Synagoge

Pappus Alexandrinus

Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.

66 καὶ δέδεικται τῷ δ΄ θεωρήματι ἡ γινομένη ὑπὸ πασῶν τοῦ πολυγώνου πλευρῶν ἐπιφάνεια κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ· καὶ ὁ κῶνος ἄρα οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΛΑΒ, ὕψος δέ [*](1. ἡμίσους τοῦ ἀκʼ αὐτῆς] τοῦ ἐπʼ αὐτῆς ABS, eo quod iisdem continetur Co, corr. Hu 2 τοῦ ὑπὸ ΑΒ∠ Co pro τὸ ὑπὸ ΑΔΒ 4. μεῖζον AΒ Paris, 2368 S, corr. V 7 τοῦ om A add. BS)

404
ἡ ΓΟ, ὅς ἐστιν ἴσος τῷ ἐγγεγραμμένῳ εἰς τὴν σφαῖραν στερεῷ σχήματι, μείζων ἐστὶν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρον τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ Β∠, ὥστε καὶ τὸ εἰρημένον στερεὸν σχῆμα μεῖζόν ἐστιν τοῦ κώνου οὗ ἡ μὲν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ Β∠. ὑπόκειται δὲ καὶ ὁ κῶνος οὗτος μείζων τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα μεῖζόν ἐστιν τῆς σφαίρας τὸ στερεὸν σχῆμα τὸ ἐγγεγραμμένον εἰς αὐτήν, ὅπερ ἀδύνατόν ἐστιν.

67 μα΄. (κβ΄). Ἔστω δέ ἐλάσσων τῆς σφαίρας ὁ εἰρημένος κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστι κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ, τουτέστιν οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ ὡς γὰρ ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ μεταξὺ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κώνου νοείσθω κῶνος οὗ βάσις μέν ἐστιν ἡ αὐτή, ὕψος δέ ἡ Κ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ἡμικύκλιεν πολύγωνον ἰσόπλευρον, ὥστε μίαν αὐτοῦ πλευρὰν τὴν ∠Ε τῆς ὐπεροχῆς τῶν Κ ΑΒ ἔλάσσονα εἶναι. καὶ ἔστιν μείζων ἡ ∠Ε τῶν ∠Α ΒΜ, ἐπεὶ καὶ ἡ Ν∠ τῆς ∠Α καὶ ἡ ∠Μ ἄρα τῆς Κ ἐλάσσων ἐστίν.

68 ἐπεὶ δὲ καὶ ἡ γινομένη ὑπὸ τοῦ πολυγώνου ἐπιφάνεια κατά τὴν περὶ ἄξονα τὴν [*](3. ὥστε Co pro ὡς δὲ 7. μείζων AB, corr. S στερεὸν AB, εἰρημένον S Ei 8. ἀδύνατόν A1 ex δυνατόν 9. μα A1 in marg. (BS), κβ΄ add. Mu 13. 14. ὡς—ΑΒΓ interpolatori tribuit Hu 13. τὸ S, AB 15. 16 δὲ η μείζων A(BS), K add Co 18. τῶν ΚΑΒ ABS,)

406
ΔΜ στροφὴν διὰ τὸ δ΄ θεώρημα ἴση ἐστὶ΄ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ΔΜ ΑΒ, δῆλον ὡς καὶ τὸ γινόμενον ὑπʼ αὐτοῦ στερεόν, ὃ δὴ περιγέγραπται περὶ τὴν σφαίραν ἣν ποιεῖ τὸ ἡμικύκλιον, ἴσον ἐστὶν κώνῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεως ἐστιν ἡ δυναμένη τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΓΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας διὰ τὸ κʼ θεύρημα, τῷ δὲ κώνῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς βάσεώς ἐστιν ἡ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ BΓ, τουτέστι τῷ. κώνῳ, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν ἴση κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, ὕψος δὲ ἡ ΑΒ, ἴσος ἐστὶν κῶνος, οὗ ἡ μὲν βάσις ἐστὶν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ, διὰ τὸ εἶναι πάλιν ὡς τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, καὶ ἀντιπεπονθέναι τάς βάσεις τοῖς ὕψεσιν καὶ τὸ γινόμενον ἄρα ὑπὸ τοῦ πολυγώνου στερεὸν κατὰ τὴν περὶ ἄξονα τὴν ∠Μ στροφὴν ἴσον ἐστὶν κύνῳ οὗ ἡ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ ∠Μ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ ΒΓ. καὶ ἔστιν μείζων ἡ Κ τῆς ∠Μ, ὁ δὲ κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν κύκλος οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου δύναται τὸ ὑπὸ Κ ΑΒ, ὕψος δὲ ἡ BΓ, ἐλάσσων ἐστὶν τῆς σφαίρας· πολλῷ ἄρα μᾶλλον τὸ περιγεγραμμένον στερεὸν ἔλασσόν ἐστιν τῆς σφαίρας, ὅπερ ἀδύνατον. ἴσος ἄρα ὁ κῶνος τῇ σφαίρᾳ.

69 μβ΄ (κγ΄). Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου, τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινί, ὥστε τὰς ἐπιφανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.

