In Nicomachi Arithmeticam Introductionem

ἀναλογίᾳ ὄντας τοὺς θʹ ιεʹ κεʹ. ἐκ τούτου συμφανῆ γίνεσθαι τὴν συγγένειαν τῶν σχέσεων. εἰ γὰρ ὁ διπλάσιος λόγος ἀπὸ ἰσότητος ἐγεννήθη, ἐμάθομεν δὲ παρωνομασμένον τὸ ἥμισυ τῷ δύο, εἰκότως ἑξῆς ὡς οἰκεῖος ὁ ἡμιόλιος λόγος ἐπλάσθη ἐν ἐπιμορίοις, ἀπὸ δὲ τούτου πάλιν ὡς ἐν ἐπιμερέσι κατὰ τὴν οἰκειότητα τῆς δυάδος ὁ ἐπιδιμερής. εἰ δὲ οἱ πρῶτοι ἐν τριπλασίῳ λόγῳ, ἐκφύσονται ἀπ’ αὐτῶν ἐπίτριτοι καὶ ἀπὸ τούτων ἐπιτριμερεῖς, εἰ δὲ τετραπλάσιοι ἐπιτέταρτοί τε καὶ ἐπιτετραμερεῖς καὶ ἀεὶ οἱ ἑξῆς, ἀποσῴζοντες τὴν

τὸν λόγον ἀποσῴζῃ· πᾶς γὰρ ἐπιμορίου λόγου πυθμὴν ὁ τοὺς ὅρους ἔχων μονάδι διαφέροντας οὐχ ὁμοίους αὐτοὺς ἕξει διαιρετούς, ἀλλ’ εἰ μὲν ὁ ἐλάττων διχῇ διαιροῖτο, ὁ μείζων τριχῇ, εἰ δὲ ὁ ἐλάττων τριχῇ, ὁ μείζων τετραχῇ, καὶ ἀεὶ μονάδι μεγαλωνυμωτέραν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος τὴν διαίρεσιν ἐπιδέξεται, ὥστε τοῦ μορίου ἐν λόγῳ ᾡτινιοῦν κατὰ τὸν ἐλάττονα ἐξεταζομένου, ὃς ὑπόλογός ἐστι πρὸς τὸν μείζονα, οὐκ ἔσται τις τρίτος πρόλογος κατ’ ἐκεῖνο τὸ μόριον ὑπόλογον ἔχων τὸν μείζονα. ἀλλ’ οὖν ἐπεὶ μή εἰσιν οἱ αὐτοὶ τοῖς ἐν δυσὶν οἱ ἐν τρισίν, ἑτέρως ἐμφαντασθήσονται οἱ πυθμένες τοῖς ἀνάλογον· διαφοραὶ γὰρ αὐτῶν γενήσονται, οἷον φέρ’ εἰπεῖν ἐπεὶ ἀνάλογον ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ εἰσὶν οἱ δʹ ϛʹ θʹ, ἔσονται αὐτῶν διαφοραὶ οἱ τὸν αὐτὸν λόγον περιέχοντες πυθμένες ὁ γʹ καὶ ὁ βʹ, καὶ πάλιν ἐν ἐπιτρίτῳ οἱ θʹ ιβʹ ιϛʹ, ἔσονται διαφοραὶ τούτων οἱ πυθμενικοὶ ὁ δʹ πρὸς τὸν γʹ, καὶ ἀεὶ ὁμοίως τὸ αὐτὸ συμβήσεται ἐν ἅπασι τοῖς εἴδεσι τῶν ἐπιμορίων· καθ’ ὃ γὰρ πυθμένες ἔσονται ἐν τρισίν, ὧν διαφοραὶ

οἱ ἐν δυσίν. ἐν δὲ τοῖς πολλαπλασίοις

ἐπιπενταμερεῖ ἐν πέμπτῳ, καὶ ἀεὶ ἑξῆς τὸ ὅμοιον ἔσται, ἀποσῳζομένης τῆς συμφυΐας τοῦ μορίου πρὸς τὸν λόγον. καὶ γὰρ καθ’ αὑτοὺς οἱ λόγοι ἐν τοῖς μέρεσι τὴν ὀνομασίαν ἴσχουσιν ἐξεταζόμενοι πρὸς τὰ μόρια, καθά ἐστιν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μείζονος ὅρου πρὸς τὸν ἐλάττονα μονάδι μειωνυμώτερον· ἐπιδιμερὴς μὲν γὰρ ἔσται ὁ πρῶτος λόγος τρίτων, ἐπιτριμερὴς δὲ ὁ δεύτερος τετάρτων καὶ ἐπιτετραμερὴς ὁ τρίτος πέμπτων καὶ ἑξῆς ὁμοίως.

Αἱ δὲ μικταὶ σχέσεις ἔκ τε πολλαπλασίου καὶ ἑκατέρου τῶν λοιπῶν ἐπιμορίου καὶ ἐπιμεροῦς γεννῶνται καὶ αὗται ἐκ τῶν πρὸ ἑαυτῶν, ἡ μὲν ἐν πολλαπλασιεπιμορίῳ λόγῳ ἐκ τῆς ἐν ἐπιμορίῳ, ἀφ’ ἧς καὶ 〈ἡ〉 ἐν ἐπιμερεῖ ἐγεννᾶτο, οἷον εἰδικῶς ἡ διπλασιεφήμισυς ἀπὸ τῆς ἐν ἡμιολίοις φύεται, οὐκέτι ἀναστρόφως τῶν ὅρων κειμένων, ἀλλὰ κατὰ φύσιν χρωμένων ἡμῶν τοῖς αὐτοῖς τρισὶ προστάγμασιν· οὔσης γὰρ ἀναλογίας ἐν ἡμιολίῳ τῆς δʹ ϛʹ θʹ, ἧς αἱ διαφοραὶ οἱ πυθμενικοὶ ὅροι, πλασθήσεται ἡ διπλασιεφήμισυς 〈ἐν〉 ὅροις τοῖς δʹ ιʹ κεʹ. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ τῆς θʹ

ιβʹ ιϛʹ, ἧς πάλιν αἱ διαφοραί εἰσιν οἱ πυθμενικοὶ ὅροι, ὁμοίως ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἀρχομένων ἡμῶν ἡ διπλασιεπίτριτος ἐν ὅροις τοῖς θʹ καʹ μθʹ. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπιτετάρτῳ τῆς ιϛʹ κʹ κεʹ, ἧς αἱ διαφοραὶ πάλιν οἱ πυθμενικοί, ἡ διπλασιεπιτέταρτος γεννᾶται ἐν ὅροις τοῖς ιϛʹ λϛʹ παʹ, καὶ ἑξῆς ὁμοίως, ἀποσῳζομένης κἀνταῦθα τῆς οἰκειότητος τοῦ μετὰ τὴν πολλαπλασιότητα ἐπιτρέχοντος μορίου πρὸς τὴν ὀνομασίαν τοῦ ἐπιμορίου λόγου, ἀφ’ οὗπερ ἡ γένεσίς ἐστι τῇ μικτῇ σχέσει. ἐπεὶ γὰρ ἡμιόλιος ἡ γεννῶσα σχέσις διπλασιεφήμισυς ἡ γεννωμένη, ἐπεὶ δὲ ἐπίτριτος διπλασιεπίτριτος, καὶ 〈ἐπεὶ〉 ἐπιτέταρτος διπλασιεπιτέταρτος, καὶ ἑξῆς δὲ ἀκολούθως. πάλιν δὲ καὶ τούτων οἱ πυθμένες διευτακτηθήσονται

καὶ τοὺς λόγους ηὐξῆσθαι ἐν μορίοις τῶν διαφορῶν ὄντες φανήσονται. διπλασιεφημίσους μὲν γὰρ λόγου ὁ πυθμὴν ἐν τρίτῳ μέρει τῶν διαφορῶν, διπλασιεπιτρίτου δὲ ἐν τετάρτῳ καὶ διπλασιεπιτετάρτου δ’ ἐν πέμπτῳ, καὶ ἑξῆς ἀκολούθως μονάδι μεγαλωνυμώτερον ἀεὶ ἔσται τὸ μόριον ἀντεξεταζόμενον πρὸς τὸ ὄνομα τοῦ ἐπιτρέχοντος μορίου ἐν τοῖς εἴδεσι τοῦ πολλαπλασιεπιμορίου. παρατηρητέον δὲ ἐφ’ ἑκάστης πλάσεως τῶν τε ἐπιμερῶν σχέσεων καὶ τῶν πολλαπλασιεπιμορίων πῶς καὶ ἀντιπεπόνθησίς τις γλαφυρὰ ὑποφύεται. αἱ μὲν γὰρ ἐπιμερεῖς ἅπαξ πλῆρες τὸ μέτρον προσέβαλλον καὶ πλείονα τὰ ἀκαταμέτρητα ἀπέλειπον μόρια ἀρχόμενα ἀπὸ δύο· ἐπιδιμερὴς γὰρ ἡ πρώτη, εἶτ’ ἐπιτριμερὴς καὶ ἐπιτετραμερὴς καὶ ἑξῆς ἀκολούθως· αἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι ἀντιπεπονθότως δὶς μὲν τὸ μέτρον προσβάλλουσι πληρούντως, ἓν δὲ μέρος ἀεὶ ἀπολείπουσιν ἀκαταμέτρητον ἀρχόμενον καὶ αὐτὸ ἀπὸ τοῦ συζυγοῦντος τῷ δύο ἀριθμῷ μορίου, καὶ ἑξῆς προκόπτον ἀκολούθως. ἐπὶ δὲ πασῶν τῶν πλασσομένων σχέσεων

