In Nicomachi Arithmeticam Introductionem

ὁμοίῳ καὶ δεύτερον ἀνόμοιον τρίτῳ ὁμοίῳ καὶ τρίτον τετάρτῳ καὶ τέταρτον πέμπτῳ καὶ ἀεὶ ἀκολούθως, πάντες ἑξῆς σὺν τοῖς προτέροις ἀπὸ τριάδος οἱ τρίγωνοι φύσονται οὗτοι γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ κηʹ λϛʹ μεʹ νεʹ ξϛʹ οηʹ ҁαʹ ρεʹ καὶ οἱ ἑξῆς ἐπ’ ἄπειρον. πάλιν δὲ καὶ αὐτῶν τῶν καθ’ αὑτοὺς τῶν ἀνομοίων τὰ ἡμίση τοὺς ἀπὸ μονάδος εὐτάκτους τριγώνους ποιήσει. ἑκάστη δὲ διαφορὰ ἀνομοίων καθ’ ἕκαστον πρὸς ὁμοίους λόγον ἕξει πρὸς οὓς ὧν ἐστι διαφορὰ οὐκ ἄτακτον· οὗ μὲν γὰρ ἡμίσεια ἔσται οὗ δὲ τρίτον, καὶ οὗ μὲν τρίτον οὗ δὲ τέταρτον, καὶ οὗ μὲν τέταρτον οὗ δὲ πέμπτον, καὶ ἀεὶ ἀκολούθως, ἀρχὴν δὲ παρέξει τῆς τοιαύτης εὐταξίας ἡ δευτέρα συζυγία τοῦ δʹ πρὸς ϛʹ· τῇ γὰρ πρώτῃ συζυγίᾳ τῇ αʹ πρὸς δύο οὐχ ὑπάρξει τὸ τοσοῦτον διὰ τὸ ἀμερὲς εἶναι τὸ ἓν καὶ τὴν μονάδα εἴδους καὶ ταυτότητος λόγον ἔχουσαν. πρώτη δὲ δυὰς ἐπιδεκτικὴ ἔσται μερισμοῦ καὶ διακρίσεως, τῆς θατέρου φύσεως οὖσα καὶ τὸν τῆς ὕλης λόγον ἀναδεδεγμένη, καὶ ἐπεὶ συζυγὴς οὖσα τῇ μονάδι δι’ ἐκείνην ἐκωλύθη τῆς εἰρημένης εὐταξίας τῶν μορίων ἄρξαι,

αὕτη διαφορὰ

διαφορὰς ποσότητι διαφέρουσι τρεῖς ὅροι οὕτως λαμβανόμενοι ὡς εἴρηται, ποιότητι κατὰ τοὺς λόγους ἀδιάφοροι ἔσονται· εἰ δὲ διαφέροιεν ποιότητι, ποσότητι ἀδιαφορήσουσι. καὶ ἐξ ἀλλήλων δ’ ἂν γνωρισθείησαν ὅμοιοί τε καὶ ἀνόμοιοι· ὁ γὰρ πρῶτος ἀνόμοιος ἐκ δὶς πρώτου ἐστὶν ὁμοίου, καὶ ὁ δεύτερος ὅμοιος ἐκ δὶς πρώτου ἐστὶν ἀνομοίου, ὁ δὲ δεύτερος ἀνόμοιος ἐξ ἑνὸς 〈καὶ〉 ἡμίσους δευτέρου ὁμοίου. πάλιν ὁ τρίτος ἀνόμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ τρίτου ἐστὶ τρίτου ὁμοίου, ὥσπερ καὶ τέταρτος ὅμοιος ἐξ ἑνὸς καὶ τρίτου