Ἔστω γὰρ σφαῖρα, ἧς μέγιστος κύκλος ὁ Α∠ΒΕ, καὶ διάμετρος ἡ ΑΒ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Ζ πρὸς Η, καὶ [*](1. διὰ τὸ ε θεώρημα AΒ, διὰ τὸ πέμπτον θεώρημα S Εi, om. Co, corr. Hu 2. δυναμένη τὸ ὐπὸ ∠M add. Hu auctore Co, item vs. 5 sq. (δύναται τὸ ὑπὸ AB ∠M Ei) 6. 7. ἐκ τοῦ κέντρου — τὸ κ΄ θεώρημα om. Ei 7. κ A(B), εἰκοστὸν S, 35. Huius Co τῷ δὲ κώνῳ — 18> ἡ ΒΓ del. Ei 9. ἴση add. Hu 10. κώνωι ABS, corr. Co 12. ὑπὸ ∠Μ ΑB Co pro ὐπὸ ∠ΖΑΒ (distinx. BS), item vs. 13 et 17 sq. pro ὑπὸ AB 15. 16. κατὰ — στροφὴν om. Co 16. τὴν ∠Μ Hu pro)

408
τετμήσθω ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως τὴν Ζ πρὸς Η, καὶ διὰ τοῦ Γ ἐπιπέδῳ τετμήσθω ἡ σφαῖρα πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ ἔστω κοινὴ τομὴ ἡ ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Β, καὶ ἐκκείσθιοσαν δύο κύκλοι οἱ Θ Κ, ὁ μὲν Θ ἴσην ἔχων τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῇ Α∠, ὁ δὲ Κ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσην ἔχων τῇ ∠Β· ἔσται ἄρα ὁ μὲν Θ κύκλος ἴσος τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ ∠ΑΕ τμήματος, ὁ δὲ Κ τοῦ ∠ΒΕ τμήματος· τοῦτο γὰρ προδέδεικται. καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ Α∠Β καὶ κάθετος ἡ ∠Γ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, τουτέστιν ἡ Ζ πρὸς Η, τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Θ κύκλου πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Κ κύκλου, τουτέστιν ὁ Θ κύκλος πρὸς τὸν Κ κύκλον, τουτέστιν ἡ ἐπιφάνεια τοῦ ∠ΑΕ τμήματος πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τοῦ ∠ΒΕ τμήματος τῆς σφαίρως.

70 μγ΄. Ὄντων δὲ τούτων φανερὸν ὅτι καὶ πάσης σφαίρας ὁ κύλινδρος ὁ βάσιν μέν ἔχων ἴσην τῷ μεγίστῳ κύκλῳ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, ὕψος δὲ ἴσον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, αὐτός τε ἡμιόλιός ἐστιν τῆς σφαίρας, καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας.

Ἡμικυκλίου γὰρ ὄντος τοῦ ΑΕΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ, διχοτομία δέ τὸ Ε, καὶ κέντρον τὸ Ζ, ὁπόταν τρεῖς ἀχθῶσιν ἐφαπτόμεναι διὰ τῶν ΑΕΓ, ὡς αἱ ΑΒ Β∠ ∠Γ, μενούσης δὲ τῆς ΑΓ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ὁ γινόμενος ὑπὸ τοῦ ΑΒ∠Γʼ παραλληλογράμμου ὀρθογωνίου κύλινδρος πρὸς τὴν σφαῖραν τὴν ὑπὸ τοῦ ἡμικυκλίου γινομένην ἡμιόλιον λόγον ἕξει ὅνπερ καὶ ἡ ἐπιφάνεια αὐτοῦ πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας. ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ἴση ἐστὶν κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῆς Β∠ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒ Γ∠, τουτέστιν τῷ κύκλῳ οὗ ἡ ἐκ τοῦ [*](3. τῆ * ΑΒ εὐθεῖα A, corr. BS 5 οἱ ΘΚ A, distinx. BS ὧν aute ὁ μὲν add S Ei 10. ἡ ante ΑΓ add Hu 13. K alterum add. Co 16. μΓ A1 in marg. (BS) 22 23. τρισαχθωσιν (sine acc.) A, πρεσαχ-)

410
κέντρου ἐστὶν ἡ ΑΓ, οὗτος δὲ ὁ κύκλος ἴσος ἐστὶν τέσσαρσι μεγίστοις τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, δέδεικται δὲ καὶ ἡ τῆς σραίρας ἐπιφάνεια δ΄ μεγίστοις ἴση, ἡ ἄρα ὑπὸ τῆς Β∠ γινομένη ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν τῇ τῆς σφαίρας ἐπιφανείᾳ· μετὰ δύο ἄρα κύκλων, οἵ εἰσιν βάσεις τοῦ κυλίνδρου, λόγον ἔχει πρὸς τὴν τῆς σφαίρας ἐπιφάνειαν, ὃν ἔχει τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ δ΄ οὗτος δὲ ὁ λόγος ἡμιόλιός ἐστιν. καὶ ἐπεὶ ὁ κῶνος ὁ βάσιν μὲν ἔχων ἴσην τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας, ὕψοε δὲ τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας --- ἕκτον μέρος ἐστὶν τοῦ παντὸς κυλίνδρου, ἡμιόλιος ἄρα καὶ ὁ κύλινδρος. τῆς σφαίρας.

71 Ἐδείχθη δὲ ἀνώτερον, κἂν μὴ εἰς δύο ἴσα ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου τμηθῇ, ἀλλʼ εἰς ὁποσαοῦν, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἐφαπτόμεναι ἀχθῶσιν, ὡς ἐκεῖ καταγέγραπται, ἡ ὑπὸ πασῶν τῶν ἐφαπτομένων γινομένη κατὰ τὴν ὁμοίαν στροφὴν ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶν ὁμοίως δ΄ μεγίστοις κύκλοις.

72 Καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν ὑπὸ Ἀρχιμήδους δειχθέντων ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου τοσαῦτʼ ἐστίν, ἑξῆς δὲ τούτοις γράψομεν, ὡς ὑπεσχόμεθα, τὰς συγκρίσεις τῶν ἴσην ἐπιφάνειαν ἐχόντων πέντε σχημάτων, πυραμίδος τε καὶ κύβου καὶ ὀκταέδρου δωδεκαέδρου τε καὶ εἰκοσαέδρου ταὶ τὴν ἔφπδον τῶν ἀποδείξεων ἐχούσας, οὐ διὰ τῆς ἀναλυτικῆς λεγομένης θεωρίας, διʼ ἧς ἔνιοι τῶν παλαιῶν [*](3. ∠ A, τέσσαρσι BS ἴσην ἄρα AB, ἡ ἄρα S, corr. Ei 7. τὸ Ϛ AB, τὰ ἓξ S 8. τέσσαρα S 13. lacunam indicavit Co (temere neglexit Εi) 16. Ἐδείχθη — 21. κύκλοις om. Co, interpolatori tribuit Hu 16. ἀνώτερον] propos. 24 19. ηινομένη* A 22. τοῦ ante Ἀρχιμ. add. Ei 27. καὶ τὴν — ἐχούσας et p. 412, 1. τῶν προειρ. σχημάτων et p. 412, 3. ἐπ εὶ καὶ — 6. χρεία interpolatori tribuit Hu)

412
ἐποιοῦντο τὰς ἀποδείξεις τῶν προειρημένων σχημάτων, ἀλλά διὰ τῆς κατὰ σύνθεσιν ἀγωγῆς ἐπὶ τὸ σαφέστερον καὶ συντομώτερον ὐπʼ ἐμοῦ διεσκευασμένας ἐπεὶ καὶ τὰ λήμματα πάντα μικρά τε καὶ μεγάλα διὰ τοὺς πολλοὺς τῶν φιλομαθούντων κατέταξα τὸν ἀριθμὸν ἑκκαίδεκα ὧν ἐστιν ἐνταῦθα χρεία. προγράφεται δὲ τῶν συγκρίσεων τάδε.

73 μδ΄ (α΄). Παντὸς ἰσοπλεύρου τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζον μέν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ἰσοπλεύρου τριγώνου, ἔλασσον δὲ ἢ τετραπλάσιον.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ἡ ΑΘ (δίχα δηλονότι τέμνουσα τὴν ΒΓ), καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ Β∠ΕΓ (δῆλον γὰρ ὅτι ὑπερπεσεῖται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν ΑΘ κάθετον τῆς πλευρᾶς τοῦ τριγώνου), καὶ διὸ τοῦ Α παράλληλος ἤχθω τῇ ΒΓ ἡ ΖΑΗ. ἐπεὶ οὖν τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΒΘ δυνάμει, ἐπίτριτος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΑΘ δυνάμει, τουτέστιν ἡ ∠Β τῆς ΒΖ· ἡ ∠Β ἄρα τῆς ΒΖ, ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ∠Β πρὸς ΒΖ, τὸ ΒΕ τετράγωνον πρὸς τὸ ΖΓ καὶ τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον τοῦ ΖΓ παραλληλογράμμου τουτέστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τὸ ΒΕ ἄρα τετράγωνον ἔλασσον μὲν ἢ τετραπλάσιόν ἐστιν, μεῖον δὲ ἢ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.

74 με΄ (β΄). Ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας νῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου κάθετος δυνάμει τρίτον μέρος ἐστὶν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

[*](6. δὲ add. et τῶν συγκρίσεων interpolatori tribuit Hu 8. μ∠ A1 in marg. (BS), α΄ add. Hu 19. ἐλάσσων AB, corr. S 12. δίχα — τὴν ΒΓ et 13. δῆλον — 15. τριγώνου forsitan interpolator addiderit 13. τὸ Β∠ ΕΓ AB, coniunx. S 19. ἐλασσον (sine acc.) A(B), corr. S 20. τὸ ΖΓ] τὸ ΒΖ A1, τὸ ΖΒ A2 BS, corr. Co 22. τουτέστιν)
414

Ἔστω τρίγωνον τοῦ ὀκταέδρου τὸ ΑΒΓ, ἐν τῇ σφαίρᾳ ὄν, καὶ περὶ αὐτὸ κύκλος, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε· φανερὸν δὴ ἐκ τῶν σφαιρικῶν ὅτι τὸ Ε κέντρον ἐστὶν τοῦ κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΒ Β∠· ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ∠Β ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τριπλάσιον τοῦ ἀπὸ ∠Ε.

Ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ἐν τῷ ὀκταέδρῳ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασία ἐστὶν τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς, ἔστιν δὲ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας δυνάμει τετραπλασία, διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Β∠. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ BΓ τοῦ μὲν ἀπὸ ΒΕ τριπλάσιόν ἐστιν διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ιγ΄ στοιχείων, τοῦ δέ ἀπὸ Β∠ ἐστὶν διπλάσιον, τὸ ἄρα ἀπὸ Β∠ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἡμιόλιον. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ Β∠ τοῖς ἀπὸ ΒΕ∠· τὰ ἄρα ἀπὸ ΒΕ∠ ἡμιόλια τοῦ ἀπὸ ΒΕ· διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΕ τοῦ ἀπὸ ∠Ε· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΒΕ Ε∠, τουτέστιν τὸ ἀπὸ B∠, τοῦ ἀπὸ ∠Ε.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

75 μϚ΄ (γ΄). Ἐκκείσθω τετράγωνον, ἐφʼ οὗ τὸ ἥμισυ τοῦ ὀκταέδρου ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἳ τε ΑΓ Β∠ διάμετροι τοῦ τετραγώνου καὶ ἡ ΕΖ· ΕΖ ἄρα ἐκ κέντρου ἐστὶν τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις· ἀπὸ τοῦ Ζ κέντρου τοίνυν ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΗ (ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ), καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ. καὶ ἐπεὶ ἰσόπλευρόν ἐστιν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ, καὶ ἡ ΕΗ ἥξει διὰ [*](1, 2. Ἔστω τρίγωνον ὀκταέδρου τοῦ εἰς τὴν σφαῖραν ἐγγεγρεμμένου τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ αὐτὸ cet. coni, Hu 1. τοῦ ὀκταέδρου] τῆς περιλαμβανούσης τὸ ὀκτάεδρον σφαίρας ABS, quae om. Ei 3, τὰ add. Hu ἐπίπεδον om, S, unde ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος Ei 6. τής anle ∠Ε add. Ei 8. διπλάσιός ἐστιν Ei invitis ABS 9, 10. δυνάμει τετραπλάσιον ἄρα ABS, corr. Co 11. ἐπεὲ BS, ἐπὶ A μὲν add. Hu 11, 12. διὰ τὸ Θ AB cod. Co, διὰ τὸ ἔννατον S Ei, corr. Co 12. στοιχείου ABS, corr, Hu ἐστὶν del. Co 14. τὰ ἄρα S Cο, τὸ ἔρα AB cod. Co 18. μϚ A1 in marg. (BS) γ΄ add. Hu 19, τὸ AB Γ∠Ε A, coniunx. BS 22. τοῦ * Ζ A 23. ἴση — τῇ HB forsitan interpolator addiderit 23 24. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΗ καὶ ΕΒ coni. Co (oportebat καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΗ EB; at rectam εβ,)

416
τοῦ κέντρου τοῦ περὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον κύκλου ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ΑΒΕ κύκλου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν ΕΗ πεσεῖται. πιπτέτω ὡς ἡ ΖΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΖΒ, καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΖΒ, ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΑΗ ἡμίσους ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΗΑ ὀρθή· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΖΗ ἡμίσος; ὀρθῆς· ἴση ἄρα ἡ ΑΗ τῇ ΖΗ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΗ. ἴση δὲ ἡ ΑΖ τῇ ΕΖ· τριπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ ΕΖΗ τοῦ ἀνὸ ΖΗ. ἀλλὰ τὰ ἀπὸ ΕΖΗ ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΗ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν ΕΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ∠ τετράγωνον· καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἄρα τριπλάσιόν ἐστιν τοῦ ἀπὸ ΖΗ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΘ διὰ τὸ ἰσογώνια εἶναι τὰ ΕΖΗ ΕΖΘ τρίγωνα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΘ καθέτου ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον τοῦ ὀκταέδρου τριπλάσιόν ἐστιν.

76 μζ΄ (δ΄). Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ ἐγγεγραμμένον εἰς σφαῖραν, κέντρον δὲ τῆς σφαίρας τὸ ∠, καὶ ἤχθω ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ τοῦ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ∠Ε (τὸ Ε ἄρα κέντρον ἐστὶν τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον γραφομένου κύκλου, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς), καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΕ ἐκβεβλήσθω· ὅτι ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ διπλῆ ἐστιν.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ ΕΓ· ἴσαι ἄρα ἀλλήλαις εἰσίν. καὶ ἐπεὶ τρίτου μὲν ὀρθῆς ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ ΕΒΖ, διμοίρου δὲ ὁρθῆς ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΕΖ ΑΒΓ, ἰσογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΖ τρίγωνον τῷ ΒΕΖ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, ἡ ΒΕ, τουτέστιν ἡ [*](1. τρίγωνον et ἡ ἄρα — 2. τοῦ ΑΒΕ add. Α2 in marg. (BS) 1. κύκλομ add. Hu auctore Co 2. κύκλου add. Hu, τριγώνου Εi auctore Co 9, ἀλλὰ τὸ ἀπὸ AB cod. Co, corr. S Co 9 10. τῶι ἀπὸ ΘΗ ABS, corr. Co 12. ὡς ἡ ΕΒ ABS, corr. Co 13. τὰ ΕΖ ἡ ΕΖΘ A, corr. BS 13. 14. καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΖ ΑΒ cod. Co, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ζθ S, corr. Co 17. μζ A1 in marg. (BS). δ΄ add. Hu 19. τοῦ add. S 20 τὸ δὲ Ε ἄρα AB, δὲ del. S 25. ἐπεὶ Paris. 2368, ἐπὶ ABSa)

418
ΑΕ, πρὸς ΕΖ. δοπλῆ δὲ ἡ ΑΒ τῆς ΒΖ διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς ΕΖ.

77 μη΄ (ε΄.) Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ περὶ κέντρον τὸ Ε καὶ διάμετρον τὴν ΑΓ, πενταγώνου δὲ ἔστω ἡ ∠ΗΒ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἴση ἡ ΖΗ· ὅτι ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΖ.

Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ Ε∠ Ζ∠ Γ∠. ἐπεὶ οὖν ἡ Γ∠ δ περιφέρεια δεκαγώνου ἐστίν (πενταγώνου γὰρ ἡ ∠ΓΒ), εἴη ἂν ἡ ὑπὸ ∠ΕΓ γωνία δύο πέμπτων ὀρθῆς· ὤστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΕΓ∠ Ε∠Γ τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν. ἀλλʼ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΓ ἴση ἐστίν, κοινὴ δὲ ἡ ∠Η καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΖΓ, ἔστιν ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ εὐθεῖα τῇ ΛΓ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΓ ἴση οὖσα τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ τεσσάρων πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. δύο δὲ πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕ∠· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Ε∠Ζ δύο πέμπτων ὀρθῆς ἐστιν ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ τῇ ὑπὸ Ε∠Ζ ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΕΖ τῇ Ζ∠ ἴση ἐστίν, τουτέστιν τῇ ∠Γ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ Ε∠Γ τῇ ὑπὸ ΕΓ∠, τουτέστιν τῇ ὑπὸ ∠ΑΓ, καὶ κοινὴ ἡ ὑπὸ ∠ΓΖ, λοιπὴ ἄρα ἡ. ὑπὸ ∠ΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ Ζ∠Γ ἐστὶν ἴση ἰσογώνιον ἄρα τὸ ∠ΕΓ τρίγωνον τῷ ∠ΖΓ τριγώνῳ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΓ πρὸς Γ∠, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς ΓΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Γ∠. ἴση δὲ ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ τὸ ἄρα ὑπὸ EΓΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ EΖ ἡ ΕΓ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ EΖ.

78 μθ΄ (Ϛ΄). Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

420

Εὐθεῖα γὰρ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω ἔλασσον αὐτῆς τμῆμα τὸ ΓΒ· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

Κείσθω τῇ ΓΒ ἴση Γ∠· γίνεται ἄρα, διὰ τὸ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμῆσθαι τὴν ΑΒ εὐθεῖαν, τὸ ἀπὸ ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΓΒ ἴσα τῷ τρὶς ἀπὸ ΑΓ, ὡς ἔστιν στοιχείοις δʼ τοῦ τρισκαιδεκάτου θεωρήματι, τουτέστιν τῳ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ, ὥς ἔστι στοιχείοις τὸ γ΄ θεώρημα τοῦ β΄)· τὰ ἄρα ἀπὸ ΑΒΓ ἴσα ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ ΓΒ· κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΒΓ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶ τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΒΓ, τουτέστιν τῷ τρὶς ὑπὸ ΑΓ∠ καὶ τῷ δὶς ἀπὸ Γ∠. ἀλλὰ τὸ τρὶς ὑπὸ ΑΓ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ἀπὸ Α∠Γ καὶ τῷ τρὶς ἀπὸ Γ∠ (ἐπεὶ καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ καὶ τῷ ἀπὸ ∠Γ διὰ τὸ αὐτὸ γ΄ τοῦ β’ στοιχείων θεώρημα)· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τῷ πεντάκις ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τῷ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ.

