Synagoge

4 α΄. Ἔστω δύο πολύγωνα ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ, καὶ ἔστωσαν ἴσαι μὲν αὐτῶν αἱ περίμετροι, πολυγωνότερον δὲ τὸ ∠ΕΖ· λέγω ὅτι τὸ ∠ΕΖ μεῖζον τοῦ ΓΑΒ.

Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα τῶν περιγραφομένων αὐτοῖς κύκλων τὰ Η Θ, κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΗΚ ΘΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ ΗΓ Θ∠ ΘΖ. ἐπεὶ οὖν πολυγωνότερόν ἐστιν τὸ Ε∠Ζ τοῦ ΑΒΓ, πλεονάκις ἡ ∠Ζ τὴν τοῦ ∠ΕΖ πολυγώνου καταμετρεῖ περίμετρον ἤπερ ἡ ΑΓ τὴν τοῦ ΑΒΓ μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ∠Ζ (ἴσαι γὰρ ὑπόκεινται αἱ περίμετροι), ὥστε καὶ ἡ ΑΚ μείζων τῆς ∠Λ (ἡμίσεια γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας). κείσθω τῇ ∠Λ ἴση ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ΜΗ. καὶ ἐπεί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΓ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν (ἐπειδὴ ἰσόπλευρόν ἐστι τὸ πολύγωνον), ὁμοίως δὲ καί, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ∠Ζ τῆς τοῦ ∠ΕΖ περιμέτρου; τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΘΖ γωνία τεσσάρων ὀρθῶν, καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ περίμετροι ἀλλήλαις καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΑΒΓ περίμετρον, οὕτως ἡ Η γωνία πρὸς δ΄ ὀρθάς. ὡς δὲ ἡ περίμετρος τοῦ ∠ΕΖ, τουτέστιν τοῦ ΑΒΓ, πρὸς τὴν ∠Ζ, αἱ δ΄ ὀρθαὶ πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΘΖ γωνίαν· [*](9. α΄ add. Hu 14. κύκλον (sine acc.) A, corr. BS καὶ κάθετοι coni. Hu αἱ ΗΚΘΛ A, distinx. BS 25. ἡ ὑπὸ ∠ΕΖ AB, corr. S 27. καὶ αἱ δ΄ ὀρθαὶ ταῖς δ΄ ὀρθαῖς] quamquam eiusmodi res per se consentaneas veteres mathematici interdum adnotant, tamen haec verba maiorem interpretamenti quam genuinae scripturae Speciem prae se ferunt)

5 β΄. Ἔστω πάλιν τὸ πολύγωνον τὸ ΑΒΓ ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἴσην ἔχον τὴν περίμετρον τῇ τοῦ ΔΕΖ κύκλου περιφερείᾳ· λέγω ὅτι μείζων ἐστὶν ὁ ∠ΕΖ κύκλος τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου.

Εἰλήφθω τοῦ μὲν ∠ΕΖ κύκλου κέντρον τὸ Θ, τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ πολύγωνον περιγραφομένου κύκλου κέντρ τὸ Η, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸν κύκλον πολύγωνον ὅμο τῷ ΑΒΓ τὸ ΛΜΝΞΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Θ∠, καὶ κάθε ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν μείζ ἐστὶν ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγόνου περίμετρος τῆς τοῦ ∠. κύκλου περιφερείας, ὡς ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρ Ἀρχιμήδει ὑπόκειται διὰ τὸ περιέχειν αὐτήν, ἡ δὲ τ κύκλου περιφέρεια ἴση ἐστὶν τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγόνου πε μέτρῳ, καὶ ἡ τοῦ ΛΜΝΞΟ πολυγώνου περίμετρος μείζ τῆς τοῦ ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστιν ὅμοια πολύγωνα· μείζων ἄρα ἡ Λ∠ τῆς ΑΚ. καὶ ἔστιν ὁμο τὸ ΑΗΚ τρίγωνον τῷ ΛΘ∠ τριγώνῳ (καὶ γὰρ τὰ ὅλα τ λύγωνα ὅμοιά ἐστι)· μείζων ἄρα καὶ ἡ Θ∠ τῆς ΗΚ. δὲ ἡ τοῦ ∠ΕΖ κύκλου περιφέρεια τῇ τοῦ ΑΒΓ πολυγώ περιμέτρῳ μεῖζον ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ∠Θ καὶ τῆς τοῦ ∠ κύκλου περιφερείας τοῦ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς τοῦ Α. πολυγώνου περιμέτρου. καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπὸ τῆς ∠Θ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας διπλάσιον τοῦ ∠ΕΖ κύκ. (καὶ τοῦτο γὰρ ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ τῆς τοῦ κύκ περιφερείας δέδεικται), τὸ δὲ ὑπὸ τῆς ΗΚ καὶ τῆς ΑΒΓ πολυγώνου περιμέτρου διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ πο γώνου, καὶ τὰ ἡμίση· μείζων ἄρα ὁ κύκλος τοῦ ΑΒΓ τ λυγώνου.

6 Ὅτι μὲν οὖν τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκ. καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου Ἀρ

Ἔστω. γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου αὐτοῦ καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἥμισυ ἔστω τὸ Ζ χωρίον· λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶν τὸ Ζ χωρίον τῷ ΑΒΓ∠ κύκλῳ.

7 Ἔστω γὰρ. πρότερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἀκολούθως τῇ ἀγωγῇ τῇ ἐν τῷ δωδεκάτῳ τῶν στοιχείων ἐγγράψαι εἰς τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ ἐγγραφὲν πολύγωνον μεῖζον εἶναι τοῦ Ζ χωρίου, εἰ πρότερον ἐγγραφείη τετράγωνον εἰς τὸν κύκλον καὶ αἱ περιφέρειαι τῶν περιλειπομένων τμημάτων αἰεὶ δίχα τέμνοιντο, μέχρις ἂν λειφθείη τινὰ τμήματα ἐλάσσονα ὄντα τῆς ὑπεροχῆς ἧ ὑπερέχει ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου. ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Η κέντρου ἤχθω ἐπὶ μίαν. πλευρὰν τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ περίμετρος τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου μείζων ἐστὶ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε ὁποσαγώνου, ἡ δ᾿ ἐκ τοῦ κέντρου μείζων τῆς ΗΘ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μεῖζόν ἐστιν τοῦ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου καὶ τῆς ΗΘ. καὶ τὰ ἡμίση· μεῖζον ἄρα τὸ Ζ χωρίον τοῦ ΑΒΓ∠Ε πολυγώνου, ὅπερ ἀδύνατον ὑπόκειται γὰρ ἔλασσον· οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος τοῦ Ζ χωρίου.

8 Λέγω δὴ ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάσσων· δυνατὸν ἄρα περιγράψαι περὶ τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον πολύγωνον, ὥστε τὸ Ζ χωρίον μεῖζον εἶναι τοῦ περιγεγραμμένου πολυγώνου, εἰ πρότερον τετράγωνον περιγραφείη περὶ τὸν κύκλον καὶ δίχα ἀεὶ τεμνομένων τῶν ἀπολειπομένων [*](4. ὁ ΑΒΓ et 10. τὸν ΑΒΓ ABS, corr. Co 15. ὁ ΑΒ Γ∠, A, coniunx. BS 18. ΗΘΕ ἐπεὶ ABS, corr. Co 25. ὁ ABS, corr. Co 27. ἔστω A1 corr. ex ἔσται)

Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ἔλασσον ἴσον ἄρα. καὶ ἔστι τοῦ χωρίου διπλάσιον τὸ ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου.

9 δ΄. Οὐ μόνον δὲ τῶν τεταγμένων ἐπιπέδων σχημάτων, ἅ ἐστιν ἰσόπλευρά τε καὶ ἰσογώνια, ὁ κύκλος γίνεται μείζων, ἀλλὰ καὶ τῶν ἀνισοπλεύρων καὶ τῶν ἀνομοιογωνίων, ὅταν τὴν αὐτὴν αὐτοῖς περίμετρον ἔχῃ. δειχθήσεται γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων πολυγώνων καὶ πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἶσογώνιον. πρότερον οὖν τὰ εἰς τὴν ἀπόδειξιν αὐτοῦ λαμβανόμενα θεωρήματα προγράψομεν.

