πγ πε πζ πθ ??α ??γ ??ε ??ς [ιε] [κθ] [ιε] [λα] [ιθ] uncis inclusa addidi. de cribro Eratosthenis conf. Mich. Constantini Pselli σύνταγμα εἰς τὰς τέσσαρας μαθηματικὰς ἐπιστήμας, ἀριθμητικὴν κτλ. ed. G. Xy lander, Basil. 1556. p. 4.) [*](1. ἐφεξῆς] τοὺς add. G ἀριθμοὺς add. S — 2. στίχον om. H — πρωτίστου SH Io. Phil. ρ — 3. οἷόν τε G1m οἷός τε PG2CSH Io. Phil. ρ. — μετρεῖν] ἕκᾳστος add. PCSH — 4. δυνατὸν ὄντα om. C τὸν πρῶτον ἤτοι τὸν γ subiciunt PG2CS, praem. H — παραλείποντας recte Ast; παραλεί- ποντα GP διαλείποντας C Io. Phil. ρ. ρα διαλείποντα SH παραλιπόντας lambl. 39. — 5. μετρεῖν om. H — ἂν om. GP ἐθέλομεν P ἐθέλοιμεν C) ὡς ἔτυχε δὲ καὶ εἰκῆ μετροῦντα, ἀλλὰ τὸν μὲν πρώτως κείμενον, τουτέστι τὸν δύο μέσους ὑπερβαίνοντα κατὰ τὴν τοῦ πρωτίστου ἐν τῷ στίχῳ κειμένου ποσότητα μετρήσει, τουτέστι κατὰ τὴν ἑαυτοῦ· τρὶς γὰρ· τὸν δʼ ἀπʼ ἐκείνου δύο διαλείποντα κατὰ τὴν τοῦ δευτέρου τεταγμένου· πεντάκις γάρ· τὸν δὲ περαιτέρω πάλιν δύο διαλείποντα κατὰ τὴν τοῦ τριτου τεταγμένου· ἑπτάκις γάρ· τὸν δὲ ἔτι περαιτέρω ὑπὲρ δύο κείμενον κατὰ τὴν τοῦ τετάρτου τεταγμένου· ἐνάκις γάρ· καὶ ἐπʼ ἄπειρον τῷ αὐτῷ τρόπῳ. εἶτα μετὰ τοῦτον ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἐπὶ τὸν δεύτερον ἐλθὼν σκοπῶ, τίνας οἷός τέ ἐστι μετρεῖν, καὶ εὑρίσκω πάντας τοὺς τετράδα διαλείποντας, ἀλλὰ τὸν μὲν πρῶτον κατὰ τὴν τοῦ ἐν τῷ στίχῳ πρώτου τεταγμένου ποσότητα· τρὶς γάρ· τὸν δὲ δεύτερον κατὰ τὴν τοῦ δευτέρου· πεντάκις γάρ· τὸν δὲ τρίτον κατὰ τὴν τοῦ τρίτου· ἑπτάκις γάρ· καὶ τοῦτο ἐφεξῆς ἀεί. πάλιν δὲ ἄνωθεν ὁ τρίτος ὁ ζ ὁ τὸ μέτρον παραλαβὼν μετρήσει τοὺς ἓξ διαλείποντας, ἀλλὰ τὸν μὲν πρώτιστον κατὰ τὴν τοῦ γ ποσότητα πρώτου κειμένου, τὸν δὲ δεύτερον κατὰ τὴν τοῦ ε· δευτεροταγὴς γὰρ οὗτος· τὸν δὲ τρίτον κατὰ τὴν τοῦ ζ· τρίτην γὰρ ἔχει καὶ οὗτος τάξιν ἐν τῷ στίχῳ. καὶ [*](1. πρώτως] αὐτῶν add. P πρῶτον Io. Phil. ρ — 2. τὸν δύο m ex τοὺς δύο corr. G2 τὸν τοὺς δύο PH 3. 4. κει- μένην . . μετρεῖ Io. Phil. ρ κειμένου lo. Phil. ρβ — 4. ἑαυτοῦ] ποσότητα add. H — 5. τὸν δʼ ἀπʼ] τὸν δὲ περαι- τέρω πάλιν ἀπ᾿ C — λείποντα Gm — κατὰ τὰ m 7. περαιτέρου om. CSH — πάλιν] ἀπ᾿ ἐκείνου add. SH — 8. τεταγμένου] ποσότητα add. S — ἑπτάκις γὰρ om. H — 10. ἐννεάκις CSH — 11. τοῦτο H — 12. οἷόν τε GmP — 13. τετράδα recte Ast, τετράδι codd. — 15. τριο G — 16. 17. τὸν δὲ τρ. . . γὰρ om. H — 20. τὸ μὲν G — γ] τρίτον m — 22. γὰρ G2 in ras.) κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν διόλου ἀπαρεμπόδιστον προχωρήσει σοι τοῦτο, ὥςτε τὸ μὲν μετρεῖν διαδέξονται κατὰ τὴν ἐν τῷ στίχῳ αὐτῶν ἐγκειμένην τάξιν, τὸ δὲ πόσους διαλείποντας κατὰ τὴν ἀπὸ δυάδος ἐπʼ ἄπειρον εὔτακτον τῶν ἀρτίων προκοπὴν ἢ κατὰ τὴν τῆς χώρας διπλασίασιν, καθʼ ἣν ὁ μετρῶν τέτακται, τὸ δὲ ποσάκις κατὰ τὴν τῶν ἀπὸ τριάδος περισσῶν εὔτακτον προχώρησιν. ἐὰν οὖν σημείοις τισὶν ἐπιστίξῃς τοὺς ἀριθμούς, εὑρήσεις τοὺς μεταλαμβάνοντας τὸ μετρεῖν οὔτε ἅμα πάντας τὸν αὐτόν ποτε μετροῦντας, ἔστι δὲ ὅτε οὐδὲ δύο τὸν αὐτόν, οὔτε πάντας ἁπλῶς τοὺς ἐκκειμένους ὑποπίπτοντας [*](P) μέτρῳ τινὶ αὐτῶν, ἀλλὰ τινὰς μὲν παντελῶς διαφεύγοντας τὸ μετρηθῆναι ὑφ᾿ οὑτινοςοῦν, τινὰς δὲ ὑπὸ ἑνὸς μόνου μετρουμένους, τινὰς δὲ ὑπὸ δύο ἢ καὶ πλειόνων. οἱ μὲν οὖν μηδαμῶς μετρηθέντες, ἀλλὰ διαφυγόντες τοῦτο πρῶτοί εἰσι καὶ ἀσύνθετοι, ὡς ὑπὸ κοσκίνου διακριθέντες, οἱ δὲ ὑπὸ ἑνὸς μόνου μετρηθέντες κατὰ τὴν ἑαυτῶν ποσότητα, ἓν μόνον μόριον ἑτερώνυμον ἕξουσι πρὸς τῷ παρωνύμῳ, οἱ δὲ ὑπὸ ἑνὸς μέν, ἑτέρου δὲ ποσότητι καὶ μὴ τῇ ἑαυτοῦ ἢ ὑπὸ δύο ὁμοῦ μετρηθέντες πλείονα ἔξουσι τὰ ἑτερώνυμα μέρη πρὸς τῷ παρωνύμῳ· οὗτοι οὖν ἔσονται δεύτεροι καὶ σύνθετοι. τὸ δὲ τρίτον μέρος τὸ κοινὸν [*](1. αὐτὴν G2 corr. ex αὐτοῦ — διʼ ὅλον P — 1. 2. ἀπαρα- πόδιστον χωρήσει SH — 3. ἐγκειμένην om. CSH — 4. πό- σους] τοσούτους — ἀπὸ G2 ex ὑπό — 5 τῶν om. P — 8. εὔτακτον] ἐπʼ ἄπειρον add. SH — 12. κειμένους H — 16. οὐδαμῶς PC — 18. μόνου om. H — 19. μετρηθέντες] μέ- τρου add. H — ἑαυτοῦ G1 ἐν αὐτῶ C — 20 ἑτερώνυμον om. C — 21. μὲν om. G1 — 23. 24. οὗτοι . . . σύνθετοι om. GmH τοῦτοι PS οἱ δεύτ. S οὗτοι δὲ πάντες δεύτεροί εἰσι καὶ σύνθ. C in mrg. — 24. μέρος] εἶδος CSH) ἀμφοτέρων, ὃ καθʼ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον καὶ σύνθετον, πρὸς ἄλλο δὲ πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, ἔσονται οἱ ἀποτελούμενοι ἀριθμοὶ κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα πρώτου καὶ ἀσυνθέτου μετρήσαντός τινος, εἴ τις γενόμενος συγκρίνοιτο πρὸς ἄλλον ὡςαύτως τὴν γένεσιν ἔχοντα· ὥςπερ ὁ θ (ἐγίνετο ἐκ τοῦ γ κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα μετρήσαντος, τρὶς γάρ), εἰ συγκρίνοιτο πρὸς τὸν κε (ἐγίνετο ἐκ τοῦ ε κατὰ τὴν ἑαυτοῦ ποσότητα μετρήσαντος, πεντάκις γάρ), κοινὸν μέτρον τούτοις οὐδέν, εἰ μὴ μονάς. ὡς δʼ ἂν καὶ μέθοδον ἔχοιμεν διαγνωστικὴν τῶν πρὸς ἀλλήλους ἤτοι πρώτων καὶ ἀσυνθέτων ἢ δευτέρων καὶ συνθέτων, ὅτι ἐκείνων μὲν κοινὸν μέτρον μονάς ἐστι, τούτων δὲ πρὸς τῇ μονάδι καὶ ἕτερός τις ἀριθμός, καὶ ποῖος οὗτος ὑπάρχει. εἰ ὁρισθείησαν ἡμῖν δύο περισσοὶ ἀριθμοί, προτείναντός τινος καὶ ἐπιτάξαντος διαγνῶναι, πότερον πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους καὶ ἀσύνθετοί εἰσιν ἢ δεύτεροι καὶ σύνθετοι, καὶ εἰ δεύτεροι καὶ σύνθετοι, ποῖος ἀριθμὸς αὐτῶν κοινὸν μέτρον ἐστί, χρὴ ἀντισυγκρίνειν τοὺς προτεθέντας ἀριθμοὺς καὶ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος ἀεὶ ἀφαιρεῖν, ὁσάκις δυνατόν, εἶτα τούτου ἀφαιρεθέντος ἀνταφαιρεῖν ἀπὸ τοῦ λοιποῦ, ὁσάκις πάλιν δυνατόν· [*](1. 2. οἱ καθʼ ἑαυτοὺς μὲν δεύτεροι καὶ σύνθετοι, πρὸς ἄλλους [ἀλλήλους H] δὲ πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι SH — 4. πρ. καὶ ἀσύνθ. om C — 6. ἐγίνετο Gm — τοῦ γ] τοῦ τρί- του P — 8. ἐγίνετο ἐκ addidi; ἐγένετο γὰρ καὶ οὗτος ἐκ τοῦ ε CS om. rel. — 10. ἐν τούτοις C — οὐδὲν] ἕτερόν ἐστιν add. CS οὐκ ἔσται PH — μόνη μονὰς CS μόνη ἡ μον. PH — ὥςτ᾿ ἂν Ast. — 11. μέθοδον] ἔφο- δον CSH S in mrg. διδασκαλίας μέθοδον, cf. Io. Phil. ριγ. — 13. μόνη μονὰς μόνον μον. S — 15. ὑπάρχη G — 16. περισσοὶ om. C — 22. ὑφαιρεῖν G1mP — 22. 23. εἶτα . . . . δυνατὸν om. H) ἡ γὰρ ἀντιπερίστασις αὕτη καὶ ἀνταφαίρεσις ἀναγκαίως ἤτοι ἐπὶ μονάδα καταλήξει ἢ ἐπί τινα ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, ἀναγκαίως δὲ περισσόν. ὅταν μὲν οὖν ἐπὶ μονάδα αἱ ἀφαιρέσεις περαιωθῶσι, πρώτους καὶ ἀσυνθέτους αὐτοὺς ἀποφαίνουσι πρὸς [*](P) ἀλλήλους, ὅταν δὲ ἐπὶ ἕτερόν τινα ἀριθμὸν περισσὸν τῇ ποσότητι διφορούμενον, δευτέρους λέγε εἶναι πρὸς ἀλλήλους καὶ συνθέτους καὶ κοινὸν αὐτοῖς εἶναι μέτρον αὐτὸν ἐκεῖνον τὸν διφορούμενον ἀριθμόν· οἷον ἐὰν ὁ κγ προεβλήθη ἡμῖν καὶ ὁ με, ἄφελε τὸν κγ ἀπὸ τοῦ με, λειφθήσεται κβ· τοῦτον ἀνταφαιρῶν ἀπὸ τοῦ κγ, λοιπὴ μονάς· ταύτην ἀφαιρῶν ἀπὸ τοῦ κβ, ὁσάκις δυνατόν, εἰς μονάδα καταλήξεις· διὰ τοῦτο πρῶτοι καὶ ἀσύνθετοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ καὶ κοινὸν αὐτῶν μέτρον ἡ ἀπολειφθεῖσα μονάς. εἰ δὲ ἑτέρους ἀριθμοὺς προθείη τις, τὸν κα καὶ τὸν μθ, ἀφαιρῶ τὸν ἐλάττονα ἀπὸ τοῦ μείζονος· λείπεται κη· εἶτα πάλιν ἐκ τούτου ἀφαιρῶ τὸν αὐτὸν κα (δυνατὸν γάρ), λείπεται ζ· ταῦτα ἀνταφαιρῶ ἀπὸ τοῦ κα, καταλείπεται ιδ· ἐξ ὧν πάλιν τὰ ζ ἀφαιρῶ (δυνατὸν γάρ), λειφθήσεται ζ, ἑβδομάδα δὲ ἀπο [*](1. ἀντιπερίστασις] ἀντίβασις CSH — 2. καταλήξοι S — 3. καὶ τὸν αὐτὸν om. P — 4. μονάδος G — 5. ἀποφαίνου εἶναι PCSH — 6. ὅτε P — 7. ποσότητι] ἰσότητι H — 7. et 9. διφορούμενον] = iteratum. διαφορουμενον G1mPS, ἀδιαφ., in mrg.: γρ. διφορούμενον G2H; διφορ. C, in mrg. ἀδιαφορ. (cf. Camerar. explic. in Nicom. p. 12.) — 7. λέγει P — 10. ἐὰν om. H — προβληθῇ PCSH — ἄφελε] ἄφειλον H, in mrg. ἄφελε. ἀφαιρῶ C — 11. ἐλείφθησαν κβ S — ἀν᾿ (ἀφαιρῶ P ἀνταφαιρῶ C ἀφαιρῶ H — 12. ἀνταφαιρῶ CS ἀφαιρῶ H — 13. καταλήγει C — 15. αὐτοῖς S — μετρῶν H — ἀποληφθ. C — 16. προςθείη PS — 17. ἀφαιρῶν G — 18. εἶτα] εἰ P — ἀφαιρῶ] ἐπαφ. S — 20. καταλείπεται P καταλίποιτο Gm λείπεται C λειφθήσεται SH — τὰ αὐτὰ ζ CS τὰ ζ ἐπεὶ P — 21. λείπεται C — ἑβδομὰς . . . δύ- ναται SH ἑκδ. P ut solet.) ἑβδομάδος οὐ δυνατόν ἀφαιρεθῆναι· ἡ ἄρα κατάληξις αὐτῶν εἰς διφορούμενον τὸν ζ ἐπεραιώθη, δευτέρους δὲ καὶ συνθέτους πρὸς ἀλλήλους ἀποφαίνου τοὺς ἐξ ἀρχῆς τὸν κα καὶ τὸν μθ καὶ κοινὸν αὐτῶν μέτρον πρὸς τῇ καθολικ μονάδι τὸν ζ.