καὶ ἀφ’ ὧν αἱ πλάσεις οἱ ἄκροι τετράγωνοι γίνονται. ἡ δὲ λοιπὴ μικτὴ σχέσις ἡ πολλαπλασιεπιμερὴς γεννᾶται ἐκ τῆς ἐπιμεροῦς, καὶ ἐκ μὲν τῆς ἐπιδιμεροῦς 〈ἢ〉 δὶς ἐπιτρίτου, εἰδικῶς τῆς θʹ καὶ ιεʹ κεʹ, ἀρχομένων ἡμῶν ἀπὸ τοῦ ἐλάττονος ὅρου, γεννᾶται ἡ διπλασιεπιδιμερὴς

τούτων οἱ πυθμένες κατά τινα λόγον φανήσονται διευτακτούμενοι· τῆς μὲν γὰρ διπλασιεπιδιμεροῦς τρίτων ἐν πέμπτῳ μέρει τῶν διαφορῶν ἐνοφθήσονται οἱ πυθμένες, τῆς διπλασιεπιτριμεροῦς τετάρτων ἐν ἑβδόμῳ, τῆς δὲ διπλασιεπιτετραμεροῦς πέμπτων ἐν ἐννάτῳ, καὶ ἀεὶ κατὰ δυάδος προσθήκην τὴν κλῆσιν ἕξει τὸ μόριον, οἷον ὁ ιαʹ καὶ ιγʹ καὶ ιεʹ, καὶ ἀεὶ ὁμοίως.

Ἐπιδειχθείσης ἡμῖν τῆς τῶν σχέσεων πλάσεως ἀπλατῶν καὶ μικτῶν ἀπὸ ἰσότητος τὴν ἀρχὴν ἐσχηκυίας, καθόλικόν τι θεώρημα προσληπτέον χρήσιμον ἡμῖν ἐσόμενον εἰς τοὺς λόγους τῆς ἁρμονικῆς θεωρίας

ὥστε σύριγγι ὁμοίου τοῦ διαγράμματος γενομένου πολλὴν γλαφυρίαν ἐμφαίνεσθαι κατά τε τὸ μῆκος καὶ τὸ βάθος καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. ἐκ μὲν γὰρ διπλασίων τριπλάσιοί τε καὶ ἡμιόλιοι φύσονται, ἐκ δὲ τριπλασίων τετραπλάσιοί τε καὶ ἐπίτριτοι, ἐκ δὲ τετραπλασίων πενταπλάσιοί τε καὶ ἐπιτέταρτοι, καὶ ἐφοσονοῦν ἀεὶ τῆς αὐτῆς ἀκολουθίας ἀποσῳζομένης. ὁ δὲ συνεχὴς ἀεὶ πολλαπλάσιος ὑποφύσεται διὰ τῆς ὑποτεινούσης κωλυτὴρ γινόμενος τῶν περαιτέρω τῆς εἰρημένης τάξεως ἐπιμορίων ἐστερημένος τοιούτου ἐπιμορίου καθὸ λέγεται ὁ ἐπιμόριος, ὡς ὁ τρία ἡμίσους καὶ ὁ τέσσαρα τρίτου καὶ ὁ πέντε τετάρτου καὶ ἀεὶ ὁμοίως. καθ’ ἑκάστην δὲ σύριγγα ὁ κατὰ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τεταγμένος ἀριθμὸς πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν συγγενεῖς κατά τε τὸ πλάτος καὶ τὸ βάθος λόγον τινὰ ἀποσώσει οὐκ ἄτακτον, οἷον ἐν μὲν τῇ τῶν διπλασίων ἐκθέσει διπλάσιός τε καὶ ὑφημιόλιος γινόμενος, ἐν δὲ τῇ τῶν τριπλασίων τριπλάσιός τε καὶ ὑπεπίτριτος, καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ἀναλόγως.

Προληπτέον δὲ καὶ ἄλλο τι θεώρημα χρησιμώτατον ἡμῖν ἐσόμενον εἰς τὴν μουσικὴν εἰσαγωγὴν τοιοῦτον.