10 Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ εὐθεῖα ἡ Ε, ἥτις ἔστω ἐλάσσων μὲν τῆς ΑΒ, μείζων δὲ τῆς ΒΓ· ὅτι δυνατόν ἐστιν ἐπὶ τῆς ΑΓ δύο εὐθείας συσταθῆναι, ὥστε συναμφοτέρας μὲν ἴσας εἶναι ταῖς ΑΒΓ, μίαν δὲ αὐτῶν ἴσην τῇ Ε.

Ὅσον γὰρ ὑπερέχουσιν αἱ ΑΒ ΒΓ τῆς Ε, ἔστω ἡ Ζ· ἡ Ζ ἄρα τῆς μὲν ΑΒ ἐλάσσων ἐστὶν (ὅτι συναμφότεραι αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι εἰσίν, ὧν ἡ Ε τῆς ΓΒ μείζων), τῆς δὲ ΓΒ μείζων (ἐπεὶ συναμφότεραι πάλιν αἱ ΑΒΓ ταῖς Ε Ζ ἴσαι, ὧν ἡ Ε τῆς ΑΒ ἐλάσσων). ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΒΓ τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν, καὶ αἱ Ε Ζ ἄρα τῆς ΑΓ μείζονές εἰσιν. ἐπεὶ δὲ καὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονές εἰσιν, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ε, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ζ, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ε τῆς Ζ μείζονές εἰσιν. ὁμοίως ἐπεὶ αἱ ΑΓΒ τῆς ΑΒ μείζονες, ἀλλὰ τῆς μὲν ΓΒ μείζων ἡ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ ἐλάσσων ἡ Ε, πολλῷ ἄρα αἱ ΑΓ Ζ τῆς Ε μείζονές εἰσιν· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῶν ΑΓ Ε Ζ τρίγωνον συστήσασθαι. συνεστάτω τὸ ΑΓ∠ --- καὶ φανερὸν ὅτι εἰ μὲν ἴσαι εἰσὶν αἱ Ε Ζ, ἰσοσκελὲς ἔσται τὸ ΑΓ∠ τρίγωνον, εἰ δὲ ἄνισοι, ἡ μείζων αὐτῶν ἴση ἔσται τῇ Γ∠.

11 ε΄. Τῶν ἰσοπεριμέτρων τριγώνων καὶ τὴν αὐτὴν βάσιν ἐχόντων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, καὶ ἀεὶ τὸ ἰσοσκελέστερον μεῖζον.

Ἐπὶ γὰρ τῆς ΒΓ βάσεως ἰσοπερίμετρα ἔστω τρίγωνα, ἰσοσκελὲς μὲν τὸ ΑΒΓ, ἰσοσκελέστερον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ (δυνατὸν γὰρ κατασκευάσαι διὰ τὸ προδειχθὲν ἔναγχος)· λέγω ὅτι μέγιστον μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ, μεῖζον δὲ τὸ Β∠Γ τοῦ ΒΕΓ.

ἔσται παράλληλος οὖσα τῇ ΒΓ διὰ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας· ἐκβληθείσης ἄρα τῆς ΓΕ ἄχρι τῆς ∠Λ παραλλήλου καὶ συμπιπτούσης κατὰ τὸ Λ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΒΛ ἔσται τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΛΓ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΒ καὶ παραλλήλων τῶν ΒΓ ∠Λ, ὥστε μεῖζον εἶναι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΒΕΓ ἐλάσσονος ὄντος τοῦ Β∠Γ.

12 Ϛ΄ Πάλιν ἔστω δύο τρίγωνα ὀρθογώνια ὅμοια τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Γ Ζ γωνίας· λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς.

Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Η, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ ΕΗ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η παράλληλος τῇ ∠Ε ἀχθεῖσα συμπιπτέτω τῇ ∠Ζ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ, διὰ δὲ τοῦ ∠ παράλληλος τῇ ΖΗ ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∠Θ τῇ ΗΕ ἐν παραλληλογράμμῳ, τουτέστιν τῇ ΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ Κ∠Θ γωνία τῇ Ζ ἴση, τουτέστιν τῇ Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ Θ τῇ Β, καὶ λοιπὴ ἡ Κ τῇ Α, ἰσογώνια ἄρα τὰ ΚΘ∠ ΑΒΓ τρίγωνα καὶ ἴσα τὸ ἄρα ἀπὸ ΚΖ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΗΖ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ ΑΓ ∠Ζ ὡς μιᾶς τῷ τε ἀπὸ ΑΒ ∠Ε ὡς μιᾶς καὶ τῷ ἀπὸ ΒΓ ΕΖ ὡς μιᾶς.