ιδ. Πάλιν δὲ ἄνωθεν· τῶν ἀπλῶς ἀρτίων ἀριθμῶν οἱ μέν εἰσιν ὑπερτελεῖς, οἱ δὲ ἐλλιπεῖς, καθάπερ ἀκρότητες ἀντικείμεναι ἀλλήλαις, οἱ δὲ ἀνὰ μέσον ἀμφοτέρων, οἳ καὶ λέγονται τέλειοι. καὶ εἰσὶν οἱ μὲν ἀντικεῖσθαι λεγόμενοι ἀλλήλοις ὑπερτελεῖς τε καὶ ἐλλιπεῖς ἐν τῇ τῆς ἀνισότητος σχέσει διαιρούμενοι εἴς τε τὸ πλέον καὶ εἰς τὸ ἔλαττον· ἕτερος γὰρ παρὰ ταῦτα τρόπος ἀνισότητος οὐκ ἂν ἐπινοηθείη, καθάπερ οὔτε κακία οὔτε νόσος οὔτε ἀσυμμετρία οὔτε ἀπρέπεια οὔτε τῶν τοιούτων ἕκαστον· ἐν μὲν γὰρ τῷ πλείονι αἵ τε ὑπερβολαὶ καὶ πλεονεξίαι καὶ ὑπερεκπτώσεις καὶ περισσότητες γίνονται, ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι αἱ ἔνδειαι καὶ ἐλλείψεις καὶ στερήσεις καὶ ὀλιγοεξίαι, ἐν δὲ τῷ μεταξὺ τοῦ πλέον καὶ τοῦ ἔλαττον κειμένῳ, ὅ ἐστιν ἴσῳ, ἀρεταί τε καὶ [*](XIV. lo. Phil. ριδ. — lambl. p. 42. 43. — Theon. 32. — Boëth. I. 15. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 9.) [*](2. διφορούμενον GmC διαφορ P ἀδιαφορ SH — 3. δὲ Gm ρ οὖν CSH — ἀποφαίνομαι C -ω S — 4. ἀρ- χῆς] ἀριθμοὺς add. H) [*](XIV. Περὶ τῶν τοῦ ἀρτίου εἰδῶν κατὰ δεύτε- ρον [δευτέραν m] διαίρεσιν Gm κατʼ ἐπιδιαίρε- σιν C Ἐπιδιαίρεσις τῶν τριῶν. περὶ ἀρι θμοὺ τε- λείου, ὑπερτελοῦς καὶ ἐλλιποῦς S Περὶ τελείων καὶ ὑπερτελῶν καὶ ἐλλιπῶν H — 8. ἀντικείμενοι ἀλ- λήλοις SH — 9. τέλειοι καὶ εἰσέν. οἱ GP — 11. ἀνισό- τητ G1 ος G2 — 11. διαιρούμενον P — 15. οὔτε ἀπρέπ.] ἢ ἀπρέπ. S — 19. ὀλιγεξίαι C — πλέονος P πλείονος CH 20. ἐλάττονος PCH — ἴσον P)

ὑγεῖαι καὶ μετριότητες καὶ εὐπρέπειαι καὶ κάλλη καὶ τὰ ὅμοια· ὧν γενικώτατον τὸ λεχθὲν τοῦ ἀριθμοῦ εἶδος τὸ τέλειον.

Ὑπερτελὴς μὲν οὖν ἀριθμὸς ὁ ὑπὲρ τὰ προςήκοντα αὐτῷ καὶ ἐπιβάλλοντα μέρη ἔχων ἕτερα πλείονα· [*](P) ὡς ἂν εἴ τι ζῶον πλείοσι μέρεσιν ἢ μέλεσι τελεσιουργούμενον εἴη, δέκα μὲν γλώσσας ἔχον κατὰ τὸν ποιητήν, δέκα δὲ στόματα, ἢ ἐννεάχειλον ἢ τριστοίχοις κεχρημένον ὀδοῦσιν ἢ ἑκατόγχειρον ἢ πλείονας δακτύλους ἐν ἑτέρᾳ τῶν χειρῶν ἔχον, οὕτω καὶ εἴ τις ἀριθμὸς πάντων τῶν ἐν αὐτῷ μερῶν ἐξετασθέντων καὶ εἰς ἓν ἄθροισμα συγκεφαλαιωθέντων ἀντεξεταζόμενος εὑρίσκοιτο πλείονα τὰ ἴδια μέρη ἑαυτοῦ ἔχων, ὑπερτελὴς οὗτος καλεῖται· ὑπερβαίνει γὰρ τὴν τοῦ τελείου πρὸς τὰ ἑαυτοῦ μέρη συμμετρίαν· οἷός ἐστιν ὁ ιβ, ὁ κδ καὶ ἄλλοι τινές· ἔχει μὲν γὰρ ὁ ιβ, ἥμισυ ϛ, τρίτον δ, τέταρτον γ, ἕκτον β, δωδέκατον α, ἅπερ ὁμοῦ συγκεφαλαιωθέντα ποιεῖ ιϚ, ὃς πλείων ἐστὶ τοῦ ἐξ ἀρχῆς ιβ· τὰ ἄρα μέρη αὐτοῦ πλείονα τοῦ ὅλου ὑπάρχει. ὁ δὲ κδ ἔχει καὶ αὐτὸς ἥμισυ, τρίτον, τέταρτον, ἕκτον, ὄγδοον, δωδέκατον, εἰκοστοτέταρτον, ἅπερ ὑπάρχει