σχέσιν τῶν ἐναντίων τῶν δύο δυνάμεων ταυτότητος καὶ ἑτερότητος ἐμφαινομένων τῇ τῶν τετραγώνων καὶ ἑτερομηκῶν ἐκθέσει. ἱκανὸν δὲ ἐγκώμιον ἔσται τῆς δεκάδος ἡ κατὰ τὸν εἰρημένον δίαυλον τῶν τετραγώνων γένεσις, ὅταν ἐν μὲν τῷ πρώτῳ βαθμῷ τῶν ἀριθμῶν, ὧν ὁρίζει αὐτὴ ἡ δεκάς, ἀπὸ μονάδος ἡ πρόοδος μέχρις αὐτῆς γένηται καὶ πάλιν ἀπ’ αὐτῆς ὡς ἀπὸ ἀριθμοῦ τινος διορίζοντος μονάδας ἀπὸ δεκάδων ἡ ἐπάνοδος ὡς ἐπὶ μονάδα· ἔσται γὰρ ἐκ τῆς 〈δεκάδος〉 ὡς ἀπὸ συνθέσεως τετράγωνος ὁ ρʹ ἀριθμός, καὶ αὐτὸς ὢν ἄρθρον διοριστικὸν δεκάδων καὶ ἑκατοντάδων, καὶ μονὰς τριωδουμένη καλούμενος πρὸς τῶν Πυθαγορείων, ὥσπερ καὶ ἡ δεκὰς δευτερωδουμένη μονὰς καὶ χιλιὰς τετρωδουμένη μονάς. πλευρὰ δὲ

τῆς ἐπισυνθέσεως τῶν ἀριθμῶν. εἰ δὲ τῇ δεκάδι μηκέτι μὲν καμπτῆρι, ὕσπληγι δὲ χρησαίμεθα καὶ ἀρχῇ τῆς προόδου μέχρις ἑκατοντάδος, ἀφ’ ἧς πάλιν ἡ ἐπάνοδος ἐπὶ τὴν δεκάδα ἔσται, ἐκ τῆς ἐπισυνθέσεως γενήσεται ὁ πρῶτος ἀριθμὸς ἡ τετρωδουμένη μονάς, ἄρθρον καὶ αὐτὸς ὢν διοριστικὸν ἑκατοντάδων τε καὶ μυρίαδων. οὐκέτι δὲ καὶ πλευρὰ ἔσται τετραγωνικὴ τοῦ χίλια ἀριθμοῦ ἡ ἑκατοντάς· οὐδὲ γὰρ τετράγωνός ἐστιν ὁ χίλια, ἀλλὰ κύβος, ἀπὸ πλευρᾶς δεκάδος. ἵνα δ’ ἐπιπεδωθῇ προμηκικῶς πλευρὰ αὐτοῦ, ἔσται ἡ ἑκατοντὰς σὺν τῇ καὶ δεκάδι, ὡς δῆλον εἶναι ὅτι δεήσεται ἡ ἑκατοντὰς τῆς δεκάδος εἰς τὸ πλευρικὴν γενέσθαι. πάλιν εἰ τῇ ἑκατοντάδι ἀρχῇ χρησαίμεθα καὶ ἀντὶ ὕσπληγος, προσέλθοιμεν δὲ ἐπισυντιθέντες τὰς μετ’ αὐτὴν ἑκατοντάδας μέχρι χιλιάδος, καὶ ἀπὸ ταύτης ὡς ἀπὸ

καμπτῆρος ὁμοίως ἐπὶ τὴν ἑκατοντάδα ἐπανέλθοιμεν ὡς ἐπὶ νύσσαν, ἔσται ἀριθμὸς ὁ τῶν μυρίων ἡ πεντωδουμένη μονάς, πλευρὰν ἔχων ὡς μὲν τετράγωνος τὴν ἑκατοντάδα ὡς δὲ προμήκης τὴν χιλιάδα μετὰ τῆς αὐτῆς δεκάδος. οὕτως ἡ δεκὰς εἰς μὲν τὸ αὐτὴ τὴν πλευρικὴν γενέσθαι κατὰ τὸν διαυλικὸν τρόπον οὐδενὸς τῶν ἄλλων γενέσεων ἄρθρων τοῦ ἀριθμοῦ δεήσεται, ἑκατοντάδος λέγω καὶ χιλιάδος· αὗται δὲ ἵνα αὐταῖς

