De utilitate mathematicae

Theon Smyrnaeus

Theon Smyrnaeus. Theonis Smyrnaei philosophi platonici Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium. Hiller, Eduard, editor. Leipzig: Teubner, 1878.

δ β α δ ς θ θ γ α θ ιβ ις ις κ κε κε λ λς λς μβ μθ μθ νς ζδ ξδ οβ πα πα ?? ρ

ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τʼ ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλα- πλασιεπνμόριοι, πάλιν δʼ ἐκ τῶν ἐπιμερῶν ἕτεροί τε ἀπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς· ὧν τὰ μὲν πλεῖστα παραλειπτέον οὐκ ἀναγκαῖα ὄντα, μικρὰ δὲ θεωρητέον. ἐκ μὲν γὰρ τῆς ἐν ἡμιολίοις ἀνκλογίας τὸν εἰρημένον τρόπον ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἀρχομένων ὅρου συνίστα- ται ἀναλογία ἐν ἐπιμερέσι λόγοις δισεπιτρίτοις· οἷον [*](6 λόγον] ἀνάλογον A. 13 τετραπλασίων; fort. add. εϚ΄ δ΄ α΄ 15 ἐπιμερεῖς A2] ἐπικέριοι A 16 ἐπιμερῶν corr. in ἐπιμορίων A 18 παραληπτέον A1)

110

θ΄ Ϛ΄ δ΄· ἐκ δὲ τούτων κατὰ τὴν εἰρημένην μέθοδον συνίσταται θ΄ ιε΄ κε. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἀρ- χομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία, τουτέστιν ἡ διπλασιημιόλιος. οἷον ἐκκείσθω δ΄ Ϛ΄ θ΄· ἐκ τούτων κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον δ΄ ι΄ κε. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπι- τρίτοις ἀπὸ μὲν τοὺ μείζονος ἀρχομένων ὅρου ἔσται ἐπιμερὴς ἀναλογία ἡ τρισεπιτέταρτος. οἷον ἐκ τῆς τῶν ιϛ΄ ιβ΄ θ΄ ἔσται ιϛ΄ κη΄ μθ΄. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρ- χομένων ὅρου ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία 〈ἡ〉 διπλασιεπίτριτος ἐν τοῖς θ΄ κα΄ μθ΄. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπι- τετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου 〈ἀρχομένων〉 ἐπι- μερὴς ἔσται ἀναλογία ἡ τετράκις ἐπίπεμπτος· οἷον [ὁ] ἐκ τῆς κε΄ κ΄ ιϚ΄ ἔσται κε΄ με΄ πα΄. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρχομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἡ διπλασιεπι- τέταρτος· 〈οἷον〉 ἀπὸ τῶν ιϚ΄ κ΄ κε΄ ἔσται ἡ ἐν τοῖς ιϚ΄ λϚ΄ πα΄. καὶ ἡ τάξις οὕτω πρόεισιν ἐπʼ ἄπειρον. καὶ ἀπὸ τούτων δὲ ἄλλοι πλάσσονται κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον, περὶ ὧν οὐκ ἀναγκαῖον μηκύνειν τὸν λόγον.

πᾶσαι δʼ αἱ τοιαῦται ἀναλογίαι καὶ οἱ ἐν αὐταῖς λόγοι πάντες, καθάπερ συνεστᾶσιν ἐκ πρώτου τοῦ τῆς ἰσότητος λόγου, οὕτως καὶ ἀναλύονται εἰς ἔσχατον τοῦ- τον. ἂν γὰρ ἐξ ὁποιασοῦν ἀναλογίας ἐν τρισὶν ὅροις ἀνίσοις οὕτως ἀφελόντες ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου τὸν ἐλά- χιστον, ἀπὸ δὲ τοῦ μεγίστου τόν τε ἐλάχιστον καὶ δύο τοιούτους ὁποῖος ἐλείφθη τοῦ μέσου ἀφαιρεθέντος ἀπʼ [*](9 πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία ἡ διπλασιεπίτριτος] ἐπι- μερὴς ἀναλογία διπλάσιος δὲ ἐπίτριτος A, fort. add. 〈οἷον ἐκ τῶν θ΄ ιβ΄ ιϛ΄ ἔσται ἡ〉 12 ὁ om. apogr. 14 πολυπλασι- επιμόριος A1 ἡ] ὁ A 19 inscr. ὅτι ἀναλύονται αἱ ἀναλογίαι εἰς ἰσότητα A, ϛ in mg. 23 οὕτως del. vid.) [*](25 ἐλήφθη A)

111

αὐτοῦ τοῦ ἐλαχίστου τοὺς γενομένους τάξωμεν ἐφεξῆς, πρῶτον μὲν αὐτὸν τὸν ἐλάττονα, ἔπειτα τὸν ἀπὸ τοῦ μέσου λειφθέντα καὶ τελευταῖον τὸν ἀπολειφθέντα τοῦ ἐσχάτου, ἡ διαλυθεῖσα οὕτως ἀναλογία ἀναλυθήσεται εἰς τὴν πρὸ αὐτῆς ἐξ ἧς συνέστη. τούτου δʼ ἀεὶ γινο- μένου ἐλεύσεται ἡ ἀνάλυσις ἐπʼ ἐσχάτην τὴν τῆς ἰσό- τητος ἀναλογίαν, ἐξ ἧς πρώτης ἅπασαι συνέστησαν· αὐτὴ δὲ οὐκέτι εἰς ἄλλην, ἀλλὰ μόνον εἰς τὸν τῆς ἰσό- τητος λόγον.

Ἐρατοσθένης δὲ ἀποδείκνυσιν, ὅτι καὶ τὰ σχήματα πάντα ἔκ τινων ἀναλογιῶν συνέστηκεν ἀρχομένων τῆς συστάσεως ἀπὸ ἰσότητος καὶ ἀναλυομένων εἰς ἰσότητα· περὶ ὧν τὰ νῦν λέγειν οὐκ ἀναγκαῖον.

τὰ δὲ αὐτὰ εὑρεθήσεται καὶ ἐπὶ σχημάτων. ὧν πρῶτόν ἐστιν ἡ στιγμή, ὅ ἐστι σημεῖον ἀμέγεθες καὶ ἀδιάστατον, γραμμῆς πέρας, οἷον μονὰς θέσιν ἔχουσα. τοῦ δὲ μεγέθους τὸ μὲν ἐφʼ ἓν διάστατόν τε καὶ διαί- ρετον γραμμή, μῆκος οὖσα ἀπλατές· τὸ δʼ ἐπὶ δύο ἐπίπεδον, μῆκος ἔχον καὶ πλάτος· τὸ δʼ ἐπὶ τρία στερεόν, μῆκός τε καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον. περιέχεται δὲ καὶ περαίνεται τὸ μὲν στερεὸν ὑπὸ ἐπιπέδων, τὸ δʼ ἐπίπεδον ὑπὸ γραμμῶν, ἡ δὲ γραμμὴ ὑπὸ στιγμῶν. τῶν δὲ γραμμῶν εὐθεῖα μέν ἐστιν ὀρθὴ καὶ οἷον τεταμένη, ἥτις δύο δοθέντων σημείων μεταξὺ ἐλαχίστη ἐστὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν καὶ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς ση- [*](1 τάξωμεν corr. ex τάξομεν A. 3 ληφθέντα A ἀπο- λιφθέντα A 6 ἔσχατον A 7 ἐξ ἧς A2] ἑξῆς A1 10 Ἐρατοσθένης: cf. Philol. XXX p. 66 14 inscr. περὶ σχη- μάτων et ζ mg. A 18 οὖσα] ἔχουσα? 19 ἔχων A1 23 〈ἡ〉 ὀρθὴ? 24 ἐλαχίϚ A1 25 Eucl. El. I def. 4 εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)

112

μείοις κειμένη· καμπύλη δὲ ἡ μὴ οὕτως ἔχουσα. δια- φέρει δὲ καὶ ἐπίπεδον ἐπιφανείας παραπλησίως. ἐπι- φάνεια μὲν γάρ ἐστι παντὸς στερεοῦ σώματος κατὰ δύο διαστάσεις μήκους καὶ πλάτους ἐπιφαινόμενον πέρας. ἐπίπεδον δέ ἐστιν ὀρθὴ ἐπιφάνεια· ἧς ἐπειδὰν δύο σημείων ἅψηται εὐθεῖα, ὅλη αὐτῷ ἐφαρμόζεται. παρ- άλληλοι δέ εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐπʼ ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν, ἀλλὰ τηροῦσιν ἐν παντὶ τὴν διάστασιν.