ιβ, η, Ϛ, δ, γ, β, α·

[*](XIV, 3. Περὶ τοῦ ὑπερτελοῦς ἀριθμοῦ G [τοῦ om. mCSHμ ἀρ. om. CSH] — 4. ἀριθμὸς] ἐστιν add. PCSH — 5. ἐπιβάλοντα P — 6. ὡςανεὶ εἴ τι P — 7. τελεσιου- ου C2 ργημένον, C1 τετελεσιουργημένον H — 8. ποιητὴν] cf. Hom. Od. XII, 89 seq. — τριστίχοις CH — 9. ἑκατόγγειρον P ὲκατοντάχειρον — 13. ἴδια om. H — 14 αὐτοῦ Gm, om. P — καλεῖται] κλητέος SH κλητέον μ — ὑπερβάλ- λει S — 16. οἷόν P — 17. δ] δευτέρω P — 17. 18. ϛ. δ, γ, β, α om. post δωδ. add. ἅπερ ἐστι Ϛ, δ, γ, β, α. — 18. ὁμοῦ] πάντα add. S — 20. τοῦ ὅλου] τοῦ ιβ C — 21 23. ἥμισυ . . . α] ἥμ. ιβ, τρ. η, τέτ. Ϛ, ἕκτ. δ, ὄγδ. γ, δωδ. β, εἰκοστ. α C) συγκεφαλαιωθέντα δὲ συνάγει τὸν λς, ὃς συγκρινόμενος τῷ ἐξ ἀρχῆς τῷ κδ μείζων αὐτοῦ εὑρίσκεται, καίτοι ἐκ τῶν ἐκείνου μερῶν μόνων συντεθείς· πλείονα ἄρα κἀνταῦθα τὰ μέρη τοῦ ὅλου.

ιε. Ἐλλιπὴς δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ τὸ ἐναντίον τοῖς δειχθεῖσι πεπονθὼς καὶ τὰ ἑαυτοῦ μέρη συντεθέντα ὑφʼ ἓν κατὰ σύγκρισιν ἑαυτοῦ ἐλάττονα κεκτημένος, ὡς εἴ τι ζῶον τῶν κατὰ φύσιν μελῶν ἢ μερῶν ἐλαττοῦται, ἢ εἴ τις μονόφθαλμος εἴη, ὡς τὸ

κυκλοτερὴς δʼ ὀφθαλμὸς ἕεις ἐνέκειτο μετώπῳ,

ἢ εἴ τις μονόχειρ εἴη ἢ ἐν ἑτέρᾳ τῶν χειρῶν ἐλάττονας τῶν ε δακτύλους κεκτημένος εἴη ἢ ἄγλωσσος ἢ τοιούτου τινὸς ἐστερημένος, ἐλλιπὴς ἂν ὁ τοιοῦτος λέγοιτο καὶ οἱονεὶ πηρὸς κατὰ τὴν τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιότητα τοῦ ἔχοντος τὰ ἴδια μέρη ἐλάττονα ἑαυτοῦ· οἷός ἐστιν ὁ η, ὁ ιδ· ὁ μὲν γὰρ η μέρος ἔχει ἥμισυ, τέταρτον, ὄγδοον, ἅπερ ἐστὶ

δ, β, α,

συγκεφαλαιωθέντα δὲ εἰς τὸ αὐτὸ ζ γίνονται καὶ ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς· τὰ ἄρα μέρη ἐλλείπει πρὸς τὴν τοῦ ὅλου συμπλήρωσιν. πάλιν ὁ ιδ ἔχει ἥμισυ, ἔβδομον, τεσσαρεςκαιδέκατον, ἅπερ εἰσὶν [*](XV. Iambl. p. 43. 44. — Theon. 32. — Boëth. l. 15.) [*](3. μόνων om. P μόνον H — συνθεθείς P) [*](XV. Περὶ ἐλλιποῦς ἀριθμοῦ Gm [ἀρ. om. CSH] περὶ ἀτελοῦς ἀ ρ. μ — 8. φύσιν] αὐτοῦ subicit H — ἐλαττοῖτο CSH — 9. ἢ . . . εἴη CμΓ — 10. cf. Hes. Theog. 145. — μετόπῳ P — 11. μονόχειρον P — 12. τῶν ε δακτύλων ἔχων ἢ εἰ ἄγλωσσος εἴη C τῶν πάντων δακτύλων ἔχων εἴη ἢ ἄγλ SH — 13 τινὸς ἑτέρου S — 15. ἰδιό- τητα] ὁμοιότητα CSH — 16 μέρος] -η SH — 17—19 ὅπερ . . . γίνεται SH — 20. ἐλλείπει] ἐλλιπῆ SH — πρὸς] εἰς C — 21. πάλιν om. SH — εἰσὶν] ὑπάρχει SH)

ζ, β, α,

σύμπαντα δὲ ὁμοῦ ι, ἐλάττονα τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ἐλλείπει ἄρα καὶ οὗτος ἐν τοῖς μέρεσι πρὸς τὸ συμπληρωθῆναι τὸ ὅλον ἐξ αὐτῶν.

[*](P)

ιϚ. Ἀντικειμένων δὲ τῶν δύο τούτων εἰδῶν ὡςανεὶ ἐν ἀκροτήτων τρόπῳ μεσότης φαίνεται ὁ λεγόμενος τέλειος ἐν ἰσότητι εὑρισκόμενος καὶ οὔτε τὰ μέρη ἑαυτοῦ πλείονα ἀποτελῶν συντεθέντα οὔτε ἑαυτὸν μείζονα τῶν μερῶν ἀποφαίνων, ἀλλʼ αἰεὶ ἶσος τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ὑπάρχων· τὸ δὲ ἶσον τοῦ πλείονος καὶ ἐλάττονος πάντως ἐν μεταιχμίῳ θεωρεῖται καὶ ἔστιν ὥςπερ τὸ μέτριον τοῦ ὑπερβάλλοντος καὶ τοῦ ἐλλείποντος μεταξὺ καὶ τὸ ὁμόφωνον τοῦ ὀξυτέρου καὶ βαρυτέρου. ὅταν οὖν ἀριθμὸς πάνθʼ, ὅσα ἐνδέχεται ἐν αὐτῷ εἶναι, μέρη συναχθέντα καὶ συγκεφαλαιωθέντα ἐν συγκρίσει τῆ πρὸς ἑαυτὸν ἔχων μήτε ὑπερβάλλῃ τῷ πλήθει αὐτὰ μήτε ὑπερβάλληται ὑπʼ αὐτῶν, τότε ὁ τοιοῦτος τέλειος κυρίως λέγεται, ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἶσος ὤν· οἷον ὁ Ϛ καὶ ὁ κη· ὅ τε γὰρ Ϛ ἔχει μέρη ἥμισυ, τρίτον, ἕκτον, ἅπερ εἰσὶ [*](XVI. lo. Phil ριδ—ρκα. — Iambl. p. 44—48. — Theon. 32. — Boëth. l. 15. 16. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 9.) [*](3. πληρωθῆναι H) [*](XVI. Περὶ τελείου ἀριθμοῦ Gmμ [ἀρ. om. CSH] — 5. ὡςεὶ S — 8. πλείονα] ποτε add. H — ἀποτελεῖ S — 9. μείζονα om. SH, qui post ἀποφ. add. ἐλάσσω. καὶ αἰεὶ GP — 10. ἑαυτοῦ] ἰδίοις SH — 11. πλέον καὶ ἔλαττον S — 13. τὸ om. G1P — εὔφωνον S — 15. ἑαυτῶ G2 — εἶναι om. H — 16. συγκεφαλαιωθέντα om. S — 17. αὐτὸν H — ὑπερβάλλων G -ει P — 18. ὑπερβάληται Gm -λλεται P — 19. ἑαυτοῦ] ἰδέοις SH — ὤν om. H — οἷός ἐστιν CSH — 21. ἐστὶ SH)

γ, β, α,

ἅπερ συγκεφαλαιωθέντα ὁμοῦ καὶ γενόμενα Ϛ ἶσα τῷ ἐξ ἀρχῆς ὑπάρχει καὶ οὔτε πλείονα οὔτε ἐλάττονα· καὶ ὁ κη μέρη μὲν ἔχει ἥμισυ, τέταρτον, ἕβδομον, τεσσαρεςκαιδέκατον, εἰκοστόγδοον, ἅπερ γίνεται

ιδ, ζ, δ, β, α,

καὶ ὑφοʼ ἓν συναθροισθέντα ἀποτελεῖ τὸν κη καὶ οὕτως οὔτε τὰ μέρη πλείονα τοῦ ὅλου οὔτε τὸ ὅλον τῶν μερῶν, ἀλλʼ ἡ σύγκρισις ἐν ἰσότητι, ὅπερ τελείου ἰδιότης. συμβέβηκε δέ, καθάπερ τὰ καλὰ τά τε κατʼ ἀρετὴν σπάνια καὶ εὐαρίθμητα, τὰ δὲ αἰσχρὰ καὶ ἐν κακίᾳ εἶναι πολύχοα, οὕτω καὶ ὑπερτελεῖς μὲν καὶ ἐλλιπεῖς παμπόλλους καὶ ἀτάκτους εὑρίσκεσθαι ἀκόσμου οὔσης τῆς αὐτῶν εὑρέσεως, τελείους δὲ εὐαριθμήτους τε καὶ τεταγμένους μετὰ τος κόσμου· εἷς μὲν γὰρ μόνος εὑρίσκεται ἐν μονάσιν ὁ Ϛ, ἕτερος δὲ μόνος ἐν δεκάσιν ὁ κη, τρίτος δέ τις ἐν βαθμῷ ἑκατοντάδων μόνος ὁ υ??ς, τέταρτος ὁ ἐν χιλιάδων ὅρῳ, τουτέστιν ὁ ἐντὸς μυριάδων ὁ ‚ηρκη· καὶ παρέπεται αὐτοῖς μίαν παρὰ μίαν εἰς ἑξάδα ἢ ὀγδοάδα καταλήγειν καὶ πάντως εἶναι νἐ ἀρτίοις.

Γένεσις δὲ αὐτῶν γλαφυρά τε καὶ ἀσφαλὴς οὔτε [*](2. ἅπερ συγ.] ἃ P ἃ καὶ — 5. εἰκοστοόγδοον S — γίνεται] εἰσὶ C γίνονται S — 7. ὑφʼ ἐν . . . κη] συγκεφα- λαιωθέντα ὑφ᾿ ἓν συντελεῖ αὐτὸν τὸν κη ὑφ᾿ ἓν κεφά- λαιον ἀθροισθέντα ποιεῖ τὸν κη — 9. ἥπερ SH — 12. εἶναι] ὑπάρχοντα H — 14. τελείου G1mP — 15. μετὰ τοῦ πρ. S — ἐν προςήκοντι κόσμῳ — 18. ἑκατοντάδος Gm PH — 19. τουτέστιν . . . μυρ. om. C μοριάδος S — 20. παρὰ μίαν] κατάληξιν add. CSH — 21. ἐν om. CSH — 22. ἀρ- τίους SH) [*](XVI. 4. Περὶ γενέσεως [τῶν μ] τελείων Cμ Τε- λείων γένεσις S — 23. τε] τις C)

παραλείπουσά τινα τῶν τελείων οὔτε ἀδιαφοροϋσά τινα τῶν μὴ τοιούτων τούτῳ γινομένη τῷ τρόπῳ. ἐκθέσθαι δεῖ τοὺς ἀπὸ μονάδος ἀρτιάκις ἀρτίους προβιβάζοντα ἑξῆς ἐν ἑνὶ στίχῳ, μέχρις οὗ βούλει,

α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ, ρκη, σνϚ, φιβ, ‚ακδ, ‚βμη, ‚δ??ϛ,

[*](P) εἶτα ἀεὶ κατὰ ἑνὸς πρόςθεσιν ἐπισωρεύειν, καὶ καθʼ ἑκάστην ἐπισώρευσιν σκοπεῖν τὸν γινόμενον, οἷός ἐστι· καὶ ἂν μὲν εὕρῃς πρῶτον καὶ ἀσύνθετον ὑπάρχοντα, τῇ τοῦ ἐσχάτου προςληφθέντος ποσότητι πολλαπλασιάσεις αὐτὸν καὶ ὁ ἀποτελεσθεὶς πάντως τέλειος ἔσται· ἐὰν δὲ δεύτερον καὶ σύνθετον, οὐ πολλαπλασιάσεις, ἀλλʼ ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς καὶ πάλιν ἐπισκέψῃ, τίς ὁ ἀποτελούμενος, καὶ ἐὰν μὲν δεύτερος καὶ σύνθετος, πάλιν παραλείψεις καὶ οὐ πολλαπλασιάσεις, ἀλλʼ ἐπισωρεύσεις τὸν ἑξῆς, ἐὰν δὲ πρῶτος καὶ ἀσύνθετος, τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σύνθεσιν παραληφθέντι πολλαπλασιάσεις αὐτὸν καὶ ὁ γινόμενος τέλειος ἔσται, καὶ τοῦτο μέχρις ἀπείρου· παραπλησίως πάντας ἑξῆς ἀπογεννήσεις τοὺς τελείους μηδενὸς παραλειπομένου· οἷον τῷ α ἐπισωρεύω τὸν [*](1. ///δι///φοροῦσα G διαφοροῦσα S — 2. τῶν μὴ τοι- ούτων om. SH — τούτῳ . . τῷ] τοιούτῳ γιν. SH — 3. δεῖ τοὺς om. P — 4. προβιβάζοντος PSH — ἑνὶ om. S — 5. σνϛ] ??νς P — ‚δ??Ϛ] ν??Ϛ GP omnes post ρκη numeros om. ΗΓ — 6. πρόθεσιν G1 — 7. ἕκαστον ἐπισωρεύουσιν P — 8. καὶ ἂν] ὡς ἂν P — 9. πολυπλασιάζεις S — 11. πο- λυπλασιάσεις S — 12. προςεπισωρεύσῃς S — 14. πολλα- πλασιάσῃς P — 15. ἐπισωρεύσῃς P ἐποίσεις S — 16. ἐσχάτω] ὑστάτῳ CSH — σύνθεσιν] σύγκρισιν S — 17. παραληφθέντι CS -λειφθέντι cet. — γινόμενος] πάντως add. CSH — 19. παραπλησίου P ποιῶν add. G2 CSH — ἐφεξῆς γεννήσεις CS — 20. παραλειπομένου] ἀπολειπομέ- νου Ast. in omnibus paene codicibus (GmPS) librariorum oscitantia huic uerbo eam subiunxit numerorum seriem, quam codices ΗΓ recte supra (l. 5.) inserunt. C haecce addit: Οἷον ὡς ἐν ὑποδείγματι ἔστωσαν ἐφεξῆς οἱ ἀπὸ μονάδος) β καὶ σκοπῶ τὸ συναμφότερον, τίς ἀριθμός ἐστι, καὶ εὑρίσκω τὸν γ ἀριθμόν, ἐξ ὧν προαπεδείχθη, πρῶτον καὶ ἀσύνθετον· ἑτερώνυμον γὰρ μόριον οὐκ ἔχει, ἀλλὰ μόνον τὸ ἑαυτῷ παρώνυμον· διὰ τοῦτο αὐτὸν πολλαπλασιάζω τῇ τοῦ ὑστέρου εἰς τὴν σωρείαν ληφθέντος ποσότητι, τουτέστι τοῦ β, καὶ γεννᾶταί μοι ὁ Ϛ καὶ τοῦτον ἀποφαίνομαι ἐνεργείᾳ πρῶτον εἶναι τέλειον καὶ ἔχειν μέρη ἐκεῖνα τὰ ἐνθεωρούμενα τοῖς ἀριθμοῖς, ἐξ ὧν συνέστη· μονάδα μὲν γὰρ ἐκ παρωνύμου μέρους ἕξει, ὅ ἐστι τοῦ ἕκτου, γ δὲ ἐξ ἡμίσους κατὰ τὸν β θεωρουμένου, ἀντιστρόφως δὲ δυάδα ἐκ τρίτου. ὁ δὲ κη καὶ αὐτὸς ἑτέρου προςεπισωρευθέντος τοῖς προτέροις τοῦ δ γεννᾶται τῇ αὐτῇ ἐφόδῳ· τὸ γὰρ συγκεφαλαίωμα τῶν τριῶν, τοῦ τε α καὶ β καὶ δ, γίνεται μὲν ζ, εὑρίσκεται δὲ πρῶτος καὶ σύνθετος· μόνον γὰρ τὸ παρώνυμον μόριον ἐπιδέχεται τὸ ἕβδομον· διὰ τοῦτο πολυπλασιάζω αὐτὸν τῇ τοῦ ἐσχάτου προςληφθέντος εἰς τὴν σωρείαν ποσότητι καὶ ἀποβαίνει μοι ὁ κη τοῖς ἰδίοις μέρεσιν ἶσος, ἔχων καὶ αὐτὸς ἐκ τῶν προηγουμένων [*](ἀρτιάκις ἄρτιοι ὁ α, β, δ, η, ιϚ, λβ, ξδ καὶ ἐφʼ ὁσονοῦν· ἐπι- σωρεύω τοίνυν τῷ α κτλ. Disponantur enim omnes pariter pares numneri hoc modo: Boëth, l. 16. — 20. (p. 41) οἷον πρῳτον τῷ α ἐπισωρεύων H) [*](1. τὸν σὺν ἀμφοτέροιν P τὸν συναμφότερον mC τὸν ἐξ ἀμφοτέρου Ast. — τίς . . ἐστι om. G qui numerus factus sit Boëth. — 2. ἀριθμόν om. CS — καὶ ἐξ PG2CSH — προαπεδείχθη] προκατήχθη G1 — πρῶτον] εὑρίσκω praemitt. PG2CSH — 3. ἀσύνθετον] ὄντα τὸν γ add. C — 5. πολυπλ. — 6. παραληφθέντος H — 7. μοι om. SH — ϛ] δὶς γὰρ τρία Ϛ add. G2S — 8. εἶναι om. H — μέρη] μόνα add. PSH — 9. συνέστι P — 10. ἐστι] ἐκ add. — τοῦ ἀριθμοῦ ἕκτον C — 12 δυάδα om. GP (tuetur lo. Phil. ριη) διάδα G2 — ἐπισωρευθ. H — 14. αὐτῇ] αὐ- τοῦ G1 — μεθόδῳ P — 15. τοῦ . . . δ΄ om. G1C τοῦ α β δ S) τὰ ἐν αὐτῷ μέρη, ἥμισυ μὲν παρὰ τὴν δυάδα, τέταρτον δὲ παρὰ τὴν ἑπτάδα, ἕβδομον δὲ παρὰ τὸ δ, τεσσαρεςκαιδέκατον δὲ παρὰ τὴν τοῦ ἡμίσους [*](P) ἀντιδιαστολήν, εἰκοστόγδοον δὲ παρὰ τὴν αὐτοῦ παρωνυμίαν, ἥτις ἐν πᾶσι μονὰς ὑπάρχει. εὑρημένων δὲ τούτων, ἐν μὲν μονάσι τοῦ Ϛ, ἐν δὲ δεκάσι τοῦ κη, εἰς τὴν ἐφεξῆς πλάσιν τὸ αὐτό σε δεῖ ποιῆσαι. πάλιν γὰρ ἐπισύνθες τὸν ἑξῆς τὸν η, γίνονται ὁμοῦ ιε· ἐπισκοπῶν αὐτὸν εὑρίσκω οὐκέτι πρῶτον καὶ ἀσύνθετον, πρὸς δὲ τῷ παρωνύμῳ μορίῳ ἔτι καὶ πέμπτον ἔχει καὶ τρίτον ἑτερώνυμον· διὸ οὐ πολλαπλασιάζω τῷ η αὐτόν, ἀλλʼ ἐπισωρεύω τὸν ἑξῆς τὸν ιϚ καὶ γίνεται ὁ λα· οὗτος ἐπειδὴ πρῶτος καὶ ἀσύνθετός ἐστιν, ἀναγκαίως πολυπλασιασθήσεται κατὰ τὸ τῆς ἐφόδου καθολικὸν πρόςταγμα τῷ ἐσχάτῳ εἰς τὴν σωρείαν προςληφθέντι τῷ ιϚ καὶ γενήσεται ὁ υ??Ϛ ἐν ἑκατοντάσιν, ἔπειτα τῷ αὐτῷ τρόπῳ καὶ ὁ ‚ηρκη ἐν χιλιάσι, καὶ ἀεὶ οὕτως, μέχρις ἂν εὐτονῇ τις παρέπεσθαι. ἡ ἄρα μονὰς δυνάμει, ἀλλʼ οὔπω ἐστὶ τέλειος ἐνεργείᾳ· ἐκ γὰρ τοῦ στίχου πρωτίστην αὐτὴν εἰς τὴν σωρείαν λαβὼν ἐπεσκόπησα κατὰ τὸ πρόςταγμα, ποταπή τις ὑπάρχει, καὶ εὗρον πρώτην [*](2. ἑπτάδα] τετράδα S — 2. 3. παρὰ τὸ δ] ἀριθμῶν συγκεφαλαίωμα add. GP, quae e margine in textum inrep- sisse Astius recte iudicat; τὸ παρὰ τὸν ἑπτὰ μονάδων συγ- κεφαλ. G2 παρὰ τὸ τοῦ δ συγκεφ. C τὸ παρὰ τὸν δον ἀριθμὸν συγκεφ. S secundum omnium collectionem Boëth. — 4. τὴν αὐτὴν τούτου παρ. C τὴν ἑαυτοῦ παρ. H — 5 ευρη- σκομένων P — 6. δὴ τοῦ τε ἐν μονάσι τοῦ Ϛ καὶ τοῦ ἐν δεκάσι CSH — 7. τὴν τῶν ἐφεξ. CSH — ποιεῖν CSH — 8. ὁμοῦ om. H — 11. ἔχεις P — ἑτερώνυμα CSH — πολλυπλ. P πολυπλ. SH — 14. πολλυπλ. P πολλαπλ. SH — 15. μεθόδου PC — 16. παραληφθέντι H — 21. σωτη- ρείαν P — παραλαβών H) καὶ ἀσύνθετον· ὡς ἀληθῶς γάρ, οὐ κατὰ μετοχὴν ὡς οἱ ἄλλοι, πρώτη τε ὑπάρχει παντὸς ἀριθμοῦ καὶ ἀσύνθετος μόνη. πολυπλασιάζω οὖν αὐτὴν τῷ ληφθέντι ἐσχάτῳ εἰς τὴν σωρείαν, τουτέστιν ἑαυτῇ, καὶ γεννᾶταί μοι μονάς· ἅπαξ γὰρ α μονάς. τελεία ἄρα ἐστὶ δυνάμει ἡ μονάς· ἴση γὰρ τοῖς ἰδίοις μέρεσι κατὰ δύναμιν αὕτη, οἱ δʼ ἄλλοι κατʼ ἐνέργειαν.