στερίσκει. καὶ ἅπας ἀριθμὸς τὸν δυάδι διαφέροντα ἐφ’ ἑκάτερα ὁποτερονοῦν ὁμογενῆ πολλαπλασιάσας καὶ προσλαβὼν μονάδα τετράγωνον ποιεῖ. περισσοὶ μὲν ἀρτίους ποιοῦσιν, ἄρτιοι δὲ περισσούς. καὶ ἅπας ἀριθμὸς τὸν ἑαυτοῦ πολλαπλάσιον μηκύνας τοσουτοπλάσιον τοῦ ἐξ αὐτοῦ τετραγώνου ποιήσει, κἂν ἐπιμόριον κἂν ἐπιμερῆ κἂν μικτὸν λαμβάνῃ. ὁμοίως καὶ πᾶς τρίγωνος ὀκτάκι γενόμενος καὶ προσλαβὼν μονάδα τετράγωνον ποιεῖ, καὶ ἐκ δύο τετραγώνων ἐπ’ ἀλλήλους γενομένων ὁ γενόμενος τετράγωνος, καὶ ἐκ τῶν ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον ἐὰν ὁ τῇ μονάδι ἑξῆς τετράγωνος ᾖ καὶ οἱ λοιποὶ τετράγωνοι ἔσονται, καὶ τριῶν τινων ἀνάλογον ὄντων ἐὰν ὁ πρῶτος τετράγωνος ᾖ καὶ ὁ τρίτος ἔσται τετράγωνος, καὶ μετροῦντος τετράγωνον τετραγώνου καὶ πλευρὰ πλευρὰν μετρήσει, καὶ πᾶς ἐκ δύο πλευρῶν συνεχῶν τετραγώνων μηκυνθεὶς ἀνάλογον αὐτῶν μέσος

ἐξετάσεως ἐν γεωμετρίᾳ τετυχηκότα, διότι δοκεῖ κατ’ αὐτόν πως ῥυθμίζεσθαι καὶ εἰδοποιεῖσθαι τὰ σχήματα. ὡς οὖν καὶ ἐπ’ αὐτῶν τῶν σχημάτων ἐποιοῦμεν μετάγοντες αὐτῶν τοὺς λόγους καθ’ ὁμοιότητα καὶ ἐπὶ τοὺς ἀριθμούς· ῥητὰ γὰρ κἀκεῖνα γίνεται τοῖς ἀριθμοῖς· οὕτως χρὴ καὶ περὶ πλευρᾶς καὶ διαμέτρου διαλεγομένους καὶ ἀκολουθοῦντας τῇ τοῦ ἀριθμοῦ φύσει ἀποσῴζειν ὡς ἐνδέχεται τὴν ὁμοιότητα. οὐ γὰρ ὥσπερ ἐν πηλίκοις πλευρᾶς λογωθείσης ἡ διάμετρος ἄλογος ἢ ἀνάπαλιν διαμέτρου λογωθείσης πλευρὰ ἄλογος, οὕτω καὶ ἐν ποσοῖς, ἀλλ’ ἔσται ῥητὴ πλευρὰ διαμέτρῳ, ἵνα πάντῃ ῥητὸς ᾖ ὁ ἀριθμὸς καὶ τοῦτ’ ἐξαίρετον ἔχῃ, ὡς ἂν ἀρχικώτατος ὢν καὶ τοῖς ἄλλοις ἅπασιν αἴτιος γενόμενος ῥητότητος. κοινὸν μὲν γὰρ ἀριθμοῖς καὶ μεγέθεσιν ὡς ἂν ἀσωμάτοις οὖσι τὸ ἀκίνητα εἶναι, ἴδιον δὲ ἀριθμοῦ τὸ μηδὲ ἀσυμμετρίαν ἔχειν, τῶν μεγεθῶν ἐχόντων. δεῖ δὴ πάλιν ἀπὸ μονάδος τὴν γένεσιν τοῦ πλευρικοῦ καὶ διαμετρικοῦ λόγου μεθοδεῦσαι, ἐπειδὴ πάντων τῶν ἐν ἀριθμοῖς λόγων ἔφαμεν αὐτὴν

ἀφηγεῖσθαι. ὀνομάσαι γὰρ δεῖ δύο μονάδας τὴν μὲν πλευρὰν τὴν δὲ διάμετρον, καὶ χρήσασθαι καθολικαῖς τισι προσθέσεσι καὶ ἀεὶ ταῖς αὐταῖς, τῇ μὲν

μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς· ἔστι γὰρ σπθʹ πρὸς ρμδʹ. καὶ δὴ ὁμοίως κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τῆς προσθήκης γιγνομένης ποτὲ μὲν μονάδι μεῖζον ἢ διπλάσιον ἔσται τὸ ἀπό τοῦ ἀπό, ποτὲ δὲ μονάδι ἔλαττον, καὶ οὕτως ῥηταὶ γίνονται πρὸς ἀλλήλας πλευραί τε καὶ διάμετροι. ἀλλ’ οὖν ἐπειδὴ ἐναλλὰξ ποτὲ μὲν δυνάμει μείζους εἰσὶν ἢ διάμετροι διπλάσιαι πλευρῶν, ποτὲ δὲ μονάδι ἐλάττους ἢ διπλάσιαι, ἔσονται κατ’ ἐπίνοιαν πᾶσαι ὁμοῦ αἱ διάμετροι πασῶν ὁμοῦ τῶν πλευρῶν δυνάμει διπλάσιαι· ἀπίσωσις γὰρ γίνεται τοῦ μείζονος τῷ ἐλάττονι ἀναμιγέντος, διότι

Στερεὸς δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τρίτον διάστημα παρὰ τὰ ἐν ἐπιπέδοις δύο προσειληφώς, δηλονότι τετάρτου ὅρου προσγενομένου· ἐν γὰρ τέσσαρσιν ὅροις τὸ τριχῇ διαστατόν, ἵνα καὶ λαβόντος καὶ ληφθέντος καὶ τρίτου καθ’ ὃν λαμβάνεται τέταρτος αὐτὸς ᾖ. τῶν δὴ στερεῶν ἀριθμῶν εἰσιν οἱ μὲν ἰσογώνιοί τε καὶ ἰσοεπίπεδοι καὶ ἰσοδιάστατοι, καθ’ ὁμοιότητα καὶ αὐτοὶ λαμβανόμενοι τῶν ἐν γραμμικοῖς· καλοῦνται δ’ οὗτοι κύβοι καὶ τετράεδροι πυραμίδες, ὧν πάντῃ μεταλαμβάνεται ἡ βάσις· οἱ δὲ παραλληλεπίπεδοι καὶ ἰσογώνιοι, ἀνισοδιάστατοι δέ, ὧν εἴδη πλινθίδες τε καὶ δοκίδες, οἱ δὲ ἀνισεπίπεδοι καὶ ἀνισογώνιοι καὶ ἀνισοδιάστατοι, καλούμενοι σφηκίσκοι ἢ ὥς τινες βωμίσκοι ἢ σφηνίσκοι, ἑκάστου ὀνόματος καθ’ ὁμοιότητα τεθέντος, οἱ δὲ μικτοὶ πάσας μὲν γωνίας παρὰ μίαν ἴσας ἔχοντες πάντα δὲ ἐπίπεδα

πάλιν παρ’ ἓν ἴσα πυραμίδες, αἱ ἀπὸ 〈τῆς〉 τετραγώνῳ βάσει χρωμένης ἀρχόμεναι μέχρις ἀπείρου, ὧν οὐκέτι μετάληψις ἔσται κατὰ τὴν βάσιν, ὡς ἐπὶ τῆς τριγώνῳ βάσει χρωμένης συνέβαινεν. ἀναλογεῖ δὲ ἐν ἐπιπέδοις τὸ μὲν ἐν τετραπλεύροις κυρίως

