Scholia in Euclidis Data

Scholia in Euclidem

Scholia in Euclidis Data, Menge, Teubner, 1896

139. Ἀντιστρόφιον δύο πρὸ αὐτοῦ θεωρήμασιν.

140. Ἀντιστρόφιον τοῖς δύο ὁμοῦ τῷ τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ καὶ τῷ ξθ΄ θεωρήματι.

141. P.132,4] ἐπʼεὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠Β τῇ ΒΜ. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΝ τῇ ∠Μ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΒΓΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΑΓ, αἱ ὑπὸ ΜΒΓ, ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ, ΒΓΝ ταῖς ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν. ὀρθαὶ δὲ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, BΓΝ· ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ. ἐὰν [*](138. PlVat. vMon. σρλ. 139. Vat. Mon. σ (m. 2) S. 140. Vat. Mon. (ad prop. LXXIII). 141. PlVat. vMon. σρλ.) [*](1. Β∠Α] Η∠Α P. λοιπή] λόγος P, om. lλ. 3. ΑΚ∠] ΑΒ∠ P. 4. Ante καθόλου add. σχόλιον. Mon. 7. δοθή- σονται] om. Mon. σ 9. θεωρήμασιν] θεωρήματα codd. 10. Ante ἀντιστρόφιον 4 litt. dubias habet Mon. τε] om. Mon.) [*](11. ξθ΄] ἑξηκόστῳ ∠ Mon 12. καί] ὡς Vat v. τῇ] om. codd. 13. ἐστιν] om. Mon ΑΝ] ΑΒ Pl, ΑΒ m. 1 del. et supra scr. ΑΝ Vat. ∠Μ] ΑΝ Pl, ΑΝ m. 1 del. et supra scr ∠Μ Vat. 14. ∠ΒΓ] ΑΒΓ l. 15. ἡ] ημ Pl. 16. ΑΓΒ (pr.)] om. Pl. αἱ] ἠ ρ. 17. ΓΒΜ] ΓΒΝ P. ΜΒ postea mut. in ΓΒΜ m. 1 Vat., ΓΒΛ Mon. αἱ] δύο αἱ Vat. Mon. 18 ΑΓΒ] ΑΓΝ l. ΒΓΝ] om. l.)

299

δὲ πρός τινι εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ καὶ τὰ ἑξῆς, ὡς ἐν τῷ α΄ τῶν στοιχείων (I, 14).

142. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 132, 6] ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιον κεῖται τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ν, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ν ἄρα τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

143. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα p. 132, 20] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ δοθεῖσα.

144. Καθόλου γὰρ πάλιν, ἐὰν δύο τετραγώνων δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνια ἔσται τὰ παραλληλό- γραμμα.

145. Λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς p. 134, 6] μᾶλλον ἀληθῶς διὰ τοῦτο· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ Ζ καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ λόγον ἔχουσι δεδομένον, διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ ο΄ θεωρήματος λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς ΖΘ δοθείς.

[*](142. PlVat. vMon. σρλS. 143. PlVat. vσS; ante ἴση hab. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΚΓΒ δοθεῖσα lvσS; u. uerba Euclidis.)[*](144. PVat. vMon. σS. 145. Plvλ.)[*](1. πρός (pr.)] καί Mon. ρ. καί (pr.)] πρός ρ. πρός (alt.)] καί ρ. αὐτῇ] τῷ αὐτῇ ρ. 2. ὡς — στοιχείων] om. Mon.)[*](4. κεῖται] om. Mon. τό — τῷ] τῷ — τό Vat. Mon. ρ. ΑΒ] Α∠ Vat., sed ∠ m. 1 mut. in B. 5. τῇ (pr.)] om. Pl. τῷ (utrumque)] τὸ Pl. Ζ — Ν] Η ἐστιν ἴση ἡ τῷ Ζ Mon.)[*](Post Ν add. ἐστιν ἴση m. 1 Vat. et sic ρ. 6. ἡ (pr.)] om. Mon. ἡ (alt.)] ἡ ἄλλη Mon. πρός (pr.)] ἐν ρ. τῷ (utrumque) τό l. τῷ (alt.)] om. Vat., τῷ ὑπό Mon. 7. ἴση] ἐστιν ἴση Vat. v Mon., ὡς ρ. καί] δὴ καί v. λοιπαί] ἄλλαι Vat., ἄλλαι ΑΓΒ Mon. 9. ἡ — δοθεῖσα] τῇ — δοθείσῃ vσS.)[*](10.τετραγώνων] παραλληλογράμμων? 11. ἔσται] comp. P, ἄρα Mon. τά] om. Vat. Mon.σ.)

300

146. Αἱ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι p. 136, 9] κατὰ κοινοῦ τὸ ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσιν.

147. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 140, 4] ὅτι δέ, ἐὰν παραλληλογράμμου δύο πλευραὶ ἐκβληθῶσι, καὶ συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον, ἰσογώνια ἔσονται τὰ παραλληλόγραμμα. ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΓ, ∠Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν τὰ ΑΒ, ΓΘ παραλληλόγραμμα. ἐπεὶ γὰρ παράλληλοί εἰσιν αἱ Α∠, ΓΒ, ΚΘ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΑ∠, ὥστε ἰσο- γώνιά εἰσιν.

148. Πρὸς ἣν ἡ ΑΓ p. 140, 8] ἡ ΑΓ λόγου χάριν πρὸς τὴν ∠ ἢ πρὸς οἷον δή ποτέ τινα λόγον ἐχέτω δεδο- μένον. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι β πρὸς τὴν ΓΚ.

