Synagoge

Pappus Alexandrinus

Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

16 δ΄. Ἔστω ἴση ἡ Α τῇ Ε, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὺς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς ∠, ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἡ Ζ πρὸς τὴν Η, καὶ ἡ Η πρὸς τὴν Θ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ∠ τῆς Θ.

Ἔπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ, ἴση δὲ ἡ Α τῇ Ε, ἡ Β ἄρα πρὸς τὴν Α μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Ε. ἀνάπαλιν ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχε. ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ [*](1. γ΄ add. S αἱ ΑΒ et 2. τῶν ΑΒ Α, distinx. BS 2. ἐλάσσων — τῶν Α Β interpolatori tribuit Hu 9. ὡς ἡ α B3S, ὡς A AB1 10. 11. ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β, ἡ δὲ] ἐστὶν ///////// δὲ Α, om. B1, ἐστὶν ἡ μὲν. τῇ ἡ ἡ δὲ S, corr. B3 Sca 11. ΓΚ τῆς Ν Α, corr. BS 12. ἡ β πρὸς τὴν Β Sca, ///////// A, ἡ . . . . . . . . S 13. οὕτως ἡ ΕΖ} οὕτως ἡ Τ∠ πρὸς τὴν ΕΖ καὶ ἡ ΕΖ voluit Co 21. ∠ A1 in marg. (S), om. B 25. ἡ Β ἄρα — p. 52, 2. ὡς δὲ ἡ Β] pro his nihil nisi)

ἡ Ε πρὸς Ζ, οὕτως ἡ Ζ πρὸς Η· καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ πρὸς Γ, οὕτως ἡ Γ πρὸς ∠ καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η πρὸς Θ· καὶ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ, ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η, ἡ δὲ Γ πρὸς ∠ ἐλάσσονα ἤπερ Α πρὸς Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς. καὶ ἔστιν ἴση ἡ Α τῇ Ε· μείζων ἄρα ἡ ∠ τῆς Θ, ὅπερ. ~

17 ε΄. Η Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς ∠· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν ∠

Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς ∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς Ε. ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρύς ∠· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς ∠.

18 Ϛ΄ Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ· ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἐχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ. ἐπεὶ οὖν Α πρὸς ∠ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχι. ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ, ὅπερ ~ .

19 ζ΄. Α μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα, παρεὶς [*](5. ἡ ΓΑ ἄρα AS, ἡ γ * ἄρα B, corr. etiam Sca 6. ἡ aute H om. AB3S (plura om. B1), add. Sca 10. ἴση ἡ α B3 (α in rasura) Sca, ἡ ∠ AS 11. ὅπερ nulla sequente nota compendii A, ὅπερ: ~ B, ὅπερ ἔδει ~ S 12. Ε A1 in marg (S), om. B 17. ἄρα add Hu, item vs. 19 21. Ϛ A1 in marg. om. BS 28. ἐπεὶ οὐν — 29. ἡ Γ)

δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπʼ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ᾿ ἡμῶν ἐπενεχθέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετριᾳ προβλημάτων, ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν.

20 Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα· καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέκληται· πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς. τρίτον δʼ ἔτι καταλείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρἂ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα.

21 τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημέτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες, ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν ὡς δεῖ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δʼ ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ [*](1. τὰ] τά τε coni, Hu 18. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευὴν Co, corr. Hu 19, βεβιασμένην AS, sed litterae βεβι vix perspicuae in A, μεταπλασμένην B, κατασκευασμένην cod. Paris, 2369, transmutabilom Co 20. τυγχά ////////////// καὶ Α τυγ. .......... καὶ B1, τυγχάνουσιν αἱ ...... καὶ B3, τυγχάνουσι ....... καὶ S, ἕλικες add. Co κοχλοεισυμφώνως)

καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς ἢ καταπαλτικοῖς. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρόβλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται συμφόνως Ἀπολλωνίῳ τῷ Περγαίῳ ὃς καὶ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ πεποίηται διὰ τῶν τοῦ κώνου τομῶν, καὶ ἄλλοι διὰ τῶν Ἀρισταίου τόπων στερεῶν, οὐδεὶς δὲ διὰ τῶν ἰδίως ἐπιπέδων καλουμένων, Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοειδοῦς γραμμῆς, διʼ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν.

22 ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευάς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην. στερεοῦ γάρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ δοθέντι, κατασκευάζεται πρὸς τὸν δοθέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές ἀνάλογον ληφθῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικοῖς.