De communi mathematica scientia

α′. Τίς ἡ πρόθεσις τοῦ παρόντος βιβλίου ἡ ὅλη, καὶ τίνες οἱ ὑπ’ αὐτὴν μερικοὶ σκοποὶ καὶ ποσαχῶς καὶ εἰς τίνα διαιρούμενοι, πόθεν τε ἔχοντες τὰς πρώτας αἰτίας τῆς οἰκείας ἐπισκέψεως καὶ ἀπὸ ποίας οὐσίας.

β′. Τίς ἡ κοινὴ θεωρία περὶ τῶν μαθημάτων ὅλων καὶ περὶ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, ὁπόθεν τε αὐτὴν καὶ ἀπὸ τίνων τὸν ὅρον αὐτῆς ληπτέον, πόσην τε ἔχει τὴν διάστασιν καὶ ἐπὶ πόσα γένη κοινὰ διήκουσαν.

γ′. Τίνες ἀρχαὶ τῶν ὅλων μαθημάτων καὶ τίνι διαφέρουσι τῶν ἄλλων ἀρχῶν, ὅσαι ἑτέρων οὐσιῶν εἰσιν ἀρχαί, πῶς τε κοινὴν τὴν αἰτίαν παρέχονται αἱ τοιαῦται εἰς ὅλα τὰ μαθήματα.

δ′. Τίνες αἱ ἴδιαι ἀρχαὶ ἑκάστου τῶν μαθημάτων καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς πάσας τὰς ἄλλας ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων.

ε′. Τίνα κοινῶς ὑπόκειται πᾶσι τοῖς μαθήμασι, περὶ ἃ ποιοῦνται τὴν πραγματείαν οἱ φιλομαθεῖς, καὶ πῶς ἔνεστι περὶ αὐτὰ καθόλου τὴν θεωρίαν ποιεῖσθαι.

ϛ′. Τίς ἀρίστη χρῆσις τῆς περὶ τὰ μαθήματα σπουδῆς, καὶ πρὸς τί τέλος ἀναφέρειν δεῖ τὴν ἀρίστην περὶ αὐτὰ πραγματείαν.

ζ′. Τί ἑκάστῃ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ ὑπόκειται οἰκεῖον ἐπιστητόν, καὶ πῶς ἔνεστιν ἐκ διαιρέσεως τὴν κοινὴν αὐτῶν διάκρισιν ποιήσασθαι, ὡς εἰδέναι τὸ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἓν καὶ πλῆθος ποῖόν τί ἐστι καὶ πῶς αὐτὸ δεῖ ὁρίζειν.

η′. Τί κοινὸν κριτήριον τῶν μαθημάτων πάντων, καὶ πῶς ἀπὸ τῆς τομῆς εὑρίσκεται τῆς γραμμῆς, ἣν οἱ Πυθαγόρειοι παραδιδόασι.

θ′. Περὶ τῶν ὡρισμένην ἀπονεμόντων οὐσίαν τοῖς μαθήμασιν, ὧν πρώτη δόξα παράκειται τῶν εἰς ψυχὴν ἀναγόντων αὐτήν, αἰτίαι τε πλείονες τῆς τοιαύτης ὑποθέσεως λέγονται καὶ πρὸς τὴν ὅλην θεωρίαν περὶ αὐτῶν ἀφορμαί.

ι′. Πῶς ἐκ πάντων τῶν μαθημάτων συνέστηκεν ἡ τῆς ψυχῆς οὐσία, καὶ κατὰ τίνα διορισμὸν ἀφορισθείη ἂν αὐτῶν ἡ σύγκρασις ἐν αὐτῇ, καὶ εἰ πᾶσαν περιέχει τῶν μαθημάτων τὴν ὑπόστασιν ἐν ἑαυτῇ ἢ καὶ ἄλλη τις ἀρχὴ αὐτῶν θεωρεῖται.

ια′. Τί τὸ ἔργον τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ πῶς παραγίγνεται, καὶ ὅτι συμφώνως τούτοις μαθηματικὴ ἐπονομάζεται.

ιβ′. Τίνες αἱ δυνάμεις τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, καὶ τίνας ἔχουσι τάξεις ἐν αὑταῖς καὶ κατὰ πόσας διαφορὰς διαιροῦνται καὶ ποσαχῶς νοοῦνται.

ιγ′. Τίνα στοιχεῖα καὶ γένη τῆς μαθηματικῆς ἐστιν ἐπιστήμης, καὶ πῶς μὲν στοιχεῖα πῶς δὲ γένη τὰ αὐτὰ ὑπάρχει, τίνι τε διέστηκε ταῦτα τῶν ἐν ταῖς ἄλλαις ἐπιστήμαις καὶ οὐσίαις ταῖς τε νοηταῖς καὶ ὅσαι εἰσὶν ἐν γενέσει.

ιδ′. Περὶ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος τῆς μαθηματικῆς, τίνες τέ εἰσι καὶ ἐπὶ πόσον διατείνουσι καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, κατὰ τί τε διενηνόχασι τῶν ὁμωνύμων γενῶν, ὅσα ἐπὶ τῶν νοητῶν λέγεται καὶ ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν.

ιε′. Πῶς διήκει ἡ ὅλη μαθηματικὴ ἐπιστήμη, αὐτή τε καὶ τὰ γένη αὐτῆς καὶ τὰ στοιχεῖα καὶ ἀρχαί, εἰς ὅλην φιλοσοφίαν καὶ τὰ τῆς φιλοσοφίας μέρη, πῶς τε πρὸς αὐτὰ ἐπικοινωνεῖ καὶ κατὰ τίνα συντέλειαν.

ιϛ′. Πόσα ταῖς τέχναις συμβάλλεται ἀγαθά, ταῖς τε ὅλαις καθολικῶς καὶ ταῖς κατὰ γένη διωρισμέναις, ὥσπερ ταῖς θεωρητικαῖς καὶ ποιητικαῖς καὶ πρακτικαῖς, ἐν κεφαλαίῳ τε περὶ αὐτῶν διδασκαλία.

ιζ′. Τίς ἡ τάξις τῆς ἐν τῇ μαθηματικῇ ἀγωγῆς, καὶ εἰ κατὰ φύσιν ἔχει τάξιν καὶ πρὸς μάθησιν, καὶ εἰ συμφωνεῖ ἑκατέρα τάξις πρὸς ἑκατέραν καὶ αἱ δύο πρὸς ἀλλήλας.

ιη′. Τίνες οἱ ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορικῆς παραδόσεως τῶν μαθημάτων καὶ πῶς αὐτοῖς ἐχρῶντο καὶ πρὸς τίνας, καὶ ὅτι τὸ οἰκεῖον προσέφερον ἀεὶ τοῖς τε πράγμασι καὶ τοῖς μανθάνουσι.

ιθ′. Διαίρεσις κατὰ τοὺς Πυθαγορείους τῆς ὅλης μαθηματικῆς ἐπιστήμης εἰς γένη τε καὶ εἴδη τὰ κυριώτατα, κοινὴν περὶ αὐτῶν ποιουμένη τὴν θεωρίαν.

κ′. Τίς ἡ ὁριστικὴ τῆς μαθηματικῆς μέθοδος καὶ πῶς γιγνομένη, τί τε ὄφελος εἰς ἐπιστήμην συμβάλλεται, καὶ ὅτι τέλος ἔχει ἡ μαθηματική, καὶ ποῖόν τι αὐτῆς ἐστι τέλος.

κα′. Τίνες ἀρχηγέται τῆς κατὰ Πυθαγόραν μαθηματικῆς προηγήσαντο καὶ τίνα ἐξαίρετα κατ’ αὐτόν ἐστι τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης, πῶς τε δεῖ ἑπομένως αὐτῷ τὰς περὶ τῶν μαθημάτων διατάξεις ποιεῖσθαι, κοινὴ διάληψις.

κβ′. Τίς ἡ ἰδιάζουσα κατὰ Πυθαγόραν ἦν μελέτη τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, καὶ πρὸς πόσα ἀπέβλεπε χρήσιμα τῇ ψυχῇ καὶ τοῖς ἀνθρώποις, πῶς τε αὐτὴν μετεχειρίζοντο παρ’ ὅλην τὴν οἰκείαν ἑαυτῶν ζωήν.

κγ′. Ὅτι οὐκ εἰκῇ οἱ Πυθαγόρειοι τὰ μαθήματα ἐπὶ πλεῖον προῆγον, ἀλλὰ πρὸς τὸν βίον τῆς ἀναγκαίας χρήσεως, τίνες τε αἱ τούτου αἰτίαι διὰ πλειόνων ὑπόμνησις.

κδ′. Τίς ἦν ἡ συνήθεια ἐν τοῖς μαθήμασι τῆς

διατριβῆς τῶν Πυθαγορείων, καὶ τίς ἡ ἐν ταῖς ἐπιστήμαις γυμνασία αὐτῶν καὶ ἐξεργασία.

κε′. Τίνες ἦσαν οἱ μαθηματικοὶ τῶν Πυθαγορείων καὶ κατὰ τί διέφερον τῶν ἀκουσματικῶν, τί τε ἦν αὐτῶν τὸ ἔργον καὶ ποῖόν τι τὸ εἶδος τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων.

κϛ′. Ἀντιλήψεις τῶν μαθημάτων ὡς οὐδενὸς ἀξίων ὄντων, καὶ ἀντιλογίαι πρὸς αὐτὰς ἀντιδιατάξεις τε διὰ πλειόνων.

κζ′. Τί ἀπαιτεῖν δεῖ παρὰ τοῦ μαθηματικοῦ τὸν ὄντως πεπαιδευμένον, καὶ πῶς δεῖ κρίνεσθαι αὐτοῦ τὴν θεωρίαν, καὶ ἐκ τίνων ὅρων τὴν ὀρθότητα περιλαμβάνεσθαι.

κη′. Πότε μαθηματικῆς ἐστὶν ἢ ἄλλης ἐπιστήμης τὸ πρόβλημα ἢ ὁ τρόπος τῶν ἀποδείξεων, διάκρισις ἐπιστημονική.

κθ′. Περὶ τῶν μαθηματικῶν συλλογισμῶν καὶ τῶν μαθηματικῶν διαιρέσεων τε καὶ ὁρισμῶν πῶς χρῆται αὐτοῖς ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη, πότερον κατὰ τὸν οἰκεῖον τρόπον ἢ παρὰ διαλεκτικῆς λαμβάνουσα τὰς ἀρχάς.

λ′. Ὅτι φιλοσοφίᾳ πάσῃ καὶ τοῖς μέρεσιν αὐτῆς ὅλοις μεγάλα συμβάλλεται ἡ μαθηματικὴ ὑπουργοῦσα πρὸς πάντα αὐτῇ, καὶ μάλιστα ἡ κατὰ τοὺς Πυθαγορείους, ἥτις πολὺ διαφέρει τῆς ἄλλης μαθηματικῆς.

λα′. Ὅτι τοῖς αὐτοῖς μαθήμασιν ἐπὶ πολλὰ πράγματα διάφορα ἐχρῶντο οἱ Πυθαγόρειοι, καὶ πλείονα

μαθήματα τοῦ αὐτοῦ πράγματος ἐποιοῦντο δηλωτικά, καὶ διὰ τίνας αἰτίας.

λβ′. Πῶς ἐνίοτε καὶ περὶ αἰσθητῶν μαθηματικῶς ἐπιχειροῦμεν καὶ ποσαχῶς τοῦτο γίγνεται, καὶ πῶς ἐν τοῖς μαθήμασι πολλὰ εἰς ἄλλα ἀνάγεται καὶ διὰ τίνας αἰτίας.

λγ′. Τί τὸ κοινὸν ἐν ὅλῃ τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ καὶ τὸ ἴδιον αὐτῆς ἐστι κατὰ τὰς ἐν πολλοῖς εἴδεσι θεωρουμένας διαφοράς, ὅπως τε δεῖ τέμνειν αὐτὸ κατὰ τὴν διαιρετικὴν ἐπιστήμην ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ δύο, εἶτα ἐπὶ πλείονα εἴδη.

λδ′. Πόθεν ὠνόμασται ἡ τῶν μαθημάτων ἐπιστήμη καὶ τίς αὐτῆς ὁ χαρακτήρ, τίσι τε δεῖ προσέχειν ἐν τῷ τὸ εἶδος τῶν μαθημάτων ἐπικρίνειν.

λε′. Ἀνακεφαλαίωσις τοῦ κοινοῦ λόγου περὶ πάντων τῶν μαθημάτων, τῆς τε τάξεως τῶν κεφαλαίων παράδειξις, καὶ ὑπόμνησις ἅμα καὶ περὶ τοῦ ὀρθῶς διῃρῆσθαι τὴν ὅλην αὐτῶν σύνοψιν.

Ἡ μὲν πρόθεσις τῆς παρούσης ἐπισκέψεως τὴν κοινὴν βούλεται τῶν μαθημάτων θεωρίαν παραδεῖξαι, τίς ἐστιν ἡ ὅλη καὶ τίνα ἔχει μίαν αἰτίαν καὶ οὐσίαν πρεσβυτάτην προηγουμένην, μετὰ μίαν δὲ δύο εἴ πως εἰσὶν ἀρχαὶ ταύτης ἐπισκεψόμεθα, καὶ μετὰ ταύτην τὴν διχοτομίαν εἴ τις ἐστὶν ἀριθμὸς ὡρισμένος τῶν ἐν αὐτοῖς γενῶν πειρασόμεθα ἀπολογίζεσθαι μετ’ ἐπιστημονικῆς τινος διαιρέσεως· καὶ τότε δὴ τὰ κοινὰ εἴδη τῶν μαθημάτων πάντων ἐπισκεψόμεθα κατὰ κοινήν τινα ἐπιβολήν, μηδέπω τῶν καθ’ ἕκαστον θεωρημάτων ἐφαπτόμενοι. καθ’ ἕκαστον δὲ τῶν εἰρημένων παραδείξομεν τὴν οὐσίαν περὶ ἣν ἕκαστον γένος καὶ εἶδος τῶν μαθηματικῶν ἐνυπάρχει, τίς τέ ἐστιν ἡ τούτων συντέλεια πρὸς τὸ πᾶν καὶ ἡ πρὸς ἄλληλα σύνταξις οὐ παρήσομεν εἰπεῖν, τίς τε αὐτοῖς καὶ πόθεν ἡ συγγένεια ἐφήκει, καὶ ἀπὸ τίνων συνδεῖται ἀρχῶν, εἰς τίνας τε ἀνάγεται τὰς πρεσβυτέρας ἑαυτῆς αἰτίας, καὶ πῶς ἄν τις αὐτῶν ἐπιτυχεῖν δυνηθείη, τί τε χρήσιμός ἐστιν ἡ πραγματεία καὶ πρὸς πόσα ἀγαθὰ ὁδηγεῖ, καὶ ὅτι καθ’ αὑτήν τέ ἐστιν αἱρετὴ καὶ διὰ τὰς παραγινομένας

ἀπ’ αὐτῆς ἐπιστήμας, καὶ ὅτι πρὸς πᾶσαν φιλοσοφίαν περιάγει τὴν διάνοιαν καὶ πρὸς πᾶσαν τὴν περὶ τῶν ὄντων καὶ νοητῶν ἐπιστήμην. | τὰ μὲν οὖν προκείμενα ἡμῖν ἐστι τοσαῦτα ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ 5 διελθεῖν, ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τοῦ πρώτου ἄνωθεν ἀναλαβόντες.

Κοινῇ δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀξιώματα ἡμῖν προσκείσθω ταῦτα· ὡς ἔστιν ἀσώματα καὶ καθ’ ἑαυτὰ ὑφεστηκότα, τῶν τε ἀμερίστων οὐσιῶν καὶ τῶν περὶ τὰ σώματα μεριστῶν μέσα, εἰδῶν τε καὶ λόγων, τὴν μεταξὺ τοῦ τε ἀμεροῦς καὶ τοῦ μεριστοῦ τάξιν εἰληχότα, καὶ τῶν μὲν ὄντα καθαρώτερα τῶν δὲ ποικιλώτερα, συνθέσει μὲν καὶ διαιρέσει χρώμενα, ἀγενήτως δὲ καὶ ἀιδίως τὸ συντιθέμενον καὶ διαιρούμενον ἐπισκοπούμενα, τῶν μὲν νοητῶν οὐσιῶν καταδεέστερα ὄντα, τῶν δὲ ἐν τῇ φύσει πρότερα, κάλλει τε καὶ τάξει καὶ ἀκριβείᾳ προέχοντα τῶν ὁρατῶν, ἀπολειπόμενα δὲ τῶν νοητῶν, συμμετρίᾳ τε ὡσαύτως καὶ ὁμολογίᾳ μέσῃ χρώμενα, δύναμίν τε ἔχοντα διαπορθμεύειν καὶ διαβιβάζειν ἐπὶ τὰ ἀμέριστα εἴδη, ἅτε συγγενῆ πρὸς αὐτὰ ὑπάρχοντα, καὶ τῶν μὲν σωμάτων ἀπάγοντα τοὺς συνήθεις πρὸς αὐτὰ γιγνομένους, περιάγοντα δὲ ἐπὶ τὰς θείας οὐσίας ὥσπερ διά τινος κλίμακος ἀναγούσης ἐπὶ τὸ ὕψος. δεῖ δὴ θεωρεῖν οὐκ ἀφ’ ἑνὸς μόνου

γένους τῶν ὄντων καθήκουσαν εἰς ταῦτα δευτέραν τῆς ἀσωμάτων οὐσίας δόσιν, ἀλλ’ ἀπὸ πάντων ὅσα ποτέ ἐστιν ἐν τῷ ὄντως ὄντι καὶ τῷ νῷ γένη· κάτεισι γὰρ ἀπὸ πάντων τούτων εἰς τὰς μεταξὺ φύσεις τῶν μαθημάτων ἡ μεσότης τῶν τε αἰτίων καὶ τῶν ἀποτελουμένων ὑπ’ αὐτῶν, συνάπτει τε τὰ γιγνόμενα πρὸς τὰ ὄντα καὶ κοινωνίαν αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἀπεργάζεται. τοσαύτης δὴ οὖν οὔσης 〈τῆς〉 τῶν μαθημάτων θεωρίας καὶ οὕτως ἐπὶ πάντα διατεινούσης, ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη γνῶσίς ἐστι μέση, πλεονάζουσα τοῦ νοῦ τῇ συνθέσει, διανοητική τις οὖσα, πολλὰ ἐν ταὐτῷ συλλαμβάνουσα, διεξόδοις τισὶ χρωμένη μᾶλλον καὶ ἀνελίξεσιν, εἴδεσί τε καὶ λόγοις μέσοις καὶ οὐ πάντῃ πεπερασμένοις, ἀλλὰ περὶ τὸ ἄπειρον ἀφορίζουσι τὸ πέρας, σαφήνειάν τε ἐν τοῖς μὴ πάνυ γνωρίμοις παρεχομένοις.

Τοιαύτης δὴ οὖν οὔσης τῆς ἐπιστήμης, ληπτέον αὐτὴν σωμάτων ἀφισταμένους καὶ γενέσεως, φαντασιῶν τε καὶ αἰσθήσεων καθαρεύοντας, συνεθιζομένους τε τοῖς καθ’ αὑτὰ ἀσωμάτοις καὶ τῇ μελέτῃ τῶν λόγων συνεχεῖ χρωμένους. τὸν δὲ ὅρον αὐτοῖς ἐπιτιθέναι ἄξιον ἀπὸ τῆς τῶν ὄντων ἐπιστήμης καὶ τῆς καθαρᾶς νοήσεως τῶν τε καθαρῶν λόγων καὶ τῶν ἀύλων εἰδῶν καὶ τῆς πεπερασμένης τῶν νοητῶν ἀληθείας· ἀπὸ γὰρ τούτων ἄν τις τὸ τέλειον καὶ εἰλικρινὲς προσλάβοι τῆς ἐν αὐτοῖς εἰδήσεως. διατείνει δὲ ἐπὶ πάντα ὅσα μέσα ἐστὶ γένη τε καὶ εἴδη τῶν ὄντων, ὅσα τε ἐν ἀριθμοῖς ὡρισμένοις περιείληπται, καὶ ὅσα πρόεισιν ὡρισμένως κατά τινας εἰδητικὰς διαφοράς. καὶ τὰ μὲν ἐπὶ τὸ πρόσω προχωρεῖ εἰς ὕψος τε ἄνεισι, τὰ δὲ τοῖς ὑποδεεστέροις

καὶ κατωτέρω πελάζει, τὰ δ’ ἐν μέσῳ τούτων ὄντα συνάπτει τὰ ἄκρα. γένη δὲ αὐτῶν καὶ εἴδη κατὰ πάντα ταῦτα διοριστέον, καὶ ἔτι τὰ μὲν ὡς καθ’ αὑτά, τὰ δὲ ὡς πρὸς ἕτερα διαιρετέον· καὶ κατὰ τὰς τοῦ ποσοῦ δὲ διαφορὰς ὑποληπτέον αὐτῶν τὴν διάκρισιν, καὶ κατὰ τὰς τῶν λόγων τῶν μέσων καὶ εἰδῶν διαιρέσεις· καὶ τὰ μὲν πρότερα αὐτῶν, τὰ δὲ ὕστερα ὑποθετέον, ὅπως ἂν αἱ φύσεις ἔχωσι τὸ πρὸς ἀλλήλας τεταγμένον. δύναται δέ τις καὶ κατὰ τὰς δυνάμεις τῆς ψυχῆς τὰς γνωριστικάς, ὅσαι μέσαι εἰσὶ καὶ διανοητικαί, συλλογίζεσθαι αὐτῶν τὴν ἑτερότητα, ὥσπερ καὶ Ἀρχύτας φαίνεται ποιῶν ἐν τῇ τῆς γνωριστικῆς γραμμῆς τομῇ. τοιαύτη τις ἔστω ὡς ἐν τύποις ὑπογράψαι ἡ πρώτη περίληψις τῆς κοι|νῆς περὶ μαθημάτων θεωρίας, τὰ δὲ ἐντεῦθεν ἄνωθεν ἀναλαβόντες πειραθῶμεν καθ’ ἕκαστον ἐπελθεῖν τὰ ἤδη προειρημένα προβλήματα.

Κοινῶς δὴ περὶ πάντων τῶν μαθημάτων ἀφορισώμεθα τίνες τῆς μαθηματικῆς οὐσίας εἰσὶν ἀρχαί· ἐπειδὴ γὰρ πᾶσα ἐπιστήμη παραγίνεται διὰ τῶν οἰκείων ἀρχῶν, καὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας ἀρίστη ἂν γένοιτο ἡ ἐντεῦθεν ὁρμωμένη εἴδησις. ὅτι μὲν οὖν τὸ πεπερασμένον καὶ ἄπειρον ἀρχαί εἰσι πάντων τῶν μαθημάτων καὶ πάσης μαθηματικῆς οὐσίας, παντὶ δῆλον, ὡς δοκεῖ τοῖς Πυθαγορείοις· ἀλλὰ τούτων ἑκάτερον οὐχ ἕνα λόγον οὐδ’ ἐπὶ πάσης οὐσίας τὸν αὐτόν, ἀλλ’ ἐπὶ μὲν

τῶν νοητῶν εἰδῶν καὶ τῶν ἀύλων λόγων ἄλλαι εἰσὶν αἱ τοιαῦται ἀρχαί, νοηταί τε πάντῃ καὶ ἄυλοι καὶ καθ’ ἑαυτὰς οὖσαι ἀμέριστοι, ἐπὶ δὲ τῶν μαθημάτων πλήθους καὶ μεγέθους, διαιρέσεώς τε καὶ διαστάσεως ἔσονται αἰτίαι, μεριστῆς τε φύσεως μεθέξουσι καὶ οἰκεῖα γένη λήψονται τὰ προσήκοντα τοῖς ὅλοις μαθήμασι, συνθέσεώς τε μεταλήψονται καὶ κριθήσονται διανοήσει ἑτέρᾳ οὔσῃ παρὰ τὴν κρίνουσαν δύναμιν τὰς ἁπλᾶς καὶ ἀμερίστους καὶ νοερὰς οὐσίας. κίνησιν δὲ ταῖς ἀρχαῖς ταύταις τῶν μαθημάτων ἔνιοι μὲν ἴσως δώσουσιν, ὅσοι ἐν τῇ ψυχῇ καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ζωαῖς καὶ δυνάμεσι τὰς ἀρχὰς ταύτας ὑποτίθενται, βέλτιον δὲ τὴν μὲν ψυχὴν ἐν ἑτέρῳ γένει τῆς οὐσίας τιθέναι, τὰς δὲ μαθηματικὰς ἀρχὰς καὶ τὴν μαθηματικὴν οὐσίαν ἀκινήτους ὑπολαμβάνειν· ἕστηκέ τε γὰρ αὐτῶν ἀεὶ τὰ εἴδη καὶ ὡσαύτως αὐτὰ θεωροῦμεν καὶ κατὰ τὰ αὐτά. μέσαι δή τινες οὖν εἰσιν αὗται αἱ ἀρχαὶ τοῦ τε ἀπείρου καὶ τοῦ πέρατος, κρατούσης ἀεὶ τῆς τοῦ πέρατος ἰδέας τοῦ ἀπείρου καὶ περιοριζούσης αὐτὴν ἐν ἑαυτῇ· διὸ καὶ πρόεισι μὲν ἐπὶ τὸ ἄπειρον ἀεί, ὁρίζεται δὲ ὑπὸ τοῦ περαίνοντος. τῶν μὲν οὖν ἐν τῷ νῷ ὑπαρχόντων διαφέρουσιν αἵδε αἱ ἀρχαὶ τῷ διαιρέσεως καὶ πλήθους καὶ μεγέθους καὶ συνθέσεως ἐνδιδόναι τὴν αἰτίαν ἀφ’ ἑαυτῶν, τῶν δὲ τῆς φύσεως καὶ τῶν τῆς ψυχῆς λόγων χωρίζονται τῷ τε ἀκίνητοι εἶναι καὶ διότι τῶν μεταξὺ τεταγμένων μέσων ἀσωμάτων καθ’ ἑαυτὰς ὑπάρχουσι κεχωρισμέναι τῆς ὕλης, αἱ δὲ καὶ τῆς ὕλης ἐφάπτονται. ὅτι μὲν οὖν διαφέρουσι τῶν ἄλλων αἰτίων, ἐκ τούτων ἄν τις πεισθείη. τὴν δὲ κοινότητα αὐτῶν τὴν ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ἀπό τε τῆς μεσότητος τῆς ἁπλῶς οὕτω νοουμένης ὑποληπτέον, καὶ ἀπὸ τῆς ὑποδεεστέρας φύσεως τῶν ἀμερίστων καὶ νοητῶν εἰδῶν, πρεσβυτέρας δὲ τῶν περὶ τὰ σώματα μεριστῶν. καὶ εἰ λόγους δέ τις λαμβάνοι, κατὰ ταύτην τὴν κοινότητα αὐτῶν ἐν τοῖς λόγοις θεωρητέον. καὶ τὴν ἀοριστίαν δὲ ὡσαύτως κοινῶς ἐπὶ πάντα διατείνουσαν ὑποθετέον. εἴ τέ τινες ὑποδοχαὶ νοοῦνται τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν, κοινὰς ταύτας ἀπολιπεῖν ἄξιον πάσης τῆς ἐν τοῖς μαθήμασι θεωρουμένης πολυειδοῦς συστάσεως· οὕτω γὰρ ἄν τις τὴν κοινότητα αὐτῶν κατανοήσειε, δύσληπτον μὲν οὖσαν νοῆσαι ὥστε αὐτὴν ἑνὶ λογισμῷ περιλαβεῖν, διὰ τὸ ἐν πολλοῖς καὶ διαφέρουσιν ἐνυπάρχειν, μόλις δ’ ἂν οὕτως ἐπινοηθῆναι δυναμένην. τοσαῦτα μὲν οὖν καὶ περὶ τῶν κοινῶν ἡμῖν διωρίσθω.

Εἰ δὲ δεῖ καὶ τὰς ἰδίας ἀρχὰς καθ’ ἕκαστον τῶν μαθημάτων ἀφορίσασθαι, τίνες τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι καὶ τίνα ἔχουσαι τὴν καθ’ αὑτὰς ἰδιότητα καὶ τὴν πρὸς ἀλλήλας διαφορὰν καὶ τὴν πρὸς ἁπάσας τὰς ἄλλας ἀρχὰς πάντων τῶν ὄντων, καιρός ἐστιν ἤδη καὶ περὶ τούτων διελθεῖν. πάντων δὲ ἄριστον, ἐπεὶ τάξις τίς ἐστιν ἐν αὐτοῖς, καὶ τὰ μὲν ὡς πρότερα προηγεῖται οὐ τῇ τάξει μόνον ἀλ|λὰ καὶ τῇ φύσει (συναναιρεῖ μὲν γὰρ οὐ συναναιρεῖται δέ, καὶ συνεπιφέρει μὲν οὐ συνεπιφέρεται δέ),

τὰ δὲ ἐν ἀμφοτέροις τούτοις ἀπολείπεται πρεσβείᾳ καὶ ἁπλότητι, τούτων δὴ ἕνεκα καὶ ἡμῖν προσήκει τῇ κατὰ φύσιν αὐτῶν τάξει συνακολουθῆσαι, καὶ πρῶτον μὲν εἰπεῖν περὶ τῶν πρώτων, ἔπειθ’ οὕτω περὶ τῶν ἄλλων.

Τῶν δὴ ἀριθμῶν τῶν μαθηματικῶν δύο τὰς πρωτίστας καὶ ἀνωτάτω ὑποθετέον ἀρχάς, τὸ ἕν (ὅπερ δὴ οὐδὲ ὄν πω δεῖ καλεῖν, διὰ τὸ ἁπλοῦν εἶναι καὶ διὰ τὸ ἀρχὴν μὲν ὑπάρχειν τῶν ὄντων, τὴν δὲ ἀρχὴν μηδέπω εἶναι τοιαύτην οἶα ἐκεῖνα ὧν ἐστιν ἀρχή), καὶ ἄλλην πάλιν ἀρχὴν τὴν τοῦ πλήθους, ἣν καὶ διαίρεσιν οἷόν τ’ εἶναι καθ’ αὑτὸ παρέχεσθαι, καὶ διὰ τοῦτο ὑγρᾷ τινι παντάπασι καὶ εὐπλαδεῖ ὕλῃ, προσηκόντως εἰς δύναμιν παραδεικνύντες, ἀποφαίνοιμεν ἂν ὁμοίαν εἶναι· ἐξ ὧν ἀποτελεῖσθαι, τοῦ τε ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους ἀρχῆς, τὸ πρῶτον γένος, ἀριθμῶν ἐξ ἀμφοτέρων τούτων μετά τινος πιθανῆς ἀνάγκης συντιθεμένων. καὶ χρὴ καθ’ ἕκαστον ἐπεξιόντα τῶν ἀριθμῶν διαίρεσιν μὲν ἅπασαν λέγειν ἅπαντι ἀριθμῷ καὶ μέγεθος ὡς καθόλου εἰρῆσθαι ταύτην τὴν φύσιν παρέχεσθαι, τὸ δὲ ποιὸν εἶναι ἕκαστον αὐτῶν, ἔτι δὲ ὡρισμένον καὶ ἕν, τὴν ἀδιάφορον καὶ ἄτμητον ἀρχὴν ἐπισφραγιζομένην ἀποτυποῦν. κακὸν δὲ ἢ αἰσχρὸν τὸ τοιοῦτον οὐ προσῆκον ἴσως ἐστὶ τιθέναι, ᾧ συμβαίνει μεγέθους τε καὶ διαιρέσεως, ἔτι δὲ αὔξης, καθ’ ἑαυτὸ αἰτίῳ εἶναι· οὔτε γὰρ ἐν τοῖς ἄλλοις τὸ τοιοῦτο γένος εἰς κακὴν μοῖραν εἰώθαμεν τιθέναι, ἔστιν ὅτε δὲ τοῦ μεγαλοπρεποῦς καὶ ἐλευθερίου μετὰ ποιότητος συμπλεκόμενόν τινος τὸ μέγα αἴτιον λέγοιμεν ἂν ἴσως ἀληθεύοντες·

ὥστε πολλοῦ δέον ἂν εἴη κακὸν προσαγορεύεσθαι αὐτό. εἰ γὰρ δὴ καὶ τὴν τοῦ ἑνός τις φύσιν ἐπαινῶν τυγχάνοι δι’ αὐτάρκειάν τε καὶ τὸ καλῶν τινων ἐν τοῖς ἀριθμοῖς αἴτιον εἶναι, πῶς οὐκ ἄλογον ἂν εἴη λέγειν τὸ κακὸν ἢ τὸ αἰσχρὸν δεκτικὸν κατὰ φύσιν τοῦ τοιούτου πράγματος εἶναι; οὐ γὰρ ἂν ἔτι πάντῃ συμβαίνοι ψεκτὸν εἶναι τὸ κακὸν καὶ τὸ αἰσχρόν, εἴπερ τὸ δεκτικόν τινος ἐπαινετοῦ καὶ αὐτὸ δεῖ ἐπαινετὸν προσαγορεύειν. αὕτη μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν νοείσθω ἀρχή. τὸ δὲ ἓν οὔτε καλὸν οὔτε ἀγαθὸν ἄξιον καλεῖν, διὰ τὸ καὶ τοῦ καλοῦ καὶ τοῦ ἀγαθοῦ ὑπεράνω εἶναι· προϊούσης γὰρ πορρωτέρω ἀπὸ τῶν ἐν ἀρχῇ τῆς φύσεως πρῶτον μὲν τὸ καλὸν ἐφάνη, δεύτερον δὲ καὶ μακροτέραν ἀπόστασιν ἐχόντων τῶν στοιχείων τἀγαθόν. ἡ τοίνυν πρώτη ὑποδοχή τε καὶ μέγεθος, ἢ ὅ τι δήποτε δεῖ προσαγορεύειν αὐτήν, τὸ τῶν ἀριθμῶν εἶδος ἀπετύπωσε, πλήθει μὲν ἀόριστον εἰκότως, εἴδει δέ πως ὡρισμένον ἐκ τῆς τοῦ ἑνὸς παραλαβοῦσα μοίρας. εἰ μὲν οὖν μίαν ἄπειρον ἅπασιν ὑποθήσει τις ὕλην τε καὶ ὑποδοχήν, ἄλογον ὡς τὸ εἰκὸς συμβήσεται τό, τῆς ἑνὸς ἰδέας ἐγγιγνομένης ἐν αὐτῇ, εἴπερ ὁμοία διὰ παντός, μὴ οὐ τὰ αὐτὰ καὶ γένη πάλιν ἀποτελεῖσθαι. ὥστε πάντα ἀριθμοὺς τὰ γένη παντελῶς συμβήσεται εἶναι· διαφορὰν γὰρ οὐχ ἕξομεν ἁρμόττουσαν προσάψαι, διὰ τί δήποτε ἐνθάδε μὲν ἀριθμῶν ἐγεννήθη φύσις, μετὰ δὲ τοῦτο γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ σχημάτων, καὶ οὐκ ἀεὶ τὸ αὐτὸ γένος, ἀπό γε τῶν ὁμοίων καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον ἀλλήλοις συμπλεκομένων στοιχείων. εἰ δέ τις μίαν μὲν ὑποθήσεται τὴν ἅπαντος πλήθους τε καὶ μεγέθους αἰτίαν πρώτην, διαφορὰς δὲ πολλὰς ἐν αὑτῇ παρεχομένην, δι’ ὅπερ ἄλλα καὶ ἄλλα γένη κατὰ πᾶσαν τὴν φύσιν ἀποτίκτειν πεφυκέναι, καίπερ τοῦ ἑνὸς ὁμοίου ἐγγιγνομένου διὰ παντός, οὐδὲ μὴν οὐδὲ τούτου διὰ τὴν παχύτητα τῆς ὕλης ἀκριβῆ τὴν ἑαυτοῦ φύσιν ἐμφαίνοντος | ἀεί, καθάπερ ἔν τισιν εἰκαίοις ξύλοις σχῆμα, ταῦτα μὲν οὖν οὐκ ἀλόγως ἂν ἴσως συμβαίνοι αὐτῷ, τὸ δὲ πρῶτον στοιχεῖον εἰς τοσαύτας διαφορὰς διαιρέσεις ἔχειν δυσχεραίνοι ἄν τις προσηκόντως ἴσως, ἄλλως τε καὶ εἰ παντάπασιν εἴη διήκων κατὰ ταῦτα τὰ παραδείγματα· τὸ γὰρ ἁπλούστατον πανταχοῦ στοιχεῖον εἶναι. λοιπὸν οὖν τινα ἑτέραν μεγέθους αἰτίαν ὑποθεμένους, ὡς ἐν ἀριθμοῖς μονάδα κατὰ τὸ ἕν, οὕτως στιγμὴν ἐν γραμμαῖς τιθέναι, θέσιν δὲ καὶ διάστασιν τόπων περί τε γραμμὰς καὶ χωρία καὶ στερεὰ πρῶτον, κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τόπον ἐνταῦθα φανῆναι παρὰ τὸ τὴν τῆς ὑποδοχῆς διαφορὰν ἴδιόν τι παραδιδόναι τῷ ἀπ’ αὐτῆς γένει. ἔτι δὲ καὶ τὸ συνεχὲς καὶ τὸ συμμεμολυσμένον μᾶλλον τῶν ἀριθμῶν καὶ παχύτερον ἐκ ταύτης ἄν τις αἰτιώμενος καὶ λέγων, ἴσως οὐ διαμαρτάνοι. καὶ μέχρι μὲν δὴ τούτων γένος ἂν εἴη ἀποτετελεσμένον δεύτερον· εἰς ταὐτὸ γὰρ τίθημι γραμμάς τε καὶ στερεὰ καὶ πλάτη χωρίων. πρώτη μὲν οὖν ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐστιν ὕλη, δευτέρα δὲ ἡ τῶν γραμμῶν τε καὶ τῶν ἐπιπέδων καὶ στερεῶν σχημάτων. καὶ τῶν ἄλλων δὲ ὡσαύτως μαθημάτων, ὅσα ἂν καὶ ὁποῖα ἂν εὕρῃ ὁ λόγος, τὰς οἰκείας ὑποδοχὰς προυποθετέον.

Καὶ τοῦτο μὲν οὖν οὕτως ἡμῖν ἐχέτω. τὰ δὲ στοιχεῖα, ἐξ ὧν οἱ ἀριθμοί, οὐδέπω ὑπάρχει οὔτε καλὰ οὔτε ἀγαθά· ἐκ δὲ τῆς συνθέσεως τοῦ ἑνὸς καὶ τῆς τοῦ πλήθους αἰτίας ὕλης ὑφίσταται μὲν ὁ ἀριθμός, πρώτοις δὲ ἐν τούτοις τὸ ὂν φαίνεται καὶ κάλλος, ἐφεξῆς ἐκ τῶν στοιχείων τῶν γραμμῶν τῆς γεωμετρικῆς οὐσίας φανείσης, ἐν ᾗ ὡσαύτως τὸ ὃν καὶ τὸ καλόν, ἐν οἷς [οὔτε] οὐδὲν οὔτε αἰσχρόν ἐστιν οὔτε κακόν· ἐπ’ ἐσχάτῳ δὲ ἐν τοῖς τετάρτοις καὶ πέμπτοις τοῖς συντιθεμένοις ἀπὸ τῶν στοιχείων τῶν τελευταίων κακίαν γενέσθαι οὐ προηγουμένως, ἐκ δὲ τοῦ ἐκπίπτειν καὶ μὴ κατακρατεῖν τινα τοῦ κατὰ φύσιν.

Ἐκ δὴ τούτων φανερόν ἐστι καὶ τίνα ἔχουσι τὴν διαφορὰν αἱ μαθηματικαὶ ἀρχαὶ πρὸς τὰς ἄλλας· τῶν μὲν γὰρ τελευταίων προέχουσι, διότι σωματικῶν πως ἐκείνων οὐσῶν αὗταί εἰσιν ἀσώματοι, τῶν δὲ κατὰ τὴν ζωὴν θεωρουμένων, διότι κατὰ κίνησιν ἐκείνων χαρακτηριζομένων αὗταί εἰσιν ἀκίνητοι, τῶν δὲ νοητῶν, διότι ἀμερίστων ἐκείνων προϋπαρχουσῶν αὗται συνθέσεως καὶ διαιρέσεως ἀρχὴν παρέχονται. οὕτως ἡμῖν ὁ κοινὸς λόγος περὶ τῶν μαθηματικῶν ἀρχῶν καὶ ὁ ἴδιος περὶ ἑκάστων ἐχέτω διορισμόν· πῇ τε διαφέρει τῶν ἄλλων ἀρχῶν, οὑτωσὶ διακεκρίσθω.

Τά γε μὴν ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ θεωρίᾳ, τὰ κοινῇ ἐπὶ πᾶσαν διατείνοντα τὴν ἐπιστήμην ταύτην, ἐκεῖνά ἐστιν ὅσα κοινά ἐστι θεωρήματα, δυνάμενα μὲν ἐπὶ ἀριθμῶν, δυνάμενα δὲ καὶ ἐπὶ μεγεθῶν

ἐφαρμόζειν, ἔτι δὲ καὶ ἁρμονιῶν καὶ ἀστρονομίας καὶ πάντων τῶν ἄλλων. ἔστι δὲ τοιαῦτα 〈τὰ〉 τῶν ἀναλογιῶν καὶ τὰ περὶ τὰς κοινῶς συνθέσεις καὶ διαιρέσεις, καὶ ὅσα περὶ τὸ ἴσον καὶ ἄνισον θεωρεῖται τὸ ὁπωσοῦν ἔχον ἢ τὸ ὁποιονοῦν, καὶ ὅσα τὸ πολλαπλάσιον ἢ τὸ μεριστὸν ἐπισκοπεῖται, ἢ τὸ ὑπερέχον καὶ ἐλλεῖπον, ἢ τὸ διωρισμένον καὶ ἀδιόριστον κατὰ κοινὴν ἐπιβολήν, ἢ τὸ καθ’ αὑτὸ καὶ τὸ πρός τι, ἢ τὸ ποσὸν ἁπλῶς, μηδὲν προσλαμβάνον τὸ τοιόνδε εἶδος τοῦ ποσοῦ ποσὸν τὴν τάξιν καὶ τὸ καλὸν τὸ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσιν ᾗ ἐστιν ἐπιστημονικὰ θεωρεῖ, μηδὲν προσδιορίζον τὸ τοιόνδε κάλλος (ἤδη γὰρ τὸ τοιοῦτον τῶν ἐν μέρει ἐπιστημῶν ἐφάπτεται)· καὶ ὅσον δὲ αὖ τὸ ἀραρὸς καὶ βέβαιον τῆς ἐπιστήμης τῆς μαθηματικῆς σκοπεῖ, μήτε μεταβαλλόμενον ἄλλοτε ἄλλως, μήτε ἐξι‐ στάμενον τῆς οἰκείας οὐσίας, μήτε νῦν μὲν οὕτως αὖθις δὲ ἑτέρως νοούμενον, | καὶ τοῦτο τὰ κοινὰ ὑποκείμενα τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ τῷ λογισμῷ περιλαμβάνει. οὐ μέντοι δεῖ ταῦτα ὑπολαβεῖν ὡς ἐπιγιγνόμενα τὰ κοινά, ἀλλ’ ὡς προϋπάρχοντα τῶν καθ’ ἕκαστα· οὐδ’ ὡς ἐν τοῖς κατὰ μέρος καὶ μετ’ αὐτῶν ἔχοντα τὴν οὐσίαν, ἀλλ’ ὡς πρεσβυτέραν αὐτῶν καὶ ἀρχικωτέραν προειληφότα, οὐ μὴν διήκουσαν δι’ αὐτῶν, ἀλλὰ προτεταγμένην πρὸ τῶν ἰδίων ἑκάστης ἐπιστήμης μαθημάτων. διόπερ δὴ καὶ ἡ γνῶσις αὐτῶν κοινή ἐστι καὶ προηγουμένη, τελειοτέρα τε τῶν καθ’ ἕκαστα, σύνοψίν τε κοινὴν ποιουμένη πάντων, ἀφ’ ἑνός τε καὶ εἰς ἓν τὰ θεωρήματα πάντα τὰ μαθηματικὰ συντάττουσα, τήν τε συγγένειαν καὶ τὴν ὁμοιότητα αὐτῶν πρὸς ἄλληλα ἐπιβλέπουσα, καὶ τὸ ἀνόμοιον ἐν αὐτοῖς καὶ ἕτερον παραθεωροῦσα, γένη τε ὅσα αὐτῶν ἐστι πρῶτα καὶ εἴδη συνάγουσα εἰς ταὐτὸ καὶ διακρίνουσα, κοινά τε ὁμολογήματα καὶ ὑποθέσεις πρώτας καὶ ὁρισμοὺς καὶ θέσεις καὶ διαιρέσεις καὶ συναγωγὰς συνθέσεις τε καὶ μερισμοὺς καὶ ὑπερβολὰς καὶ ἐλλείψεις καὶ παραβολὰς καθ’ ὁποιαοῦν γένη τῶν μαθηματικῶς ὄντων θεωροῦσα, ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν, καὶ οὐ διωρισμένως καθ’ ἕκαστον, τό τε δυνατὸν τὸ ἐν τούτοις καὶ τὸ ἀδύνατον, καὶ τὸ ἀναγκαῖον καὶ τὸ οὐκ ἀναγκαῖον, τό τε ἀληθὲς καὶ ψεῦδος διακρίνουσα, τάς τε ἐν αὐτοῖς διαφοράς, ὅσαι τέ εἰσι καὶ ὁποῖαι, διερευνωμένη δι’ ἀκριβείας.

Τοσαῦτα ἡμῖν καὶ περὶ τῶν κοινῶς ὑποκειμένων τῇ μαθηματικῇ ἐπιστήμῃ καὶ περὶ τοῦ κοινοῦ τρόπου τῆς κατ’ αὐτὴν θεωρίας διωρίσθω ἐν τῷ παρόντι.

Νοητέον δέ ἐστι περὶ πάντα τὰ τοιαῦτα μαθήματα τόδε, ὡς ἐὰν μέν τις τούτων ἕκαστα ὀρθῶς λαμβάνῃ, μέγα ὄφελος γίνεται τῷ παραλαμβάνοντι κατὰ τρόπον, εἰ δὲ μή, θεὸν ἄμεινον ἀεὶ καλεῖν. ὁ δὲ τρόπος ὅδε· ἀνάγκη γὰρ τό γε τοσοῦτον φράζειν. πᾶν

διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περιφορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἁπάντων ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι. φανήσεται δέ, ἐὰν ὃ λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανθάνῃ· δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς πάντων τούτων εἷς ἀναφανήσεται διανοουμένοις. εἰ δ’ ἄλλως πως μεταχειριεῖταί τις, τύχην δεῖ καλεῖν, ὥσπερ καὶ λέγομεν· οὐ γὰρ ἄνευ γε τούτων μήποτέ τις ἐν πόλεσιν εὐδαίμων γένηται φύσις, ἀλλ’ οὗτος ὁ τρόπος, αὕτη τροφή, ταῦτα μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια, ταύτῃ πορευτέον. ἀμελῆσαι δὲ οὐ θεμιτόν ἐστι θεῶν, καταφανοῦς γενομένης τῆς πάντων αὐτῶν κατὰ τρόπον λεγομένης φήμης εὐτυχοῦς. τὸν δὲ ξύμπαντα ταῦτα οὕτως εἰληφότα, τοῦτον λέγω τὸν ἀληθέστατα σοφώτατον· τὴν γὰρ πάντων καλλίστην καὶ θειοτάτην φύσιν, ὅσην ἀνθρώποις θεὸς ἔδωκε κατιδεῖν, οὔποτε ἄνευ τῶν νῦν δὴ εἰρημένων μὴ κατιδὼν ἐπεύξηταί τις ῥαστώνῃ παραλαβεῖν. πρὸς τούτοις τε τὸ καθ’ ἕν τε καὶ κατ’ εἴδη προσακτέον ἐν ἑκάσταις ταῖς τῶν μαθημάτων εἰδήσεσιν, ἕως ἂν ἐξεύρωμεν τὸν ὅλον κόσμον, ὃν ἔταξε λόγος ὁ πάντων θειότατος ὁρατόν· ὃν ὁ εὐδαίμων πρῶτον μὲν ἐθαύμασεν, ἔπειτα δὲ ἔρωτα ἔσχε τοῦ καταμαθεῖν ὁπόσα θνητῇ φύσει δυνατά, ἡγούμενος ἄριστα οὕτως εὐτυχέστατά 〈τε〉 διάξειν τὸν βίον, τελευτήσας τε εἰς τόπους ἥξειν προσήκοντας ἀρετῇ, καὶ μεμυημένος ἀληθῶς τε καὶ ὄντως, μεταλαβὼν φρονήσεως εἷς ὢν μιᾶς, τὸν ἐπίλοιπον χρόνον θεωρὸς τῶν καλλίστων γενόμενος, ὅσα κατ’ ὄψιν, διατελεῖν. δεῖ δὲ καὶ τὰ χύδην μαθήματα ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα συνάγειν εἰς σύνοψιν οἰκειότητός τε ἀλλήλων τῶν μαθημάτων καὶ τῆς τοῦ ὄντος φύσεως· μόνη γὰρ ἡ τοιαύτη μάθησις βέβαιος ἐν οἷς ἂν γένηται. δεῖ | δὲ καὶ ὀμμάτων καὶ τῆς ἄλλης αἰσθήσεως δυνατοὺς γίγνεσθαι μεθιεμένους ἐπ’ αὐτὸ τὸ ὂν μετ’ ἀληθείας ἰέναι. δεῖ δὲ καὶ μονίμους εἶναι ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ὀξεῖς καὶ τὰ ἄλλα ἔχοντας ὅσα τῇ φύσει τῇ ἀρίστῃ προσήκει· ὡς, ἐὰν μὲν ἀρτιμελεῖς τε καὶ ἀρτίφρονας ἐπὶ τοσαύτην μάθησιν καὶ τοσαύτην ἄσκησιν κομίσαντες παιδεύωμεν, ἥ τε δίκη ἡμῖν οὐ μέμψεται αὐτή, τήν τε πόλιν καὶ πολιτείαν σώσομεν, ἀλλοίους δὲ ἄγοντες ἐπὶ ταῦτα, τἀναντία πάντα πράξομεν καὶ φιλομαθείας ἔτι πλείω γέλωτα καταντλήσομεν. εἰ δὲ δεῖ τὸ ἀληθὲς εἰπεῖν ὅλον ὡς ἔχει, ἐν τούτοις τοῖς μαθήμασιν ἑκάστου ὄργανόν τι ψυχῆς ἐκκαθαίρεταί τε καὶ ἀναζωπυρεῖται ἀπολλύμενον καὶ τυφλούμενον ὑπὸ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων, κρεῖττον ὂν σωθῆναι μυρίων ὀμμάτων· μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἀλήθεια ὁρᾶται. οἷς μὲν οὖν ταῦτα ξυνδοκεῖ, ἀμηχάνως ὡς εὖ δοκεῖ λέγεσθαι τὰ παρόντα· ὅσοι δὲ τούτου μηδαμῇ ᾐσθημένοι, εἰκότως ἡγήσονται ἡμᾶς λέγειν οὐδέν· ἄλλην γὰρ ἀπ’ αὐτῶν οὐχ ὁρῶσιν ἀξίαν λόγου ὠφέλειαν. τὸ δ’, ὡς ἔοικεν, οὐκ ὀστράκου ἂν εἴη περιστροφή, ἀλλὰ ψυχῆς περιαγωγή, ἐκ νυκτερινῆς τινος ἡμέρας εἰς ἀληθινὴν τοῦ ὄντος οὖσαν ἐπάνοδον, ἣν δὴ φιλομάθειαν ἀληθινὴν φήσομεν εἶναι. οὐκοῦν δεῖ σκοπεῖσθαι τί τῶν μαθημάτων ἔχει τοιαύτην δύναμιν, καὶ τί μάθημα ψυχῆς ὁλκόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ γιγνομένου ἐπὶ τὸ ὄν. λέγω τοίνυν ὡς τὰ μὲν ἐν ταῖς αἰσθήσεσιν οὐ παρακαλοῦντα τὴν νόησιν εἰς ἐπίσκεψιν, ὡς ἱκανῶς ὑπὸ τῆς αἰσθήσεως κρινόμενα, τὰ δὲ παντάπασι διακελευόμενα ἐκείνην ἐπισκέψασθαι, ὡς τῆς αἰσθήσεως οὐδὲν ὑγιὲς ποιούσης· καὶ τὰ μὲν οὐ παρακαλοῦντα, ὅσα μὴ ἐκβαίνει εἰς ἐναντίαν αἴσθησιν ἅμα, τὰ δ’ ἐκβαίνοντα ὡς παρακαλοῦντα τίθημι, ἐπειδὰν ἡ αἴσθησις μηδὲν μᾶλλον τοῦτο ἢ τὸ ἐναντίον δηλοῖ, εἴτε ἐγγύθεν προσπίπτουσα εἴτε πόρρωθεν. ὧδε δὲ ἃ λέγω σαφέστερον εἰσόμεθα. οὗτοι, φαμέν, τρεῖς ἂν εἶεν δάκτυλοι, ὅ τε σμικρότατος καὶ ὁ δεύτερος καὶ ὁ μέσος· ὡς ἐγγύθεν τοίνυν ὁρωμένους λέγοντός μου διανοοῦ. ἀλλά μοι περὶ αὐτῶν τόδε σκόπει· δάκτυλος μέν που αὐτῶν φαίνεται ὁμοίως ἕκαστος, καὶ ταύτῃ γε οὐδὲν διαφέρει, ἐάν τε ἐν μέσῳ ὁρᾶται ἐάν τ’ ἐπ’ ἐσχάτῳ, ἐάν τε λευκὸς ἑάν τε μέλας, ἐάν τε παχὺς ἐάν τε λεπτός, καὶ πᾶν ὅ τι τοιοῦτον· ἐν πᾶσι γὰρ τούτοις οὐκ ἀναγκάζεται τῶν πολλῶν ἡ ψυχὴ τὴν νόησιν ἐπερέσθαι, τί ποτ’ ἐστὶ δάκτυλος· οὐδαμοῦ γὰρ ἡ ὄψις αὐτὴ ἅμα ἐσήμαινε τὸν δάκτυλον τοὐναντίον ἢ δάκτυλον εἶναι. οὐκοῦν εἰκότως τό γε τοιοῦτον νοήσεως οὐκ ἂν παρακλητικὸν εἴη. τί δὲ δή; τὸ μέγεθος αὐτῶν καὶ τὴν μικρότητα ἡ ὄψις ἆρα ἱκανῶς ὁρᾷ, καὶ οὐδὲν αὐτῇ διαφέρει ἐν μέσῳ αὐτῶν τινα κεῖσθαι ἢ ἐπ’ ἐσχάτῳ; καὶ ὡσαύτως πάχος καὶ λεπτότητα καὶ σκληρότητα ἡ ἁφή; καὶ αἱ ἄλλαι αἰσθήσεις ἆρα οὐκ ἐνδεῶς τὰ τοιαῦτα δηλώσουσιν; ἢ ὧδε ποιεῖ ἑκάστῃ αὐτῶν· πρῶτον ἡ ἐπὶ τῷ σκληρῷ τεταγμένη αἴσθησις ἠνάγκασται καὶ ἐπὶ τῷ μαλακῷ τετάχθαι, καὶ παραγγέλλει τῇ ψυχῇ ὡς ταὐτὸν σκληρόν τε καὶ μαλακὸν αἰσθανομένη; οὐκοῦν ἀναγκαῖον ἐν τοῖς τοιούτοις αὖ τὴν ψυχὴν ἀπορεῖν, τί ποτε σημαίνει αὐτὴ ἡ αἴσθησις τὸ σκληρόν, εἴπερ τὸ αὐτὸ καὶ μαλακὸν λέγει, καὶ ἡ τοῦ κούφου καὶ ἡ τοῦ βαρέος, τί τὸ κοῦφον καὶ βαρύ, εἰ τό τε βαρὺ κοῦφον καὶ τὸ κοῦφον βαρὺ σημαίνει· αὗται γὰρ ἄτοποι τῇ ψυχῇ αἱ ἑρμηνεῖαι καὶ ἐπισκέψεως δεόμεναι. εἰκότως οὖν ἐν τοῖς τοιούτοις πρῶτον μὲν πειρᾶται λογισμόν τε καὶ νόησιν ψυχὴ παρακαλοῦσα ἐπισκοπεῖν, εἴτε ἓν εἴη εἴτε δύο ἐστὶν ἕκαστα τῶν εἰσαγγελλομένων. οὐκοῦν ἐὰν δύο φαίνηται, ἕτερόν τε καὶ ἓν ἑκάτερον φαίνεται· εἰ ἄρα ἓν ἑκάτερον, ἀμφότερα δὲ δύο, τά γε δύο κεχωρισμένα νοήσει· οὐ γὰρ ἂν χωριστά γε δύο ἐνόει, ἀλλ’ ἕν. μέγα μὴν καὶ ἡ ὄψις καὶ σμικρὸν ἑώρα, ὥς φαμεν, ἀλλ’ οὐ κεχωρισμένον, ἀλλὰ συγκεχυμένον τι· διὰ δὲ τὴν τούτου σαφήνειαν μέγα αὖ καὶ σμικρὸν ἡ νόησις ἠναγκάσθη ἰδεῖν, οὐ συγκεχυμένα ἀλλὰ διωρισμένα, τοὐναντίον ἢ κείνη. οὐκοῦν ἐντεῦθέν ποθεν πρῶτον ἐπέρχεται ἐρέσθαι ἡμῖν· τί οὖν ποτ’ ἔσται τὸ μέγα αὖ καὶ τὸ σμικρόν; καὶ οὕτω δὴ τὸ μὲν νοητόν, τὸ δ’ ὁρατὸν ἐκαλέσαμεν. ταῦτα τοίνυν καὶ ἄρτι ἐπεχείρουν λέγειν, ὡς τὰ μὲν παρακλητικὰ τῆς διανοίας ἐστί, τὰ δ’ οὔ, ἃ μὲν εἰς τὴν αἴσθησιν ἅμα τοῖς ἐναντίοις ἑαυτοῖς ἐμπίπτει, παρακλητικὰ ὁριζόμενος, ὅσα δὲ μή, οὐκ ἐγερτικὰ τῆς νοήσεως. τί οὖν; ἀριθμός τε καὶ τὸ ἓν καὶ τὰ ἄλλα μαθήματα ποτέρων δοκεῖ εἶναι, ἐκ τῶν προειρημένων ἀναλογίζεσθαι ῥᾴδιον. εἰ μὲν γὰρ ἱκανῶς αὐτὸ ὁρᾶται ἢ ἄλλῃ τινὶ αἰσθήσει λαμβάνεται τὸ ἓν ἢ ἄλλο τι τῶν μαθημάτων, οὐκ ἂν ὁλκὸν εἴη ἐπὶ τὴν οὐσίαν, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δακτύλου ἐλέγομεν· εἰ δ’ ἀεί τι αὐτῷ ἅμα ὁρᾶται ἐναντίωμα, ὥστε μηδὲν μᾶλλον ἓν ἢ καὶ τοὐναντίον φαίνεσθαι, τοῦ ἐπικρινοῦντος δὴ δέοι ἂν ἤδη, καὶ ἀναγκάζοιτ’ ἂν ἐν αὐτῷ ψυχὴ ἀπορεῖν καὶ ζητεῖν κινοῦσα ἐν ἑαυτῇ τὴν ἔννοιαν, καὶ ἀνερωτᾶν τί ποτ’ ἐστὶν αὐτὸ τὸ ἕν, καὶ οὕτω τῶν ἀγωγῶν ἂν εἴη καὶ μεταστρεπτικῶν ἐπὶ τὴν τοῦ ὄντος θέαν ἡ περὶ τὸ ἓν μάθησις. ἀλλὰ μέντοι τοῦτό γε ἔχει οὐχ ἥκιστα ἡ περὶ αὐτὸ ὄψις· ἅμα γὰρ ταὐτὸν ὡς ἕν τε ὁρῶμεν καὶ ὡς ἄπειρα τὸ πλῆθος. οὐκοῦν, εἴπερ τὸ ἕν, καὶ ξύμπας ἀριθμὸς ταὐτὸν πέπονθε τούτῳ. ἀλλὰ μὴν λογιστική τε καὶ ἀριθμητικὴ περὶ ἀριθμὸν πᾶσα· ταῦτα δὲ φαίνεται ἀγωγὰ πρὸς ἀλήθειαν· ὑπερφυῶς ἄρα ὧν ζητοῦμεν, ὡς ἔοικε, μαθημάτων εἴη ἂν τοῦτο. καὶ τἆλλα δὲ ὡσαύτως χρήσιμα ἂν εἴη πρὸς ἐπιστήμην διὰ τὸ τῆς οὐσίας ἅπτεσθαι γενέσεως δὲ ἀπολύεσθαι, καὶ τὴν μὲν νόησιν παρακαλεῖν τῶν δὲ αἰσθήσεων ἀφιστάναι, καὶ ἐπὶ θέαν τῆς τῶν ὄντων φύσεως παρακαλεῖν, αὐτῆς δὲ τῆς ψυχῆς ῥᾳστώνην παρασκευάζειν τῆς μεταστροφῆς ἀπὸ γενέσεως ἐπ’ ἀλήθειάν τε καὶ οὐσίαν. δεῖ δὲ καὶ τοῦ γνωρίζειν ἕνεκα ἐπιτηδεύειν τὰ μαθήματα· οὕτω γὰρ σφόδρα ἄνω ποι ἀνάγεται ἡ ψυχή, καὶ περὶ αὐτῶν τῶν ὄντων ἀναγκάζει διαλέγεσθαι, οὐδαμῇ ἀποδεχομένους, ἐάν τις αὐτοῖς ὁρατὰ ἢ ἁπτὰ σώματα προτεινόμενος διαλέγηται· περὶ γὰρ τούτων λέγουσιν ὧν διανοηθῆναι μόνον ἐγχωρεῖ, ἄλλως δὲ οὐδαμῶς μεταχειρίσασθαι δυνατόν. ἀναγκαῖα οὖν κινδυνεύει εἶναι τὰ μαθήματα, ἐπειδὴ φαίνεται προσαναγκάζειν αὐτῇ τῇ νοήσει χρῆσθαι τὴν ψυχὴν ἐπ’ αὐτὴν τὴν ἀλήθειαν· καὶ μὴν καὶ ὀξυτέρους ποιεῖ αὐτοὺς ἑαυτῶν γίγνεσθαι, καὶ ἔτι πολὺν πόνον παρέχει μανθάνοντί τε καὶ μελετῶντι.

Σκοπεῖσθαι δὲ δεῖ καὶ εἴ τι πρὸς ἐκεῖνο τείνει, πρὸς τὸ ποιεῖν κατιδεῖν ῥᾷον τὴν τοῦ ἀγαθοῦ ἰδέαν. τείνει δέ, φαμέν, πάντα αὐτόσ’, ὅσα ἀναγκάζει ψυχὴν εἰς ἐκεῖνον τὸν τόπον μεταστρέφεσθαι, ἐν ᾧ ἐστι τὸ εὐδαιμονέστατον τοῦ ὄντος, ὃ δεῖ αὐτὴν παντὶ τρόπῳ ἰδεῖν. οὐκοῦν εἰ μὲν οὐσίαν ἀναγκάζει θεάσασθαι, προσήκει· εἰ δὲ γένεσιν, οὐ προσήκει. καὶ τὰ μὲν

γνώσεως ἕνεκα ἐπιτηδευόμενα, ὡς μαθήματα ὄντα τιμητέον, ὅσα τοῦ ἀεὶ ὄντος γνώσεως, ἀλλ’ οὐ τοῦ ποτὲ γιγνομένου καὶ ἀπολλυμένου ἀντιλαμβάνεται. ὁλκὰ ἄρα ψυχῆς πρὸς ἀλήθειαν εἴη ἂν ταῦτα, καὶ ἀπεργαστικὰ φιλοσόφου διανοίας πρὸς τὸ ἄνω σχεῖν ἃ νῦν κάτω οὐ δέον ἔχομεν· μόνοις γὰρ αὐτοῖς ἀλήθεια ὁρᾶται. δεῖ τοίνυν συνεχῶς καὶ ἐντόνως ζητεῖσθαι αὐτά, ἵνα ἐκφανῆ γένηται ὅπῃ ἔχει. πρὸς γὰρ τοῖς ἄλλοις καὶ τὸ ἐπίχαρι διαφερόντως ἔχει, καὶ ἄνω ποιεῖ τὴν ψυχὴν βλέπειν. τοιαῦτα | δέ ἐστι μαθήματα ἐκεῖνα ὅσα ἂν περὶ τὸ ὂν ᾖ καὶ τὸ ἀόρατον, καὶ ὅσα λόγῳ καὶ διανοίᾳ ληπτά, ὄψει δὲ οὔ. καὶ παραδείγμασι μὲν χρηστέον τοῖς φαινομένοις· οὐ μέντοι ἐπισκοπεῖν αὐτὰ χρὴ σπουδῇ ὡς τὴν ἀλήθειαν ἐν αὐτοῖς ληψόμενον ἴσων ἢ διπλασίων ἢ ἄλλης τινὸς ξυμμετρίας. καὶ γὰρ ἄτοπον, εἰ νομίζοι τίς γίγνεσθαί τε ταῦτα ἀεὶ ὡσαύτως, καὶ οὐδαμῇ οὐδὲν παραλλάττειν σώματα ἔχοντα καὶ δρώμενα, καὶ ζητεῖν παντὶ τρόπῳ τὴν ἀλήθειαν αὐτῶν λαβεῖν. παρὰ πάντα δὲ ἐκεῖνο δεῖ φυλάττειν, μήποτέ τι αὐτῶν ἀτελὲς ἐπιχειρῶσιν ἡμῖν μανθάνειν οὓς παιδεύσομεν, καὶ οὐκ ἐξῆκον ἐκεῖσε ἀεί, οἷ πάντα δεῖ ἀφήκειν· χρήσιμα γὰρ οὕτως ἔσται πρὸς τὴν τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ ζήτησιν, ἄλλως δὲ μεταδιωκόμενα ἄχρηστα. οἶμαι δέ γε, καὶ ἡ τούτων πάντων τῶν μαθημάτων μέθοδος, ἐὰν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων κοινωνίαν ἀφίκηται καὶ ξυγγένειαν, καὶ συλλογισθῇ ταῦτα ᾖ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέρειν αὐτῶν εἰς ἃ βουλόμεθα τὴν πραγματείαν καὶ οὐκ ἀνόνητα πονεῖσθαι· εἰ δὲ μή, ἀνόνητα. ἡ γὰρ λύσις ἀπὸ τῶν δεσμῶν καὶ μεταστροφὴ ἀπὸ τῶν σκιῶν ἐπὶ τὰ εἴδωλα καὶ τὸ φῶς, καὶ ἐκ τοῦ καταγείου καὶ αἰσθητοῦ εἰς τὸν ἥλιον ἐπάνοδος καὶ τἀγαθόν, καὶ ἐκεῖ πρὸς μὲν τὰ ζῷά τε καὶ τὰ φυτὰ καὶ τὸ τοῦ ἡλίου φῶς ἔτι ἀδυναμία βλέπειν, τουτέστι πρὸς τὰ καθαρὰ εἴδη καὶ γένη, πρὸς δὲ τὰ ἐν ὕδασι φαντάσματα θεῖα καὶ σκιὰς τῶν ὄντων, ἀλλ’ οὐκ εἰδώλων σκιὰς δι’ ἑτέρου τοιούτου φωτὸς ὡς πρὸς ἥλιον κρίνειν ἀποσκιαζομένας, πᾶσα αὕτη ἡ πραγματεία τῶν τεχνῶν, ἃς διήλθομεν, ταύτην ἔχει τὴν δύναμιν καὶ ἐπαναγωγὴν τοῦ βελτίστου ἐν ψυχῇ πρὸς τὴν τοῦ ἀρίστου ἐν τοῖς οὖσι θέαν, ὥσπερ τό〈τε〉 τοῦ σαφεστάτου ἐν σώματι πρὸς τὴν τοῦ φανοτάτου ἐν τῷ σωματοειδεῖ τε καὶ ἀοράτῳ τόπῳ. τοιαύτη τίς ἐστιν ἡ ἀρίστη χρῆσις τῶν μαθημάτων, καὶ τὸ κυριώτατον αὐτῶν τέλος τοιόνδε ὑπάρχει.