79 κείσθω δὴ τῇ ΑΔ ἴση ἡ ∠Ε· φανερὸν γὰρ ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ∠Α τῆς Γ∠, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΓΑ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ. καθόλου γάρ, ἐὰν ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ, ὡς ἡ ΑΒ, καὶ τὸ ἔλασσον τμῆμα οἷον τὸ ΓΒ, καὶ τῇ ΓΒ ἴση τεθῇ ἡ Γ∠, καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὑτῆς τμῆμά ἐστιν τὸ ∠Γ, διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ∠Γ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται τῷ Ε, [*](3. τῆς ante ΓΒ add. Ei 5. ἄρα add. Hu auctore Co 3, δʼ Co, Γ Α (S, sed id in Paris. 2368 punctis notatum), Γ΄ Β θεωρήματος ABS, corr. Hu (στοιχείοις τὸ δ΄ θεώρημα τοῦ τρισκαιδεκάτου Ei) 10. 11. ἅπαξ ἀπὸ ΑΒ ἴσον ἐστιν τῶ ὑπὸ A(BS), corr. Co (ἅπαξ ὑπὸ ΑΓ etc. imperite Ei) 12. τὸ τρίτον θεώρημα S Ei. τῷ γ΄ θεωρήματι Hu 13, τῶ τρὶς ὑπὸ ΑΓΒ καὶ bis scripta in A 18. ἴσον τὸ ὑπὸ A, corr. BS 19. τρίτον τοῦ δευτέρου στειχείου S)

422
καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ∠Ε καὶ γάρ, τῇ ∠Γ ἴσης τεθείσης τῆς ΓΒ, ἡ ὅλη ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΓ ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Ε, ἐπειδήπερ ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Α, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Ε. καὶ διελόντι ὡς ἡ Α∠ πρὸς Γ∠, ἡ ΕΓ πρὸς ∠Ε. ἐλάσσων δὲ ἡ Α∠ τῆς ∠Γ· ἐλάσσων ἄρα καὶ ἡ ΕΓ· τῆς ΔΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ ∠ΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ ∠ΕΓ7 καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΓΕ, τουτέστιν τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε, μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ζονΓΕ. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ ∠Γ· καὶ τὸ τετράκις ἀπὸ ∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε· τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζον τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε τὸ ἄρα ἐννάκις ὑπὸ Γ∠Ε μεῖζόν ἐστιν τοῦ πεντάκις ὑπὸ Γ∠Ε καὶ τοῦ πεντάκις ὑπὸ ∠ΓΕ, τουτέστιν τοῦ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ. λόγος δὲ τοῦ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ ἐννάκις ὑπὸ Α∠Γ, ὃν α’ πρὸς γ΄ τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ μείζονα λόγον ἔχει ἥπερ α’ πρὸς γ΄ συνθέντι τὸ ἄρα τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ πεντάκις ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ, πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄ ἐδείχθη δὲ τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Γ καὶ τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ ἴσον τῷ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ πεντάκις ἀπὸ ΓΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ δ΄ πρὸς γ΄.

80 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς BΓ μεῖζόν ἐστιν.

81 ν΄ (ζ΄). Γῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸ εἰκοσάεδρον ἐφʼ ἓν ἐπίπεδον τῶν τοῦ εἰκοσαέδρου καθέτου τὸ δυνάμει δωδεκαπλάσιον μεῖζόν ἐστιν τοῦ δυνάμει πενταπλασίου τῆς πλευρᾶς τοῦ εἰκοσαέδρου. Ἐκκείσθω κύκλος ὁ ΑΒΓ ὁ δεχόμενος τὸ πεντάγωνον τοῦ εἰκοσαέδρου, ὡς ἐν στοιχείοις, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΓ διάμετρος τοῦ κύκλου, τὸ δὲ Ε κέντρον, ἡ δὲ ∠ΚΒ πενταγώνου

424
ἰσοπλεύρου πλευρὰ κάθετος οὖσα ἐπὶ τὴν διάμετρον αὕτη δέ ἐστιν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρά, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις, καὶ ἀπὸ τῶν Ε Γ ἀνεστάτωσαν ὀρθαὶ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου αἱ ΖΕΗ ΓΛ, καὶ ἑκατέρα μὲν τῶν ΕΘ ΓΛ ἑξαγώνου, ἑκατέρα δὲ τῶν ΕΖ ΗΘ δεκαγώνου, καί τετμήσθω ἡ ΕΘ δίχα κατὰ τὸ Ο τὸ Ο ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶν τῆς σφαίρας, ὡς ἐν τοῖς στοιχείοις ιϚ΄ θεώργμα τοῦ ιγ΄. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Λ∠ ΛΒ ΛΚ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΓΛ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΒΓ, καὶ ὀρθή ἐστιν ὑπὸ ΒΓΛ, πενταγώνου ἄρα ἐστιν ἡ ΒΛ διὰ τὸ ι΄ θεώρημα τοῦ ιγ΄· ὁμοίως καὶ ἡ Λ∠. ἔτι δὲ καὶ ἡ Β∠ τὸ ἄρα ΒΛ∠ τρίγωνον ἰσόπλευρόν ἐστιν τῶν περιεχόντων τὸ εἰκοσάεσρον. καὶ ἐπεὶ ἡ ΛΚ τῇ Β∠ πρὸς ὀρθάς ἐστιν, καὶ τὸ διὰ τῶν ΑΓ ΚΛ ἄρα ἐπίπεδον, ὅπερ ἐστὶν τὸ διὰ τῶν ΕΗ ΓΛ παραλλήλων, ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὴν B∠ καὶ ἡ E∠ ἄρα ὀρθή ἐστιν πρὸς αὐτό ταῦτα γὰρ ἐν τοῖς στερεοῖς τῶν στοιχείων ἐδείχθη· καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΔ∠ ἐπίπεδα, ὧν ἐστιν καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον, ὁρθά ἐστιν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΕΗ. ΓΛ παραλλήλων ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν καὶ τὸ ΓΚΛ τρίγωνον ὥστε καὶ τὸ Β∠Λ τρίγωνον ὀρθόν ἐστιν πρὸς τὸ ΓΚΛ. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος ἡ 0Ν· δύο οὖν ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ ἀλλήλοις τό τε ΓΚΛ καὶ τὸ R∠Λ, καὶ τῇ κοινῇ τομῇ αὐτων τῇ ΚΛ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ὀρθή ἐστιν ἡ ΟΝ· καὶ ἡ ΟΝ ἄρα κάθετός ἐστιν [*](2. 3. αὔτη — στοιχείθις interpolatori tribuit Hu 3, τῶν ΕΓ ΑΒ, distinx. S 4. αἱ ZEH ΓΛ Hu, αἱ ΖΕ ΗΓΑ ABS, αἱ ΖΕΘΗ ΓΛ Co, αἱ ΕΗ ΓΛ Ei ἑκατέρας ABS, corr. Ei auctore Co 4. 5. τῶν ΕΦΓΛ A, dstinx. BS 7. θεωρήματι Mu 10. ὑκὸ ΒΓΑ Co pro ὑπὸ ΒΑΓ διὰ τὸ θεώρημα ABS ΕI, numerum add. Co 11. ἔτι Ba, ἐστιν A, ἐστὶ B1S Ei 13. 14. πρὸς ὀρθάς ἐστι add. Ei auctore Co, tum post καὶ τὸ add. α AS cod. Co, α’ B, quod punctis nostatum in S del. Co 14. τὸ (post ἐστὶν) Co, ηο A cod. Co, ἡ o Β, ηο S 15. καὶ ἡ Β∠ — 17. ἐδείχθη interpolatori tribuit Hu 18. τὸ Β∠Λ Hu, τὸ ΒΑ∠ Co pro τὸ ΒΑΛ 20. τὸ Β∠Λ Hu pro τὸ ΒΛ∠ 22. 23. τό τε ΓΚ∠ καὶ τὸ ΒΑΛ ABS, corr. Co (τό τε ΑΓΛ καὶ τὸ ΒΛ∠ Ei))
426
ἐπὶ τὸ Β∠Α τρίγωνον. καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΒ τῆς ΒΚ ὥστε διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ διὰ τὸ δ΄. τετμήσθω δὲ δίχα ἡ ΓΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΟΜ· ἔσται δὴ παράλληλος ἡ ΟΜ τῇ ΕΓ (ἴση γὰρ ἡ ΕΟ τῇ ΓΜ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΓΛ ΕΘ διπλαῖ ἴσαι καὶ παράλληλοί εἰσιν), καὶ ἡ ΛΙ τῇ ΙΚ ἴση (τριγώνου γὰρ τοῦ ΓΚΛ παρὰ τὴν ΓΚ ἦκται ἡ ΙΜ, καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΓΜ τῇ ΜΛ). καὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΛΝ τῆς ΝΚ· οἳων ἄρα ἡ ΚΛ Ϛ΄, ἡ ΛΝ δ΄ καὶ ἡ ΚΝ β΄, καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΙ ΙΚ τριῶν, καὶ λοιπὴ ἡ ΙΝ ἑνός· τριπλῆ ἄρα ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ λέγω οὖν ὅτι δώδεκα τὰ ἀπὸ ΟΝ μεῖζονά ἐστιν ε΄ τῶν ἀπὸ B∠.