ἡ δὲ μονὰς ὥσπερ τὰ ἐν ἐπιπέδοις πάντα περιεῖχε χωρὶς τοῦ ἑτερομηκικοῦ λόγου, οὕτως καὶ τὰ ἐν στερεοῖς· πυραμιδική τε γὰρ ἔσται ἐπὶ κορυφῆς θεωρουμένη παντὸς εἴδους πυραμίδος, δυνάμει στερεοῦ σημείου λόγον ἔχουσα καθ’ ἕκαστον· παντὸς γὰρ στερεοῦ ἀριθμοῦ αἱ γωνίαι μονάδες σημειώδεις ἔσονται τῶν 〈ἐν〉 ἐπιπέδοις δυνάμει μείζονες, διότι στερεαί· ἁπλοῦν μὲν γὰρ τὸ σημεῖόν ἐστι πέρας ὂν τοῦ ἐφ’ ἓν διαστατοῦ μεγέθους, διπλοῦν δὲ δυνάμει ἐν ἐπιπέδοις διὰ τὴν σύννευσιν τῶν δύο γραμμῶν ἐφ’ ἓν σημεῖον, ἐν δὲ στερεοῖς δυνάμει ἀόριστον ἀρχόμενον ἀπὸ τριπλοῦ, διότι πρώτη σύννευσις τριῶν πλευρῶν στερεὰν γωνίαν τὴν πυραμιδικὴν ἀποτελεῖ. καὶ μὴν σφαιρικὴ ἔσται ἡ

παραλληλεπιπέδων δέ, πλινθίδων μὲν ἰσάκις ἴσων ἐλαττονάκις οὐσῶν ὁ ιηʹ ἐκ τοῦ τρὶς τρία δὶς ὢν καὶ ὁ μηʹ ἐκ τοῦ τετράκι τέσσαρες τρίς, δοκίδων δέ, ἅς τινες στηλίδας, ἰσάκις ἴσας μειζονάκις οὔσας ὁ λϛʹ ἐκ τοῦ τρὶς τρία τετράκις ὢν καὶ ὁ μεʹ ἐκ τοῦ τρὶς τρία πεντάκι· ἔνεστι γὰρ καὶ ἐπὶ τούτων καὶ ἐπὶ τῶν πλινθιδίων μὴ μόνον παρακειμένας, τουτέστι παρὰ μονάδας, μειώσεις τε καὶ αὐξήσεις ποιεῖσθαι, ἀλλὰ καὶ διεστώσας, ἵνα μᾶλλον ἡ ὁμοιότης σχηματίσεως ἐμφαίνωνται. πυραμίδων δὲ λόγος ῥᾴων γένοιτο καὶ εὐεφόδευτος εἰ τὴν τῶν πολυγώνων ἔκθεσιν ἀπὸ τριγώνων κατὰ παραλλήλους στίχους ὡς μικρῷ πρόσθεν διαγράψαιμεν, εἶτ’ ἐφαρμόζοιμεν σωρηδὸν τοὺς ὁμογενεῖς ἀλλήλοις εὐτάκτως μέχρις ὁποσουοῦν, ἵνα κορυφὴ μὲν πάντως μονὰς ᾖ καθ’ ἑκάστην ἐπισωρείαν, ὁμοιοσχήμων δὲ δυνάμει πάσῃ βάσις γίνηται. διὰ μὲν οὖν τῶν [τριῶν] γʹ ϛʹ ιʹ ιεʹ καʹ καὶ ἐφεξῆς τριγώνων ἔσονται πυραμίδες αἱ τρίγωνον βάσιν ἔχουσαι αὗται· δʹ ιʹ κʹ λεʹ νϛʹ, διὰ δὲ τῶν τετραγώνων τῶν δʹ θʹ ιςʹ κεʹ λϛʹ αἱ τετραγώνῳ