149. P. 140, 8—9] πόθεν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὺς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον; δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, [*](146. PlMon. S; textui post αὐτάς p. 136, 9 interpos. b: διὰ τὸ ἐκ κοινοῦ λόγον ἔχουσι δεδομένον. 147. Plv. 148. PVat. zρc. 15. ἡ ΑΓ — 16. δεδομένον bis z, ἡ ΑΓ — δεδο- μένον post δεδομένον p. 140, 8 textui interpos. Mon. 17. ὡς — 18. ΓΚ ibidem textui interpos. b. ὡς — ΓΚ om. c. 149. PV at. v Mon. σρ.) [*](11. γάρ] γωνίαι ἴσαι Pv. 12. ΚΘ] ΒΘ P. 15. λόγου] λόγ ?? λόγου P. 18. ἣν ἡ] τήν b. τουτέστι — ΓΚ] om. z.) [*](20. δείξωμεν P. 21. τῷ] τό P. ὡς] καί punctis del. et mg. ὡς ρ. ΖΗ] ΖΒ Vat. v Mon. ρ.)

301

ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ πρὸς ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον. μὴ γάρ, ἀλλʼ, εἰ δύνατον, ἡ ΑΓ πρὸς ἄλλην τινὰ τὴν ∠ λόγον ἐχέτω δεδομένον. καὶ ἐπεὶ ὑπόκειται ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ἡ ΖΕ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ∠· ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, ἡ ΖΕ πρὸς ΓΚ· ἴση ἄρα ἡ ∠ τῃ ΓΚ. ἔχει δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον δεδομένον· καὶ πρὸς τὴν ΓΚ ἄρα ἴσην αὐτῇ οὖσαν λόγον ἔχει δεδομένον.

150. Ἐπεὶ συνήχθη ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, οἷον πρὸς τὴν ∠, πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ∠. ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε ἡ ΑΓ καὶ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον.

151. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ p. 140, 22] δεικτέον δὲ οὕτως. ἐπεὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δο- θέντα, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δοθέντα. καὶ ἁρ- μόσει ἡ προτέρα κατασκευή· καὶ τὸ ἑξῆς δὲ οὕτως δεικτέον.

[*](150. PIVat. Mon. ρλ. 151. PIVat. v Mon. σρλ.)[*](1. ἡ (pr.)] οὕτως ἡ Mon ρ. 3. ∠] Α codd. 4. πρός (pr.)] om. codd. 8. πρός (alt.) ὡς ρ. 9. αὐτῇ] αὐτῷ Pρ, αυ Vat., αὐτοῦ Mon. ἔχει] ἕξει Vat. Mon. σ. 10. ἐπεί] om. l. ΓΚ] τὴν ΓΚ ρ. 12 ἅ] om. Pl. λόγον ἔχει ρ. 13. ∠] Ε∠ Mon.)[*](18. ΕΖ] ΑΖ ρ. ΑΓ] ΑΒ R, ΓΒ Vat. Mon. σρ. 19. ἔσπαι] ἄρα Mon., δῆλον ρ. 20. δοθέντα] δεδομένον l. ἁρμόζει ρ.)[*](21. κατασκευή] om. ρ lacuna relicta. καί] ὡς ρ.)

302

152. Λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου p. 142, 1–2] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΓΜ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχουσιν, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς πρὸς τὴν ΛΓ, διὰ τὸ νῦν ἄρα δειχθὲν τοῦ ογ΄ τὸ πρῶτον λόγος τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.

153. Μὴ ἀντιστρέψῃς· οὐ γὰρ ἀληθές.

154. Ἀντιστρόφιον τῷ πρὸ αὐτοῦ.

155. Τὸ οδ΄ θεώρημα καθολικώτερον τοῦ νς΄.

156. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ p. 144, 14] διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄.

157. Ὅτι δέ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον, ἀντὶ τοῦ πρὸς τὴν ἴσην ἑαυτῇ, δείξομεν οὕτως. παρα- βεβλήσθω γὰρ ὁμοίως τῷ ἐπάνω παρὰ τὴν ΓΒ τῷ ΕΗ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΞ καὶ κείσθω, ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΝ τῇ ΛΓ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῃ ΒΞ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὑπόκειται γάρ· ἀλλὰ τὸ μὲν [*](152. PIVat. v Mon. σρ. 153. PIV at. v Mon. σρλ. 154. Vat. Mon. 155. Vat. Mon. S; coniunct. cum nr. 154 et om. τὸ οδ΄ θεώρημα ρ. 156. PlVat. 157. PIVat. v Mon σρλ (σχόλιον εἰς τὸ οδ΄ θεώρημα ρ).) [*](2. τῶν] τὸ Pl. 4. ὡς] ἴσην ρ. 5. ΑΓ] Vat. Mon ρ.) [*](ΛΓ] ΑΓ codd. 6. ογ΄] θβ Vat. Mon. 12. νῦν — 13. οδ΄] προδειχθὲν ἐνταῦθα Vat. 14. ὅτι] τό lλ. 16. δείξω- μεν Pl. παραβεβλήσθω] περι- ρ. 17. παρά] περί ρ. 19. ΛΓ] ΛΝ ρ. 20. ΒΞ] ΕΞ Vat. Mon., ΕΖ ρ. 21. ΕΗ] ΘΗ Pv.)

303

ΑΒ τῷ ΓΜ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ ΕΗ τῷ ΓΞ, καὶ τοῦ ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΞ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΛ πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς· τῆς δὲ ΓΑ πρὸς ΓΛ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ δεδόσθαι τὸ ΑΓΛ τρίγωνον· καὶ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς ΓΝ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΞ τῷ ΕΗ, ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΓΝ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΛΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι πρὸς τὴν ΑΓ, διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΓ, ΓΝ· ἴση ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΓΝ.