Ἐπεὶ δὲ δεῖ καὶ καθ’ ἑκάστην μαθηματικὴν ἐπιστήμην διορίσαι τὸ ὑποκείμενον ἑκάστῃ οἰκεῖον ἐπιστητόν, φέρε ἐκ διαιρέσεως ἀρχόμενοι διακρίνωμεν τὰ εἴδη τῶν μαθημάτων περὶ ἃ πραγματεύονται. οὕτω γὰρ ἂν ῥᾷστα μάθοιμεν τὸ ἓν καὶ τὸ πλῆθος τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης, ποταπόν ἐστι καὶ κατὰ ποίας διαφορὰς κρίνεται. ἀρξώμεθα δὲ ἐντεῦθεν.

Ἡ τοῦ συνεχοῦς καὶ ἡ τοῦ διῃρημένου φύσις

πᾶσα τοῖς οὖσιν, ὅπερ ἐστὶ τῇ τοῦ παντὸς κόσμου συστάσει, διττῶς συνεπινοεῖται· τοῦ μὲν διῃρημένου κατὰ παράθεσίν τε καὶ σωρείαν, τοῦ δὲ συνεχοῦς κατὰ ἕνωσίν τε καὶ ἀλληλουχίαν. κυρίως δὲ τὸ μὲν συνεχὲς καὶ ἡνωμένον καλοῖτ’ ἂν μέγεθος, τὸ δὲ παρακείμενον καὶ διῃρημένον πλῆθος. 〈καὶ〉 κατὰ μὲν τὴν τοῦ μεγέθους οὐσίαν εἷς τε ὁ κόσμος ἐπινοοῖτ’ ἂν καὶ λέγοιτο στερεὸς καὶ σφαιρικός τε καὶ συμπεφυκὼς ἑαυτῷ διατεταμένος τε καὶ ἀλληλουχούμενος, κατὰ δὲ τὴν τοῦ πλήθους πάλιν ἰδέαν καὶ ἔννοιαν ἥ τε σύνταξις καὶ διακόσμησις καὶ ἁρμονία τοῦ παντὸς ἐπινοοῖτ’ ἂν ἐκ τοσῶνδε φέρε εἰπεῖν στοιχείων καὶ σφαιρῶν καὶ ἀστέρων γενῶν τε καὶ ζῴων καὶ φυτῶν ἐναντιοτήτων τε καὶ ὁμοιοτήτων τὴν σύστασιν ἔχουσα. ἀλλὰ τοῦ μὲν ἡνωμένου ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἐκ παντός ἐστιν ἡ τομή, ἡ δ’ αὔξησις ἐπὶ ὡρισμένον· τοῦ δὲ πλήθους κατὰ ἀντιπεπόνθησιν ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἡ αὔξησις, ἔμπαλιν δὲ ἡ τομὴ ἐπὶ ὡρισμένον, φύσει δὴ καὶ ἐπινοίᾳ ἀμφοτέρων ἀπείρων ὄντων, καὶ διὰ τοῦτο ἐπιστήμαις ἀπεριορίστων· ἀρχὰν γὰρ οὐδὲ τὸ γνωσούμενον ἐσσεῖται πάντων ἀπείρων ἐόντων’ κατὰ τὸν Φιλόλαον. ἀναγκαίου δὲ ὄντος ἐπιστήμης φύσιν ἐνορᾶσθαι τοῖς οὖσιν οὕτως ὑπὸ θείας ἠκριβωμένοις προνοίας, ἀποτεμόμεναι ἑκατέρου καὶ περατώσασαί τινες | ἐπιστῆμαι τὸ περιληφθὲν αὐταῖς, ἀπὸ μὲν τοῦ πλήθους ποσὸν ἐκάλεσαν, ὅπερ ἤδη γνώριμον, ἀπὸ δὲ τοῦ μεγέθους κατὰ τὰ αὐτὰ πηλίκον. καὶ τὰ ἀμφότερα αὐτῶν γένη ἐπιστήμαις ὑπήγαγον ταῖς ἑαυτῶν εἰδήσεσιν· ἀριθμητικῇ μὲν τὸ ποσόν, γεωμετρίᾳ δὲ τὸ πηλίκον. ἀλλ’ ἐπεὶ μὴ μονοειδῆ ταῦτα ἦν, ἔτι δὲ μερικωτέραν ὑποδιαίρεσιν ἑκάτερον αὐτῶν ἐπεδέχετο (τοῦ μὲν γὰρ ποσοῦ τὸ μὲν ἦν καθ’ ἑαυτὸ τῆς πρὸς ἄλλο πως ἀπηλλαγμένον σχέσεως, οἷον φέρ’ εἰπεῖν ἄρτιον περιττὸν τέλειον ἐλλιπὲς καὶ τὰ ὅμοια, τὸ δὲ πρὸς ἕτερόν πως ἔχον, ὃ δὴ πρός τι ποσὸν ἰδίως λέγεται, οἷον ἴσον ἄνισον πολυπλάσιον ἐπιμόριον ἐπιμερὲς καὶ τὰ παραπλήσια· καὶ πάλιν τοῦ πηλίκου τὸ μὲν ὑπάρχει τε καὶ ἐπινοεῖται μένον, τὸ δὲ κινούμενον καὶ φερόμενον), διὰ τοῦτ’ εἰκότως ταῖς προσαχθείσαις δυσὶν ἐπιστήμαις ἕτεραί τινες δύο συμμετέσχον καὶ συνεφήψαντο τῆς καθ’ ἑκάτερον ἐπιστητὸν θεωρίας. τῇ μὲν γὰρ ἀριθμητικῇ, ἰδίως λαχούσῃ τὴν περὶ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ ποσοῦ σκέψιν, συμμετέσχεν ἡ μουσικὴ τῆς περὶ τὸ πρός τι ποσὸν τεχνολογίας (οὐδὲν γὰρ ἄλλο τὸ ἁρμονικὸν αὐτῆς καὶ τὸ περὶ συμφωνιῶν ἐπαγγέλλεται, ὅτι μὴ σχέσεις καὶ λόγους διαρθροῦν τῶν φθόγγων πρὸς ἀλλήλους καὶ ποσότητα ὑπεροχῶν τε καὶ ἐλλείψεων), τῇ δὲ γεωμετρίᾳ περὶ τὴν τοῦ μένοντος καὶ ἑστῶτος πηλίκου ἐξέτασιν καταγινομένῃ συλλήπτρια ὑπῆρξεν ἡ σφαιρικὴ κινουμένου πηλίκου ἐπιγνώμων καταστᾶσα, τοῦ τελειοτάτου δηλονότι καὶ τεταγμένην καὶ ὁμαλὴν κίνησιν ἐπιδεδεγμένου. διόπερ περὶ ἀδελφὰ τὰ ὑποκείμενα καὶ αὐτὰς γενομένας, εὔλογον ἀδελφὰς καὶ τὰς ἐπιστήμας ταύτας νομίζειν, ἵνα μὴ ἀπαιδευτῇ τὸ Ἀρχύτειον· ταῦτα γὰρ τὰ μαθήματα δοκοῦντι εἶμεν ἀδελφά’, ἀλλήλων τε ἐχόμενα τρόπον ἁλύσεως κρίκων ἡγεῖσθαι, καὶ ἐφ’ ἕνα σύνδεσμον καταλήγουσα, ὥς φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, καὶ μίαν ἀναφαίνεσθαι προσήκειν τούτων τῶν μαθημάτων τὴν συγγένειαν τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι, τὸν δὲ σύμπαντα ταῦτα οὕτως εἰληφότα, ὡς αὐτὸς ὑποτίθεται, τοῦτον δὴ καλεῖ τὸν ἀληθέστατα σοφώτατον καὶ διισχυρίζεται παίζων, μεταδιωκτά τε καὶ ἐκ παντὸς αἱρετὰ ταῦτα τὰ μαθήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥᾴδια εἴη, παρεγγυᾷ τοῖς φιλοσοφεῖν προθυμουμένοις· καὶ μάλα εὐλόγως, εἴπερ συνεχοῦς καὶ διῃρημένου καταλήψεις διὰ τούτων μόνων γίνονται, ἐκ δὲ συνεχοῦς καὶ διῃρημένου ὅ τε κόσμος καὶ τὰ ἐν αὐτῷ πάντα. τούτων δὴ ἀκριβὴς κατάληψις σοφία, σοφίας δὲ ἔφεσις φιλοσοφία, φιλοσοφία δὲ ἐκ πασῶν μονωτάτη τεχνῶν τε καὶ ἐπιστημῶν τὸ οἰκεῖον 〈καὶ〉 κατὰ φύσιν ἀνθρώπῳ τέλος περιποιεῖ καὶ ἐπὶ τὴν εὐδαιμονίαν ἄγει τὴν παρὰ τὰ ἄλλα ζῷα τούτῳ μόνῳ προσήκουσαν καὶ κατὰ φύσιν σπουδαζομένην ὡς σκοπιμώτατον αὐτῷ τέλος.

Δεῖ δὴ τὸ μετὰ τοῦτο καὶ περὶ τοῦ κριτηρίου πάντων τῶν μαθημάτων εἰπεῖν, ποῖόν γέ τί ἐστι καὶ τίνας ἔχει τὰς ἐν αὑτῷ διαφορὰς τῶν ἐνεργειῶν. ἄνωθεν οὖν ἀναλαβόντες ἀπὸ διαιρέσεως ποιησώμεθα τὴν ὅλην περὶ αὐτοῦ διδασκαλίαν.

Τὰ δὴ νοητὰ πάντα εἰς δύο διῄρηται, εἴς τε τὰ ἰδίως νοητὰ καλούμενα καὶ ἐπιστητά, καὶ εἰς τὰ διανοητά· καὶ πρῶτα μέν ἐστι τὰ νοητά, δεύτερα δὲ καὶ ὑποδεέστερα τὰ διανοητά. πάλιν δὲ ἀπὸ τούτων ἑτέρα οὐσία ἐστὶν ἡ τῶν αἰσθητῶν, τούτων δὲ τὰ μὲν ἰδίως ἐστὶν αἰσθητά, ἃ καὶ δοξαστά, τὰ δὲ εἰκαστά. δοξαστὰ μὲν καὶ ἰδίως αἰσθητὰ τὰ κατὰ μέρος σώματα, οἷον λίθοι ξύλα τὰ τέτταρα στοιχεῖα, ταῦτα δέ ἐστιν ἐν αἰσθητοῖς πρῶτα· μεθ’ ἃ ἀσθενῆ ἄλλα καὶ οὐχ ὅμοια, ἐπηκολουθηκότα δὲ τοῖς πρώτοις ἐστίν. ἔστι δὲ ταῦτα αἱ σκιαί· καὶ γὰρ αἱ σκιαὶ παρακολουθήματα τῶν σωμάτων, καὶ εἰ μὴ ἔχοιεν ἄλλο τι ὑποβεβλημένον | σῶμα, οὐκ ἂν φανεῖεν. εἴδωλα οὖν αἱ σκιαὶ καὶ τὰ

ἐν ὕδασι καὶ κατόπτροις, ἐν ἄλλοις καὶ οὐ καθ’ αὑτὰ ὄντα, οὐδὲ ἄλλων δίχα φαινόμενα, ἀλλὰ εἰς ἄλλα σώματα πεπτωκότα, ὧν ὑποσπασθέντων οὐ φαίνεται. διὸ αἰσθητὰ μέν ἐστι τῷ γένει, ὅτι ὑπὸ αἴσθησιν πίπτει, εἰκαστὰ δὲ μᾶλλον καὶ πιστευτὰ ἢ ὑποστατά, κατὰ πίστιν λεγόμενα τὴν ἐπὶ τῶν μὴ ἀποδεικτικῶν, ἄλλως δὲ εἰς παραδοχὴν παραλαμβανομένων ἀπὸ τῆς τῶν προφερόντων πίστεως. καὶ γὰρ τὰ τῶν σκιῶν οὐκ ἀφ’ αὑτῶν ἔχει τὸ ἀντιληπτικόν, ἀπὸ δὲ τῶν σωμάτων εἰς ἃ πέπτωκε καὶ ἐν οἷς ἀναπαυόμενα φαίνεται. ἔχει οὖν τὸ ἀβέβαιον ἡ τοιαύτη πίστις· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ ἀποσταίη τοῦ κατόπτρου ἢ ὕδατος ἢ ἐδάφους, οὐδὲν ἂν εἴη τὸ σύνολον. ὥστε καὶ τῶν σωμάτων δοξαστῶν ὄντων καὶ τὸ εἶναι ἐν τῷ δοκεῖν κεκτημένων, αἱ σκιαὶ ἔτι μᾶλλον ὑποβεβήκασι τῷ μὴ ἔχειν ἐξ ἑαυτῶν τὸ στερέμνιον, ἀλλ’ ἐπερείδεσθαι ἐπ’ ἄλλου. τούτοις δὴ ἔοικε καὶ τὰ διανοητά, λόγον ἔχοντα πρὸς τὰ ἐπιστητὰ καὶ νοητά, ὃν τὰ εἰκαστὰ πρὸς τὰ αἰσθητά τε καὶ δοξαστά. τάς τε γὰρ ἰδέας οἱονεὶ κατ’ ἐπαφὴν ἔχει ὁ νοῦς τὰ ὄντως ὄντα οὔσας, τὰ δὲ διανοητά, ἅπερ ἐστὶ τὰ γεωμετρικά, ὑπὸ τῆς διανοίας βλέπεται, οὐκέτι τῆς διανοίας αὐτοῖς κατ’ εὐθὺ καὶ οἷον κατ’ ἐπιβολὴν πελαζούσης, ἀλλὰ διὰ λόγου μᾶλλον τῆς ἐπ’ αὐτὰ γιγνομένης πελάσεως, καὶ οἷον ἀπὸ τῶν ἰδεῶν κατιόντων ὡς ἐπὶ εἰκάσματα [τὰ] ἐκείνων καὶ εἴδωλα νοητά· τά τε εἰκαστὰ καὶ ἐν ταῖς σκιαῖς ὑποβέβηκε παρὰ τὰ αἰσθητά, τῷ ἐκεῖνα μὲν καθ’ αὑτὰ ὑποπίπτειν τῇ αἰσθήσει κατ’ εὐθυωρίαν, τὰ δὲ ἐν ἄλλῳ καὶ ἐπ’ ἄλλῳ καὶ δι’ ἄλλο θεωρεῖσθαι. οὐ γὰρ δὴ καθ’ ἑαυτὴν ἡ σκιά, ἀλλ’ ἢ ἐν τῷ ἐδάφει αἰσθητῷ ὄντι καθ’ ἑαυτὸ ἢ ἐν τῷ κατόπτρῳ ἢ ἐν τοῖς ὕδασιν, ἅπερ ἦν καθ’ ἑαυτὰ αἰσθητά. οὕτως οὖν καὶ τὰ μαθηματικά, ὥσπερ ἐν ταῖς ἰδέαις ἔοικε φαντάζεσθαι, καὶ ἐπ’ ἐκείναις ἔχειν τὸ ἐπέρεισμα· οὐ γὰρ δεῖ ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν κατὰ ἀφαίρεσιν ἐπινοεῖσθαι αὐτά, ἀλλ’ ὑποβάντα ἀπὸ τῶν ἰδεῶν τὸ εἰδωλικὸν ἔχειν ἀπ’ ἐκείνων, τῷ προσειληφέναι καὶ μέγεθος καὶ ἐν διαστάσει φαντάζεσθαι. ὅπερ γὰρ ἐν τοῖς τῶν αἰσθητῶν εἰδώλοις τὸ ἀμενηνὸν καὶ καθ’ ἑαυτὸ ἀνεπέρειστον, τοῦτο ἐν τοῖς νοητοῖς τὸ ἔνογκον καὶ διαστατόν· ἀλλ’ ἐπεὶ καὶ τοῦτο σπεύδει πρὸς τὸ ἄογκον καὶ ἀμερές, ἐπαναπαύεσθαι ἔοικεν ἐν τῇ τῶν ἰδεῶν ἀμερείᾳ, ὡς αἱ σκιαὶ ἐν τῇ τῶν αἰσθητῶν ἀντιτυπίᾳ. ὥσπερ τοίνυν τὰ διανοητὰ τῶν νοητῶν κεχώρισται, οὕτω καὶ ἡ διάνοια τῆς νοήσεως. διόπερ καὶ Βροτῖνος ἐν τῷ Περὶ νοῦ καὶ διανοίας χωρίζων αὐτὰ ἀπ’ ἀλλήλων τάδε λέγει· ‛ἁ δὲ διάνοια τῶ νῶ μεῖζόν ἐστι, καὶ τὸ διανοατὸν τῶ νοατῶ· ὁ μὲν γὰρ νόος ἐστὶ τό τε ἁπλόον καὶ τὸ ἀσύνθετον καὶ τὸ πρᾶτον νοέον καὶ τὸ νοεόμενον (τοιοῦτον δ’ ἐστὶ τὸ εἶδος· καὶ γὰρ ἀμερὲς καὶ ἀσύνθετον καὶ πρᾶτόν ἐστι τῶν ἄλλων), ἁ δὲ διάνοια τό τε πολλαπλόον καὶ μεριστὸν καὶ τὸ δεύτερον νοέον (ἐπιστάμαν γὰρ καὶ λόγον τὸν προσείληφε), παραπλησίως δὲ καὶ τὰ διανοατά, ταῦτα δ’ ἐντὶ τὰ ἐπιστατὰ καὶ τὰ ἀποδεικτὰ καὶ τὰ καθόλω τὰ ὑπὸ τῶ νόω διὰ τῶ λόγω καταλαμβανόμενα.’ ἐν δὴ τούτοις μεῖζον μὲν λέγει τὴν διάνοιαν καὶ τὸ διανοητόν, οὐ τῇ δυνάμει ἀλλὰ τῷ πλήθει (ἐναντίως δ’ ἔχει ταῦτα πρὸς ἄλληλα), ἀφορίζεται δὲ αὐτὰ ἀπὸ τοῦ νοῦ καὶ τῶν νοητῶν οὐ τούτοις μόνον, ἀλλὰ καὶ τῷ τὰ μὲν ἁπλᾶ εἶναι καὶ ἀσύνθετα τὰ δὲ πολυειδῆ καὶ σύνθετα, καὶ διότι τὰ μὲν πρώτως νοεῖ καὶ νοεῖται τὰ δὲ δευτέρως καὶ παρ’ ἐκείνων λαμβάνοντα τὴν τούτων ἐνέργειαν, καὶ τὰ μὲν ἐν εἴδεσιν ἐνέστηκε τὰ δὲ ἐν λόγοις πολλαπλῆν ποιεῖται τὴν ἐνέργειαν, καὶ τὰ μέν ἐστιν ἀμέριστα τὰ δὲ μεριστά, καὶ τὰ μὲν κρείττον᾿ ἀποδεικτικοῦ συλλογισμοῦ τὰ δὲ συλλογίζεταί τι περὶ τῶν ὄντων, καὶ τὰ μὲν αὐτά ἐστι τὰ ὄντα τὰ δὲ ἐν τοῖς κα|θόλου περιείληφε καὶ συνεμφαίνει τὰ καθ’ ἕκαστον, καὶ τὰ μὲν ἀύλοις καὶ καθαραῖς ἐνεργείαις χρῆται τὰ δὲ συμμεμιγμένην ἔχει τὴν νόησιν· τῷ γὰρ νῷ διὰ τοῦ λόγου καταλαμβάνει τὰ οἰκεῖα γνωστά, ἢ τῷ νῷ μετὰ τοῦ λόγου. συμβαίνει δὴ οὖν ἐκ τούτων τά τε κρινόμενα πράγματα καὶ τὰ κριτήρια αὐτῶν διεστηκέναι ἀπ’ ἀλλήλων, ὡς τὰ μὲν διανοητὰ τῶν νοητῶν διαφέρειν, τὴν δὲ διάνοιαν τοῦ νοῦ.