ιζ. Προτετεχνολογημένου δὲ ἡμῖν περὶ τοῦ καθʼ αὑτὸ ποσοῦ νῦν μετερχόμεθα καὶ ἐπὶ τὸ πρός τι. τοῦ πρός τι τοίνυν ποσοῦ δύο αἱ ἀνωτάτω γενικαὶ διαιρέσεις εἰσίν, ἰσότης καὶ ἀνισότης· πᾶν γὰρ ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρούμενον ἤτοι ἶσον ὑπάρχει ἢ ἄνισον, τρίτον δὲ παρὰ ταῦτα οὐδέν. τὸ μὲν οὖν ἶσον θεωρεῖται, ὅταν τῶν συγκρινομένων τὸ ἕτερον μήτε ὑπερέχῃ μήτε ἐλλείπῃ πρὸς τὴν τοῦ λοιποῦ παραβολήν, οἷον ἑκατὸν πρὸς ἑκατὸν ἢ δέκα πρὸς δέκα ἢ δύο πρὸς δύο ἢ μνᾶ πρὸς μνᾶν ἢ τάλαντον πρὸς τάλαντον ἢ πῆχυς πρὸς πῆχυν καὶ τὰ παραπλήσια εἴτε ἐν ὄγκῳ εἴτε ἐν μήκει εἴτε ἐν βάρει εἴτε ἐν ποσότητι ᾑτινιοῦν. ἔστι δὲ καὶ ἰδίως ἡ σχέσις αὕτη ἡ τῆς ἰσότητος ἄσχιστος καθʼ ἑαυτὴν [*](XVII. lo. Phil. ρκβ —ρκη. — lambl. p. 48 — 51. — Boëth. l. 17. 18. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 9. 10.) [*](3. λειφθέντι P — 4. ἑαυτοῦ G1 ἑαυτῷ P — 5. τέ- λειος CH — 7. ἡ δʼ ἄλλη H) [*](XVII. Περὶ τοῦ πρός τι ποκοῦ GCμH — 8. Προ- τεχν. G1 προτεχηολογουμένου S — ἡμῖν] ἐν τοῖς ἄνωθεν add. P ἐν τοῖς ἄνω CSH — 9. μετερχώμεθα P ἐρχόμεθα H — 11. εἰσιν om. H — 12. ἕτερον] πῶς add. SH — ὑπάρχη -ειν P — 13. παῤ αὐτὰ SH — 21. ἡ τῆς ἰσό- τητος CSHΓ ἡ τῆς ποσότητος GmP glossema arbitror. τὴν)

[*](P) καὶ ἀδιαίρετος, ὡς ἂν ἀρχικωτάτη, διαφορὰν γὰρ οὐδεμίαν ἐπιδέχεται· οὐ γάρ ἐστι τοῦ ἴσου τὸ μὲν τοιόνδε, τὸ δὲ τοιόνδε, ἀλλʼ ἑνὶ τρόπῳ καὶ τῷ αὐτῷ τὸ ἶσόν ἐστιν. ἀμέλει καὶ τὸ ἀνθυπακοῦον τῷ ἴσῳ οὐχ ἑτερωνυμεῖ πρὸς αὐτό, ἀλλὰ συνωνυμεῖ, ὥςπερ φίλος, γείτων, συστρατιώτης, οὕτω δὴ καὶ ἶσος· ἴσῳ γάρ ἐστιν ἶσος. τὸ δὲ ἄνισον καὶ αὐτὸ καθʼ ὑποδιαίρεσιν διχῆ σχίζεται καὶ ἔστιν αὐτοῦ τὸ μὲν μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον, ἀντωνυμούμενά τε καὶ ἀντίθετα ἀλλήλοις κατὰ ποσότητα καὶ σχέσιν αὐτῶν· τὸ μὲν γὰρ μεῖζον ἑτέρου τινὸς μεῖζον, τὸ δὲ ἔλαττον ἔμπαλιν ἑτέρου τινὸς ἔλαττον ἐν συγκρίσει, καὶ τὰ ὀνόματα οὐ τὰ αὐτά, ἀλλὰ διαφέροντα ἔχει ἑκάτερα, ὡς πατὴρ καὶ υὑὸς καὶ τύπτων καὶ τυπτόμενος καὶ διδάσκων καὶ μανθάνων καὶ τὰ ὅμοια. τοῦ μὲν οὖν μείζονος καθʼ ὑποδιαίρεσιν δευτέραν εἰς πέντε εἴδη διαιρουμένου τὸ μέν ἐστι πολλαπλάσιον, τὸ δὲ ἐπιμόριον, τὸ δὲ ἐπιμερές, τὸ δὲ πολλαπλασιεπιμόριον, τὸ δὲ πολλαπλασιεπιμερές. καὶ τοῦ ἀντιθέτου δὲ [*](τοῦ ἴσου σχέσιν lo. Phil. ρκε. ἡ μὲν ἰσότης . . . ἄσχιστός ἐστι lambl. p. 49. Haec autem pars relatiuae ad aliquid quan- titatis, id est aequalitas, naturaliter indiuisa est Boëth. l.17.) [*](1. διαφθορὰν m — 3. τῷ αὐτῷ] artic. om. m αὐτὸ G — 4. ἶσον bis ponunt G2C — ἀμέλλει P — 5. 6. ὡς τὸ φίλ. H — 7. γὰρ] τις add. — καὶ αὐτὸ] καθ᾿ αὑτὸ καὶ S — 8. διχῆ om. G1mP διχάζεται S — 10. αὐτῶν] ἀντωνυ- μούμενα SH — 13. ἑκάτερον SH — 15. ὅμοια] CμG2Γ haecce e Iamblichi commentario (p. 50) sumpta addunt: μεῖζον μὲν οὖν ἐστιν, ὅ πέφυκε μετρούμενον ὑπὸ θατέρου [καὶ τὰ τοιαῦτα μ] κατὰ [μετὰ Γ] μίαν παραβολὴν ἀκα- ταμέτρητον [τι G2μΓ] αυτοῦ [αὐτοὺς μ] ἀπολείπειν [-λι- πεῖν G2Γ] ὁσονοῦν, ἔλαττον δέ, ὁ μετρητικὸν [μετρι- κὸν μ] ὂν τοῦ συζύγου μιᾷ παραβολῇ [μ. π. om. Γ] περι- σχεῖν ὅλον ἀδυνατεῖ. — τοῦ μὲν] τὸ μὲν G1 — 16. καθ᾿ ὑποδ. τοῦ μὲν μείζ. C — δευτέραν om. C — 17. πολυ- πλάσιον S) τούτῳ, τουτέστι τοῦ ἐλάττονος, πέντε εἴδη ὁμοίως καθʼ ὑποδιαίρεσιν συνίσταται ἀντικείμενα τοῖς προειρημένοις τοῦ μείζονος πέντε εἴδεσιν (ὡς ὅλον ὅλῳ, τὸ ἔλαττον τῷ μείζονι, οὕτω καὶ ἕκαστον ἑκάστῳ τῇ προλεχθείσῃ τάξει μετὰ τῆς ὑπο προθέσεως ἀντιδιαστελλόμενα), ὑποπολλαπλάσιον, ὑπεπιμόριον, ὑπεπιμερές, ὑποπολλαπλασιεπιμόριον καὶ ὑποπολλαπλασιεπιμερές.