βάσει χρώμεναι εʹ ιδʹ λʹ νεʹ ҁαʹ, διὰ δὲ τῶν πενταγώνων τῶν εʹ ιβʹ κβʹ λεʹ ναʹ αἱ βάσει πενταγώνῳ χρώμεναι αἱ ϛʹ ιηʹ μʹ οεʹ ρκϛʹ. τὸ δ’ αὐτὸ καὶ

πάλιν ἡ ιδʹ τῆς ιʹ καὶ δʹ, ἡ δὲ ιηʹ τῆς ιδʹ καὶ δʹ, ἡ δὲ κβʹ τῆς ιηʹ καὶ δʹ, καὶ ἐφεξῆς ἀκολούθως κατὰ τὸ βάθος καὶ τὸ πλάτος ἑκάστης τῶν πολυγώνων διαγραφῆς ἐφαρμόζοντες ἀνάλογα εὑρήσομεν, ὅτι ἑκάστη πυραμὶς σύστημά ἐστι τῆς ὑπὲρ αὐτὴν καὶ τῆς ὑπ’ ἐκείνην· πρῶτον γὰρ οὐδὲν εἶτα παράπαξ εἰς ἐπίπεδον εἶτα παρὰ δὶς εἶτα παρὰ τρὶς καὶ ἐφεξῆς. καὶ τὰ ἄλλα κατὰ ταὐτὰ ἀναλόγως συμπτώματα καὶ περὶ ταύτας εὑρήσομεν. καὶ ἐν μὲν πλάτει διοίσουσιν ἀλλήλων ἰδίαις βάσεσιν, ἐν δὲ βάθει μετὰ τὸν ἰσότητι στίχον εὐθυγραμμικῶς ἐκκείμενον τετρὰς ἔσται ἡ διαφορὰ στοιχεῖον οὖσα πυραμίδων ἐνεργείᾳ, εἶτα δεκὰς ἡ δευτέρα πυραμίς, εἶτα εἰκοσὰς

γνωμόνων. ἰδιώματα δὲ καὶ κύβων πολλὰ εὑρήσομεν ὥσπερ καὶ τῶν τετραγώνων· καὶ γὰρ ἑκάστου ἀριθμοῦ τῶν ἀπὸ μονάδος ἑαυτὸν πολλαπλασιάσαντος καὶ τὸν ἐξ αὐτοῦ γίνονται εὔτακτοι κύβοι. καὶ εἰ τάξει οἱ ἀπὸ τετράδος τετράγωνοι τάξει τοὺς ἀπὸ δυάδος ἐφεξῆς ἀριθμοὺς ἑκάστους ἕκαστον μηκύνῃ ἢ ὑπὸ ἑκάστου μηκύνοιτο, ὁμοίως γενήσονται εὔτακτοι κύβοι. ἔτι οἱ περισσοὶ ἐπειδὴ ἔτι ὁμοποιοί εἰσι καὶ τῆς αὐτοῦ φύσεως, ὡς ἐδείχθη, εἰ συντιθοῖντο κατ’ ἐκλογὰς ἀεὶ προσθέσει ἑνός, φύσονται κύβοι· οἷον αʹ πρῶτον ὁ δυνάμει κύβος ἀσύνθετος, εἶτα δύο περισσοὶ γʹ εʹ ὁ ηʹ κύβος δεύτερος, εἶτα τρεῖς περισσοὶ ζʹ θʹ ιαʹ 〈ὁ κζʹ〉 τρίτος κύβος, εἶτα τέσσαρες ιγʹ ιεʹ ιζʹ ιθʹ ὁ ξδʹ τέταρτος κύβος, καὶ ἐπὶ τῶν ἐφεξῆς ὁμοίως. πάλιν ἐν τῇ τῶν ἀναλόγων ἐκθέσει οἱ μὲν τρίτοι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ τέταρτοι κύβοι, οἱ δὲ ζοι κύβοι ἅμα καὶ τετράγωνοι. πᾶς δὲ κύβος τῇ ἑαυτοῦ πλευρᾷ αὐξηθεὶς τετράγωνον ποιεῖ, ὃς ἔσται τοσουτοπλάσιος τοῦ κύβου ὁσαπλάσιος ἔσται καὶ ὁ ἀπὸ τῆς κυβικῆς πλευρᾶς τετράγωνος