κατά τινας ἄλλους ἀριθμοὺς παρὰ μονάδα ἴσους ἀλλήλοις μετρῇ, τὸν μὲν μείζονα κατὰ τὸν μείζονα τὸν δὲ ἐλάττονα κατὰ τὸν ἐλάττονα, ἤτοι πληρούντως αὐτοὺς μετρήσει ἢ ὑπερβαλλόντως ἢ ἐλλιπῶς. ἀλλ’ ἐπεὶ τὸ μὲν πλῆρες ἑνὶ τρόπῳ πλῆρές ἐστιν, ὡς τὸ τέλειον καὶ τὸ ἴσον, κατὰ τὴν τῶν ἀρετῶν φύσιν, τὸ δὲ ἐλλιπὲς καὶ τὸ ὑπερβάλλον ἄπειρά τε καὶ ἀόριστα, καθὰ καὶ αἱ κακίαι, διὰ τὴν τῆς ἀνισότητος φύσιν, κατὰ μὲν τὴν πλήρη μέτρησιν ἕνα καὶ τὸν αὐτὸν οἱ μετρηθέντες λόγον ἕξουσι πρὸς ἐκείνους, καθ’ οὓς ἐμέτρησεν αὐτοὺς ἡ διαφορά, καὶ ἔσται ὁ τούτων μείζων πρὸς τὸν ἐλάττονα, ὡς ὁ ἐκείνων μονάδι μείζων πρὸς τὸν μονάδι ἐλάττονα· κατὰ δὲ τὰς λοιπὰς δύο μετρήσεις ἢ μείζονα ἢ ἐλάττονα, καὶ οὐκέτι τὸν αὐτόν. ἀλλ’ εἰ μὲν ἐλλιπὴς ᾖ ἡ μέτρησις, ὥστε μετὰ τὴν τοῦ μέτρου προσβολὴν τοσαυτάκις καὶ οἱ πρὸ αὐτῶν ἀκαταμέτρητόν τι ἀπολειφθῆναι ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μετρηθεῖσιν, ἴσον δὲ τοῦτο, ἐν μείζονι πάντες οἱ ὅλοι λόγῳ γενήσονται ἤπερ τὰ ὑπὸ τοῦ μέτρου καταληφθέντα πληρούντως αὐτῶν μέρη πρὸς ἄλληλα ἐξεταζόμενα,

καὶ καθόλου οἱ ἐνδοτέρω καὶ εἰς τὸ ἔλαττον κατὰ ἴσην διαφορὰν ὑποβιβαζόμενοι ἀριθμοὶ μείζονας ἀεὶ καὶ μᾶλλον λόγους ἕξουσιν τῶν ὑπὲρ αὐτοὺς μειζόνων, ὡς ἐπὶ τῶν ἀριθμητικῶν μεσοτήτων πασῶν ἔστιν ἰδεῖν τοὺς ἐλάττονας ὅρους αἰεὶ ἐν μείζοσιν ὄντας λόγοις, τοὺς δὲ μείζονας ἐν ἐλάττοσιν· ἐὰν δέ γε ὑπερβάλλουσα ᾖ ἡ μέτρησις,

λόγῳ ἔσονται. 〈ἐν δὲ τῇ δευτέρᾳ μείζονα οἱ ὅλοι τῶν καθ’ οὓς ἐμετρήθησαν· οἱ μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιδεκάτῳ λόγῳ ἔσονται,〉 οἱ δ’ ὅλοι οὐκέτι μὲν ἐν τῷ αὐτῷ, ἀλλ’ ἐν μείζονι ἢ ἐπιδεκάτῳ· ὁ γὰρ νγʹ ἔχει τὸν μηʹ καὶ μεῖζον ἢ τὸ δέκατον αὐτοῦ. ἐν δὲ τῇ τρίτῃ ἐλάττονα οἱ ὅλοι τῶν καθ’ οὓς ἐμετρήθησαν· οἱ μὲν γὰρ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιδεκάτῳ ἔσονται λόγῳ, οἱ δὲ ὅλοι 〈ἐν〉 ἐλάττονι ἢ ἐπιδεκάτῳ· ὁ γὰρ νηʹ τοῦ νγʹ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπιδέκατος, εἴ γε ἔχει ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα καὶ ἔλαττον ἢ τὸ δέκατον αὐτοῦ. ἐὰν δὲ ὅροις ἀνίσοις ἴσοι ἀριθμοὶ προστεθῶσιν, ἡ μὲν αὐτὴ ἔσται διαφορὰ τῶν τε

ἐν μείζονι δὲ λόγῳ γενήσονται.