Ἔτι δὲ σαφέστερον Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ νοῦ

καὶ αἰσθήσεως διακρίνει τὰ κριτήρια τῶν ὄντων, καὶ τὸ τῶν μαθηματικῶν οἰκειότατον κριτήριον παρίστησι διὰ τούτων· ‛ἐν ἁμῖν’ γὰρ ‛αὐτοῖς’, φησί, ‛κατὰ ψυχὰν γνώσιές εἰσι τέσσαρες, νόος ἐπιστάμα δόξα αἴσθησις, ὧν αἱ μὲν δύο τοῦ λόγου ἀρχαί ἐντι, οἷον νόος αἴσθασις, τὰ δὲ δύο τέλη, οἷον ἐπιστάμα καὶ δόξα· τὸ δ’ ὅμοιον ἀεὶ τοῦ ὁμοίου γνωστικόν. φανερὸν ὦν ὅτι ὁ μὲν νόος ἐν ἁμῖν τῶν νοατῶν γνωστικόν, ἁ δὲ ἐπιστήμη τῶν ἐπιστατῶν, ἁ δὲ δόξα τῶν δοξαστῶν, ἁ δὲ αἴσθασις τῶν αἰσθατῶν· διόπερ ὦν δεῖ μεταβαίνεν ἀπὸ μὲν τῶν αἰσθατῶν ἐπὶ τὰ δοξαστὰ τὰν διάνοιαν, ἀπὸ δὲ τῶν δοξαστῶν ἐπὶ τὰ ἐπιστατά, καὶ ἀπὸ τούτων ἐπὶ τὰ νοατά· ταῦτα δὲ σύμφωνα ποιητά, θεωρούμενα δι’ αὐτῶν ἀλάθεα. διωρισμένων δὲ τούτων τὰ μετὰ ταῦτα δεῖ νοῆσαι. καθάπερ γὰρ γραμμὰν δίχα τετμαμένην καὶ ἴσα πάλιν ἑκατέρων τμήματα τετμαμένα ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον, καὶ οὕτω διῃρήσθω καὶ τὸ νοατὸν ποττὸ ὁρατόν, καὶ πάλιν ἑκάτερον οὕτως διωρίσθω, καὶ διαφέρεν σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσαφείᾳ ποττἆλλα· τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῶ μὲν δὴ αἰσθατῶ τὸ μὲν ἅτερον τμῆμά ἐστι τά τε εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, τὸ δ’ ἕτερον μέρος, ὧν ταῦτα εἰκόνες, φυτὰ καὶ ζῷα· τῶ δὲ νοατῶ τὸ μὲν ἀνάλογον ἔχον ὡς αἱ εἰκόνες τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐντί· οἱ γὰρ περὶ τὰν γαμετρίαν ὑποθέμενοι τό τε περισσὸν καὶ τὸ ἄρτιον καὶ σχάματα καὶ γωνιᾶν τρισσὰ εἴδεα, ἐκ τούτων πραγματεύονται τὰ λοιπά, τὰ δὲ πράγματα ἐῶντι ὡς εἰδότες, λόγον τε οὐκ ἔχοντι διδόμεν οὔτ’ αὐτ〈αύτ〉οις οὔτ’ ἄλλοις· ἀλλὰ τοῖς μὲν αἰσθατοῖς, ὡς εἰκός, χρῶνται, ζατοῦντι δὲ οὐ ταῦτα, οὐδὲ τούτων ἕνεκα ποιεῦνται τὼς λόγως, ἀλλὰ τᾶς διαμέτρω χάριν καὶ αὐτῶ τετραγώνω. τὸ δ’ ἅτερον τμᾶμά ἐντι τῶ νοατῶ, περὶ ὃ διαλεκτικὰ κατασχόληται· αὐτὰ γὰρ τῷ ὄντι τὰς ὑποθέσιας [ἀλλ’] ὑποθέσιας, ἀλλ’ ἀρχάς τε καὶ ἐπιβάσιας ποιεῖται 〈, ἵνα〉 μέχρι τῶ ἀνυποθέτω ἐπὶ παντὸς ἀρχὰν ἔλθῃ, καὶ πάλιν ἐχομένα καταβᾷ ἐπὶ τὰν τελευτὰν οὐδενὶ προσχρωμένα αἰσθατῷ, ἀλλ’ εἰδέεσσιν αὐτοῖς δι’ αὑτῶν. ἐπὶ δὲ τέτταρσι τούτοις τμάμασι καλῶς ἔχει διανέμεν καὶ τὰ πάθεα τᾶς ψυχᾶς· καὶ καλέσαι νόασιν μὲν ἐπὶ τῷ ἀκροτάτῳ, διάνοιαν δὲ ἐπὶ τῷ δευτέρῳ, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστιν, εἰκασίαν δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.’

Οἶμαι τοίνυν καὶ διὰ τούτων κατάδηλον γεγονέναι,

ὡς τέσσαρες μέν εἰσι διαφοραὶ τῶν ὄντων, τέτταρες δὲ τῆς κρίσεως ἀρχαί, καὶ ὡς ὁ λόγος μέσην ἔχων ἐφάπτεται τῶν δύο ἄκρων, νοητῶν τε καὶ αἰσθητῶν, ἐν τέλους τάξει πρὸς τὸν νοῦν καὶ τὴν αἴσθησιν καθιστάμενος ὡς ἀρχὰς οὔσας ἑαυτοῦ καὶ ὑπ’ αὐτῶν ἀποτελούμενος. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο ἀξίωμα κοινὸν περὶ πάσης γνωριστικῆς δυνάμεως, ὡς τῷ ὁμοίῳ τὰ ὅμοια γιγνώσκεται. ἔνεστιν οὖν καὶ ἀπ’ ἀμφοτέρων ἀμφότερα καὶ ἀπὸ τῶν ἑτέρων τὰ ἕτερα τούτων καταμανθάνειν, τάς τε ἴσας διαιρέσεις κοινῶς τε καὶ ἰδίως οἷόν τε ἐπ’ αὐτῶν ποιεῖσθαι, τάξιν τε μεταβάσεως ἀπὸ τῶν ἑτέρων ἐπὶ τὰ ἕτερα, τουτέστιν ἀπὸ τῶν καταδεεστέρων ἐπὶ τὰ ἀνωτέρω· καὶ ἀναγωγὴν πάντων καὶ σύνταξιν ἐπὶ τὸν νοῦν ὅπως δεῖ ποιεῖσθαι | διώρικε. τὸ δὴ μετὰ τοῦτο τὴν γραμμὴν κατατέμνει, μίαν μὲν οὖσαν, ἵνα ὡς ἓν τὸ γνωριστικὸν ὑπολάβωμεν, δίχα δὲ ταύτην διαιρεῖ κατὰ τὰς πρώτας διαφορὰς τῶν ὄντων καὶ τὰς ἐπ’ αὐτοῖς διχῇ διῃρημένας κρίσεις. ἴσας δὲ αὐτὰς τίθεται κατὰ τὴν τῶν λόγων μετουσίαν καὶ τῶν εἰδῶν καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν μετεχόντων πρὸς τὰ μετεχόμενα, καὶ διότι ἡ ἀναλογία ἡ αὐτή πώς ἐστιν ἐπ’ ἀμφοτέρων. πάλιν δ’ ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον διαιρεῖ, ἐπειδὴ δι ὅλου ἡ γνωστικὴ δύναμις ὁμοειδής ἐστι πρὸς ἑαυτήν, τάς τε διαφορὰς αὐτῆς ποιεῖται σαφηνείᾳ τε καὶ ἀσαφείᾳ καὶ τῷ τελέως ὡρίσθαι ἢ τῷ ἐνδεῶς, πρὸς ἄλληλά τε αὐτῶν τὴν διάκρισιν ἐπιδείκνυσι, κατὰ τί παραλλάττει καὶ ὑποδεέστερά ἐστι τὰ δεύτερα τῶν προτέρων. πρῶτον δὲ διαιρεῖ τὸ αἰσθητὸν ὡς γνωριμώτερον, καὶ λαμβάνει αὐτοῦ τὴν κατ’ εἰκόνα ἀπὸ τῶν αἰσθητῶν φαινομένην ὑπόστασιν, τὰ εἴδωλα τὰ ἐν τοῖς ὕδασι καὶ ἐν τοῖς κατόπτροις, ὡς μίαν τινὰ φύσιν ἀποτεμών. τὸ δ’ ἕτερον μέρος ἀφορίζει τὸ ἀληθινόν, ὧν ταῦτά εἰσιν εἰκόνες, οἷον φυτὰ καὶ ζῷα. ἀπὸ γὰρ τούτων εἰκασία γίγνεται τῶν εἰδώλων κατὰ ἀνάκλασιν εἰς ταῦτα τῆς αἰσθήσεως [κατὰ δεύτερον τρόπον] ἐπιστρεφομένης, καὶ οὕτως αὐτὰ γιγνωσκούσης δευτέρως ὥσπερ καὶ ὑφίσταται κατὰ δεύτερον τρόπον, τοῖς δὲ αἰσθητοῖς αὐτόθεν ἐπιβαλλούσης ὥσπερ καὶ ὑφίσταται πρώτως καὶ ἐν αὑτοῖς ἔχει τὴν ἔνυλον ὑπόστασιν. ἀπὸ δὴ τῆς τούτων ἀναλογίας καὶ τὸ ἕτερον τμῆμα δυνατόν ἐστι καταμαθεῖν. ταῖς μὲν γὰρ εἰκόσι τὰ περὶ τὰ μαθήματα γένη ἐστὶν ἀνάλογον, καὶ αἱ γνώσεις αὐτῶν ταῖς εἰκασίαις τῶν εἰδώλων ἔχουσί τινα ὁμοιότητα· ἀπό τε γὰρ τῶν νοήσεων λαμβάνουσι τὴν ἐνέργειαν καὶ ἀπὸ τῶν νοητῶν ἐπὶ τὰ μαθηματικὰ ὡς εἰκόνας μεταβαίνουσιν, ὑποθέσεσί τε χρῶνται καὶ τὴν αἰτίαν οὐκ ἐπίστανται. καὶ τοῦτό ἐστι τὸ κριτήριον τῶν μαθηματικῶν, ἑτέρου τε πράγματος ὑπάρχον προγνωστικόν, ἀλλ’ οὐχὶ τοῦ νοητοῦ, καὶ ἑτέρᾳ γνώσει ἀντιλαμβανόμενον τοῦ διανοητοῦ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ νοήσει· αὕτη γὰρ τοῦ διαλεκτικοῦ ἐστι κριτήριον, καὶ δι’ αὐτῆς τὰ ὄντα καὶ τὰ εἴδη καὶ τὰ ἀνυπόθετα πάντα θεωρεῖ καὶ λόγον ἔχει περὶ πάντων δοῦναι, αἰσθητῷ τε οὐδενὶ προσχρῆται, ἀλλὰ τοῖς νοητοῖς εἴδεσι. τεττάρων δὴ οὐσῶν τῶν κρινουσῶν δυνάμεων τάξις τις αὐτῶν θεωρεῖται καὶ ἐνέργειαι διῃρημέναι τυγχάνουσιν, ἐπὶ μὲν τῷ ἀκροτάτῳ νόησις, ἐπὶ δὲ τῷ δευτέρῳ διάνοια, ἐπὶ δὲ τῷ τρίτῳ πίστις, εἰκασία δὲ ἐπὶ τῷ τετάρτῳ.

Ἐκ δὴ τούτων ἐκ διαιρέσεως πέφηνεν ἱκανῶς ὅ τι ποτ’ ἐστὶ τὸ τῶν μαθημάτων κριτήριον.

Εἰ δὲ δεῖ καὶ ὡρισμένως τὸ λοιπὸν περιλαβεῖν τὸ εἶδος τῆς μαθηματικῆς τί τέ ἐστι καὶ πῶς ὑφέστηκεν, ἴδωμεν πρώτην δόξαν τῶν εἰς ψυχὴν αὐτὴν ἀναφερόντων· εἰς γὰρ τοῦτο ὡρισμένως δυνηθείη ἄν τις ἐπερεῖσαι τὴν διάνοιαν.

Ἓν μὲν οὖν γένος τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν [τῶν] ὄντων οὐκ ἄν τις αὐτὴν εὐλόγως θείη κατὰ τὴν τοιαύτην ἐπιβολὴν τῆς θεωρίας· μεριστὴ γὰρ ἂν οὕτω γένοιτο ἡ περὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας γνῶσις. διόπερ οὔτε ἰδέαν τοῦ πάντῃ διαστατοῦ οὔτε ἀριθμὸν αὐτοκίνητον οὔτε ἁρμονίαν ἐν λόγοις ὑφεστῶσαν οὔτε ἄλλο οὐδὲν τοιοῦτο κατ’ ἰδίαν ἀφοριστέον περὶ αὐτῆς, κοινῇ δὲ συμπλέκειν πάντα ἄξιον, ὡς τῆς ψυχῆς καὶ ἰδέας οὔσης ἀριθμίου καὶ κατ’ ἀριθμοὺς ἁρμονίαν περιέχοντας ὑφεστώσης, πάσας τε συμμετρίας κοινῶς, ὅσαι ποτέ εἰσιν ὑπὸ τὴν μαθηματικήν, ὑπὸ ταύτην ὑποτακτέον, τάς τε ἀναλογίας ὅλας ὑπ’ αὐτὴν θετέον. διὰ δὴ τοῦτο γεωμετρικῇ τε ὁμοῦ καὶ ἀριθμητικῇ καὶ ἁρμονικῇ ἀνα|λογίᾳ συνυπάρχει, ὅθεν δὴ καὶ λόγοις

τοῖς κατ’ ἀναλογίαν ἡ αὐτή ἐστι, ταῖς τε ἀρχαῖς τῶν ὄντων ἔχει τινὰ συγγένειαν καὶ πάντων ἐφάπτεται τῶν ὄντων καὶ πρὸς πάντα ὁμοιοῦσθαι δύναται.

Αἰτίαι μὲν οὖν εἰσι τοιαῦται τῆς τοιαύτης ὑπολήψεως. πρὸς δὲ τὴν θεωρίαν ἀφορμαὶ ἂν γένοιντο τὴν μαθηματικὴν ὁμοῦ καὶ τὴν περὶ τῆς ψυχῆς, εἰ κατίδοιμεν ὡς τὸ πεπερασμένον πᾶν καὶ ὡρισμένον ἀπὸ τῶν ἀριθμῶν εἰς αὐτὴν ἐφήκει, ὁ δ’ ἑνιαῖος λόγος ἀπὸ τῆς τοῦ ἑνὸς φύσεως, ἡ δὲ εἰς μέγεθος καὶ αὔξησιν προϊοῦσα δύναμις καὶ ἔχουσα περιουσίαν, ὥστε πᾶσι διδόναι αὐτὴν τοῖς μετρίοις, ἀπὸ τῆς γεωμετρικῆς οὐσίας πάρεστιν· ἡ δὲ δύναμις τῆς ἐναρμονίου κινήσεως τάξις τε καὶ ἀλόγων συμμετρία ἥ τε ἐν ἀριθμοῖς συμφώνοις ἢ συμφωνίαν περιέχουσιν εὐμετρία ἀπὸ τῆς κατ’ οὐσίαν ἁρμονίας παραγίγνεται. διόπερ καὶ ἁρμονιῶν κατακούει ἡ ψυχὴ καὶ χαίρει τοῖς ἡρμοσμένοις, ὡς οὖσα καὶ αὐτὴ ἁρμονία, ἔκ τε ἀριθμῶν καὶ ἄλλων τοιούτων μαθηματικῶν μέτρων τὴν οὐσίαν ἐχει, ἅπερ συγγένειαν παρεδέξατο πρός τε τὰ νοητὰ εἴδη καὶ πρὸς τὰς αἰσθητὰς οὐσίας καὶ τὰ ἔνυλα εἴδη· πρὸς γὰρ πάντα ταῦτα ἡ παροῦσα δόξα δίδωσι θεωρίας ἀφορμήν, ὡς ἱκανῆς οὔσης τῆς οὕτως ὑποτιθεμένης μαθηματικῆς δόξης πάντα τὰ τοιαῦτα νοήματα παρέχειν. ἵνα δὲ συνέλωμεν τὴν ὅλην δόξαν, ἐν λόγοις κοινοῖς πάντων τῶν μαθημάτων τὴν ψυχὴν νοοῦμεν οὖσαν, ἔχουσαν μὲν τὸ κριτικὸν αὐτῶν, ἔχουσαν δὲ καὶ τὸ γεννητικόν τε καὶ ποιητικόν αὐτῶν τῶν ἀσωμάτων μέτρων, οἷς καὶ τὴν γενεσιουργίαν δύναταί τις προσαρμόζειν

τῶν ἐνύλων εἰδῶν τήν τε δι’ εἰκόνων ἀπεργασίαν, ἐκ τῶν ἀφανῶν εἰς τὸ φανερὸν προϊοῦσαν, συνάπτουσάν τε τὰ ἔξω τοῖς εἴσω. κατὰ γὰρ πάντα ταῦτα, ὡς συλλήβδην εἰπεῖν, ὁ τῆς ψυχῆς λόγος περιέχει ἀφ’ ἑαυτοῦ τὴν ὅλην τῶν μαθημάτων συμπλήρωσιν.

Πότερον δὲ μῖγμα ἐκ πάντων ἐστὶ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν ὄντων, ἢ πάντα ὑφίστησιν αὐτὴ καθ’ ἕνα λόγον προηγούμενον, χρὴ διασκέψασθαι. εἰ μὲν οὖν σύμμιξίς ἐστιν ἀφ’ ὅλων, προϋπάρχει αὐτῆς τὰ συμπληρωτικὰ ἀφ’ ὧν συνιόντων συγκίρναται, καὶ οὐκέτ’ ἂν εἴη αὐτὴ ἀρχὴ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἀλλ’ ἀπὸ τῶν σποράδην ὑφεστηκότων μαθημάτων συνιόντων εἰς ταὐτὸ ἀπογεννωμένης πρὸς τοῖς ἄλλοις ἀτόποις καὶ σύνθεσίν τινα συνάγει μετὰ τῆς ψυχῆς καὶ ὑστερογενῆ ὡς ἐκ προτέρων τινῶν ἐπισυνισταμένην ὑπόστασιν· εἰ μέντοι αὕτη πρώτως ἀρχηγός ἐστι τῆς μαθηματικῆς οὐσίας καὶ παράγει ταύτην ἐξ ἑαυτῆς, πρεσβυτέρα τε αὐτῆς ἔσται, καὶ ὡς ἐν αἰτίας λόγῳ προηγεῖται καὶ ὡς ἑτέρα ὑπερέχει. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο ὑπεναντίον πρὸς τὴν παροῦσαν δόξαν· τιμιωτέρα γὰρ ἂν οὕτω γένοιτο ἡ ψυχὴ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασιν ὄντων. βέλτιον οὖν λέγειν ὡς οὔτε προηγεῖται οὔτ’ ἐπακολουθεῖ τοῖς μαθηματικῶς οὖσι, συντρέχει δὲ ἅμα πρὸς αὐτὰ καὶ συνυφέστηκεν ἀσύνθετον καὶ ἀμέριστον ἔχουσα τὴν ἐν ὅλοις καὶ ἀφ’ ὅλων σύμμιξιν, μονοειδῶς τε αὐτοῖς παροῦσα καὶ ἑνιαίως αὐτῶν ὅλων μετέχουσα,

δύναμίν τε περιεκτικὴν τῶν ὅλων ἐν ἑαυτῇ συλλαβοῦσα καὶ ἑαυτὴν δοῦσα εἰς ὅλα τὰ μαθήματα ὡσαύτως. εἰ δὲ τοῦτο οὕτως ἔχει, καὶ πάντα περιείληφεν ἐν ἑαυτῇ τελέως καὶ ἀνενδεῶς, οὐδέν τε ἐκτὸς ἑαυτῆς ἀφίησιν (αὐτή τε γάρ ἐστι τελεία καὶ οὐχ οἷόν τε τῆς οἰκείας ἀρχῆς ἀπολείπεσθαί τι τῶν ὄντων), μία τε οὕτως ἔσται ἡ οὐσία τῆς αὐτῆς ἀρχῆς δι’ ὅλων διηκούσης. διαφοραί γε μὴν οὐδὲν ἧττον ἔσονται κατὰ τὰς διαφόρους δυνάμεις καὶ ζωὰς καὶ ἐνεργείας τῆς ψυχῆς καὶ τὸ τῶν οὐσιῶν αὐτῆς πλῆθος, ὅπερ ἐν ἑνὶ περιέχεται. τοιοῦτον ἄν τις καὶ τὸν περὶ τούτων διορισμὸν εὐλόγως ὑπόθοιτο.

Περὶ μὲν οὖν οὐσίας τῆς μαθηματικῆς θεωρίας τοσαῦτα ἡμῖν εἰρήσθω.