13 ζ΄. Τὰ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συναμφότερα τῶν ἐπὶ ταῖς αὐταῖς βάσεσι συναμφοτέρων ἰσοσκελῶν τριγώνων ἀνομοίων μὲν ἀλλήλοις καὶ τοῖς ὁμοίοις, ἰσοπεριμέτρων δὲ αὐτοῖς, μείζονά ἐστιν.

Ἔστω ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ∠ΖΒ ΒΑΓ, καὶ

Ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΖ ΑΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰς βάσεις· τεμοῦσι δὴ αὐτὰς δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθάς· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ∠ΕΖ ταῖς ΒΕΖ, καὶ βάσεις ἴσαι αἱ ∠Ζ ΖΒ διὰ τὸ ἰσοσκελῆ εἶναι τὰ τρίγωνα, καὶ γωνίαι ἴσαι καὶ ὅμοια τὰ ∠ΕΖ ΖΕΒ τρίγωνα, ὥστε καὶ τὰς ἐκτὸς γωνίας Ζ Ζ ἴσας εἶναι ἴσαι εἰσὶν ταῖς ἐντός, ἴσαι δέ εἰσιν καὶ αἱ ∠ Β, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ Η Η ἴσαι· ὀρθαὶ ἄρα εἰσίν· καὶ ἴσαι αἱ ∠Η ΗΒ. ὁμοίως δὲ καὶ αἱ ΒΜ ΜΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ ὀρθαὶ αἱ Μ Μ. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὰ Η Μ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΗ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ὑπὸ ΕΒΗ τῇ ὑπὸ ΘΒΗ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΕΒΗ μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ (ὅτι καὶ τῆς ὑπὸ ΖΒΗ ἴσης· ὅμοια γὰρ τὰ ∠ΒΖ ΒΑΓ τρίγωνα)· καὶ ἡ ὑπὸ ΘΒΗ ἄρα μείζων τῆς ὑπὸ ΑΒΓ· ἡ ἄρα τὰ Θ Λ σημεῖα ἐπιζευγνύουσα τέμνει τὴν ΒΜ, ὑποκειμένης τῆς ∠ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΘΒΝ ἐκβεβλημένης ἔξωθεν τῆς ΑΒ, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ τῆς ὑπὸ ΘΒΗ, τουτέστιν τῆς κατὰ κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΝΒΓ, καὶ πολλῷ ἡ ὑπὸ ΛΒΓ ἐλάσσων, ὥστε τὴν ΒΜ τέμνεσθαι ὑπὸ τῆς ΘΛ κατὰ τὸ Κ καὶ φανερὸν ὅτι οὐ τὴν ΜΓ τέμνει, ἵνα μὴ τὴν ΛΜ ἐκβαλλομένην τέμῃ κατ᾿ ἄλλο σημεῖον τοῦ Λ.

14 ἐπεὶ οὖν αἱ ∠ΕΒ Β∠Γ ταῖς ∠ΖΒ ΒΑΓ ἴσαι εἰσίν (ὑπόκεινται γὰρ [*](3. ὅτι — εἰσιν interpolatori tribuit Hu 8. ἴσκα — 15. αἱ Μ Μ] conf. p. 323 adnot. * 10—12. manifesta glossemata duo del. Hu 13. αἱ ∠Β A, distinx. BS 15. κατὰ τὰ ΗΜ A, distinx. BS 16. ἡ ΕΗ Co Sca pro ἡ ΘΗ 20. ἄρα τὰ ΘΛ A, distinx. BS 23. τῆς ὑπὸ ΘΗΒ ABS, corr. Co Sca 26. 27. καὶ φανερὸν — τοῦ Λ interpolatori tribuit Hu)

15 η΄. Ἔστω ἐπὶ ἀνίσων βάσεων τῶν ΑΒ Γ∠ ἰσοσκελῆ τρίγωνα τὰ ΑΕΒ Γ∠Ζ, καὶ ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ ἴση ἔστω, ἡ δὲ ΑΒ τῆς ∠Γ μείζων (ἀνόμοια ἄρα τὰ τρίγωνα)· δεῖ δὴ ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα συστήσασθαι, ὥστε τὰς δ΄ πλευρὰς αὐτῶν ἅμα ἴσας εἶναι ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠ ἅμα.

Ἐκκείσθω γὰρ ἡ ΗΘ εὐθεῖα ἴση οὖσα ταῖς ΑΕΒ ΓΖ∠, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Κ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΗΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως τὴν ΑΒ βάσιν πρὸς τὴν Γ∠, τετμήσθω δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΚ ΚΘ δίχα κατὰ τὰ Λ Μ σημεῖα. ἐπεὶ οὖν ἡ ΗΘ συναμφοτέρων τῶν ΑΒ Γ∠ μείζων ἐστίν (ὅτι καὶ αἱ ΑΕΒ ΓΖ∠), καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Γ∠, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΚ τῆς ΑΒ, ἡ δὲ ΚΘ τῆς Γ∠. καὶ τέτμηται ἑκατέρα δίχα· τῶν ἄρα ΑΒ ΗΛ ΛΚ αἱ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσιν πάντη μεταλαμβανόμεναι. ὁμοίως καὶ τῶν Γ∠ ΚΜ ΜΘ. συνεστάτω οὖν ἐκ μὲν τῶν ΑΒ ΗΛ ΛΚ τὸ ΑΞΒ τρίγωνον (φανερὸν γὰρ ὅτι ἔξω πίπτουσιν τῶν ΑΕΒ διὰ τὸ μείζους εἶναι τὰς ΗΛΚ τῶν ΑΕΒ· ἡ μὲν γὰρ ΑΕΒ ἡμίσεια τῆς ΗΘ, ἴσαι γὰρ αἱ ΑΕΒ ταῖς ΓΖ∠, καὶ αἱ δ΄ ἅμα εὐθεῖαι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΗΚ μείζων ἢ ἡμίσεια τῆς ΗΘ), ἐκ δὲ τῶν Γ∠ ΚΜΘ τὸ ΓΝ∠ (ὑμοίως [*](1. 2. πρὸς τὴν Hu pro πρὸς τὸ 2. πρὸς τὰ ΑΖΒ ABS, corr. Co 4. ελασσον ἄρα A, ἐλάσσον ἄρα B, corr. S 7. Η A1 in marg. (B), om. S ante Ἔστω legi voluit Co: Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν δειχθήσεται οὕτως (quod autem positum est ita ostendetur) 8. τὰ ∠ΕΒ ABS, corr. Co Sca 10. τῶν ΑΒΓ∠ AS, distinx. Bs Co 11. ὡς τὸ τῆς ∠ πλευρᾶς AB1S, ὥς τε τᾶς corr. B3, accentus quoque corr. Co 16. κατὰ τὰ ΛΜ A, distinx. BS 17. τῶν ΑΒΓ∠ A, distinx. BS 21. πάντηι A, corr. B Paris. 2368 24. τὰς Η ΛΚ A, coniunx. BS)

16 Τὸ δὲ ΑΕΒ τρίγωνον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου ποτὲ μὲν μεῖζον γίνεται, ποτὲ δὲ ἔλασσον, ποτὲ δὲ ἴσον αὐτῷ. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΠΡΣ ἴσην ἔχον τὴν μὲν ΠΡ τῇ ΖΓ, τὴν δὲ ΡΣ τῇ ∠Ζ, τὴν δὲ ΠΣ τῇ Γ∠· ἴσα ἄρα καὶ ὅμοιά ἐστι τὰ ΓΖ∠ ΠΡΣ τρίγωνα ἀλλήλοις. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ μείζων ἐστὶν τῆς Γ∠, τουτέστιν τῆς ΠΣ, καὶ αἱ ΑΕ ΕΒ ἴσαι ταῖς ΠΡ ΡΣ (ἐπεὶ καὶ ταῖς ΓΖ Ζ∠ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ), γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῆς ὑπὸ ΠΡΣ μείζων ἐστίν ἐπεὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΖ∠ μείζων ἐστίν). κείσθω ἡ ὑπὸ ΠΡΤ γωνία τῇ Ε ἴση, καὶ ἡ ΡΤ τῇ ΡΣ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΤ· ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιον τὸ ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ τριγώνῳ. ἐκβεβλήσθω δὲ ἡ ΠΣΥ, καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΠΥ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΡΥ· μείζων ἄρα ἡ ΡΥ τῆς ΡΣ καὶ τῆς ΡΤ (ἑκατέρα γὰρ τῶν ΠΡ ΡΤ ἴση ἐστὶν τῇ ΡΣ). τὸ οὖν ΠΡΤ τρίγωνον τῷ ΑΕΒ ἴσον ἐστὶν καὶ ὅμοιον, τῷ δὲ ΠΡΣ τὸ ΠΡΤ ἤτοι ἴσον ἐστίν, ἐὰν ἡ ΓΣ παράλληλος ᾖ τῇ ΡΠ, καὶ αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ὦσιν αἱ ὑπὸ ΡΠΤ ΠΤΣ (ἐπὶ γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς [*](4. συνεσταμέναι coni. Hu, constitutae sunt Co 6 — p. 332, 10. totum caput 16 interpolatum esse videtur 15. ἡ PC τῆι ΡΤ ABS,)