ιη. Ἄνωθεν οὖν πολλαπλάσιόν ἐστιν εἶδος τοῦ μείζονος τὸ πρώτιστον καὶ προγενέστερον φύσει, ὡς εὐθὺς εἰσόμεθα, καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ, ἐπειδὰν ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρῆται, ἔχων αὐτὸν ἐν ἑαυτῷ ὅλον πλεονάκις ἢ ἅπαξ· οἷον πρὸς τὴν μονάδα πάντες οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοὶ ἀπὸ δυάδος ἀρξάμε νοι συγκρινόμενοι τὰ τοῦ πολλαπλασίου εὔτακτα εἴδη ἀπογεννῶσι τῇ οἰκείᾳ ἀκολουθία· πρῶτος μὲν γὰρ ὁ β διπλάσιος καὶ ἔστι καὶ λέγεται, ὁ δὲ γ τριπλάσιος, [*](XVIII. lo. Phil. ρκθ—ρλδ. — Iambl. p. 51. 52. — Boëth. I. 19. — Schol. NΓ Nobb. p. 10.) [*](1. τούτῳ om. S — τουτέστι] ἤτοι S — εἴδι G1 — συνίστανται C — 3. πέντε om. C — 4. ἔλαττον] δη- λαδὴ C in mg., quod μ in textum recepit. — 6. ὑποπολλ.] τε καὶ . . . καὶ . . . καὶ add. SH — καὶ ὑπο μερές G ὑπο- επιμερές CSH lambl. reliqua om. G1) [*](XVIII. Περὶ τοῦ πολλαπλασίου καὶ τῶν τούτου εἰδῶν Cμ — 9. 10. τοῦ μείζονος om. C — 10. προγενέ- στατον CSH — 11. καὶ ἔστιν addidi, cf. p. 47 lin. 5. 6. — ὁ P ὃς codd. ὅς . . ἔχει C — ἐπιδὰν G — 12. θεωρῆα////αι G1 θεωρεῖται P — 13. ἢ ἅπαξ. cf. lo. Phil. ρκθ. — 16. ἀπο- γεννῶσι CSH ἀπογυμνοῖ GmP — ἀκολουθείᾳ G — πρῶ- τον S — 17. λέγεται] τῆς μονάδος δηλονότι add S — γ] α G2 τρίτος G1m)

ὁ δὲ δ τετραπλάσιος, καὶ ἐπʼ ἄπειρον· τὸ γὰρ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἤτοι δὶς ἢ τρὶς σημαίνει ἢ ἐφεξῆς, μέχρις οὗ βούλει. ἀντιδιέσταλται δὲ τούτῳ τὸ ὑποπολλαπλάσιον καὶ αὐτὸ φύσει πρώτιστον [*](P) ὑπάρχον ἐν τῷ ἐλάττονι τῆς ἀνισότητος μέρει, καὶ ἔστιν ἀριθμὸς ὁ, ἐπειδὰν μείζονι συγκρίνηται, δυνάμενος μετρεῖν αὐτὸν πληρούντως πλεονάκις ἢ ἅπαξ, τὸ δὲ πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἀπὸ τοῦ δὶς ἄρχεται καὶ ἐπʼ ἄπειρον πρόεισιν. ἐὰν μὲν οὖν δὶς μόνον μετρῇ τὸν ἐν συγκρίσει μείζονα, ὑποδιπλάσιος λέγεται ἰδίως, ὥςπερ τὸ α τῶν β, ἐὰν δὲ τρίς, ὑποτριπλάσιος, ὥςπερ τῶν γ τὸ α, ἐὰν δὲ τετράκις, ὑποτετραπλάσιος, ὥςπερ τὸ αὐτὸ α τῶν δ, καὶ ἐφεξῆς οὕτως. γενικῶς δὲ ἀπείρου ὑπάρχοντος ἑκατέρου, τοῦ τε πολλαπλασίου καὶ τοῦ ὑποπολλαπλασίου, ἔτι καὶ αἱ καθʼ ὑποδιαίρεσιν διαφοραὶ καὶ τὰ εἴδη ἐπʼ ἄπειρον φύσει προιόντα θεωρεῖται· τὸ γὰρ διπλάσιον ἀρχόμενον ἀπὸ τοῦ β διὰ πάντων ἀρτίων πρόεισιν, ἕνα παῤ ἕνα λαμβανόντων ἡμῶν τοὺς ἀριθμοὺς ἀπὸ τοῦ φυσικοῦ χύματος· ἐν συγκρίσει δὲ οὗτοι διπλάσιοι λεχθήσονται πρὸς τοὺς ἀπὸ μονάδος ἑξῆς κειμένους ἀρτίους τε καὶ περισσούς. τριπλάσιοι δὲ πάντες εἰσὶν οἱ ἀπʼ ἀρχῆς δύο παραλειπομένων ἐκλεγόμενοι τρίτοι τῇ τάξει, οἷον [*](1. ὁ δὲ δ τετρ. om. H καὶ ὁ ε πενταπλάσιος add. PC — 2. σημαίνει] συμβαένει H — 3. μέχρ. οὗ] προχωρεῖν add. CSH — 6. ὁ P ὃς codd. ὃς . . δύναται C — μείζοσι P — 7. πληροῦντα G1m — 7. 8. τὸ δὲ . . . ἅπαξ om. mμ — 13. τοῦ γ τὸ αὐτὸ α CSH — 14. τοῦ δ GS — 17. τῇ φύσει CSH — θεωροῦνται CSH — 18. διὰ] ἐπὶ S — 19. παῤ ἕνα] τῶν ἀριθμῶν add. H — τοὺς ἀριθμοὺς om. P — 20. φυσικοῦ] φύσει P — 22. κειμένους] ἀριθμοὺς add. H — 23. πάντως G πάντες rel. Io. Phil. ρλγ.)

γ, Ϛ, θ, ιβ, ιε, ιη, κα, κδ,

οἷς συμβέβηκεν ἕνα παῤ ἕνα ἀρτίοις τε καὶ περισσοῖς εἶναι, καὶ αὐτοὶ δὲ ἐν τῷ ἀπὸ τῆς μονάδος ἀριθμῷ εὐτάκτῳ τῶν ἐφεξῆς πάντων τριπλάσιοί εἰσι προχωροῦντες, ἐφ᾿ ὅσον βούλεταί τις παρακολουθεῖν. τετραπλάσιοι δέ εἰσιν οἱ τριῶν παραλειπομένων πάντη τέταρτοι, οἷον

δ, η, ιβ, ιϚ, κ, κδ, κη, λβ

καὶ ἐφεξῆς, καὶ οὗτοι δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος εὐτάκτων τετραπλάσιοί εἰσι προιόντες, ἐφʼ ὅσον ἂν εὐτονῇ τις ἕπεσθαι· συμβέβηκε δὲ καὶ τούτοις πάντας εἶναι ἀρτίους· ἕνα γὰρ παῤ ἕνα μόνον παραλειπτέον ἐξ αὐτῶν τῶν ἄνωθεν διακεκριμένων ἀρτίων, ὥςτε ἀναγκαίως ὑπάρχειν τοῖς ἁπλῶς ἀρτίοις διπλασίοις μὲν ἅπασιν εἶναι, τετραπλασίοις δὲ ἕνα παῤ ἕνα καὶ ἑξαπλασίοις ἕνα παρὰ δύο καὶ ὀκταπλασίοις ἕνα παρὰ τρεῖς, καὶ ἐπʼ ἄπειρον οὕτως ἀνάλογον ἡ προκοπή. πενταπλάσιοι δὲ ὀφθήσονται οἱ τέσσαρας μὲν παραλείποντες, πέμπτοι δὲ τεταγμένοι ἀπʼ ἀλλήλων καὶ αὐτοὶ δὲ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑξῆς τεταγμένων ἀριθμῶν πενταπλάσιοι, καὶ εἷς παῤ ἕνα περισσὸς καὶ ἄρτιος κατὰ τὴν αὐτὴν τῶν τριπλασίων τάξιν.

[*](1. κδ] καὶ ἐφεξῆς add. H — 3. αὐτοὶ] οὗτοι CSH — 4. τῷ ἐφεξῇς P — εἰσι om. GmP — 5. βούλονται P — 5. 6. ἐφ᾿ ὅσον ἄν τις εὐτονῇ ἕπεσθαι SH — 9. καὶ ἐφε- ξῆς om. C — 10. εὐτοκῆ G — 11. τις om. G1 — 10. 11. εἰς ὅσον βούλεταί τις παρακολουθεῖν CSH — 11. 12. πᾶσιν . . . ἀρτίοις CSH — 12. μόνον om. CS — 14. ἀναγκαῖον SH — ὑπάρχειν om. SH — 15. εἶναι Ast add. — 15. 16. ὥςπερ καὶ ἑξαπλ. PSH ὥςπερ ἑξ. C — 16. ἑξαπλάσιοι G — ὀκταπλάσιοι GP — 17. ἀνάλογος H — 20. ἑξῆς τεταγμ.] ἐφεξῆς συνεχῶν C. — 23. τάξειν P)

[*](P)

ιθ. Ἐπιμόριος δέ ἐστιν ἀριθμός, τὸ τοῦ μείζονος δεύτερον τῇ φύσει εἶδος καὶ τῇ τάξει, ὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ τὸν συγκρινόμενον ὅλον καὶ μόριον αὐτοῦ ἕν τι. ἀλλʼ ἐὰν μὲν ἥμισυ τὸ μόριον, καλεῖται ἡμιόλιος εἰδικῶς ὁ τῶν συγκρινομένων μείζων, ὑφημιόλιος δὲ ὁ ἐλάσσων, ἐὰν δὲ τρίτον, ἐπίτριτός τε καὶ ὑπεπίτριτος, καὶ ἀεὶ οὕτως μέχρι παντὸς προχωροῦντι συμφωνήσει σοι, ὥςτε καὶ ταῦτα ἐπʼ ἄπειρον τὰ εἴδη πρόεισι καίτοι ἀπείρου τινὸς εἴδη ὄντα γένους· τὸ μὲν γὰρ πρώτιστον αὐτῶν τὸ ἡμιόλιον συμβαίνει τοὺς μὲν ὑπολόγους ἔχειν τοὺς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀρτίους, ἄλλον δὲ οὐδαμῶς οὐδένα, τοὺς δὲ προλόγους τοὺς ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς τριπλασίους, ἄλλον δὲ οὐδένα. συζευκτέον δὲ αὐτοὺς εὐτάκτως πρῶτον πρώτῳ, δεύτερον δευτέρῳ, τρίτον τρίτῳ,

τὸν γ τῷ β, τὸν Ϛ τῷ δ, τὸν θ τῷ ϛ,

τὸν ιβ τῷ η,

καὶ τοὺς ἀναλόγους τοῖς ὁμοταγέσιν. ἐὰν δὲ ἐπισκέψασθαι θέλωμεν τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ ἐπιμορίου, τουτέστι τὸ ἐπίτριτον (συνεχὲς γὰρ μέρος αὐτοῦ φυσικῶς μετὰ τὸ ἥμισυ ὑπάρχει τὸ τρίτον), ὅρον μὲν αὐτοῦ ἕξομεν τοῦτον· ἀριθμὸς ὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ [*](XIX. Io. Phil. ρλε —ρνϚ. — Iambl. p. 52 — 58. — Boëth. I. 20—22. — Schol. ΝΓ Nobb. p. 11—15.) [*](XIX. Περὶ [τοῦ m] ἐπιμορίου GmPC — 2. τάξει . . . φύσει CSH — 4. 5. τι ἓν αὐτοῦ CSH — 7. ὑπεπίτρι- τος] ἐὰν δὲ τέταρτον, ἐπιτέταρτός τε καὶ ὑπεπιτέταρτος add. CSH cf. Iambl. p. 56. — ἀεὶ om. CSH — 9. καίτοι mP, H in mg., Io. Phil. ρλε. ////το// G1 ἅτε G2CSH — 13. 14. τοὺς δὲ . . . οὐδένα bis habet G — 16. τρίτῳ] γ P οἷον add. CSH — 17. τὸν γ τῷ β] τὸν τρίτον τῷ δευτέρῳ G1 — 21. 22. αὐτοῦ ante φυσ. om. SH — 23. ὁ om. G) ὅλον τε τὸν συγκρινόμενων καὶ μέρος αὐτοῦ τρίτον πρὸς τῷ ὅλῳ. ὑποδείγματα δὲ αὐτοῦ εὔτακτα ληφθήσεται ἡμῖν οἱ ἀπὸ τετράδος συνεχεῖς τετραπλάσιοι συνεζευγμένοι τοῖς ἀπὸ τριάδος τριπλασίοις ὁμοταγεῖς ὁμοταγέσιν, οἷον