Ἔργον δὲ τῆς ἐπιστήμης ταύτης ἐστὶν οὐχ ὡρισμένον, οὐδὲ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχον, ὥσπερ τὸ τοῦ νοῦ, οὐδὲ παρ’ ἑαυτοῦ πάντως τὸ γιγνώσκειν ἔχον, ὥσπερ τῷ νῷ τὸ τοιοῦτον σύμφυτόν ἐστιν· ἔξωθεν δὲ διεγείρεται πρὸς τὰς εἰδήσεις, καὶ δεχόμενον παρ’ ἄλλων τὴν ἀρχὴν τῆς ἀναμνήσεως, οὕτως αὐτὴν ἀφ’ ἑαυτοῦ προβάλλει· σταθερόν τε οὐκ ἔστι κατὰ μίαν ἐνέργειαν, ὥσπερ τὸ τοῦ νοῦ, ἀλλ’ ἐν κινήσει μᾶλλον πρόεισιν ἀφ’ ἑαυτοῦ καὶ εἰς ἑαυτό. ἀλλ’ οὐδὲ πλῆρές ἐστιν ἑαυτοῦ, ὥσπερ τὸ νοερόν, ἐν δὲ τῷ ζητεῖν καὶ εὑρίσκειν ἀεὶ ἀπό τινος κενώσεως τοῦ γιγνώσκειν εἰς πλήρωσιν αὑτοῦ προέρχεται. πέρατός τε καὶ ἀπειρίας ὁμοίως ἐν μέσῳ διείληπται· ὅθεν

ἀπὸ τοῦ ἀπείρου ἐπὶ τὸ ὁρίζεσθαι ἀεὶ προχωρεῖ, καὶ ἐπὶ τὸ μεταλαμβάνειν τῶν μαθηματικῶν εἰδῶν μεθίσταται. διὰ δὴ πάντα ταῦτα καὶ παραγίγνεται ἡ ἐπιστήμη αὕτη μαθήσεως πρώτης προηγησαμένης, ἧς τὴν ἀρχὴν ὁ διδάσκων παρέχει, εἶτα εὑρέσεως ἐπακολουθούσης, ἥτις συνήρτηται ταῖς καταβαλλομέναις ἀπὸ τοῦ διδάσκοντος ἀρχαῖς· κατὰ γὰρ ταύτας ἀναμιμνῄσκεται ἡ ψυχὴ τῶν ἀληθῶν ἐν μαθηματικῇ εἰδῶν καὶ προβάλλει τοὺς οἰκείους αὐτῶν λόγους. ἐνίοτέ γε μὴν καὶ κοινὴ ἐξ ἀμφοτέρων γίγνεται ἡ ἐνέργεια, διόπερ ὁ Ἀρχύτας ἐν τῷ Περὶ μαθηματικῶν λέγει· ‘δεῖ γὰρ μαθόντα παρ’ ἄλλω ἢ αὐτὸν ἐξευρόντα, ὧν ἀνεπιστάμων ἦσθα, ἐπιστάμονα γενέσθαι. τὸ μὲν ὦν μαθέν, παρ’ ἄλλω καὶ ἀλλοτρίᾳ, τὸ δὲ ἐξευρέν, δι’ αὔταυτον καὶ ἴδιον, ἐξευρεῖν δὲ μὴ ζατοῦντα, ἄπορον καὶ σπάνιον, ζατοῦντα δὲ εὔπορον καὶ ῥᾴδιον, μὴ ἐπιστάμενον δὲ ζητεῖν ἀδύνατον.’ ἐν γὰρ τούτοις τὴν μάθησιν πρώτην ἔθηκεν ὡς ἀρχὴν τῆς τοιαύτης ἐπιστήμης, καὶ τὸ ἴδιον αὐτῆς παρέδειξεν, ὡς παρ’ ἄλλου ἐνδιδομένης. δεύτερον ἐπήγαγε τὸ ‘αὐτὸν ἐξευρόντα’· εἰ γὰρ καὶ τῇ δυνάμει τοῦτο προηγεῖται, ἀλλὰ κατά γε τὴν ἀνθρωπίνην τάξιν ὡς πρὸς ἡμᾶς ἐστι δευτέρα· εἰς γένεσιν γὰρ πεσόντας ἀνάγκη ὑπ’ ἄλλων ὑπομιμνῄσκεσθαι πρότερον. ἔστι μὲν οὖν καὶ ὡς δύο τούτους τρόπους ὑπολαμβάνειν τοῦ παραδέχεσθαι ἐπιστήμην, ἔστι δὲ καὶ ὡς ἕνα αὐτοὺς τῷ λογισμῷ περιλαμβάνειν· ἐπειδὰν γὰρ ὡς παρ’ ἄλλου καὶ ἀλλότρια μεταλάβωμεν τὰ μαθήματα, τότε αὐτὰ ὡς ἴδια αὐτοὶ ἀφ’ ἑαυτῶν προχειρίζομεν. τοῦτο δὲ ῥᾴδιον καταμαθεῖν ἀπὸ τῶν εὑρέσεων· ὡς γὰρ ἔχοντες αὐτὰ ἐν ἑαυτοῖς, οὕτως εὑρίσκομεν καὶ ἐπιγιγνώσκομεν αὐτὰ εὑρεθέντα. καὶ ἀπὸ τῶν ζητήσεων δὲ τὸ αὐτὸ καταφαίνεται. εἰ γὰρ μὴ ἐπιστάμενον ζητεῖν ἀδύνατον, ἦν χρόνος ὅτε ἠπιστάμεθα ταῦτα, καὶ οὐχ ὁ παρὼν οὗτος (νῦν γὰρ αὐτὰ ἀγνοοῦμεν)· πρότερον ἄρα αὐτὰ ἠπιστάμεθα. καὶ διὰ τοῦτο ζητοῦντι εὔπορα καὶ ῥᾴδια τὰ μαθήματα πρὸς εὕρεσιν, μὴ ζητοῦντι δὲ ἄπορα καὶ σπάνια, διότι ἔνεστί πως ἐν ταῖς ψυχαῖς καὶ ἦν ποτε πρότερον περὶ αὐτὰς ἐν τῇ κατ’ ἐνέργειαν ἐπιστήμῃ. ὁδὸς ἄρα ἀπὸ ζητήσεως εἰς εὕρεσιν, καὶ ἀπὸ μαθήσεως εἰς ζήτησιν καὶ εὕρεσιν, ἡ διὰ τῶν μαθημάτων ἐστὶ πραγματεία. ὅθεν δὴ καὶ τὸ ὄνομα τοῦτο ἔσχε τὸ μαθηματικὴ καλεῖσθαι. ἀφ’ οὗ γὰρ πρώτου τὴν ἀρχὴν παραδέχεται ἡ ἐπιστήμη καὶ οὗ χωρὶς οὐχ οἷόν τε αὐτὴν ἐγγενέσθαι, λέγω δὲ τοῦ μανθάνειν, ἀπὸ τούτου τὸ ὄνομα εἴληφεν.

Ἔστω δὴ οὖν ἡμῖν καὶ ταῦτα περὶ αὐτῆς οὑτωσὶ διηυκρινημένα.

Δυνάμεις δὲ αὐτῆς διαριθμήσαιτο μὲν ἄν τις καὶ ἄλλας πλείονας, ἐν δὲ ταῖς πρώταις θεωρείσθωσαν αἱ ἀπὸ τοῦ πλήθους συναγωγοὶ πρὸς τὸ ταὐτὸν καὶ ἡνωμένον αἴτιον, καὶ | ὅσαι ἀπὸ τοῦ ἑνὸς

διαιρετικαί εἰσιν εἰς πλῆθος. ἐπεὶ γὰρ ἐκ πέρατος καὶ ἀπειρίας συνεστήκασι καὶ ἑνὸς καὶ πλήθους, μέσαι τέ εἰσι τοῦ μεριστοῦ καὶ ἀμερίστου, καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον τῆς οὐσίας μετειλήφασι καὶ συναγωγῆς καὶ διαιρέσεως, ἀναπλώσεώς τε καὶ συνειλήσεως, ἐπιστροφῆς τε ἐπὶ τὸ ὡρισμένον καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀποστάσεως. ἔστι μὲν οὖν καὶ ἐν τῇ διαλεκτικῇ, τῇ περὶ τὸ ὄν προηγουμένως πραγματευομένῃ, ἡ τοιαύτη τῆς θεωρίας ἐνέργεια, οὐ μὴν ἀλλ’ ἔχει γέ τι διάφορον αὕτη πρὸς ἐκείνην οὐ σμικρόν· ἡ μὲν γὰρ τὸ ἁπλῶς ὄν θεωρεῖ καὶ τοῦτο συνάγει ἢ διαιρεῖ, ἡ δὲ τὸ μαθηματικὸν ἐπισκοπεῖται καὶ περὶ αὐτὸ ποιεῖται τοῦ λόγου τὰς διττὰς ταύτας ἐνεργείας. εἰσὶ δὲ καὶ ἄλλαι δυνάμεις αἱ τὸ κοινὸν ἐπὶ πολλοῖς ἐπιβλέπουσαι, ὅσαι ἐν τοῖς διαφέρουσι μαθήμασι κοινά τινα εἴδη καὶ κοινοὺς λόγους θεωροῦσι καὶ κοινὰ μέτρα οἷς ἀφορίζεται τὰ διαφέροντα, οἷον αἱ τῆς ἰσότητος καὶ ἀνισότητος θεωρίαι καὶ αἱ τοῦ συμμέτρου καὶ ἀσυμμέτρου· αὗται γὰρ αἱ δυνάμεις τὰ κοινῶς ἐπὶ πλειόνων ὑφεστηκότα θεωροῦσιν. ἀντιτίθενται δὲ ταύταις αἱ τὸ ἴδιον ἑκάστου τῆς οὐσίας θεωροῦσαι, οἷον τῶν ἀριθμῶν καθόσον εἰσὶν ἀριθμοί, καὶ τῶν μεγεθῶν καθόσον ὑφέστηκε [τὰ] μεγέθη, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον. ἐν δὴ ταῖς τοιαύταις εἰσὶ καὶ αἱ τὴν ἀναλογίαν τὴν πανταχοῦ ὑφισταμένην νοοῦσαι, ἄνωθεν μὲν ἀπὸ τῶν πρωτίστων ἀρχόμεναι, τελευτῶσαι δὲ ἐπὶ τὰ ἔσχατα, προϊοῦσαι δὲ διὰ τῶν μέσων, τηροῦσαι δὲ πανταχοῦ τοὺς αὐτοὺς λόγους καὶ ἑτέρους ἐν τοῖς διαφέρουσι καὶ δι’ ὅλων αὐτοὺς ἐναπεργαζόμεναι φανερούς. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ τὰς θεωρούσας τὸ καλὸν καὶ τὸ μέτρον τῶν μαθηματικῶν οὐσιῶν τό τε ἡρμοσμένον καὶ τὸ σύμμετρον αὐτῶν ἐν λόγῳ τινὶ θετέον· ἔχουσι γὰρ κατὰ τὴν οἰκείαν αὐτῶν φύσιν εὐταξίαν καὶ τελειότητα καὶ πάντα ὅσα προσήκει ἀγαθὰ τοῖς μαθηματικοῖς εἴδεσι. τοῖς μὲν οὖν πολλοῖς αὗταί τε ἀκίνητοι δοκοῦσιν εἶναι καὶ περὶ ἀκίνητα τὰ γνωστὰ ἐνεργεῖν, οὐ μὴν ὀρθῶς γε ἀρέσκει τοῦτο· ἔστι γάρ τινα μαθήματα, ἃ τὸν τῆς κινήσεως ἀριθμὸν καὶ τὰ μέτρα αὐτά τε καθ’ αὑτὰ καὶ πρὸς ἄλληλα πῶς ἔχει τάξεως καὶ συμμετρίας ἐπισκοπεῖ, τάς τε ἀσωμάτους τῆς ψυχῆς περιόδους, αἷς καὶ τοῦ οὐρανοῦ περιφοραὶ συνυπάρχουσι, πῶς ἔχουσι συμμετρίας καὶ κατὰ τίνας ἀριθμούς, καὶ διὰ τί συναρμόζουσι, καὶ πάντα τὰ τοιαῦτα ἐπισκοπεῖται· ἐν οἷς δὴ καὶ ἀστρονομία καὶ ἁρμονικὴ περιέχονται. ἵνα τοίνυν διατείνωσιν αἱ μαθηματικαὶ δυνάμεις καὶ ἐπὶ τὰς τῶν κινήσεων θεωρητικάς, θετέον καὶ ταύτας ὡς περιεχομένας ὑπ’ αὐτῆς. ταύταις δὲ ἀντιδιαιρεῖν χρὴ τὰς σταθερὰς καὶ τῶν ἀκινήτων εἰδῶν καὶ λόγων θεωρητικάς, καὶ τὴν τούτων πρὸς ἄλληλα τάξιν δυναμένων συλλογίζεσθαι, ἐν αἷς αἱ πολλαὶ τῆς μαθηματικῆς εἰσι σύμφυτοι δυνάμεις. τάξεις δὲ αὐτῶν κατὰ τὴν οὐσίαν τῶν γνωστῶν ὧν εἰσι θεωρητικαὶ δεῖ ἀφορίζεσθαι, εἰ τὰ μὲν προηγεῖται τὰ δὲ ὑποτάττεται, καὶ κατὰ τὴν τοῦ καλοῦ προτίμησιν, εἰ τὰ μὲν τὸ πρεσβύτατον καὶ ἄκρον καλὸν θεωρεῖ τὰ δὲ τὸ ὑποδεέστερον καὶ ἀτελές. τὰς δὲ διαφορὰς ἐν αὐταῖς ληπτέον ἀπὸ τοῦ τρόπου τῶν ἐνεργειῶν καὶ τοῦ ἐξηλλαγμένου τῆς γνώσεως καὶ ἀπὸ τῶν συνεζευγμένων αὐταῖς διαφόρων ὄντων, πρὸς ἃ συμπλέκουσι τὰς μαθήσεις. τὸ δὲ ποσαχῶς αὐτῶν ἐπισκεπτέον ἀπὸ τῶν ἐξηλλαγμένων γνωστῶν τῆς μαθήσεως· ἀπὸ γὰρ τούτων φαίνονται πολλαχῶς αὐταί τε ὑφεστῶσαι αἱ δυνάμεις καὶ πολυτρόπως ποιούμεναι τὰς ἐνεργείας.

Οὕτως ἄν τις ὡς ἐν ὑπογραφῇ ταῦτα ἐν ἀρχῇ διαστείλαιτο. χρὴ δ’, ὅπερ ἐστὶ προσῆκον, περιμένειν τὸν πάντα περὶ αὐτῶν λόγον· οὕτω γὰρ ἂν μάλιστα τελεία ἡ περὶ αὐτῶν διδαχὴ παραδοθείη.

Ἐπεὶ δὲ πᾶσα θεωρία καὶ πᾶσα ἐπιστήμη ἐκ τῶν πρώτων στοιχείων παραλαμβάνει τὸ ἀμετάπτωτον, ὅταν ᾖ ταῦτα ὡρισμένα καὶ μήποτε ἄλλως ἔχοντα, ἀπό τε τῆς διεξόδου τῆς διὰ τῶν στοιχείων τὴν τελειοτάτην ποιεῖται κατάληψιν, ἔτι τε ἀπὸ τῶν οἰκείων γενῶν ἑκάστη τὸν πρόσφορον ἑαυτῇ τῶν λόγων καὶ τῶν ἀποδείξεων εὑρίσκει τρόπον, ἀναγκαῖον καὶ ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς στοιχεῖά τε αὐτῆς προδιελέσθαι τὰ κοινότατα εἰς πᾶσαν τὴν τῶν μαθημάτων σύντασιν, καὶ γενῶν θήραν ποιήσασθαι τῶν οἰκειοτάτων καὶ μάλιστα ἐπὶ πάντα κοινῶς διατεινόντων. ἐπειδὰν δὲ ταῦτα κατίδωμεν, σκεψώμεθα πάλιν εἰ ἕτερα μὲν ἔσται τὰ στοιχεῖα ἕτερα δὲ τὰ γένη, ἢ τὰ αὐτὰ πῶς μὲν γένη θεωρεῖται πῶς δὲ στοιχεῖα, καὶ τίνι δὴ διέστηκε τὰ ἐν τῇ μαθηματικῇ τοιαῦτα τῶν ἐν ταῖς ἄλλαις ἐπιστήμαις καὶ οὐσίαις γενῶν καὶ στοιχείων, ὅσα τέ ἐστι νοητὰ καὶ ὅσα φέρεται ἐν τῇ γενέσει.

Ὅτι μὲν οὖν ὡρισμένα καὶ ἑστηκότα ἀεὶ τὰ τῆς

μαθηματικῆς ἐστι στοιχεῖα καὶ γένη, οἵ τε ἄριστοι τῶν ἐν φιλοσοφίᾳ συνομολογοῦσι, καὶ αὐταὶ αἱ ἀποδείξεις αἱ μαθηματικαὶ συμμαρτυροῦσι σαφῶς, ἀεὶ κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως ἔχουσαι. ὅτι δὲ καὶ ταῖς πρώταις ἀρχαῖς τῆς μαθηματικῆς οὐσίας συμφωνεῖ καὶ ὁ περὶ τούτων λόγος, ῥᾴδιον καταμαθεῖν· καὶ γὰρ ἐπὶ τούτων τὸ ἓν καὶ τὸ πλῆθος, πέρας τε καὶ ἄπειρον, ταὐτόν τε καὶ ἕτερον, στοιχεῖα καὶ γένη τῆς ἐπιστήμης ἐστὶ καὶ τῶν ὑπ’ αὐτῆς γιγνωσκομένων πραγμάτων. ὅταν μὲν οὖν ταῦτα ὡς αἴτια θεωρῶμεν καὶ ποιητικὰ τῆς ὅλης μαθηματικῆς οὐσίας καὶ τῆς περὶ αὐτὴν θεωρίας, ἀρχαὶ νοείσθωσαν αἱ νῦν εἰρημέναι αἰτίαι· ὅταν δὲ ὡς ἐνυπάρχοντα ταῦτα καὶ συμπληροῦντα τὴν οὐσίαν καὶ τὸν τῆς ἐπιστήμης λόγον νοῆται, ὡς στοιχεῖα ταῦτα νοείσθω· ἐπειδὰν δὲ ὡς κοινὰ κατὰ πάντων τῶν μαθημάτων κατίδωμεν αὐτά, τῆς οὐσίας τὸν σύνδεσμον παρέχοντα τῶν ἐν μέρει καὶ οὐδὲν ἧττον αὐτὰ καθ’ αὑτὰ ὑφεστηκότα, τότε δὴ καθορῶμεν αὐτὰ ὡς γένη. τὰ αὐτὰ ἄρα πὼς μέν ἐστιν ἀρχηγὰ τῆς μαθηματικῆς θεωρίας καὶ τῶν ὑπ’ αὐτῆς γιγνωσκομένων ὡς ὄντων, πὼς δὲ στοιχεῖα νοεῖται, ἄλλως δὲ πάλιν ὡς γένη· οὐχ ὅτι κατ’ ἐπίνοιαν τῷ λόγῳ μόνῳ διαφέρει, οὐδ’ ὅτι συμμεταβάλλεται καὶ ἕτερα ἐξ ἑτέρων γίγνεται κατὰ τὰς διαφόρους σχέσεις, ἀλλ’ ὅτι τὰ αὐτὰ προόδους ποιεῖται καὶ διαφορὰς ἐν ἑαυτοῖς πλείονας. καὶ δὴ καὶ κατὰ τὴν τῆς αἰτίας διαφορὰν ἔχει τὸ ἀδιάφορον· οὐ γὰρ ταὐτόν ἐστι καθ’ αὑτὸ εἶναί τι τῶν ἀσωμάτων καὶ συμπληρωτικὸν ἄλλων ὑπάρχειν, ἀλλ’ οὐδὲ τὸ ποιητικόν τινων καὶ τὸ ὁπωσοῦν εἰς οὐσίαν συντελοῦν τῆς αὐτῆς τάξεως τετύχηκεν. οὐδ’ ἔστιν ὅπως ποτὲ τὸ συνταττόμενον μεθ’ ἑτέρων τὴν καθ’ αὑτὸ οὐσίαν κατατάττει εἰς τὴν σύνταξιν, ἀλλ’ ἐκείνην μὲν ἀφίησι χωρίς, τὴν ἄλλην δὲ συνυφαίνει εἰς τὴν συμπλήρωσιν ἐκείνων τῶν οὐσιῶν, αἷς συντελεῖ εἰς τὸ εἶναι. κατὰ δὴ τὸν αὐτὸν λόγον οὐδὲ ἡ παρέχουσα τὸ εἶναι αἰτία συνυπάρχει τοῖς ὑφ’ ἑαυτῆς ἀποτελουμένοις, ἀλλ’ ἔστιν αὐτῶν πρεσβυτέρα κατ’ αὐτὸν τὸν τῆς οὐσίας λόγον, χωριστήν τε ἔχει ἐν ἑαυτῇ τὴν ὑπόστασιν, δι’ ἣν καὶ τοῖς σπαραττομένοις ὑφ’ ἑαυτῆς δίδωσιν ἑτέραν ὑπόστασιν μεθ’ ἑαυτήν. οὕτω δὴ οὖν ἡμῖν τὸ ἄπειρον καὶ τὸ πέρας εὐλόγως καὶ ἐν ἀρχαῖς καὶ στοιχείοις καὶ γένεσιν ἀφωρίσθη. διαφέρει δὲ ταῦτα τῶν μὲν νοητῶν ἀρχῶν καὶ στοιχείων καὶ γενῶν, διότι ἀπολείπεται αὐτῶν τελειότητι καὶ καθαρότητι καὶ ἁπλότητί τε καὶ τῇ ἐπὶ πλεῖστον διατεινούσῃ περιοχῇ, τῷ τε ὡρίσθαι καὶ ἔτι τῷ κάλλει καὶ τοῖς ἀγαθοῖς ἅπασι· τῶν δὲ ἐν γενέσει προέχει τάξει, συμμετρίᾳ, τῇ ἀκινήτῳ καὶ σταθερᾷ φύσει, εἰδῶν καθαρᾷ μετουσίᾳ, τῇ ἀσωμάτῳ καὶ ἀύλῳ φύ|σει, καὶ συλλήβδην φάναι, πᾶσι τοῖς βελτίοσιν. ἐκ δὴ τούτων οὖν συνάγεται μέσα αὐτὰ ἀμφοτέρων εἶναι τούτων, ἔχειν τε μεταξὺ τάξιν δυναμένην ἀμφοτέροις ἐπικοινωνεῖν καὶ πρὸς ἀμφότερα δὴ αὐτὰ διαπορθμεύειν ἐπ’ ἴσης.

Τοιαῦτα ἄν τις καὶ περὶ τούτων διαγιγνώσκων, οὐκ ἂν διαμαρτάνοι τοῦ προσήκοντος.

Περὶ δὲ ὁμοιότητος καὶ ἀνομοιότητος, ὡς μὲν πολλή τίς ἐστιν ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ ἐπὶ τῆς

μαθηματικῆς οὐσίας, μεγάλην τε ἔχει τὴν δύναμιν ἐνταῦθα, πάντες ἂν συνομολογήσειαν· οὐδὲ γὰρ οἷόν τέ τι θεώρημα γνῶναι μαθηματικῶς, εἰ μή τις αὐτὸ κατασκευάσειεν ὁρισάμενός τι σχῆμα αὐτῷ ὅμοιον καὶ δι’ ἑτέρας εἰκόνος ποιησάμενος τὸν περὶ αὐτοῦ λόγον καὶ ἀφ’ ἑτέρου ἕτερον κατασκευάσας καθ’ ἕνα λόγον τὸν τῆς ὁμοιότητος. ἀλλ’ ἐκεῖνο ἄξιον θεωρίας, τίνες εἰσὶν αὗται αἱ κοινότητες αἱ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου, ἐπὶ πόσον τε διατείνουσιν ἐν τοῖς μαθήμασι, καὶ πῶς ὑπάρχουσιν ἐν αὐτοῖς, κατὰ τί τε διεστήκασι τῶν ἐν τοῖς νοητοῖς ἢ αἰσθητοῖς ὁμωνύμων λεγομένων ὁμοίων τε καὶ ἀνομοίων. δεῖ δὴ νοῆσαι τοῦτο, ὡς οὐ κατὰ ποιότητα τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον λέγεται ἐπὶ τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, οὔτε κατὰ σχῆμα τοιοῦτον οἷον ἐπί τισιν ὡς ἕτερον περὶ ἑτέροις ἐπιγίνεται· τὰ μὲν γὰρ τοιαῦτα ποιὰ ἐν τοῖς συνθέτοις καὶ περὶ σύνθεσιν φιλεῖ συμβαίνειν, ἐφ’ ὧν ἕτερον μέν ἐστι τὸ ὑποκείμενον, ἕτερον δὲ τὸ ἐν ὑποκειμένῳ συμβεβηκός, χαρακτῆρά τε καὶ εἰδοποιίαν περὶ τὴν ὑποκειμένην φύσιν ἐναπεργαζόμενον· ὃ δὲ νῦν ζητοῦμεν ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, πρεσβύτερόν ἐστι πάσης συνθέσεως. ἀλλ’ οὐδὲ κατὰ σχέσιν θεωρεῖται τοιαύτην, οἵα ἐν τῷ πῶς ἔχειν ὑφέστηκε· τῶν γὰρ καθ’ αὑτὰ ὑπαρχόντων οὐ δεῖ ἐξ ἄλλων ἠρτημένας νοεῖν τὰς ὑποστάσεις. ἔστω δὴ οὖν κατ’ οὐσίαν προηγούμενον τὸ νυνὶ λεγόμενον ὅμοιόν τε καὶ ἀνόμοιον, οὐσίαν δὲ οὐ πᾶσαν, ἀλλὰ τὴν μαθηματικήν. εἴδη τινὰ οὖν ταῦτα τῆς οὐσίας ἔσται τῆς μαθηματικῆς. οὐ γὰρ δεῖ τὸ ποιὸν καὶ ποσὸν ἀντιδιαιροῦντας τῇ οὐσίᾳ ἄλλην μὲν ἐπιστήμην ἐπὶ τῇ οὐσίᾳ θεωρητικὴν συντάττειν, ἄλλην δὲ ἐπὶ τῷ ποσῷ, καὶ ταύτην ἀφορίζεσθαι εἶναι τὴν μαθηματικήν· ἀλλ’ ὥσπερ ἔχει φύσεως, οὕτω καὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν τὴν μαθηματικὴν ἐπισκοπεῖν, καὶ τὰ εἴδη ταῦτα ὅσα τέ ἐστι καὶ ὁποῖα· καὶ ὃ δὴ καὶ τὸ ποσὸν συνεξετάζει, οὔτε τὸ ἐν τοῖς σώμασιν, οὔτε τὸ νοητὸν παράδειγμα, ἀλλ’ ὅσον ἐστὶ μαθηματικόν· ὡσαύτως δὴ οὖν καὶ τὸ ὅμοιον καὶ τὸ ἀνόμοιον, εἴτε ὡς κοινὰ γένη περὶ τὴν οὐσίαν ἢ εἴδη, εἴτε ὡς κοινὰς δυνάμεις γεννητικὰς εἰδῶν τῶν ἐν τοῖς καθ’ ἕκαστα μαθημάτων, πέφυκε συνθεωρεῖν κατ’ αὐτὸν τὸν τοῦ εἶναι λόγον. διατείνει δὲ ἐπὶ μὲν τῆς ὅλης οὐσίας μαθηματικῆς εἰς τὸ ὅλον αὐτῆς ὄν, ἐπὶ δὲ τῶν κατὰ μέρος μαθημάτων εἰς τὰς μεριστὰς αὐτῶν ὑποστάσεις, καὶ οὕτως καθ’ ὅσον ἄν τις θεωρῇ πλείονας ἢ ἐλάττονας ἢ μείζονας ἢ καταδεεστέρας τούτων περιγραφάς, πάσαις συμπαρεκτείνει τὸ ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἢ ἐπὶ πλεῖον ἢ ἔλαττον διήκοντα. οὐδὲ γὰρ ὅλως πλῆθος ἢ διαίρεσιν ἢ ἕνωσιν ἢ ταυτότητα καὶ ἑτερότητα δυνατὸν ἐν τοῖς ὄντως μαθηματικοῖς ὑποστῆναι, μὴ προηγησαμένης τῆς κατ’ οὐσίαν ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. μηκέτι οὖν θαυμάζωμεν εἰ καὶ ἐφ’ ἓν γένος καὶ ἐπὶ πλείονα καὶ ἐπ’ ἐλάττονα καὶ ἐπὶ πάντα διατείνουσιν, ἀλλὰ πολὺ μᾶλλον ἐκεῖνο χρὴ θεωρεῖν, ὡς κατὰ τὴν οἰκειότητα ἑκάστων συγγενῶς αὐτοῖς ἐνυπάρχουσι. καὶ δεῖ θεωρεῖν καὶ τοῦτο, λέγω δὴ τοῦ ὁμοίου καὶ ἀνομοίου τὸ ἓν καὶ τὰ πολλὰ καὶ τὰ μεταξὺ τούτων, τάξιν τε αὐτῶν ἐπιβλέπειν ἥτις ἐστὶν ἡ προσήκουσα, καὶ διανομὴν ἐφ’ ἑκάστοις τοῖς | μαθήμασιν ὡς πέφυκεν ἕκαστα αὐτῶν μεταλαμβάνειν. εἰ δὴ ταῦτα οὕτως ἔχει, καὶ ἐπιστήμη μαθηματικὴ πασῶν ἂν εἴη κυριωτάτη, ἥτις τὸ αὐτὸ τῆς ὁμοιότητος αἴτιον καὶ τῆς ἀνομοιότητος ἐπὶ προτέρων καὶ ὑστέρων ὡσαύτως ἀνευρίσκει, ἐπὶ δὲ τῶν ὁμοταγῶν ποιεῖται αὐτῶν τὴν δέουσαν διάκρισιν. καὶ δὴ καὶ παρὰ δόξαν τῶν πολλῶν κατὰ τὸν τῶν ἀσωμάτων τρόπον ἐν μὲν τοῖς διαφέρουσι τὸ ὅμοιον, ἐν δὲ τοῖς ἀδιαφόροις τὸ ἀνόμοιον θεωρεῖ. καὶ ὁμοίως τἀναντία ἐν ἀλλήλοις συνεξετάζει, ὥσπερ ἐν τῷ ὁμοίῳ τὸ ἀνόμοιον ἐπιθεωροῦσα. πῶς οὖν ἐγγίνεται αὐτῶν ἑκάτερον, ἄριστα ἂν κατανοήσαιμεν, εἰ φυλάττοιμεν καὶ ἐνταῦθα τὸ ἰδίωμα τῆς οὐσίας περὶ ἧς ποιούμεθα τὸν λόγον. μήτε γὰρ οὕτως αὐτὰ νοῶμεν ἐγγίγνεσθαι ὡς τὰ εἴδη τὰ ἔνυλα περὶ τὴν ὕλην ἐμφαντάζεται (συμφυῆ γάρ ἐστι καὶ ἀμετάστατα τῆς μαθηματικῆς οὐσίας, ἐν ᾗ ἔχει τὸ εἶναι), μήτε οὕτως ὥσπερ τὰ ἔμφυτα ἐν τοῖς σώμασιν, οἷον ἡ θερμότης ἐν τῷ πυρί· καὶ γὰρ ταῦτα εἰ καὶ ὅ τι μάλιστα συνυφέστηκε τοῖς ἔχουσιν αὐτά, ἀλλ’ ὅμως θεωρεῖταί τις συνθέτου διαφορότης, καθόσον μετέχεται ὡς ἑτέρα, τὰ δὲ μετέχει ὡς ἄλλα. ἐπὶ δέ γε τῶν κατ’ οὐσίαν προϋπαρχόντων ἐν τοῖς μαθηματικοῖς οὖσιν ἁπλῆ τις οὐσία θεωρεῖται δι’ ὅλης ἑαυτῆς ἀσύνθετος οὖσα· ὅσῳ γὰρ μᾶλλον ἀσώματός ἐστι καὶ χωριστὴ τῶν συνθέτων καὶ διαστατῶν ὄγκων, τοσούτῳ μᾶλλον ἁπλούστερον καὶ καθ’ ἑαυτὸ ὑφεστηκὸς ἔχει καθαρώτερον τό τε ὅμοιον καὶ ἀνόμοιον ἀμιγές. ὡσαύτως καὶ τὸ κοινὸν ἐν αὐτοῖς εἰλικρινὲς καὶ ἀδιάφθορον. ὁπότε δὴ οὖν ταῦτα συνομολογοῦμεν, δεῖ κἀκεῖνο καταμαθεῖν, ὡς ἡ μαθηματικὴ ὁμοιότης καὶ ἀνομοιότης ἑτέρα τῆς ἐπὶ τῶν νοητῶν καὶ τῆς ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν ὑπολαμβάνεσθαι ὀφείλει ὁμοιότητός τε καὶ ἀνομοιότητος. διακριθήσεται δὲ ἀπ’ αὐτῶν καθ’ ἕνα μὲν τρόπον, καθ’ ὃν τὰς τρεῖς οὐσίας διεστειλάμεθα (δῆλον γὰρ ὅτι 〈τριχῇ〉 τούτων διαφερουσῶν καὶ τὰ ἐν αὐταῖς εἴδη τριχῇ διοίσει), καθ’ ἕτερον 〈δέ〉, διότι τῇ μεσότητι αὐτῶν διορίζεται, ἐκείνων ἄκρων ὄντων καὶ τὴν ἀρχὴν καὶ τὸ τέλος ἀφοριζόντων τῶν περὶ τὴν οἰκείαν οὐσίαν εἰδῶν· καὶ ἄλλως δὲ τὰ μὲν ἀρχηγικὰ νοείσθω, τὰ δ’ ὡς ἐν ἀποτελέσματος τάξει γιγνόμενα, τὰ δὲ μεταξὺ φυόμενα τῶν τε προηγουμένων αἰτίων καὶ τῶν ὡς ἐσχάτων ἀποτελουμένων. ταῦτα δὴ προειληφότες, ῥᾳδίως ἂν δυνηθείημεν ἀπὸ τούτων καὶ τὰ ἐν ἑκάστῳ τῶν μαθημάτων ἴδια αὐτῶν ὅμοια καὶ ἀνόμοια ἐν τάξει θεωρεῖν, ὁπόταν τὸν ἴδιον περὶ αὐτῶν λόγον ποιώμεθα· νῦν δὲ τὰ κοινὰ ἡμῖν περὶ αὐτῶν ἄχρι τούτων εἰρήσθω.

Ἀπὸ δὴ τοιούτων καὶ τοσούτων γενῶν ἡ μαθηματικὴ ἐπιστήμη συνισταμένη ἀρχῶν τε καὶ στοιχείων, καὶ τοιαύτη οὖσα οἵαν αὐτὴν προειρήκαμεν, οὐκ ἐπὶ βραχὺ διατείνει οὐδὲ ἐπὶ ὀλίγα ἄττα τῶν ἐν τῷ βίῳ πραγμάτων, ἀλλ’ ἐπὶ τὰ μέγιστα καὶ κάλλιστα τῶν τε θείων καὶ ἀνθρωπίνων ἀγαθῶν συμβάλλεται.

Πρῶτον οὖν πειραθῶμεν εἰπεῖν ὅτι περὶ ὅλην φιλοσοφίαν διήκει καὶ περὶ πᾶσαν αὐτῆς θεωρίαν τῶν τε ὄντων καὶ γιγνομένων, αὐτή τε ἡ ὅλη καὶ τὰ

γένη αὐτῆς καὶ τὰ στοιχεῖα καὶ αἱ ἀρχαί, ὅσα τ’ ἐστὶ γένη μαθηματικῆς ἢ εἴδη, διαπεφοίτηκεν εἰς ὅλην φιλοσοφίαν. ὅθεν δὴ καὶ πανταχοῦ χρῶνται οἱ ἄνδρες τοῖς μαθήμασιν, ὅταν τινὰ φιλόσοφον θεωρίαν ποιῶνται. ἀσώματα γὰρ ὄντα καὶ μέσα, καὶ πᾶσιν ἐναρμόζεσθαι δυνάμενα τοῖς οὖσι καὶ ἀφομοιοῦσθαι, πρὸς πάσας τὰς ἐν φιλοσοφίᾳ ἐπιστήμας ἡμῖν μεγάλα συναίρεται. τῇ τε γὰρ θεολογίᾳ παρασκευὴν προευτρεπίζει καὶ ἐπιτηδειότητα, ὁμοιότητά τε | πρὸς αὐτὴν παρέχει καὶ ἀναγωγὴν καὶ ἀποκάθαρσιν, τὰ μὲν νοερὰ ὄργανα ἀπολύουσαν τῶν δεσμῶν καὶ ἀποκαθαίρουσαν συνάπτουσάν τε πρὸς τὸ ὄν, τῷ δὲ κάλλει καὶ τῇ εὐταξίᾳ τῶν θεωρουμένων ἐν τοῖς μαθήμασιν πλησιάζουσάν πως τοῖς νοητοῖς, διὰ δὲ τῆς τῶν ἀμεταπτώτων καὶ ἀκινήτων θεωρίας πρὸς τὰ ἑστῶτα κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὡσαύτως νοητὰ καὶ ὡρισμένα ἀφομοιουμένην, ἐθίζουσαν δὲ τὴν διάνοιαν ἠρέμα πρὸς τὸ φανὸν τοῦ ὄντος ἐπιβάλλειν, τῶν τε σωμάτων ἀπάγουσαν, καὶ πίστιν περὶ τῆς τῶν ἀσωμάτων οὐσίας ἐντιθεῖσαν, βεβαιότητά τε ἐπιστημονικὴν καὶ ἀκρίβειαν παρέχουσαν. πάντα γὰρ τὰ τοιαῦτα φέρει μεγάλην ἀφορμὴν εἰς τὴν τῶν ὄντων καὶ νοητῶν κατανόησιν. ἀλλὰ μὴν τῷ γε φυσικῷ συνεργεῖ οὐ μετρίως, συμμετρίαν τῶν ἐν τῇ φύσει παραδεικνύουσα, εὐταξίαν τε εἰς ὑπερβολὴν καὶ ἀναλογίαν τὴν διὰ πάντων τῶν ἐν τῇ φύσει διήκουσαν, κάλλος τε ἐπισκοπουμένη καὶ εἴδη φυσικὰ καὶ τοὺς περὶ αὐτῶν λόγους, στοιχεῖά τε καὶ ἁπλούστατα καὶ τὰ σχήματα αὐτῶν, καὶ τὰ κυριώτατα γένη καὶ εἴδη· πᾶσι γὰρ τούτοις οἱ γνησίως ἀπὸ τῶν πρώτων ἀρχῶν φυσιολογοῦντες χρῶνται. τῷ γε μὴν πολιτικῷ συμ βάλλεται κινήσεως τεταγμένης τῶν πράξεων ἐξηγουμένη, κίνησίν τε τῶν θεωρημάτων τῶν ἑστηκότων παρέχουσα, ἰσότητά τε πᾶσιν ἐντιθεῖσα καὶ ὁμολογίαν τὴν προσήκουσαν. τῷ δὲ ἠθικῷ συναίρεται λόγους ἀρετῶν περιέχουσα καὶ παραδείγματα μαθηματικὰ εἴδη ἐκφαίνουσα, οἷον φιλίας ἢ εὐδαιμονίας ἢ ἄλλου τινὸς τῶν μεγίστων ἀγαθῶν. προτίθησι δὲ καὶ πάντων τῶν ἐν τῷ βίῳ παραδείγματα μαθηματικά, οἷον εὐγονίας ἀγονίας, εὐφορίας ἀφορίας, καὶ πάντων τοιούτων. ὅθεν δὴ καὶ πανταχοῦ δεῖ χρῆσθαι τοῖς μαθήμασιν, ὥσπερ ἐν παραδείγμασι τούτοις τὴν φιλοσοφίαν ὑπογράφοντας. τὰ αὐτὰ μὲν οὖν οὐ λαμβάνομεν πανταχοῦ παραδείγματα, τὰ δ’ οἰκεῖα ἐφ’ ἑκάστων κατὰ τὰ ἴδια γένη τῆς ἐπιστήμης παρατιθέμεθα. διήκει μὲν οὖν καὶ ἡ ὅλη τῆς μαθηματικῆς οὐσία αὐτή τε καὶ τὰ ἐν αὐτῇ γένη καὶ στοιχεῖα καὶ ὅσαι εἰσὶν ἀρχαὶ περὶ πᾶσαν φιλοσοφίαν. ἔνεστι γὰρ κοινῶς ἐφ’ ὅλην διατείνειν αὐτὴν τοὺς μαθηματικοὺς λόγους, ἔνεστι δὲ καὶ περὶ τὰ μέρη τῆς φιλοσοφίας διατείνειν αὐτά, ὅπως ἂν ἡ τοῦ λόγου χρεία ἀπαιτῇ. ἐπικοινωνεῖ δὲ πρὸς αὐτά, καθ’ ὅσον ἔχει τινὰ πρὸς αὐτὰ ὁμοιότητα, καὶ συντέλειαν πρὸς αὐτὰ παρέχεται τὴν διαβιβάζουσαν πρὸς αὐτὰ καὶ ὁδηγοῦσαν. καὶ πρὸς μὲν τὰ ἑστηκότα καὶ ὡρισμένα εἴδη, καὶ οὐ ποτὲ μὲν ὄντα ποτὲ δὲ μὴ ὄντα, ἀεί τε ὡσαύτως ἔχοντα, ἀναφέρειν καὶ συνάγειν πέφυκεν, ὡς ἂν ἀπολειπομένη αὐτῶν τελειότητι καὶ καθαρότητι καὶ τῇ τῆς ἀσωματίας, ἵν’ οὕτως εἴπωμεν, λεπτότητι, ὁμοιῶταί τε πρὸς αὐτὰ ὡς πρὸς ὑπερέχοντα· τῶν δὲ ἐν γενέσει ἐνύλων εἰδῶν χωριστὰ τῶν σωμάτων παραδείγματα προτείνει ἐν εἴδεσι μαθηματικοῖς· καὶ οὕτως συνεργεῖ πρὸς ἀμφότερα.

Πρὸς μὲν οὖν φιλοσοφίαν ὅλην καὶ τὰ μόρια αὐτῆς τοιαύτην συντέλειαν παρασκευάζει.

Πρὸς δὲ δὴ τὰς τέχνας πάσας ὡς ἁπλῶς εἰπεῖν ἐπιστημονικὴν ἐντίθησι διάγνωσιν, ἀρχάς τε αὐτῶν παραδεικνύουσα καὶ τέλη καὶ διορισμούς, μέτρα τε καὶ ἐπικρίσεις αὐτῶν ἀναδιδάσκουσα, τό τε ὀρθὸν καὶ διημαρτημένον αὐτῶν διαστέλλουσα, καὶ τούτων ἑκατέρου στοιχεῖα τὰ προσήκοντα ἀφορίζουσα, τέλος τε αὐτῶν γιγνώσκουσα καὶ τὴν ἀκρίβειαν ἐνδιδοῦσα τήν τε εὕρεσιν αὐτῶν ποιουμένη. ἐπειδὴ γὰρ χωρὶς τήν τε οὐσίαν τῆς ὕλης θεωρεῖ αὕτη ἡ ἐπιστήμη, λόγοις τε χρῆται χωριστοῖς καὶ οὐκ ἐπιταραττομένοις ἀπὸ τῶν ἐνύ|λων, εἰκότως διὰ ταῦτα αἰτιωτέρα ἐστὶ καὶ ἡγεμονικωτέρα τῶν τῆς ὕλης ἐφαπτομένων τεχνῶν εἷς τε εὕρεσιν αὐτῶν καὶ ἐπίκρισιν καὶ διάγνωσιν. τὰς μὲν οὖν θεωρητικὰς τέχνας διακαθαίρει καὶ τελειοῖ, ταῖς δὲ ποιητικαῖς ἐν παραδείγματος τάξει πρόσκειται, τὰς δὲ πρακτικὰς ἀνεγείρει καὶ κινεῖ τοῖς ἑστηκόσιν ἑαυτῆς εἴδεσιν, ἐφ’ ὅλων δὲ κοινῶς τοὺς λόγους τοὺς χωρι‐ στοὺς συναρμόζει τοῖς ἐνύλοις εἴδεσιν. ὥσπερ ἀρχιτεκτονικὴ δὲ οὖσα πασῶν, οὕτως αὐτῶν προηγεῖται,

χρηστική τε αὐταῖς ὑπάρχει, καὶ τιμίους αὐτὰς ἀπεργάζεται καὶ ὠφελίμους τῷ μαθηματικῷ λόγῳ βεβαιωθείσας, ἀποδείξει τε μαθηματικῇ κρατύνει αὐτῶν τοὺς λόγους καὶ ποιεῖ ἀψευδεῖς.

Πέφηνεν οὖν ἡ μαθηματικὴ διήκουσα θεωρία καὶ περὶ πᾶσαν τεχνικὴν ἐργασίαν καὶ γνῶσιν.

Καὶ μὴν ὅτι γε τάξις ἐστὶν ἐν αὐτῇ διττή, ἡ μὲν κατὰ φύσιν αὐτῇ συνυπάρχουσα, ἡ δὲ ὡς πρὸς τὴν μάθησιν, ῥᾴδιον ἐντεῦθεν καταμαθεῖν. εἰ γὰρ πᾶσι τοῖς ἄλλοις τὸ τεταγμένον ἀπὸ τῆς μαθηματικῆς ἐπιστήμης παραγίγνεται καὶ τὸ ἐξ ἀνάγκης ἀκολουθεῖν τόδε τῷδε, πολὺ δήπου πρότερον αὐτὴ ἡ μαθηματικὴ θεωρία τάξιν περιέχει ἐν ἑαυτῇ, καὶ τὴν ἀγωγὴν τὴν πρὸς τὸ τέλειον τεταγμένως ποιεῖται. ἡ μὲν οὖν κατὰ φύσιν τῶν μαθημάτων τάξις προτάττει τὰ ἁπλούστερα ὡς πρότερα, οἷον ἀριθμητικὴν γεωμετρίας, ἐνίοτε δὲ καὶ πρὸς διδασκαλίαν τὰ αὐτὰ προηγεῖται, ὅταν ἀπὸ τῶν στοιχείων γίγνηται τῶν συνθέτων ἡ μάθησις· οὐ μὴν ἀλλ’ ἐνίοτε καὶ ὡς πρὸς ἡμᾶς τὰ σύνθετα τῶν ἁπλουστέρων ἔσται εἰς μάθησιν πρότερα, ὅταν ᾖ γνωριμώτερα, οἷον ὁ σύμπας οὐρανὸς καὶ ἡ περὶ αὐτὸν κίνησις τῆς ἁπλῶς σφαίρας καὶ τῆς αὐτὸ τοῦτο κινουμένης σφαίρας ἐστὶ δήπου γνωριμωτέρα. εἰ δή τις διὰ τῶν φανερῶν τὰ ἀφανῆ ἐνδεικνύοιτο, οὐκ ἔσται ὁ τοιοῦτος τρόπος ἀπόβλητος τῆς ἐφόδου. οὕτω δὲ τούτων διχῇ διῃρημένων, χρηστέον μὲν ἀμφοτέροις τοῖς τρόποις, τοῖς μὲν ὡς ἐπιστημονικωτέροις τοῖς δὲ

ὡς γνωριμωτέροις. καὶ δὴ ὅταν μὲν ἀναγκαῖον ᾖ τῷ ἑτέρῳ μόνῳ χρῆσθαι τρόπῳ, προκρίνειν δεῖ τὸν οἰκειότερον αὐτῶν καὶ μᾶλλον συμβαλλόμενον πρὸς τὸ προκείμενον ἐπιστητόν· ὅταν δὲ ἐξῇ ἀμφοτέροις χρῆσθαι, δι’ ἀμφοτέρων ὁδηγεῖν χρὴ εἰς τὴν ἐπιστήμην. ὅθεν δὴ ἐν πολλαῖς μαθηματικαῖς θεωρίαις τὰ αὐτὰ προβλήματα δι’ ἀναλύσεως τε καὶ συνθέσεως ἀποδείκνυται. ἐφ’ ὧν οὖν συμφωνοῦσιν οἱ δύο τρόποι τῆς ἐπιστήμης, ἐπὶ τούτων χρηστέον ἀμφοτέροις. δεῖ δὲ καὶ τῆς ἕξεως ἑκάστου στοχάζεσθαι, οἷον εἰ εὐφυὴς ὀξὺς ὤν τις δύναται ἀφ’ ἑνὸς ἐπὶ πολλὰ ῥᾳδίως μετιέναι καὶ ἀθρόως ἅμα πολλὰ παραδέχεσθαι τὰ συγγένειαν ἔχοντά τινα πρὸς ἄλληλα. κἀκεῖνο δὲ δεῖ σκοπεῖν, τὸ τέλος τῆς ἀναφορᾶς τί ποτ’ ἐστὶ τῆς ἐν μαθηματικῇ διατριβῆς, πότερον αὐτὸ τοῦτο τὸ μαθεῖν τὰ τῆς ἐπιστήμης θεωρήματα, ἢ εἰς φιλοσοφίαν τις αὐτὰ ἀνάγει καὶ προτίθεται ὁδηγεῖσθαι δι’ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τοῦ νοητοῦ θέαν· τῷ γὰρ τοιούτῳ ἄλλη ἂν εἴη ἡ τάξις, ἐνίοτε τὴν κατὰ φύσιν ἀκολουθίαν τῶν μαθημάτων ὑπερβαίνουσα. πάλιν τοίνυν ἕκαστον τῶν ἐν μαθηματικῇ θεωρημάτων τὰ μὲν αὐτόθεν φαινόμενα καὶ ἀτελέστερα ὑποδείκνυσιν ὡς πρότερα, οἷον ὅτι τὸ ὀρθογώνιον τρίγωνον ἴσον ἔχει δυναμένην τὴν ὑποτείνουσαν ταῖς περιεχούσαις, τὰ μέντοι τελειότερα καὶ περιττῆς δεόμενα ἀποδείξεως ὕστερα παραδίδο‐ ταί, ὅσα περὶ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου εἴς τε τὴν τῶν ἄστρων φορὰν καὶ τὴν εἰς τὸν ζῳδιακὸν συντέλειαν καὶ τὴν ἡλίου καὶ σελήνης φορὰν συντείνει. καὶ τὰ περὶ ἁρμονίας δὲ ὡσαύτως, τὰ μὲν περὶ τῆς ἁπλῆς πρότερα διδάσκεται, | τὰ δὲ περὶ τῆς τοῦ κόσμου ὕστερα.

Ταῦτα δὴ οὖν τούτου ἕνεκα προειρήκαμεν, ἵνα μεθόδῳ τινὶ χρώμενοι ἐν τῇ τάξει τῆς μαθηματικῆς πραγματείας δυεῖν στοχαζώμεθα, τῆς τε φύσεως τῶν πραγμάτων καὶ τῆς δυνάμεως τῶν μανθανόντων, ἑκατέρῳ τε χρώμεθα ἁρμοττόντως, καὶ ὅταν συμφωνῇ ταῦτα πρὸς ἄλληλα, ἀμφοτέροις ἐπ’ ἴσης.

Καὶ μὴν οἵ γε ἴδιοι τρόποι τῆς Πυθαγορείου παραδόσεως τῶν μαθημάτων θαυμαστὴν εἶχον ἀκρίβειαν καὶ πολὺ παρήλλαττον τὴν τεχνικὴν τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβόντων διδασκαλίαν. ὑπογράψωμεν οὖν ἐν τύποις αὐτήν, ὡς ἂν μάλιστα δυνατὸν ᾖ κοινῷ λόγῳ περὶ αὐτῆς εἰπεῖν.

Ἓν μὲν δὴ οὖν τοῦτο διομολογείσθω, ὡς ἄνωθεν ἀπὸ τῶν πρώτων ἀρχῶν ὁρμώμενοι τὴν πρώτην ἐποιοῦντο τῶν μαθηματικῶν θεωρημάτων σύστασιν, ὡς ἂν ἀπ’ αὐτῆς τῆς πρώτης οὐσίας αὐτῶν ποιούμενοι τῆς διανοίας τὰς ἐπιχειρήσεις, καὶ ἐπ’ αὐτὴν ἀνάγοντες τελευταίαν τὴν ὅλην μαθηματικὴν ἐπιβολήν. ἔτι τοίνυν τῷδε ἑπόμενον, ἐπετήδευον τὸ καταδεικνύναι πρώτας τὰς εὑρέσεις τῶν θεωρημάτων, μηδενὶ δὲ ὡς ἤδη ὑπάρχοντι χρῆσθαι, ἀλλ’ ἐπὶ πάντων θεωρεῖν πῶς ἂν εἰς ὑπόστασιν ἔλθοι τὸ δεικνύμενον ἐν τοῖς μαθήμασιν. ἦν δὲ καὶ ἄλλος τρόπος παρ’ αὐτοῖς ὁ διὰ

συμβόλων μαθηματικός, οἷον τῆς δικαιοσύνης ἡ πεντάς, διότι πάντα τὰ εἴδη τῶν δικαίων συμβολικῶς σημαίνει. χρήσιμον δὲ τὸ εἶδος ἦν αὐτοῖς εἰς πᾶσαν φιλοσοφίαν, ἐπειδὴ συμβολικῶς τε τὰ πολλὰ ἐδίδασκον, καὶ ἡγοῦντο τὸν τρόπον τοῦτον τοῖς θεοῖς εἶναι οἰκεῖον καὶ τῇ φύσει πρόσφορον. ἀλλὰ μὴν ὅτι γε καὶ τὰς ἀρχὰς τὰς πρώτας καὶ τὰς εὑρέσεις παρεδίδοσαν τῶν μαθημάτων, δῆλον μέν ἐστι καὶ ἀπὸ τῶν ἄλλων μαθηματικῶν ἐπιστημῶν, φανερὸν δὲ καὶ ἐκ τῶν ἀριθμητικῶν μεθόδων. ἕκαστον γὰρ γένος καὶ εἶδος ἀριθμῶν πῶς ἀπογεννᾶται πρώτως καὶ πῶς ὑφ’ ἡμῶν εὑρίσκεται ἀναδιδάσκουσιν, ὡς μὴ οὔσης ἐπιστημονικῆς τῆς περὶ αὐτὰ θεωρίας, εἰ μή τις αὐτὰ ἄνωθεν ὁρμώμενος καταλαμβάνοι. ἔτι τοίνυν τοῖς ὄντως οὔσι καὶ τοῖς θείοις πᾶσι καὶ ταῖς τῆς ψυχῆς ἕξεσι καὶ δυνάμεσι, τοῖς τε ἐν τῷ οὐρανῷ φαινομένοις καὶ ταῖς περιόδοις τῶν ἄστρων, καὶ τοῖς ἐν τῇ γενέσει πᾶσι στοιχείοις τε σωμάτων καὶ τοῖς ἀπὸ τούτων συγκρινομένοις, τῇ τε ὕλῃ καὶ τοῖς ἀπ’ αὐτῆς γεννωμένοις προσῳκείουν ἀεὶ τὰ θεωρήματα τὰ μαθηματικά, πάντα τε ἁπλῶς καὶ ἀφ’ ἑκάστου λαμβάνοντες τὰ οἰκεῖα μιμήματα πρὸς ἕκαστον τῶν ὄντων. τὰς δὲ ἀναφορὰς ἐποιοῦντο τῶν μαθημάτων ἐπὶ τὰ ὄντα ἢ κατὰ κοινωνίαν τῶν αὐτῶν λόγων, ἢ κατὰ ἔμφασίν τινα ἀμυδράν, ἢ κατὰ ὁμοιότητα ἐγγὺς πλησιάζουσαν ἢ πόρρωθεν ἀφεστηκυῖαν, ἢ κατὰ εἰδώλων τινὰ ἀπεικασίαν, ἢ κατ’ αἰτίαν προηγουμένην ὡς ἐν παραδείγματι, ἢ κατ’ ἄλλον τρόπον. καὶ ἄλλως δὲ πολυειδῶς συζευγνύουσι τοῖς πράγμασι τὰ μαθήματα, ὡς καὶ τῶν πραγμάτων ὁμοιοῦσθαι τοῖς μαθήμασι δυναμένων καὶ τῶν μαθημάτων τοῖς πράγμασι φύσιν ἐχόντων ἀπεικάζεσθαι καὶ ἀμφοτέρων πρὸς ἄλληλα ἀνθομοιουμένων. τῇ μὲν οὖν ποικιλίᾳ τοῦ λόγου καὶ τῇ τῶν μεθόδων εὐπορίᾳ οὐ πάνυ τι ἔχαιρον, ὡς λογικωτέρᾳ οὔσῃ καὶ τῆς τῶν πραγμάτων ἀληθείας ἀφεστώσῃ, προηγουμένως δὲ ἠσπάζοντο τὴν αὐτῶν τῶν προβλημάτων γνῶσιν, ὡς ἂν συμβαλλομένην εἰς τὴν τῶν ὄντων ἐπιστήμην τε καὶ εὕρεσιν. καὶ μᾶλλον τῇ τῆς ἀληθείας εὑρέσει ἰσχυρίζοντο καὶ τῇ πρὸς τὰ πράγματα ἐπιβολῇ, ἀλλ’ οὐχὶ τῇ δριμύτητι καὶ ὀξύτητι τῶν περὶ τὰ προβλήματα συλλογισμῶν. ὅθεν οὐδὲ τῇ εὐπορίᾳ μέγα ἐφρόνουν τῶν μαθηματικῶν ἐπιχειρημάτων, τὸ δὲ | εἰς τὴν τῶν πραγμάτων εὕρεσιν συμβαλλόμενον προτιμῶντες ἐφαίνοντο.

Τρόποι μὲν οὖν οὗτοι καὶ τοιοῦτοί τινες ἦσαν παρ’ αὐτοῖς τῆς μαθηματικῆς παραδόσεως. ἐχρῶντο δὲ αὐτοῖς ἐπιστημονικῶς καὶ μετὰ τῆς θεωρητικῆς φιλοσοφίας τῶν ὄντων καὶ τοῦ καλοῦ στοχαζόμενοι, τό τε πεπερασμένον ἀεὶ καὶ τὸ ἐν βραχυτάτοις συναγόμενον πρεσβεύειν οἰόμενοι δεῖν καὶ τιμᾶν, εἴ τι δὲ χρήσιμον ἀπ’ αὐτῶν ἐκλεγόμενοι πρός τε ἑαυτοὺς καὶ τοὺς συνόντας καὶ πρὸς ὅλην τὴν τῶν ὄντων ἐπιστήμην. ἔτι τοίνυν ἐστοχάζοντο ἐν τῷ παραδιδόναι, κατ’ ἄλλον μὲν τρόπον, τῶν πραγμάτων, ὡς εἶχε ταῦτα τάξεως καὶ τῆς πρὸς ἄλληλα συνεχείας (κατὰ γὰρ τὴν τοιαύτην ἀκολουθίαν τὸ πρῶτον καὶ δεύτερον θεώρημα ἐν αὐτοῖς ἀφώριζον), καθ’ ἕτερον δὲ τρόπον ἀπέβλεπον καὶ πρὸς τοὺς μανθάνοντας, καὶ τούτων ἐστοχάζοντο,

πῶς μὲν ἔχουσι δυνάμεως πῶς δὲ καὶ ὠφεληθήσονται ἀπ’ αὐτῶν, καὶ τίνα μὲν ἀρχομένοις τίνα δὲ προκόπτουσι παραδοτέον, καὶ τίνα μὲν ἐσωτερικὰ τίνα δὲ ἐξωτερικὰ μαθήματα, καὶ ποῖα μὲν ῥητὰ ποῖα δὲ ἄρρητα, καὶ τίσι μὲν μετ’ ἐπιστήμης τῶν πραγμάτων παραδιδόμενα τίσι δὲ αὐτὸ τοῦτο μόνον μαθηματικῶς. ἡ γὰρ διὰ πάντων τούτων ἀκρίβεια οὐκ ἀργῶς παρ’ αὐτοῖς ἐπετηδεύετο, ἀλλ’ ἕνεκα τοῦ τὴν μαθηματικὴν πραγματείαν ἑνὸς ἔχεσθαι, τοῦ καλοῦ καὶ ἀγαθοῦ, καὶ πρὸς ἓν συντετάχθαι, τὴν τοῦ ὄντος ἐπιστήμην καὶ τὴν πρὸς τἀγαθὸν ὁμοίωσιν. καίτοι οὕτως οὐ μόνον γνῶσις ψιλὴ τῶν μαθημάτων παρεδίδοτο, ἀλλὰ καὶ ζωὴ προσήκουσα αὐτοῖς συνετάττετο, καὶ ἄνοδος ἐπὶ τὰ τιμιώτατα δι’ αὐτῶν καθίστατο δεόντως. διόπερ δὴ τὴν Πυθαγορικὴν ἐν τοῖς μαθήμασι διατριβήν, ὡς ἐξαίρετον οὖσαν καὶ προκεκριμένην πασῶν τῶν μαθηματικῶν τεχνῶν, οὕτως ἐπιτηδεύειν ἄξιον.

Ἐπεὶ δὲ δεῖ μὴ τὸ ὅλον αὐτῆς ἀγαθὸν μόνως ἐπισκοπεῖν, ἀλλὰ καὶ τὰ γένη καὶ εἴδη πόσα ποτέ ἐστιν αὐτῆς καὶ ὁποῖα δεῖ ἑλέσθαι, κοινὴν ποιησώμεθα περὶ αὐτῶν τὴν διδασκαλίαν δυναμένην ἐφ’ ὅλα τε καὶ ἐφ’ ἕκαστον τῶν μαθημάτων ὡσαύτως διατείνεσθαι.

Μαθηματικοῦ δὴ παντὸς καὶ τοῦ ἰδίου καθ’ ἕκαστον, ὁποῖόν ποτ’ ἂν ᾖ, θεώρημα πρῶτόν ἐστι τὸ θεολογικόν, τῇ τῶν θεῶν οὐσίᾳ καὶ δυνάμει, τάξει τε καὶ ἐνεργείαις συναρμοζόμενον κατά τινα πρόσφορον ἀπεικασίαν, ὃ δὴ καὶ μάλιστα σπουδῆς ἀξιοῦται παρὰ τοῖς ἀνδράσιν, οἷον ἐπὶ ἀριθμῶν ποῖοί τινες ἀριθμοὶ ποίοις θεοῖς συγγενεῖς εἰσι καὶ ὁμοφυεῖς, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων δὲ μαθημάτων τὸ αὐτὸ νοεῖν σύνηθες αὐτοῖς ἐστι. μετὰ δὴ τοῦτο περὶ τὸ νοερὸν ὄντως ὄν ἐνεργεῖν

ἐπιχειρεῖ τὰ μαθήματα παρ’ αὐτοῖς, κύκλον τε νοερὸν καὶ ἀριθμὸν εἰδητικόν, καὶ ἄλλα πολλὰ τοιαῦτα μαθήματα συμφώνως τῇ καθαρωτάτῃ οὐσίᾳ θεωροῦνται. ἔπειτα περὶ τὴν αὐτοκίνητον οὐσίαν καὶ τοὺς ἀιδίους λόγους συγκεφαλαιοῦσι τὴν τῶν μαθημάτων πραγματείαν, τὸν αὐτὸν αὐτοκίνητον ἀριθμὸν ἀφοριζόμενοι καὶ μέτρα τινὰ τῶν λόγων κατά τινας συμμετρίας μαθηματικὰς ἀνευρίσκοντες. πολλὴ δὲ καὶ περὶ τὸν οὐρανὸν καὶ πάσας τὰς ἐν οὐρανῷ περιφοράς, τάς τε ἀπλανεῖς καὶ τὰς τῶν πλανωμένων, θεωρεῖται μαθηματικὴ ἐπιστήμη, οὐ μόνον τὰς ποικίλας κινήσεις τῶν σφαιρῶν, ἀλλὰ καὶ τὰς μονοειδεῖς αὐτῶν συνεξετάζουσα. ἤδη δὲ καὶ τοὺς ἐνύλους λόγους καὶ τὰ ἔνυλα εἴδη, πῶς τε ὑφέστηκε καὶ πῶς ἐξ ἀρχῆς παρήχθη, διαπραγματεύεται· τοιοῦτον γάρ ἐστι τῆς μαθηματικῆς τὸ χωρίζον ταῖς ἐπινοίαις τὴν μορφὴν καὶ τὰ σχήματα ἀπὸ τῶν σωμάτων. καὶ ἄλλως δὲ φυσιολογεῖν ἐπιχειρεῖ τὰ ἐν γενέσει, τὰ στοιχεῖα τὰ ἁπλᾶ καὶ τοὺς περὶ τοῖς σώμασι λόγους θεωροῦσα.

Τούτοις οὖν πᾶσι τοῖς μορίοις τῆς μεθόδου | καθ’ ἕκαστα καὶ ἐπὶ πάντα τὰ μαθήματα χρῆται ἡ Πυθαγόρειος ἀγωγή, τάξιν τε δι’ αὐτῶν καὶ ἀποκάθαρσιν ποιεῖται. ὥσπερ γὰρ ἐν τοῖς μαθηματικοῖς γιγνώσκεται τὰ δεύτερα ἀπὸ τῶν προτέρων, οὕτως ἐπὶ τῶν τῆς ψυχῆς δυνάμεων πρὸς τὰς τελειοτέρας ζωὰς καὶ ἐνεργείας γίγνεται δι’ αὐτῶν ἄνοδος. ἀλλὰ μὴν οὐδὲ ἀμελοῦσί τινος οὐδὲ παραλείπουσί τι τῶν μέσων ὅσα συμπληροῖ τὴν τοιαύτην ἐπιστήμην, ἀλλ’ οὐδὲ τὰ ἄκρα ἀφιᾶσιν ἀδιερεύνητα. διεξέρχονται δὲ δι’ ὅλων

ἀνενδεῶς, καὶ οὕτω τὴν διαίρεσιν, ἣν ἡ διαιρετικὴ ἐπιστήμη κατέδειξεν, ἐπὶ τῶν κυριωτάτων καὶ πρωτίστων γενῶν ἡ ἐπιστήμη αὕτη παραδίδωσιν. ἀπὸ δὲ ταύτης ἔνεστι καὶ τὰς μεριστὰς τομὰς ἀνευρίσκειν τῶν μαθημάτων, ὧν καὶ προϊόντες μνημονεύσομεν ἐν τῷ ἰδίῳ περὶ αὐτῆς λόγῳ.