Synagoge

1 ---γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονας μὲν εἶναι ἑκατοντάδος μετρεῖσθαι δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.

Ἔστωσαν οὖν οἱ ἀριθμοὶ ν΄ ν΄ ν΄ μ΄ μ΄ λ΄· ἔσονται ἄρα οἱ πυθμένες ε΄ ε΄ έ  δ΄ δ΄ γ΄· ὁ ἄρα ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδων Ϛ. καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν δεκάδων ἐστὶν Ϛ΄ καὶ μετρούμενον ὑπὸ τετράδος λείπει δύο, ἔσται ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς τῶν δεκάδων μυριάδων ἁπλῶν ἑκατόν. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν δεκάδων στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεὸν ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν ἐξ ἀρχῆς στερεόν, αἱ ἄρα μυριάδες ρ΄· ἐπὶ τὰς μονάδας Ϛ γενόμεναι ποιοῦσιν μυριάδας ξ΄ διπλᾶς, ὥστε ὁ ἐκ τῶν ν΄ ν΄ ν΄ μ΄ μ΄ λ΄ στερεός ἐστιν μυριάδων ξ΄ διπλῶν.

2 ιε΄. Ἔστωσαν δὴ πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐφʼ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρείσθω δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα τοὺς ἀριθμούς. Γεγονέτω, καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους αὐτῶν μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος, καὶ ὑποκείσθω ὑπὸ ἕκαστον τῶν Β ἑκατοντάς ἡ α΄, καὶ καθὸ μετρεῖται ἕκαστος τῶν Β [*](1. ἐλάσσονος ASV, corr. BV2 2. αυτὸν (sine spir.) A, corr. BS 4. οἱ — μ΄ λ΄ add. Wa 5. οἱ πυθμένες ente 4. ἔσονται ἄρα ABS, transposuit Hu 6. μονάδων BS, μ, A 7. Ϛ΄ Wa pro κϚ 8. τῶν δεκάδων del. Hu 9. τῶν δεκάτων A, corr. BS 11. μονάδας BS, μ A γινόμεναι V1 Wa 12. νννμ μ λ A (S), distinxit B 14. ιε΄ add. Hu, ιϚ΄ Wa δὲ Wa ὅσοι δήποτε οὖν AB, corr. S 18. Γεγονέτω add. Hu 20. τῶν β SWa, τῶν δύο AB utroque loco)

3 Ἀλλ᾿ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενος ἄρα λείψει δυάδα ἐξ ἀνάγκης (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), ὥστε καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενος ὑπὸ τετράδος· τὸ ἄρα πλῆθος τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενον ὑπὸ δυάδος λείψει μίαν ἑκατοντάδα. ὁ τοίνυν διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεὸς ἔσται μυριάδων ρ΄ ὁμωνύμων τῷ Ζ, τουτέστι διπλῶν, ὥστε δῆλον ὅτι ὁ διὰ τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μυριάδες εἰσὶν ρ ὁμώνυμοι τῷ Ζ γενόμεναι ἐπὶ τὸν Ε τὰς ρκ΄ μονάδας. γίνονται μυριάς μία δισχίλιαι διπλῶν μυριάδων.

4 ιϚ΄. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, καὶ ὁ μὲν Α ὑποκείσθω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, οἷον μονάδες φ΄, ὁ δέ Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, οἷον μονάδες μ΄, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν ἀριθμὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.

Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν οἱ γὰρ ε΄ δ΄ πυθμένες αὐτῶν ὄντες μο. ε΄ καὶ μο. δ΄ πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι μονάδας κ΄, χιλιάκις δὲ ὁ κ΄ ἀριθμὸς ποιεῖ μυριάδας δύο ποιούσας τὸν ὑπὸ τῶν Α Β γινόμενον. τὸ δὲ γραμμικὸν δῆλον ἐξ ὧν ἔδειξεν Ἀπολλώνιος.

5 ιζ΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιη΄ θεωρήματος. Ἔστω πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐχʼ ὧν τὰ Α, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλο πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐχ’ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν ἐχ᾿ ὧν τὰ Α Β στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς. Έστωσαν γὰρ πυθμένες τῶν μὲν ἐχʼ ὧν τὰ Α οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Η, μονάδες α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ , τῶν δὲ ἐχʼ ὧν τὰ Β οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Θ, μονάδες β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ καὶ ε΄, καὶ ληφθέντες τοῦ ἐκ τῶν πυθμένων στερεοῦ τῶν β΄ γ΄ δ΄ β΄ γ΄ δʼ ε΄, τουτέστιν τοῦ Ε, μονάδων ὄντος βωπ΄, τὸ πλῆθος τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Ζ, μετρεῖ δὲ αὐτούς. καὶ δείκνυσιν ὁ Ἀπολλώνιος τὸν ἐκ πάντων τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α Β στερεὸν μυριάδων τοσούτων, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμωνύμων τῷ Ζ ἀριθμῷ, τουτέστιν τριπλῶν μυριάδων βωπ΄. μία γὰρ μυριὰς ῥμώνυμος τῷ Ζ, τουτέστιν τριπλῆ, ἐπὶ τὸν Ε, τουτέστιν τά βωπ΄, γενομένη ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν στερεῶν ἀριθμὸν τῶν ἐφ᾿ ὧν τὰ Α Β· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ἀριθμῶν στερεὸς τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α Β μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμώνυμοι τῷ Ζ ἀριθμῷ.

6 Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α, προσλαβὸν [*](1. οἱ γὰρ ΕΖ A(BS), corr. Wa 2. μ Ε καὶ μ ∠ A, μονάδες ε καὶ μ΄ δ Β (μονάδων ε καὶ μονάδων δ S), del. Hu 3. μ κ AB post μονάδας κ΄ add. Wa οἱ δὲ ρ΄ καὶ ι΄ πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι χίλια 4. τῶν ΑΒ A, distinx. BS 4. 5. τὸ δὲ — Ἀπολλώνιος om. B1 Savilianus (exstant in A Parisino 2868 SV, in B add. man. 3) 6. ιζ A1 in marg. (BS) ιη΄ add. B2 Wa ἀριθμῶν om. ABS, τῶν ἀριθμὦν add. Wa 8. τῶν ante ἀριθμῶν add. S Wa 9. τὸ (ante ἐφʼ ὧν) Hu pro τῶν,)

7 ιη΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιθ΄ θεωρήματος. Ἔστω τις ἀριθμὸς ὁ Α ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐλάσσονες δεκάδος οἷον οἱ Β Γ ∠ Ε, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸν εἰπεῖν.

Ἔστω γὰρ καθʼ ὃν μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ τῆς δεκάδος ὁ Ζ, τουτέστιν ὁ πυθμὴν τοῦ Α, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Ζ Β Γ ∠ Ε στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Η· λέγω ὅτι ὁ διὰ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς δεκάκις εἰσὶν οἱ Η.

Καὶ ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν τοῦ γὰρ Α ὑποκειμένου, φέῤ εἰπεῖν, μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων δ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων ε΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων Ϛ΄, ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδες ζσ΄. ἀλλὰ καὶ τοῦ Ζ ὄντος μονάδων β΄, ὅς ἐστι πυθμὴν τοῦ Α, ὁ ἐκ τούτου καὶ τῶν Β Γ ∠ Ε στερεὸς δεκάκις γενόμενος ἔσται μονάδες ζσ΄, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ἑ στερεῷ. τὸ δὲ γραμμικὸν ὑπὸ τοῦ Ἀπολλωνίου δέδεικται.