ὁ δ τῷ γ, ὁ η τῷ ϛ, ὁ ιβ τῷ θ,

καὶ κατὰ ταὐτὰ ἐφ ὁσονοῦν. δῆλον δέ, ὅτι ὁ ἀνθυπακούων τῷ ἐπιτρίτῳ, λεγόμενος δὲ σὺν τῇ ὑπὸ προθέσει ὑπεπίτριτος, ἐστὶν ὁ ἐμπεριεχόμενος ἐκείνῳ ὅλος τε καὶ προςέτι ἑαυτοῦ τρίτον, ὡς

ὁ μὲν γ τῷ δ, ὁ δὲ ϛ τῷ η, ὁ δὲ θ τῷ ιβ,

καὶ οἱ ἀκόλουθοι τῶν ὁμοταγῶν. παρατηρητέον δὲ τὸ παρεπόμενον πᾶσι τούτοις γλαφυρόν, ὅτι οἱ μὲν πρῶτοι καὶ πυθμένες λεγόμενοι ἐγγύς εἰσιν ἀλλήλων ἐν τῷ φυσικῷ χύματι, οἱ δὲ δεύτεροι ἀπὸ πυθμένος ἕνα μόνον ἀριθμὸν διαλείπουσιν, οἱ δὲ τρίτοι δύο, οἱ δὲ τέταρτοι τρεῖς καὶ οἱ πέμπτοι τέσσαρας καὶ ἀεὶ οὕτως, μέχρις οὗ βούλει. ἔτι γε P μὴν καί, ὅτι τὸ μόριον, οὗ παρώνυμος ἕκαστός ἐστι τῶν ἐπιμορίων, ἐν τοῖς ἥττοσι θεωρεῖται τῶν πυθμένων, ἐν δὲ τοῖς μείζοσιν οὐδαμῶς. ὅτι δὲ φυσικῶς καὶ οὐχ ἡμῶν θεμένων, ἀρχεγονώτερον τὸ [*](2. πρὸς τῷ ὅλω] hucusque cod. m — ληφθήσονται S, H in mg. — 4. συζευγνύμενοι S — τῆς ἀπὸ τρ. P — 6. θ] ὁ ιϚ τῷ ιβ add. CSH — 10. ὅλως G — αὐτοῦ SH — ὡς] οἷον C om. S — 15. 16. ἀπὸ πυθμ. om. S πυθμέ- νων P — 16. μόνον] μέσον SH om. ἀρ. — 18. οὕτως ἀεὶ προιόντι μέχρ. SH — 19. τὸ G2C om. reliqui. — 20. τῶν πυθμένων om C — G hocce adscribit sclema: ἡμιόλιοι γ Ϛ θ ιβ ιε ιη κα κδ κζ λ λγ λϚ λθ μβ με ὑφημιόλιοι β δ ϛ η ι ιβ ιδ ιϚ ιη κ κβ κδ κϚ κη λ ἐπίτριτοι δ η ιβ ιϚ κ κδ κη λε λϚ μ μδ μη νβ νϚ ξ ὑπεπίτριτοι γ Ϛ θ ιβ ιε ιη κα κδ κζ λ λγ λϚ λθ μβ με — 21. ὅτι] ἔτι P — 22. ἐκθεμένων SH) πολλαπλάσιον καὶ πρεσβύτερον τοῦ ἐπιμορίου, καὶ ἐν τοῖς ἑξῆς μὲν ποικιλώτερον εἰσόμεθα, ὅσον οὔπω· κἀνταῦθα δὲ πρὸς ἁπλῆν ἔμφασιν προχειριστέον κατʼ εὐτάκτους καὶ παραλλήλους στίχους τοὺς προφρασθέντας ἡμῖν πολλαπλασίους εἰδικῷς, πρῶτον διπλάσιον ἐν ἑνὶ στίχῳ, εἶτα ἐν δευτέρῳ τριπλάσιον, εἶτα τετραπλάσιον ἐν τρίτῳ καὶ μέχρι δεκαπλασίων, ἵνα καὶ τάξιν καὶ ποικιλίαν αὐτῶν καὶ πρόβασιν ἔντεχνον καὶ ὅ τι πρότερον φύσει κατίδωμεν καὶ δὴ καὶ ἕτερά τινα τερπνὰ καὶ γλαφυρὰ παροκολουθήματα. ἔστω δὲ τὸ διάγραμμα τοιοῦτον·

μῆκος

α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι

β δ Ϛ η ι ιβ ιδ ιϚ ιη κ

γ Ϛ θ ιβ ιε ιη κα κδ κζ λ

δ η ιβ ιϚ κ κδ ξη λβ λϚ μ

ε ι ιε κ κε λ λε μ με ν

Ϛ ιβ ιη κδ λ λϚ μβ μη νδ ξ

ζ ιδ κη λε μβ μθ νϚ ξγ ο

η ιϚ κδ λβ μ μη νϚ ξδ οβ π

θ ιη κζ λϚ με νδ ξγ οβ κα Ϟ

ι κ λ μ ν ξ ο π Ϟ ρ

ἐκκείσθω ἐν μὲν τῷ πρώτῳ στίχῳ ὁ ἀπὸ [*](2. ποικιλότερον P ποιητικώτερον G — 3. ἐγχειριστέον S — 5. προφρανθέντας G — 6. 7. διπλασίους . . . τριπλασί- ους . . . τετραπλασίους CSH — 9. τίνες πρότεροι CSH — 10> 11. καὶ δὴ . . . παρακολ. om. C — 13. μῆκος GP lon- gitudo Boëth. 24. πλάτος cet. cf. p. 52 1. 4. — 24. ἐκκείσθωσαν CSH — τῷ om. H — ὁ addidi, οἱ CSH)

μονάδος φυσικὸς ἀριθμός, εἶτα ἑξῆς οἱ κελευσθέντες τῶν τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν. οὐκοῦν τῶν μὲν πρώτων στίχων ἀρχομένων ἀπὸ μονάδος ἐπί τε πλάτος καὶ ἐπὶ βάθος γαμμοειδῶς οἱ δεύτεροι ἐφ᾿ μα ἑκάτερα καὶ αὐτοὶ γαμμοειδῶς ἀπὸ τετράδος ἀρχόμενοι [*](P) πολλαπλάσιοί εἰσι κατὰ τὸ πρῶτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου, διπλάσιοι γάρ, καὶ ὁ μὲν πρῶιος τοῦ πρώτου μονάδι διαφέρων, ὁ δὲ δεύτερος τοῦ δευτέρου δυάδι καὶ ὁ τρίτος τοῦ τρίτου τριάδι καὶ τετράδι οἱ συνεχεῖς καὶ πεντάδι οἱ μετʼ αὐτοὺς καὶ τοῦτο μέχρις ὅλου ἀκόλουθον εὑρήσπς· οἱ δὲ τρίτοι ἐφʼ ἑκάτερα ἀπὸ ἑνάδος κοινῆς ἀρχόμενοι τῶν ἐν τῷ αὐτῷ πρώτῳ στίχῳ κατὰ τὸ δεύτερον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου τριπλάσιοι ἔσονται συνεξεταζομένων αὐτοῖς καὶ τῶν εἰς τριάδα ἑκατέρωθεν χιασμῶν. συμπροκόψει δὲ καὶ ἡ διαφορὰ τούτοις κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων φύσιν, τῷ μὲν πρώτῳ δυὰς οὖσα, τῷ δὲ ἐφεξῆς τετράς, τῷ δὲ τρίτῳ ἑξάς, ἣν καὶ διαφορὰν αὐτομάτως ἡμῖν ἡ φύσις ἐμεσεμβόλησε μεταξύ τούτων τῶν ἐξεταζομένων, ὡς ἐν τῷ διαγράμματι φαίνεται. ὁ δὲ τέταρτος στίχος, οὗ κοινὴ μὲν ἀρχὴ ἐφʼ ἑκάτερα ὁ ιϚ, οἱ δὲ χιασμοὶ περαιοῦνται εἰς τὰς τετράδας, τὸ τρίτον εἶδος τοῦ πολλαπλασίου δεικύντες, τουτέστι τὸ τετραπλάσιον, πρὸς τὸν αὐτὸν [*](1. φυσικοὶ PH -ῶς CS — ἀριθμοὶ PCH om. S — καλεσθέντες H — 3. πρωτίστων H — 4. πλάτος] μῆκος H 10. Phil. ρμ. — γ//αμμοειδῶς bis G (erasum uidetur ρ) — 5. ἑκατέρου G -ον — τετράδ G1 -ος G2 in ras. — 6. τὸ om GP — 8. τοῦ ter om — 9. διάδι G — 11. ὅλου P om. G τέλους CSH — 12. ἑνάδος GP ἐνάδος SH ἐννεά- δος C — 13. αὐτῷ om. P — 15 καὶ τῶν] διὰ τῶν S — 17. τῶν μὲν πρώτων — δίας P — 19. τούτων om. SH — 20. ἀντεξεταζομένων SH — 22. περατοῦνται — 23. δείκνυσι C) ἐξεταζόμενοι πρώτιστον στίχον ὁμοταγῶς, πρώτου μὲν ἀριθμοῦ πρὸς πρῶτον, δευτέρου δὲ πρὸς δεύτερον καὶ τρίτου πρὸς τρίτον καὶ ἐφεξῆς· πάλιν δὲ αἱ τούτων διαφοραὶ τριάς, ἑξάς, εἶτα ἐνάς, εἶτα δωδεκὰς καὶ αἱ κατὰ τριάδος προκοπὴν ποσότητες· καὶ αὗται ἐν τῷ τοῦ διαγράμματος ὕφει πεφώρανται τάξει ἐκκείμεναι ὑπὲρ αὐτούς τοὺς τετραπλασίους καὶ ἐπὶ τῶν ἀκολούθων τοῦ πολλαπλασίου εἰδῶν τὸ ἀνάλογον μέχρι παντὸς προχωρεῖ. πρὸς δὲ τὸν ἐφʼ ἑκάτερα δεύτερον στίχον ἀπὸ κοινῆς ἀρχῆς τοῦ δ ἀρχόμενον, ὑπερεκπίπτοντα δὲ κατὰ χιασμὸν εἰς ἰδίαν ἑκατέρων δυάδα, οἱ ὑποβεβηκότες τάξει στίχοι τοῦ ἐπιμορίου τὸ πρώτιστον εἶδος παρεμφαίνουσι, τουτέστι τὸ ἡμιόλιον, ὁμοταγεῖς πρὸς ὁμοταγεῖς· οὕτω φύσει θείᾳ καὶ οὐ νόμῳ ἡμετέρῳ οὐδὲ συνθήματι μεταγενέστεροι τῶν πολλαπλασίων οἱ ἐπιμόριοι, οἷον

ὁ μὲν γ τοῦ β, ὁ δὲ ϛ τοῦ δ, ὁ θ τοῦ ϛ,

ὁ ιβ τοῦ η, ὁ ιε τοῦ ι,

καὶ μέχρι παντός· διαφορὰν δὲ καὶ οὗτοι ἔχουσι τοὺς ἀπὸ μονάδος ἐφεξῆς ἀριθμούς, ὡς οἱ πρὸ αὐτῶν.

[*](P)

Ἐπίτριτοι δέ, τὸ τοῦ ἐπιμορίου δεύτερον εἶδος, ἴσῃ τινὶ καὶ ὁμοίᾳ προκοπῇ προχωροῦσιν ἀπὸ [*](1. ἐξεταζόμενον G — ὁμοτάσεως — 1–3. πρῶτον μὲν ἀριθμοῦ . . . δεύτερον δὲ . . . καὶ τρίτον G — 3. 4. αἱ τούτων διαφ.] αἱ διαφοραὶ τῶν ἐξεταζομένων — 4. ἑνάς GP ἐννάς H — 5. τριάδα — 9. προχωρήσει PSH — 10. κοινῆς] μὲν add. G2 ἀπὸ μὲν κ. PSH — 12. ἑκατέ- ρο//////ν δυάδ/// G1 ἑκατέρου τὴν δυάδα corr. G2 ἑκατέρω- θεν CH (H in mrg. ἑκατέρου) — 16. πολυπλ. S — οἷον om. S — 17. 18. δὲ quater CSH — 19. διαφορὰς H) [*](XIX, 15. Περὶ τοῦ ἐπιτρίτου G — 22 μορίου G1, ἐπι add. G2 —)

τοῦ δ πρὸς τὸν γ καὶ η πρὸς ϛ

καὶ ιβ πρὸς θ καὶ ιϛ πρὸς ιβ,

καὶ ἀκολούθως ἴσην καὶ τὴν τῶν διαφορῶν αὔξησιν λαμβάνοντες. καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν σχέσεων πολλαπλασίου τε καὶ ἐπιμορίου σύμφωνα τὰ ἀποτελέσματα καὶ οὐδαμῶς ἐναντιούμενα προβαίνων ἐπʼ ἄπειρον ὄψει. κἀκεῖνο δὲ οὐκ ἐλάττονος ἀκριβείας τέτευχεν ἐν τῷ διαγράμματι· ἐπιγώνιοι μὲν γὰρ αὐτῶν εἰσι μονάδες, ἡ μὲν κατʼ ἀρχὴν ἁπλῆ, ἡ δὲ ἐπὶ τέλει τριοδουμένη, δευτεροδούμεναι δὲ ἐν διφορήσει αἱ δύο λοιπαί, ὥςτε ἀποτελεῖν τὸ ύπό ἶσον τῷ ἀπό. ἀλλὰ καὶ ἑκατέρωθεν ἴση πρόβασις ἀπὸ μονάδος εἰς τὰς δεκάδας καὶ πάλιν ἀντιθέτως ἑκάτεραι αἱ ἀπὸ δεκάδος προχωρήσεις εἰς ἑκατοντάδα. καὶ οἱ μὲν διαγώνιοι οἱ ἀπὸ μονάδος εἰς ἑκατοντάδα τετράγωνοι πάντως ἀριθμοὶ ἰσάκις ἶσοι μηκυνθέντες, οἱ δὲ ἑκατέρωθεν παρασπίζοντες αὐτοὺς ἑτερομήκεις πάντως ἄνισοι καὶ μονάδι μείζοσιν ἀλλήλων πλευραῖς μηκυνθέντες· ὥςτε ἐξ ἅπαξ δύο ἐφεξῆς τετραγώνων καὶ δὶς τοῦ ἀνὰ μέσον αὐτῶν ἑτερομήκους τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσθαι καὶ ἀνάπαλιν ἐξ ἅπαξ δύο παρακειμένων ἑτερομηκῶν καὶ δὶς τοῦ ἀνὰ μέσον αὐτῶν τετραγώνου τετράγωνον πάντως ἀποτελεῖσθαι.

[*](1. 2. articulum omnibus numeris add. — 1. δ] τε- τάρτου P — 3. ἴσην] τοῖς πρὸ αὐτῶν add. (G2SH — 4. λοι- πῶν] δὲ add. G2SH — 7. 8. τέτευχεν . . . διαγρ. om. C — 10. τριωδουμένη . . . δευτερωδ. G1PH — διαφορήσει PC cf. lo. Phil. ρμθ, ubi bis legendum διφορήσει. — 13. ἀντι- θετέρου, G1 — ἑκάτεραι on. P del. G2 ἑκατέρωσε C -ωθεν SH — ἐκ δεκάδων G2 — 15 πάντες G2CS — 16. ἀριθ- μοί] εἰσιν ad — ἶσοι] ἴσως PS — 17. ἀνίσοις G2CS — 18. μονάδ/// G1 -σι G2 — μείζονες SH — 19. ἐξ om. P — 21—23 καὶ ἀνάπαλιν . . . ἀποτελεἔσθαι om. H — 23. πάντως om. C)

Καὶ ἕτερα πολλὰ τοιαῦτα φιλοτιμούμενος εὕροι τις ἂν τερπνὰ ἐμφαινόμενα τῷδε τῷ διαγράμματι, περὶ ὧν οὐ καιρὸς νῦν μηκύνειν· οὔπώ γὰρ τὴν ἐπίγνωσιν αὐτῶν ἐκ τῆς εἰςαγωγῆς εἰλήφαμεν, ὥςτε ἐπὶ τὰ ἑξῆς τρεπτέον· μετὰ γὰρ τὰς δύο ταύτας γενικὰς σχέσεις πολλαπλασίου καὶ ἐπιμορίου καὶ τὰς ἀντιθέτους αὐταῖς σὺν τῇ ὑπο προθέσει ἐκφερομένας ἄλλας δύο ὑποπολλαπλάσιόν τε καὶ ὑπεπιμόριον εἰσὶν ἐν μὲν τῷ μείζονι τοῦ ἀνίσου μέρει ἡ ἐπιμερής, ἐν δὲ τῷ ἐλάττονι ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ὑπεπιμερής.

[*](P)

κ. Ἔστι δὲ ἐπιμερὴς μὲν σχέσις, ὅταν ἀριθμὸς τὸν συγκρινόμενον ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ ὅλον καὶ προςέτι μέρη αὐτοῦ πλείονα ἑνός· τὸ δὲ πλείονα ἑνὸς ἄρχεται πάλιν ἀπὸ τοῦ β καὶ πρόεισιν ἐπὶ πάντας τοὺς ἐφεξῆς ἀριθμούς· ὥςτε τοῦ ἐπιμεροῦς πυθμήν ἐστιν εἰκότως ὁ πρὸς τῷ ὅλῳ δύο μέρη τοῦ ἀντισυγκρινομένου ἔχων καὶ κληθήσεται ἐπιδιμερὴς εἰδικῶς, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τρία πρὸς τῷ ὅλῳ ἔχων κληθήσεται ἐπιτριμερὴς εἰδικῶς, καὶ μετὰ τοῦτον ἐπιτετραμερής, εἶτα ἐπιπενταμερής, καὶ οὕτως ἀεί. τὰ δέ μέρη ῥίζαν ἔχει καὶ ἀρχὴν ἀπὸ τοῦ τρίτου· [*](XX. Io. Phil. ρνζ, ονη. — Iambl. p. 58. 59. — Boëth. I. 23.) [*](1. πολλὰ] τινὰ S — 2. ἐπιφαινόμενα H — 3. νῦν om. S — 6. πολλαπλάσιον καὶ ἐπιμόριον PS, H in mrg. — καὶ τὰς] καὶ ἔτι μετὰ τὰς SH — 8. ἀλλήλας C — 9. μέρ G1 ει G2) [*](XX. Περὶ ἐπιμ εροῦς ΡϹΓ — 12 ἀριθμὸν G1 — 13. ἐφ᾿ ἑαυτὸν S — 14. τὸ] τά P lo. Phil. ρνζ — πλείονα] τοῦ add. G2 — 15. προίησιν S — 18. ἐπιμερὴς P — 19. 20. ὁ τρία . . . τοῦτον om. G1 — 20. ἰδικῶς G2 om. H — 21. ἐπιπενταμ. om. G1 — 22. ἕξει CH)

ἀδύνατον γὰρ ἐνθάδε ἀπὸ τοῦ ἥμισυ ἅρχεσθαι· ἂν γὰρ καί τινα ὑποθώμεθα β ἡμίση ἔχειν τοῦ ἀντιθέτου πρὸς τῷ ὅλῳ, λήσομεν ἑαυτοὺς πολλαπλάσιον ἀντὶ ἐπιμεροῦς τιθέντες· ἕκαστον γὰρ ὅλον καὶ β ἡμίση αὐτοῦ συντιθέμενα διπλάσιον γίνεται τοῦ ἐξ ἀρχῆς· ὥςτε ἀναγκαιότατον ἀπὸ β τρίτων ἄρχεσθαι, εἶτα β πέμπτων, εἶτα β ἑβδόμων, καὶ ἐπὶ τούτοις β ἐνάτων κατὰ τὴν τῶν περισσῶν πρόβασιν· τὰ γὰρ β τέταρτα λόγου χάριν πάλιν ἥμισύ ἐστι καὶ τὰ β ἔκτα τρίτον καὶ οὕτω πάλιν ἐπιμόριοι ἀντὶ ἐπιμερῶν γενήσονται, ὅπερ οὐ πρόκειται οὕτε ἡμῖν οὔτε τῇ τῆς τεχνολογίας καταλληλίᾳ. μετὰ δὲ τὸν ἐπιμερῆ εὐθύς συνυφίσταται ὁ ὑπεπιμερής, ὅταν ἀριθμὸς ἐν τῷ συγκρινομένῳ ὅλος ἔχηται αὐτός τε καὶ προςέτι πλείονα αὐτοῦ μέρη ἢ β ἢ γ ἢ δ ἢ ε καὶ ἐφεξῆς.