17 Τὸ λοιπὸν τῶν ἐν ὑπερθέσει ---

18 θ΄. Τούτων προγραφέντων τὸ προκείμενον δείξομεν, τουτέστιν ὅτι τῶν ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλενρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Ἔστω γὰρ πολύπλευρον τὸ ΑΒΓ∠Ε μέγιστον τῶν ἰσοπερι ?? μέτρων αὐτῷ καὶ ἰσοπληθεῖς πλευρὰς ἐχόντων· λέγω ὅτι ἰσό όπλευρόν ἐστιν. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστωσαν αἱ ΑΒΓ ἄνισοι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, ἐφ ἧ συνεστάτω τρίγωνον ἰσοσκελς τὸ ΑΖΓ, ὥστε συναμφοτέρας τὰς ΑΖΓ ἴσας εἶναι συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ διὰ τὸ δ΄. ἐπεν οὖν πρὸ τριῶν ἐδείχθη ὅτι τῶν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ἰσοπε ριμέτρων τριγώνων τὸ ἰσοσκελὲς μέγιστόν ἐστιν, μεῖζον ἄρα τὸ ΑΖΓ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓ∠Ε τετραπλεύρου ἔσται τι χωρίον τὸ ΖΓ∠ΕΑ τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου, ἰσοπερίμετρον αὐτῷ καὶ ἰσαρίθμους πλευρὰς ἔχον, μεῖζον, ὅπερ ἀδύνατον· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶν τὸ ΑΒΓ∠Ε. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἰσοπλευρότερον ἀεὶ [*](2. ἐὰν ἡ S, εανη ἡ A, ἐὰν ᾐ ἡ B 9. 10. μεῖζον ἐστι (sic) Α 12. Θ A1 in marg. (BS) 24. τὰ ΑΖΓ A, corr. BS 26. πρὸ τρῶν, non πρὸ τεττάρων scriptor et hoc loco et paulo post numerat, quis)

19 ι΄. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον. μὴ γάρ, ἀλλ᾿ εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ Β γωνία τῆς ∠ μείζων. καὶ ἡ ΑΓ εὐθεῖα τῆς ΓΕ ἄρα μείζων (ἴσαι γὰρ αἱ ΑΒΓ Γ∠Ε). συνεστάτω ἐπὶ τῶν ΑΓ ΓΕ ἀνίσων ὅμοια ἰσοσκελῆ τρίγωνα, ὡς πρὸ ἑνὸς ἐδείχθη, τὰ. ΑΖΓ ΓΗΕ τὰς ΑΖΓ ΓΗΕ πλευρὰς συναμφοτέρας ἴσας ἔχοντα συναμφοτέραις ταῖς ΑΒΓ Γ∠Ε. μείζονα δὴ ἔσται τὰ συσταθέντα τὰ ΑΖΓ ΓΗΕ ἅμα τῶν ἐξ ἀρχῆς ΑΒΓ Γ∠Ε· καὶ τοῦτο γὰρ δέδεικται πρὸ δύο. κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΓΕ τριγώνου ἔσται τὸ αὐτὸ ἄτοπον τὸ γὰρ ΑΖΓΗΕ μεῖζον ἔσται τοῦ ΑΒΓ∠Ε μεγίστου καὶ ἰσοπεριμέτρου αὐτῷ. καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε πολύπλευρον τῶν ἄρα ἰσοπεριμέτρων εὐθυγράμμων σχημάτων καὶ τὰς πλευρὰς ἰσοπληθεῖς ἐχόντων τὸ μέγιστον ἰσόπλευρόν τέ ἐστιν καὶ ἰσογώνιον.

Καὶ δῆλον ὅτι μέγιστος πάντων τῶν ἰσοπεριμέτρων σχημάτων ὁ κύκλος, ἐπειδὴ τοῦ ἰσοπεριμέτρου τεταγμένου σχήματος, ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, ἐδείχθη μείζων.

20 ια΄. Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν τοῖς προειρημένοις θεωρίας καὶ τοῦτο. τῶν ἴσην ἐχόντων περιφέρειαν κυκλικῶν τμημάτων μέγιστόν ἐστι τὸ ἡμικύκλιον. δείξομεν δὲ τοῦτο προγράψαντες πρότερον τὰ εἰς αὐτὸ λαμβανόμενα.

21 Αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

Ἔστωσαν δύο κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ διάμετροι αὐτῶν αἱ ΑΒ Γ∠· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια [*](3. ῖ A1 in marg. (BS) πολύπλευρον Hu pro πεντάπλευρον, item vs. 14 4. γὰρ S, om. AB 12. τὸ γὰρ ΑΖΓ ΗΕ A, coniunx. BS 17. ὀρθογώνιον ABS, corr. Hu auctore Co 18. τῶν B1 S, om. A, del. B3 22. ῑᾱ A1 in marg. (BS) 25. αὐτὰ ABS, corr. Hu auctore Co)

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ κύκλος πρὸς τὸν Γ∠ ΓΑ κύκλον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠, ἀλλὰ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστι τὸ περιεχύμενον όρθογώνιον ὑπό τε τῆς ΑΒ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, τοῦ δὲ Γ∠ κύκλου τετραπλάσιόν ἐστιν τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ εὐθείας καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῆς ΑΒ καὶ τῆς περιφερείας τοῦ ΑΒ κύκλου πρὸς τὸ ὑπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ὑπὸ τῆς τοῦ ΑΒ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ, οὕτως τὸ ὐπὸ τῆς τοῦ Γ∠ κύκλου περιφερείας καὶ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ ὡς ἄρα ἡ τοῦ ΑΒ κύκλου περιφέρεια πρὸς τὴν ΑΒ, οὕτως ἡ τοῦ Γ∠ περιφέρεια πρὸς τὴν Γ∠, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ τοῦ ΑΒ περιρέρεια πρὸς τὴν τοῦ Γ∠ περιφέρειαν, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠.

22 ιβ΄. Τοῦτο ἀποδείκνυται καὶ χωρὶς τοῦ λαβεῖν ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῆς περιφερείας τετραπλάσιόν ἐστιν τοῦ κύκλου. τά γὰρ ἐγγραφόμενα τοῖς κύκλοις ἢ περιγραφύμενα ὅμοια πολύγωνα τὰς περιμέτρους ἔχει λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν ταῖς ἐκ τῶν κέντρων, ὥστε καὶ αἱ τῶν κύκλων περιφέρειαι πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ὡς αἱ διάμετροι.

23 Πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, ἐκ τοῦ κέντρου δὲ αὐτοῦ ἡ ∠Β, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ διήχθω τις ἡ ∠Ε· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ περίμετρος τοῦ κύκλου πρὸς τὴν ΒΖΕ περιφέρειαν, οὕτως ὁ ΑΒΓ κύκλος πρὸς τὸν Β∠Ε τομέα.

Εἰ μὲν οὖν σύμμετρύς ἐστιν ἡ ΒΖΕ περιφέρεια τῇ ΑΒΓ περιμέτρῳ τοῦ κύκλου, ἐπεὶ διαιρεθείσης εῆς ΑΒΓ περιμέτρου τοῦ κύκλου εἷς τὰ μέτρα καὶ ἀπὸ τῶν τῆς διαιρέσεως σημείων ἐπὶ τὸ ∠ κέντρον ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν [*](2. εὐθεῖα] διάμετρος Pappus VIll cap. 46 πρὸς BS, om. A 10. κύκλου et 11. Γ∠ add. Hu auctore Co 12. καὶ ἐναλλὰξ —)