82 Κείσθω τῇ ΚΓ ἴση ἡ ΚΞ· διὰ μὲν οὖν τὸ ε΄ θεώρημα τῶν προγραφομένων ἡ ΕΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΕΞ, διὰ δὲ τὸ Ϛ΄ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ πεντάκις ἀπὸ τῆς ἐλάσσονος τῆς ΞΓ μεῖζον τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΓ τοῦ μὲν ἀπὸ τῆς ΞΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ πενταπλάσιον, τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΓ μεῖζον ἢ εἰκοσαπλάσιον. καὶ ἔστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΕΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΓ, τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΚ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΟΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΙ (ἰσογώνια γὰρ τὰ ΟΝΙ ΛΙΜ ΛΚΓ τρίγωνα)· τὸ ἄρα ἀπὸ ΟΝ εἴκοσι τῶν ἀπὸ ΝΙ μεῖζόν ἐστιν. καὶ λϚ΄ ἄρα τὰ ἀπὸ ΟΝ ψκ΄ τῶν ἀπὸ ΝΙ μείζονά ἐστιν. ψκ΄ δὲ τὰ ἀπὸ ΝΙ ὀγδοήκοντά ἐστιν τὼ ἀπὸ ΛΙ ἐδείχθη γὰρ τριπλῆ ἡ ΛΙ τῆς ΙΝ). ὀγδοήκοντα δέ τὰ ἀπὸ ΙΛ εἴκοσί ἐστιν τὰ ἀπὸ ΛΚ (διπλῆ γάρ ἡ ΛΚ τῆς ΛΙ). εἴκοσι δὲ τὰ ἀπὸ ΚΛ ιε΄ ἑστὶν τὰ ἀπὸ Β∠ [*](1. καὶ διπλῆ — τῆς ΒΚ om Ei τῆς ΒΚ Co pro τῆς ΟΚ 3. καὶ add. A1 super vs. 4. τῇ ΓΜ Co, τῆς Μ AB, τῇ μγ S Ei 8. οιον (sine spir. et acc.) A, oἷον B, corr. S ἡ ΛΝ καὶ ἡ KNB A, distinguenda esse significavit B, ἡ λν τεσσάρων καὶ ἡ κν δύο S Ei 11. ἐστιν ε΄] ἐστιν τε A, ἐπτι Β, ἐστι τριῶν S, ἐστι πέντε Ei auctore Co 12. ἡ ΚΞ Cο, ἡ ΗΚΞ Η |Γ Α, ἡ ηκξ νεγ Β (ac similiter cod. Co), ἡ νκξ s 14. 15. ἡ ΕΞ] τὸ ς ΑΒ, τὸ σ s. τὸ ΕΞ Co. ἡ corr. Ei 20. 21. γὰρ γὰ ON Ι Λ ΙΜΑv ΚΓ Α. γὰρ τὰ ονι λιμ ακγ BS, ΛΙΜ om. Ei, ΛΚΓ corr. Co 23. ∠Ε τὰ ΑΒ, corr. S 25, 26 γὰρ ἡ ∠Κ τῆς ∠Ι ABS, corr. Co 26. ἀπὸ ΚΛΙΕ τῶν ἀπὸ Β∠ μείζονα A (BS, nisi quod κλ ιε), τα corr. et μείζονα del. Co, ἐστιν add. Hu)

428
(ἰσόπλευρον γάρ ἐστιν τὸ ∠ΒΛ τρίγωνον, καὶ κάθετος ἡ ΛΚ, καὶ ἐπίτριτος δυνάμει ἡ Β∠ τῆς ΚΛ)· ὥστε λς΄ τὰ ἀπὸ ΟΝ δεκαπέντε τῶν ἀπὸ Β∠, καὶ δώδεκα ἄρα τὰ ἀπὸ OΝ μείζονα πέντε τῶν ἀπὸ Β∠, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

83 να΄ (η΄). Εὰν δύο εὐθεῖαι ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῶσιν, ἐν ἀναλογίᾳ εἰσὶν τῇ ὑποκειμένῃ.

Τετμήσθω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα αὐτῆς ἔστω ἡ ΑΓ, ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ∠Ε κατὰ τὸ Ζ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα ἔστω ἡ ∠Ζ, λέγω ἔτι ὡς ὅλη ἡ ΑΒ πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ΑΓ, οὕτως ὅλη ἡ ∠Ε πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα τὴν ∠Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ· καὶ ὡς ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τεπράκις ὐπὸ ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ, καὶ συνθέντι ὡς τὸ τετράκις ὐπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ. ἀλλὰ τὸ μὲν τετράκις ὑπὸ ΑΒΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ΑΒ καὶ ΒΓ7 διὰ τὸ η΄ θεώρημα τοῦ β΄ στοιχείων, τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ∠ΕΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶν τῆς ∠ΕΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ∠ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Ζ· καὶ μήκει ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΑΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότερος ἡ ∠ΕΖ πρὸς ∠Ζ. καὶ συνθέντι ὡς συναμφότεραι αἱ ΑΒ ΒΓ μετὰ τῆς ΑΓ, τουτέστιν δύο αἱ ΑΒ, πρὸς ΑΓ, οὕτως συναμφότεραι αἱ ∠Ε ΕΖ μετὰ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν δύο αἱ ∠Ε, πρὸς ∠Ζ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς ∠Ζ.

[*](1. τὸ om. ΑΒ, add. s 2. post λϚ add. ∠ AS cod. Co, δʼ 8, del. Co 3. 4. καὶ δώδεκα — ἀπὸ Β∠ om. S, quapropter ex Latinis Commandini τουτέστι δώδεκα τἀπὸ ΟΝ πέντε τῶν ἀπὸ Β∠ μείζονά ἐστει· add. Ei 4. ἀκὶ ΟΝ (ante μείζονα) Co, ἀπὸ ΓΕ ΑΒ 5, ΝΑ)
430

84 Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ὦσιν δύο εὐθεῖαι ἴσαι, ὡς αἱ ΑΒ ∠Ε, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ κατὰ τὰ Γ Ζ, ἔσται τὰ μείζονα τμήματα αὐτῶν ἴσα καὶ τὰ ἐλάσσονα ὁμοίως ἴσα. ἐπεὶ γάρ, ὡς ἐδείχθη, ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς Ζ∠, καὶ ἐναλλάξ: ~