158. Τῆς δὲ ΑΒ p. 148, 4] δέδοται γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

159. Καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα p. 148, 22] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΒΗ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. πάλιν ἐπεὶ τοῦ ΒΗ πρὸς τὸ ΔΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ [*](158. P. 159. Plv; textui post πρὸς τὸ ΒΗ δοθείς p. 148, 18 interpos. λ (in mg. οἶμαι τοῦτο σχόλιον εἶναι· εἰς τὸ μέτωπον γὰρ ἔκειτο).) [*](4. διδόσθαι PIv. τό (alt.)] om. Pl Vat. Mon. ρ. 6. τό] τῆς Mon. 7. ὡς] καί ρ. ΓΝ — 8. πρός (alt.)] om. lρλ.) [*](7. ΓΝ] ΓΜ v. 9. ΛΓ] lλ. τουτέστι] ἔστιν Mon. lacuna relicta. τήν] corr. ex ἥν ρ. Ante ΑΓ hab. ἡ ΛΓ del. m. 1 ρ. 10. ὡς] καί ρ. 11. ΖΗ] Η om. Mon.)

304

τοῦ ΕΘ πρὸς τὸ ∠ΕΖ λόγος δοθείς, καὶ τοῦ ΒΗ ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς.

160. Καὶ δῆλον, ὅτι καί, ἐὰν μὴ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον ἀναγράψωμεν, ἀλλὰ ἀπὸ ἄλλης τινός, οἷον τῆς ΖΞ, καὶ πρὸς ἐκείνην, οἷον τὴν ΖΞ, λόγον ἔχει δεδομένον ἡ ΒΓ.

161. P. 150, 18–20] ἴσον δὲ τὸ ΖΗ τῳ ΕΚ· λόγος ἄρα τοῦ Γ∠ πρὸς τὸ ΕΚ δοθείς, ὥστε διὰ τοῦτο καὶ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ ἀντιστρόφιον τοῦ α΄ τοῦ ϛ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

162. P.152,5–6] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ δοθεὶς τῆς ΕΘ πρὸς ΖΛ, ἀλλὰ τῆς ΕΘ πρὸς ΓΕ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΛ λόγος δοθείς. ἴση δέ ἐστιν ἡ ΖΛ τῇ ΒΖ· τετράγωνον γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΖΒ λόγος δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΖΒ πρὸς ΕΔ λόγος δοθείς· ὑπόκειται γάρ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς Ε∠ λόγος δοθείς. καί ἐστιν ἴση ἡ Ε∠ τῇ ΓΜ· ἀπεναντίον γάρ· καὶ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς ΓΕ λόγος δοθείς. ὁμοίως δὴ καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραί. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ· ὥστε καὶ ἡ λοιπὴ εἰς β ὀρθὰς ἡ Γ, καὶ αἱ ἀπεναντίον· δέδοται ἄρα τῷ εἴδει τὸ Γ∠.

[*](160. PI Vat. v σρλ. 161. PI Vat. v Mon. σρ. 162. PI Vat. v σρλ.)[*](3. Ante καί add. σχόλιον. Vat. ρ. 5. ἔχει] ἔχῃ ρ. 6. ἡ ΒΓ] om. Vat. σ, ἡ ΘΓ v. 11. βιβλίου] om. ρ. Εὐκλείδου] om. Vat., τῶν στοιχείων Mon. σρ. 12. ΕΘ] ΕΓ Vat. σρ. 14. δοθείς] ἐστὶ δοθείς Vat. v ρ; item lin. 16 (utr.), 17, 19. τῇ] τῆς lλ. 15. γάρ] om. λ. 17. ὑπόκειται — δοθείς] om. lλ.)[*](20. γάρ] om. ρ. 22. τό] τῷ Plλ.)

305

163. Τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ἀληθέστατον, καὶ ἐχρήσατο αὐτῷ κατιών.

164. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 154, 8] ὅτι καθόλου ἐπὶ ὁμοίου τριγώνου τοῦτο συμβαίνει. ἔστω τρίγωνον τὸ ΒΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ Β∠, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΒ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΜ, καὶ διʼ ἴσου ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΘΕ, ἡ ∠Β πρὸς ΒΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ∠Ε, ἡ ΘΕ πρὸς ΜΒ.

165. Οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς ΜΛ [p. 154, 8]. ἰσογώνια γὰρ τὰ τρίγωνα, καὶ ὁμόλογοι αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας πλευραί. ὁμόλογος δέ ἐστιν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΘΗ· ἴσας γὰρ γωνίας ὑποτείνουσι τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΘΛΗ· ἡ δὲ Β∠ ἴση τῇ ΛΜ· ὁμόλογοι γὰρ καὶ αὗται ἴσας γωνίας ὑποτείνουσιν.

166. Ὅπως ἡ ΖΚ τῇ ΛΜ ἐστιν ἴση; ἐπεὶ ὑπό- κειται ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Β∠, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ, [*](163. Vat. Mon. ρ cS. 164. Pl Vat. v σρλ; fig. om. Plvλ. 165. PI Vat. v σρλ. 166. PVat. v Mon. σρ c.) [*](2. τούτου] τοῦτο S. ἀληθέστατον] ἀληθεύσεται Mon., ἀληθεύεται ρ. 6. καί] ὡς ρ. 13. ΒΜ] ΒΑ lλ, ΒΗ ρ.) [*](14. ΒΜ] ΒΗ ρ. 16. ΗΘ] ΘΗ v ρ, ΘΜ σ. 17. τάς] om. ρ. 19. ὑποτείνουσι] ὑποτείνει codd. ἡ – 20. ΛΜ] fal- sum. 20. ἴση] τῇ ἔσῃ v σ.)

306

ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ∠Β, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς ΜΛ, οὕτως αὐτὴ ἡ ΘΗ πρὸς ΖΚ. τὰ δὲ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον ἴσα ἀλλή- λοις ἐστίν· ἴση ἄρα ἡ ΛΜ τῇ ΚΖ.

167. Δέδοται ἄρα τὸ Α∠Β p. 156, 7] ἐπεὶ τρι- γώνου τοῦ ΑΒ∠ αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ ὑπὸ Α∠Β ὀρθή ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ οὖσα ἡ ὑπὸ Α∠Β δέδοται, καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΒ, ΑΒ∠ μιᾷ ὀρθῇ οὖσαι ἴσαι δέδονται, ὧν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ δέδοται, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ δέδοται. ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον ἀφαιρεθῇ, καὶ τὸ ὑπολειπόμενον δέδοται.

168. Πῶς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου; ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠ΑΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ ΑΕ παράλληλοι ἡ ∠Β, ΖΓ· τὸ ∠Γ ἄρα παραλληλόγραμμον περιέχεται ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· ἴση δὲ ἡ Β∠ τῇ ΑΕ· τὸ ἄρα ∠Γ ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ περιεχόμενον ὀρθογώνιον καί ἐστι διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐὰν γὰρ παραλληλό- [*](167. PI Vat. v σρλ; in δέδοται lin. 12 des. Vat. σρ. 168. PI Vat. σρλ.) [*](1. ἡ (pr.)] om. Mon. ΘΗ] ΘΝ Mon. c, item lin. 2 utr.) [*](3. αὐτό] αὐτῷ Mon. Post αὐτό in ρ τόπον punctis del. ἀλλήλοις] -ων ρ. 4. ἴση] ἴση ἐστίν ρ. 6. ἐπεί] ἐπεὶ γάρ Vat. σ. τριγώνου τοῦ ΑΒ∠] τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου Vat. σ.) [*](7. ΑΒ∠] Α∠ lλ. 9. μιᾷ ὀρθῇ] μιᾶς ὀρθῆς codd. 11. μιᾷ] ἄνα Plv. ἴσαι οὖσαι Vat. ρ. 12. λοιπὴ ἄρα ἡ] λο⌜ ἡ l.) [*](17. ΖΓ] ΖΗ ρ. 21. ἐάν — p. 307, 3. τριγώνου] τὸ ∠Γ παραλληλόγραμμον (comp.) Vat. σρ.)

307

γραμμον τριγώνῳ βάσιν ἔχῃ τὴν αὐτὴν καὶ ᾖ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις, διπλάσιον ἔσται τὸ παραλληλόγραμ- μον τοῦ τριγώνου· διπλάσιον ἄρα τὸ ΑΓ παραλληλό- γραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τρι- γώνου· τὸ δὲ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠.

169. Καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ p. 156, 6] ὡς γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ, τουτ- έστι τὸ ΓΟ πρὸς τὸ ΓΡ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΑΕ· δέδοται δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ· οὕτως γὰρ ἐδείχθη πρὸ μικροῦ· δέδοται ἄρα καὶ ὁ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος.

170. Καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ p. 156, 19] διὰ τὸ λγ΄ τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

171. Πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς [p. 158, 4]. ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Γ, Β τῇ ΕΑ παραλλήλους ἀγάγωμεν, ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον διὰ τὸ ἴσας γίνεσθαι τὰς γωνίας ἑκάστην τῇ ὑπὸ ΑΕΓ· δοθήσεται ἄρα τὸ παραλληλόγραμμον, καὶ ἔσται λόγος τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΜ δοθείς, τουτ- έστι πρὸς τὴν ΕΑ· ἴση γὰρ ἡ ΓΜ τῇ ΕΑ.

[*](169 PI Vat. v σρλ. 170. Plλ. 171. PI Vat. v σρλ.)[*](2. ἔσται] ἀπὸ lλ. 4. ὁμοίως] οὕτως ρ. 6. τά — 7. Β∠] om. Vat. σρ. 6 τοῦ — ἴσα] τῷ αὐτῷ ἴσα καί λ. τό (alt.)] om. lλ. 11. δέ] ἄρα δέ ρ. 16. τήν — δοθεῖσαν] τό — δοθέν Plλ. 17. τῶν] τήν l, τοῦ σρ. παραλλήλους] -ον v. ἀγάγωμεν] ἄγωμεν σ. ὁμοίως] ὁμοῦ ρ. 18. ἔσται] comp. PVat., α l. 19. ὀρθογώνιον] ὀρθὴν (comp.) γωνίαν ρ.)[*](τό] τοῦ ρ. ἴσας] ἴσας γωνίας ρ. γωνίας] om. ρ. ἑκάστην τῇ] ἑκάστης Plv, ἑκάστης τήν Vat., ἑ. τῆς σ, ἑκατέρας τὴν τῆς ρ.)[*](20. δοθείσεται Vat. ρ, corr. ει in η. 21. τουτέστιν — 22. ΕΑ] om. v. 22. ΕΑ] ΕΗ Vat. (supra scr. m. 1 alio atra- mento Α) ρ. ἴση γάρ] ἰσογώνια comp. Pl.)

308

172. Ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ παράλληλος τῇ ΖΗ ἀγο- μένη ἐφάπτεται τῆς περιφερείας, δῆλον· καὶ γάρ, ἐὰν περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τμῆμα περιγράψωμεν, ὅμοια ἔσται τὰ τμήματα, καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΚ· ἡ δὲ ΕΑ ἐφάπτεται· ὥστε καὶ ἡ διὰ τοῦ Κ.

173. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκάστη τῶν πλευρῶν τοῦ ΖΗΘ τριγώνου, δέδοται ὁ τῆς ΖΘ πρὸς ΘΗ λόγος διὰ τὸ α΄. πάλιν ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΑΒ πρὸς Β∠ λόγος, ὡς δέδεικται, δέδοται δὲ καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος· ὡς γὰρ δέδεικται ὁ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, οὕτως δειχθήσεται καὶ ὁ τῆς ΑΓ πρὸς Β∠ λόγος δοθείς· καὶ ὁ τῆς ΒΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΓ λόγος ἐστὶ δοθεὶς διὰ τὸ η΄. ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΖΘΗ γωνίαι, καὶ λόγον ἔχει δεδομένον ἡ μὲν ΒΑ πρὸς ΑΓ, ἡ δὲ ΖΘ πρὸς ΘΗ, δεδομένα ἄρα ἐστὶ τῷ εἴδει.

174. Τούτου τοῦ θεωρήματος ἔνστασις κεῖται ἐν τῇ πρώτῃ ἐξωχιῇ, ὅπου σημεῖον τόδε ??. 175. Ἔνστασις εἰς τὸ π΄ θεώρημα ??. φησὶ γὰρ ἐν τῷ π΄ θεωρήματι· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΗΚ· καὶ γεγονέτω, φησίν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως [*](172. PI Vat. v σρ. 173. PI Vat. v Mon. σρ. 174. PVat.) [*](175. PI Vat. σ cS (PIVat.c ad finem libri post schol. nr. 56); inde a u. λέξει τις p. 309, 2 Ambr.) [*](1. ἡ] om. PI. ΖΗ] ΗΖ Vat., ΚΖ ρ. ἀγομένη] ἀγά- γωμεν Pl, -ο- ἡ Vat. 2. τῆς περιφερείας] om. v. 4. ἐπεί – 6. Κ] corrupta. 15. ΖΘΒ] om. codd. 19. ἐξωχιῇ] sic codd. 20. ἔνστασιν c. ??] om. PS. 21. ἐν τῷ π΄ θεω- ρήματι] om. Vat. σcS. 23. ἡ] om. Pl. ΕΑ] Ε∠ PIVat, sed mut. postea im ΕΓ∠ Vat, ΕΑ∠ cS.)

309

ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Κ σημείου τῇ ΖΗ παράλληλος ἡ ΚΘ. λέξει τις, ὅτι ἡ διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παράλληλος ἀγομένη οὔτε ἐφάψεται οὔτε τεμεῖ τὸ ΖΘΗ τμῆμα, ἀλλʼ ὑπερπεσεῖται. ὑπερπιπτέτω οὖν, εἰ δύνατον, καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ τῇ ΒΓ ὁμοίως κατὰ τὸ Λ σημεῖον, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Λ σημείου τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἡ ΛΘΙ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΙΖ, ΙΗ, ΘΗ, ΘΖ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, καὶ συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΛΖ· ἀνάπαλιν ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως ἡ ΛΖ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΑ, οὕτω γέγονεν ἡ ΖΗ πρὸς ΛΙ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΛ πρὸς ΛΙ. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΛΙ ἴση. ὅμοιον [*](2. παράλληλος] ἴσος c. λέξει τις ἴσως ἐνταῦθα Ambr."4. ΖΘΗ] ΖΑΗ codd. ὑπερπεσεῖται ὡς ἡ ΚΓ PI Vat. σcS."5. ἡ ΚΙ] ΚΙΜ Plc, ἡ ΚΙΝ Vat. σ, ἡ ΚΗ S. 7. καί — 10. ΛΗ] om. S. 8. τῇ ΖΗ] om. Ambr. 9. ΛΘΙ] Λ Ambr., ΛΘ c. 12. πρὸς ΛΖ] supra add. m. 1 Vat. ΕΒ – 13. ΖΗ] ΒΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΛΖ Ambr. 14. πρός] καί cS. διʼ ἴσου — 15. ΛΙ] om. S. 15. ἡ (pr.)] om. c.) [*](ΕΑ] Α c. 16. τῶν (pr)] τήν l. τῶν (alt.)] om. Vat. cS, τήν l. ὅμοιον] ὁμοίως S.)

310

ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΙΖΛ τριγώνῳ· ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΙΛ γωνίᾳ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΕ τῇ ὑπὸ ΗΙΛ ἴση ἐστίν· ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ φῶ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἴση· οὕτως γὰρ ὑπέκειτο διὰ τὸ ἐν ΖΘΗ τμήματι εἶναι τὴν ὑπὸ ΖΘΗ· καὶ ἡ ὑπὸ ΖΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΙΗ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ διὰ τοῦ Κ σημείου ἀγομένη παράλληλος τῇ ΖΗ ὑπερπεσεῖται τῆς ΖΘΗ περιφερείας. ὁμοίως δέ, κἂν ἐντός τις ὑπόθηται.

176. Ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ p.160, 11–12] ἐὰν γὰρ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς μέσης διὰ τὸ ιζ΄ τοῦ ϛ΄ τῶν στοιχείων.

177. Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε [p. 164, – 16]. ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἀφῃρήσθω τῇ μὲν Ε ἴση ἡ ΑΓ, τῃ δὲ ∠ ἴση ἡ ΓΒ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ [*](176. Plλ; idem schol. rursus habent ad u. p. 160, 21 ἀλλὰ τῷ μέν κτλ. 177. PI Vat. v σρ. Figuram dedi ex Vat.) [*](2. Post ἄρα add. ἐστίν Ambr. γωνίᾳ] om. Ambr. 3. ΗΙΛ — 6. ΖΙΗ] ΖΙΗ ἐστιν ἴση, ἀλλὰ καὶ τῇ ὑπὸ ΖΘΗ PI.) [*](4. ἴση ἐστίν Ambr. ἔστι — 5. ἴση] Ambr., om. cett. 5. οὕτως — 6. ΖΘΗ(alt.)] om. Ambr. 6. ἐν] supra scr. m.1 Vat.) [*](7. ΖΘΗ] ΖΟΗ PVat., corr. m. 1 Vat., ΖΑΗ I, ζη θ S.) [*](ἄρα] om. S. ΖΙΗ] ΖΗΙ c. ἐστιν ἴση] ἴση ἐστίν, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι Ambr. 8. ἐστίν] om. Ambr. ἡ] om. l.) [*](9. ΖΘΗ] ΖΗΘ Ambr. S. 16. καί – 17. Ε] om. v.)

311

ΑΒ ἡ ΓΕ ἴση οὖσα τῇ Α. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ Α, Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΓ, ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Α, ∠, ἔστιν οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, ∠.

178. Τοῦτό φησιν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δ εὐθεῖαι καὶ ἔχωσιν οὕτως πρὸς ἀλλήλας· πῶς δὲ ἔχωσιν; ὥστε λαβεῖν τινα ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας ἂν βούλοιτο, προσ- λαβεῖν δὲ καὶ τετάρτην ἀνάλογον οὖσαν ταῖς ληφθεί- σαις τρισί· ἔσται ὡς ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν μετʼ αὐτὴν τρίτην, οὕτως ἡ δευτέρα ἤτοι ἡ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέραν, πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον ἤτοι πρὸς τὴν οὖσαν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, πρὸς ἣν ἔχει ἡ πρώτη ἤτοι ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα πρὸς αὐτὴν δευτέραν οὖσαν λόγον δεδομένον.