αὐτῆς τῆς πλευρᾶς, ὁ δὲ τετράγωνος

Ἡ τοίνυν ἀναλογία λόγων ἐστὶ πλειόνων ὁμοιότης καὶ ταυτότης. τί δέ ποτ’ ἐστὶ λόγος ὁ κατ’ ἀναλογίαν, ἐπεὶ πολλαχῶς ὁ λόγος, ἐν τοῖς πρόσθεν διεσαφήσαμεν ὅτι δυεῖν ὅρων ὁμογενῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους ἐστὶ σχέσις. ὁμογενῶν δὲ πρόσκειται, διότι τὰ ὑπὸ ταὐτὸ γένος συγκρίνειν προσῆκεν, οἷον μνᾶν πρὸς τάλαντον, ὧν

κοινὸν γένος τὸ βάρος, καὶ γραμμὴν πρὸς ἐπιφάνειαν ἢ στερεόν· κοινὸν γὰρ αὐτῶν τὸ μέγεθος. ἔστι δέ τινα καὶ κατὰ δύναμιν καὶ κατὰ ὄγκον καὶ ἄλλα τινὰ γένη συγκρινόμενα. τὰ δὲ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλα οὐ δυνατὸν εἰδέναι, οἷον πῆχυς πρὸς κοτύλην, πρὸς χοίνικα τὸ λευκόν. ἓν δὲ γένος ἐστὶ καὶ τὸ ποσὸν καὶ ποσοῦ ὁ ἀριθμός, ὥστε γενήσεται καὶ τῶν ἐν ἀριθμῷ λόγων ἡ σύγκρισις, ἔσται αὐτῶν λόγος τις

δὲ ὁ τῆς ἀνισότητος λόγος ἐν δέκα γένεσίν ἐστι, καὶ πέντε μὲν προλόγοις κατὰ τὸ μεῖζον, ὑπολόγοις δὲ τοῖς ἴσοις κατὰ τὸ ἔλαττον, καὶ ὅτι ἀπὸ ἰσότητος πάντες τὴν γένεσιν ἔχουσιν, ἐμάθομεν ἔμπροσθεν ἐν τῷ περὶ τῶν σχέσεων τόπῳ. ἔστι δέ τις καὶ ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν λόγος αὐτῷ λεγόμενος, διὰ τὸ μηδενὶ ὑποπίπτειν τῶν δέκα γενῶν, ὡς ἐπιδειχθήσεται ἐν τοῖς ἁρμονικοῖς, ὁ τοῦ λείμματος λόγος ἐν ὅροις ἐν τοῖς σνϛʹ πρὸς σμγʹ. τῶν οὖν ἐν ἀριθμοῖς λόγων τοιούτων τινῶν ὄντων ἡ ἀναλογία σύλληψις ἔσται πλειόνων ἐν ὁμοιότητι λόγων ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις· λέγεται γὰρ λόγος συνῆφθαι, ὅταν κοινὸς ὅρος ᾖ μέσος πρὸς ἑκάτερον τῶν ἄκρων λόγον ἔχων· ὁ γὰρ κοινὸς ὅρος τοῦ λόγου συνάπτει. διεζεῦχθαι δὲ λέγεται λόγος λόγου, ὅταν μὴ ἔχωσι κοινὸν ὅρον. τοῦτο δὲ ἐν τέτταρσιν ὅροις γίνεται, διὸ καὶ δοκεῖ τὸ ἀνάλογον τῆς ἀναλογίας