Ἔτι κἀκεῖνο προληπτέον χρήσιμον ἡμῖν εἰς τὰ αὐτὰ ἐσόμενον· ὅτι ἐὰν διάστημα ὁτιοῦν δὶς συντεθῇ, τουτέστιν ὁστισοῦν λόγος διαφορηθῇ, διαμένοντος δηλονότι κοινοῦ τοῦ μέσου ὅρου, οἱ ἄκροι πάντως ἐν μείζονι λόγῳ ἔσονται ἤπερ οἱ ἁπλοῦν τὸ διάστημα περιέχοντες. ἀλλ’ ἐὰν μὲν τὸ διαφορούμενον διάστημα ἐν πολλαπλασίονι λόγῳ ᾖ, καὶ οἱ ἐμπεριέχοντες ἄκροι ἐν πολλαπλασίονι ἔσονται· ἐὰν δὲ ἐν ἐπιμορίῳ, οὔτ’ ἐν ἐπιμορίῳ ἔσονται οἱ περιέχοντες οὔτ’ ἐν πολλαπλασίῳ, ἀλλ’ ἐν ἄλλῃ τινὶ σχέσει μικτῇ. ἔστιν οὖν καὶ ἀναστρέψαντα εἰπεῖν ὅτι ἐὰν σύνθετον διάστημα τοὺς ἄκρους ἔχῃ ἐν πολλαπλασίῳ λόγῳ ὄντας πρὸς ἀλλήλους, πάντως καὶ τὸ διαφορηθὲν διάστημα

ἐν πολλαπλασίονι λόγῳ ἔσται· ἐὰν δὲ μήτε πολλαπλάσιος ᾖ ὁ λόγος τῶν ἄκρων μήτε ἐπιμόριος, μικτὸς δέ τις, τὸ διαφορηθὲν διάστημα πολλαπλάσιον μὲν οὐκ ἔσται, ἐπιμόριον δὲ ἢ ἑτερογενές. ἀφ’ οὗ βεβαιωθήσεται ἐν τοῖς ἁρμονικοῖς λόγοις τίνα μὲν σύμφωνα διαστήματα συμφώνοις συντιθέμενα μείζους συμφωνίας ἀποτελέσει, τίνα δὲ οὐχί, καὶ ἐν τίνι λόγῳ εἰσὶν αἱ ἀποτελούμεναι σύνθετοι, καὶ ἐν τίνι 〈αἱ〉 ἐξ ἀρχῆς.

Ἔτι κἀκεῖνο προληπτέον, ὅτι ἀριθμὸς ἀριθμὸν ἕτερον

Ὁμοίως κἀκεῖνο προληπτέον· πάντες οἱ ὅροι κατ’ ἀρτίαν ἔκθεσιν ἐκκείμενοι κατ’ ἴσην ὑπεροχήν, εἴτε τῆς ἀρτίας φύσεως εἶεν εἴτε τῆς περισσῆς εἴτε καὶ ἑκατέρας, τοσουτοπλάσιον

τὸ ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως πάντων τῶν ἐκκειμένων ὅρων ἀποτελοῦσι τοῦ ἐκ μόνων τῶν ἄκρων, ὅσονπερ τοῦ πλήθους τῶν ὅρων ἥμισυ ὑπάρχει, ἀφ’ οὗ παρωνυμήσει ἡ πολλαπλασιότης.

Ἀκόλουθον τούτοις τὸν περὶ ἀναλογιῶν ὄντα τόπον, ὅτι σύστημα λόγων ἐστὶν ἡ ἀναλογία, τὸ παρὸν ὑπερθέμενοι, πρότερον τὸν περὶ ἐπιπέδων καὶ στερεῶν ἐπελευσόμεθα, ἴδιον ὄντα τοῦ καθ’ αὑτὸ ποσοῦ καὶ διὰ τὸ χρήσιμον τῆς διδασκαλίας ὑπέρθεσιν λαβόντα.

Ἐπειδὰν τοίνυν ἀριθμὸς ἀπὸ μονάδος ὁστισοῦν ἤτοι καθ’ αὑτὸν ἢ καὶ ἐπισυντιθέμενος τοῖς πρὸ αὐτοῦ εἰς μονάδας ἀναλύηται καὶ κατὰ γραμμὴν ἐπεκτείνηται, εὐθυγραμμικὸς κεκλήσεται, διότι ἀπλατῶς ἐπὶ μόνον τὸ μῆκος πρόεισιν· ἰστέον γὰρ ὡς τὸ παλαιὸν