ἔστωσαν εὐθεῖαι αὗται αἱ Α, Β, Γ, ∠, καὶ ἔστω ἡ μὲν Α κδ, ἡ δὲ Β ιβ, ἡ δὲ Γ η, ἡ δὲ ∠ ς. λαβὲ γοῦν ἐξ αὐτῶν τρεῖς, οἵας βούλει, οἷον τὴν Α καὶ τὴν Β καὶ τὴν Γ· προσλαβοῦ καὶ ἑτέραν ἀνάλογον ταύταις ἤτοι τὴν Ε, καὶ ἔστω δ· ὥστε ἔχει αὐταῖς ἀναλόγως ἤτοι τὸν διπλασίονα λόγον. ἔχει οὖν ἡ τετάρτη ἤτοι ἡ προσληφθεῖσα· τετάρτη γὰρ ἀριθμεῖται μετὰ τὰς τρεῖς τὰς ληφθείσας· πρὸς τὴν τρίτην ἤτοι τὴν Γ τὴν μετὰ τὴν προσκληθεῖσαν ἀριθμουμένην τρίτην λόγον ὑποδιπλάσιον. θέλει γοῦν ἔχειν οὕτως καὶ ἡ δευ- [*](178. P2.) [*](2. τῶν] om. l Vat. σ. ΓΕ] Γ∠ I Vat. σ 3. ΕΓ, ΓΒ] ΕΓΒ ρ, ∠ΕΒ cett. 4. ∠ (pr.)] E l. 5 τῶν (utrumque)] τῆς P ρ.)

312

τέρα, πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον· ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευτέρα οὖσα ἔχει πρὸς τὴν Β ἤτοι τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν οὖσαν τετάρτην, πρὸς ἣν ἡ ἐξ ἀρχῆς πρώτη ὡς πρὸς δευτέραν λόγον ἔχει δεδομένον· ἔχει γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἤτοι τὸν ὑποδιπλασίονα. ἡ γὰρ μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν δευ- τέρα, ἥτις ἐστὶ ϛ, πρὸς τὴν μετὰ τὴν προσληφθεῖσαν τετάρτην, δευτέραν δὲ ὡς πρὸς τὴν ἐξ ἀρχῆς πρώτην, ἤτοι τὴν Β ιβ οὖσαν ὑποδιπλάσιόν ἐστιν.

κἂν γοῦν ταύτας οὐ λαβῇς τὰς εὐθείας ἀλλʼ ἄλλας τῶν δ, οἵας βούλει, οὕτως εὑρήσεις ταύτας φυλάττειν τὴν παραδοθεῖσαν τάξιν κατὰ τὴν ἐμὴν τέως ἐπιβολήν· ἤ, εἰ βούλει, ἔστωσαν μὲν ὡς ἐν τῷ ἐδαφίῳ τοῦ βιβλίου κείμενα διʼ ἀριθμῶν τοιοῦτον. ἀλλὰ δὴ ἐκ τῶν ἀριθμῶν οὕτως· καὶ ἁπλῶς οἵους βούλει τρεῖς πως τῶν ἐξ ἀρχῆς δ λάμβανε, καὶ εὑρήσεις κατὰ τὴν ἄνωθεν ῥηθεῖσαν ἐξήγησιν ἁρμόζειν τὸ θεώρημα.

179. Λοιπὴ ἄρα ἡ ∠Β p. 166, 4] ἡ γὰρ ΒΓ τῆς ΒΑ μείζων ἐστὶ τῇ ∠Γ εὐθείᾳ δοθείσῃ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

180. Καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία p.168, 2]

ὡς ἂν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ, ἤτοι δύο ὀρθὰς ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.

[*](179. 180. Pv.)[*](24. ποιῇ] ποιεῖ codd.)

313

181. Καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ p. 168, 10] συναμφό- τερος ἡ ΑΒ, ΒΓ ὑπόκειται δοθεῖσα, καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ ∠Β, καί εἰσι δοθεῖσαι· ὥστε καὶ ἡ ∠ΒΓ δο- θεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα ὅλη ἡ ∠Γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ δεδομένης τῆς ∠Γ δεδομένη ἡ ∠Β ἀφαιρεθῇ, καὶ ἡ ὑπολειπομένη δέδοται.

182. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ∠ΓΒ p. 168, 23] τὸ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ ἐστίν, ὅταν ἀφαιρε- θέντος τοῦ δοθέντος τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

183. Ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ p 170, 4] ἐὰν γὰρ τὴν Β∠ τῇ ΑΒ ἐπʼ εὐθείας ποιήσωμεν, δῆλον· ὡς γὰρ τὰ παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα, οὕτως καὶ αἱ βάσεις.

184. Ἐὰν γὰρ εὐθεῖα ὡς ἡ ΒΓ τμηθῇ, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ ∠, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθο- γωνίῳ, ὡς ἐν τῷ β΄ θεωρήματι τοῦ β΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

185. Καὶ συνθέντι ἄρα p. 170, 18–19] ἐὰν γὰρ συν- αμφοτέρου τῆς ΒΓ∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, συνθέντι συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ πρὸς τὴν Β∠ λόγος ἐστὶ δοθείς· συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ∠ μετὰ τῆς Β∠ δύο εἰσὶν αἱ ΓΒ.

[*](181. PI Vat. v σρλ. 182. PIvλ. 183. P. 184. 185. Plvλ.)[*](2. ὑπόκειται γάρ lλ. 3. ΑΒ] Α∠ Pl. 4. δέδοται] δέδεικται Vat. ρ. 16. ἔτυχε λ. 21. ΒΓ∠] Β∠ codd. Β∠] Α ∠ λ.)

314

186. Ὡρ δὲ ἡ ΓΒ πρὸς Β∠ p. 170, 21] ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ἐπʼ εὐθείας τὴν ΓΒ τῇ ΒΑ καὶ ἴσην τὴν Β∠ τῇ ΒΕ, δῆλον, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Β∠, τουτέστι τὸ ΕΓ πρὸς τὸ ∠Ε· ὡς γὰρ αἱ βάσεις, οὕτως τὰ παραλληλόγραμμα.

187. Καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 170, 22] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἑκατέρα τῶν ΓΒ, Β∠, καὶ τὸ ὑπʼ αὐτῶν δεδο- μένην ἔχει γωνίαν· ὀρθογώνιον γάρ· δέδοται τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠, ὡς ἐν τοῖς ὅροις. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ δοθέν· τετράγωνον γάρ· λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐστι δοθεὶς διὰ τὸ α΄.

188. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ p. 172, 3] ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, τῆς Β∠ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ Β∠· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ. ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθεῖσα.

189. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα p. 172, 16] διὰ τὸ ἐν ἡμικυκλίῳ· ὑπόκειται γὰρ τὸ ΑΕΓ δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν κατὰ τὸν ὅρον.

190. Ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β, ∠ p. 176, 1] δέδοται ἐξ ἀρχῆς τὸ Β, καὶ τὸ ∠ δὲ διὰ τὸ τὸν κύκλον δεδόσθαι τῇ θέσει.

[*](186. PIvλ. 187. Pv. 188. PIvλ. 189. PIλ. 190. Pl.)[*](2. εὐθείας] λ, εὐθεῖαν cett. ΒΑ] ΒΑ Pλ. 3. δῆλον] διὰ τοῦτο λ. 11. Β∠] Β∠Ε codd. 15. ἑκάστη ἄρα] scripsi, ἑκάστην codd. 23. τό (tert.)] om. codd.)

315

191. Καί ἐστιν ὀρθή p. 176, 18] διὰ τὸ ιη΄ τοῦ γ΄ βιβλίου τῶν στοιχείων.

192. Τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ∠Γ p. 176, 19] διὰ τὸ ἀνά- παλιν τοῦ ιϛ΄ θεωρήματος τοῦ γ΄ βιβλίου Εὐκλείδου.

193. Δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΑ, ΑΕ p. 180, 10–11] ταῦτα δέδεικται ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τῷ ἐπάνωθεν, ὅπου σημεῖον τόδε ??.1)

194. Καί ἐστιν ἴσον p. 180, 11] ὡς δέδεικται ἐν τῷ γ΄ βιβλίῳ Εὐκλείδου ἐν τῷ λε΄ θεωρήματι.

195. Τῆς κάτω p. 180, 20] τουτέστι τῆς ὑπὸ τὴν ἀχθεῖσαν καὶ ἀπολαμβάνουσαν τὸ τμῆμα τὸ δεχόμενον τὴν δεδομένην γωνίαν.

196. Διὰ τὰ αὐτὰ δή p.182, 11] ἡ γὰρ ὑπὸ ΒΑ∠ ἡμίσεια οὖσα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ δοθείσης δοθεῖσά ἐστιν.

197. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ p. 182, 14] διὰ τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ ς΄ βιβλίου τῶν στοιχείων.

[*](1) Idem signum inuenitur ad schol. app. nr. 41.)[*](191. P. 192. P Vat. 193. P. 194. Plλ. 195. PI Vat. v σλ. 196. Plλ. 197. PIvλ.)[*](5. βιβλίου Εὐκλείδου] τῶν στοιχείων Vat. 11. τῷ] om. lλ.)[*](13. Ante τουτέστι add. σχόλιον. (comp.) l. 14. καί] om. Vat. σ. 19. τῶν] om. Pv. στοιχείων] Εὐκλείδου v.)

316

198. Καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ p. 182, –17] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν, ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

199. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ p. 182, 19] ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας τῆς ΑΒ βεβήκασι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ Β∠ΓΑ.

200. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ p. 182, 22–23] περὶ γὰρ τὰς ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν.

201. Πῶς ἐστιν, ὡς ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συν- αμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ; ἐπεὶ τοῦ ΒΑΓ τριγώνου ἡ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων. συνθέντι ὡς συναμφό- τερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΕ· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ, πρὸς τὴν ΒΓ.

202. Πῶς, ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β; ἐδείχθη, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν [*](198. P Vat v σ. 199. PlVat. σ. 200. PVat. v ρ. 201. v σ, coniunct. cum nr. 200 PVat. ρ. 202. Pl Vat. v σρ.) [*](3. οὕτως — 4. ἑπόμενα] om. Vat. v σ. 6. ἐπί] ἐκ λ. βεβή- κασι] βεβληκασιν PVat. 9. εἰσιν] ἔχει v. 14. ὡς — στοι- χείων] om. Vat. σρ. 17. ΒΓ] ΓΕ codd. 18. ὡς] om. codd.) [*](19. Ante ἐδείχθη hab. ὡς δέ Vat., καὶ δέ ρ.)

317

ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β· ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ γὰρ τὰ μεγέθη.

203. Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΒΕ∠ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ; ἴση ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ ∠· ἀλλὰ καὶ κατὰ κορυφὴν αἱ ὑπὸ ΒΕ∠, ΓΕΑ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΒΕ τῇ ὑπὸ ΕΑΓ ἴση διὰ τὸ καὶ τὸ ∠Γ τμῆμα ὑποτείνειν αὐτάς.1)

204. Πόθεν, ὅτι ἡ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ ἀγομένη ὡς ἐπὶ τὸ Ε πίπτει καὶ οὐκ ἐπὶ τὸ Η ἢ ἐνδοτέρω; καὶ σαφέστερον εἰπεῖν· κέντρου ὄντος τοῦ Η καὶ τῇ ΒΗ διαμέτρῳ πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῆς ΝΗΞ, δεικτέον, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Α τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη οὔτε ἐπὶ τὸ Η πίπτει οὔτε ἐνδοτέρω τοῦ Η. ὅτι μὲν ἐκτὸς οὐ [*](1) Boc schol. sic habet Ambr.: Πῶς ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΕΓ τρίγωνον (comp.) τῷ ∠ΕΒ τριγώνῳ (comp.); ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΕ τῇ ὑπὸ Β∠Ε· ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς περιφερείας βεβήκασι τῆς ΑΒ πρὸς τῇ περιφερείᾳ οὖσαι· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕ∠ τῇ ὑπὸ ΑΕΓ ἐστιν ἴση· κατὰ κορυφὴν γάρ εἰσιν ἀλλήλαις· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒ∠ τῇ ἐπὶ (scr. ὑπὸ) ΕΑΓ ἐστιν ἴση.) [*](203. Pl Vat. v σρλc. 204. PI Vat. v Ambr. σρλc. γάρ] comp. P, γίνονται Vat., γάρ εἰσι l(compp.)λ. 3. ἰσογώνιον] -ια Plλ. 4. ΑΕΓ] ΕΑΓ v. ἐστίν] δέ v, γάρ ρ. ἡ] om. Pl. 6. ∠ΒΕ] ΑΒΕ codd. τῇ] τῆς c.) [*](καὶ τό] om. c. 9. ὀρθὰς γωνίας Ambr. αὐτῇ] τῇ Α ∠ ἀπὸ τοῦ Α Ambr. ὡς] om. Ambr. 10. ἐπί (pr.)] om. λ.) [*](τὸ Ε] bis λ. οὐκ] οὐ ρ. Η] Ν Ambr., Κ lλ. καὶ σαφέστερον] σαφέστερον οὖν Ambr. 11. εἰπεῖν] ἐστιν ρ. ὅτι κέντρου Ambr. ΒΗ] ΒΗΓ Ambr., ΕΗ c. 12. διαμέτρου PI Vat. v σρλ. ὀρθάς] ἴσας c, item l. 13. τῆς] in hoc de- sinit adscr. λείπει Ambr. 13. τῇ Α∠] om. Vat. σρc.)

318

πεσεῖται τοῦ κύκλου, δῆλον· εἰ δὲ μή, ἐπʼ εὐθείας ἔσται τῇ Α∠· πιπτέτω δὲ ἐντὸς ὁπουδηποτοῦν τοῦ ἡμικυκλίου, ὡς ἐπὶ τὸ Κ· καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΗ διήχθω ἐπὶ τὸ Θ ἢ ὁπου- δηποτοῦν. ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΑΘ· διάμετρός ἐστιν ἡ ΚΘ, ἡμικύκλιόν ἐστιν ἡ ΚΑΘ· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΚΑΘ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΑΚ ὀρθή· ἴσαι ἄρα ἀλ- λήλαις, ἡ μείζων τῇ ἐλάσ- σονι· ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγο- μένη τῇ Α∠ ἐπὶ τὰ ἐντὸς τοῦ κύκλου ὡς ἐπὶ τὰ Κ, Α, Β πεσεῖται· ἐπʼ ἐκεῖνα ἄρα ὡς ἐπὶ τὸ Ε.

205. Ἡ ΘΑ διάμετρος p. 186, 4] πρὸς ὀρθὰς γὰρ ἦκται τῇ Α∠ ἡ ΑΕ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ Α∠· αἱ ἄρα ὑπὸ ∠ΑΕ, ΑΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ὥστε καὶ ἡ πρὸς τῷ Ε ὀρθή ἐστιν· ἐν ἡμικυκλίῳ ἄρα ἐστίν· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ.

206. P. 186, 7] οὕτως γὰρ κεῖται· καὶ τὸ ∠ δοθὲν καὶ ὁ κύκλος τῇ θέσει δεδομένος.

[*](Fig. ego addidi.)[*](205. PI Vat. v σS. 206. P.)[*](3. Κ] Η c. 5. ὁπωσδηποτοῦν v. 7. ΑΘ] ΑΗ c, ΑΘΕ cett. διάμετρος] comp. P, καί ρ. ἐστιν] comp. P Vat. ρ, δέ c. 8. ΚΘ] om. Vat. ρ. ἡμικύκλιόν ἐστιν ἡ] om. at. ρ c.)[*](9. ὀρθή] comp. Pl Vat. ρ, ἴση c. 11. ἴσαι] ἴσαις c. 12. μείζων] μεῖζον c. 13. ἐστίν] comp. P, om. σρc. 15. ἐκεῖνο ρ.)[*](τό] τά codd. Ε] ΕΖ ρ. 18. ∠ΑΕ] Α∠Ε Vat. σS. 19. τῷ] τό S. ἄρα ἐστίν] om. Vat. S.)

319

207. Ἴση ἄρα, φησίν, ὡς ἡ ΖΗ τῃ Η∠, καὶ ἡ ΘΖ τῇ Α∠· ἰσογώνια γὰρ τὰ Α∠Η, ΗΘΖ τρίγωνα· παραλλήλων γὰρ οὐσῶν τῶν Α∠, ΕΘ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ Α∠Η, ΗΖΘ ἴσαι εἰσίν. εἰσὶ δὲ διὰ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΑΘ, ΑΘΖ ἴσαι ἀλλή- λαις· καὶ αἱ πρὸς τῷ Η κατὰ κορυφὴν οὖσαι ἴσαι εἰσίν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΗΘ πρὸς ΗΑ, ἡ ΖΗ πρὸς Η∠. ἴση δὲ ἡ ΘΗ τῃ ΗΑ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ Η∠. ὁμοίως καὶ ἡ ΘΖ τῇ Α∠ ἴση ἐστίν.

208. Δοθὲν ἄρα ἐστί p. 186, 15] τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ δοθέν ἐστι διὰ τὸ 𝔮β΄.

[*](207. P Vat. v σρ. 208. P.)[*](4. διά] διὰ ὑπό P.)