τῶν δὲ σχημάτων ἐπίπεδα μέν εἰσι τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς· καὶ εὐθύγραμμα μὲν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, οὐκ εὐθύγραμμα δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ εὐθυγράμ- μων σχημάτων τὰ μὲν τρισὶ περιεχόμενα πλευραῖς τρί- πλευρα καλεῖται, τὰ δὲ τέτταρσι τετράπλευρα, τὰ δὲ πλείοσι πολύγωνα. τῶν δὲ τετραπλεύρων τὰ παραλ- λήλους ἔχοντα τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἑκατέρας παραλ- ληλόγραμμα καλεῖται. τούτων δὲ ὀρθογώνια μὲν τὰ τὰς γωνίας ἔχοντα ὀρθάς· ὀρθαὶ δέ εἰσι γωνίαι, ἅστινας εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐφεστῶσα δύο ἴσας παῤ ἑκάτερα ἀποτελεῖ. τῶν δὲ ὀρθογωνίων παραλληλογράμμων ἕκαστον περιέχεσθαι λέγεται ἰδίως ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν. καὶ τῶν τοιούτων τὰ μὲν τὰς τέσσαρας πλευρὰς ἴσας ἔχοντα ἰδίως λέγεται τετράγωνα, τὰ δὲ μὴ τοιαῦτα ἑτερομήκη.

ὁμοίως δὲ καὶ τῶν στερεῶν τὰ μὲν ὑπὸ ἐπιπέδων παραλληλογράμμων πάντων ἓξ ὄντων περιεχόμενα παρ- [*](6 καὶ ante ὅλη er A. ἐφαρμόζηται A 8 μηδετρα A1) [*](20 εὐθεία ἐπʼ εὐθεῖαν (corr. ex εὐθείαν) A 26 inscr. περὶ στερεῶν A)

113

αλληλεπίπεδα καλεῖται, τὰ δὲ καὶ ὑπὸ ὀρθογωνίων τού- των ὀρθογώνια. τούτων δὲ τὰ μὲν πάντη ἰσόπλευρα, τουτέστιν ἴσον ἔχοντα τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, ὑπὸ τετραγώνων ἴσων πάντων περιεχόμενα, κύβοι· τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον ἔχοντα, τουτέστι τὰς βάσεις τετραγώνους, τὸ δὲ ὕψος ἔλαττον, πλινθίδες· τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον, τὸ δὲ ὕψος μεῖζον, δοκίδες· τὰ δὲ πάντη ἀνισόπλευρα σκαληνά.

ἀκριβέστερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων λεκτέον, ἐπειδὴ καὶ ἀναγκαιοτάτη εἰς τὰ Πλατωνικὰ ἡ τούτων θεωρία. ἀπλῶς μὲν οὖν μεσότης ἐστίν, ἐπειδὰν δύο ὅρων ὁμογενῶν ἀνίσων μεταξύ τις ὁμογενὴς ἕτερος ὅρος ληφθῇ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ πρώτου καὶ μείζονος ὅρου παρὰ τὸν ληφθέντα πρὸς τὴν ὑπερ- οχὴν το μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα, οὕτως τὸν πρῶτον ὅρον ἤτοι πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρός τινα τῶν ἄλλων ἢ ἀνά- παλιν τὸν ἐλάττονα πρός τινα τῶν ἄλλων.

ἐπὶ μέρους δὲ ἀριθμητικὴ μέν ἐστι μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχουσα, ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχομένη· οἷον γ΄ β΄ α΄ ὁ γὰρ τῶν β΄ ἀριθμὸς μονάδι ὑπερέχει τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδι ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ γ΄. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ μεσότητι πρὸς τὴν τῶν ἄκρων σύνθεσιν ὑποδιπλασίῳ εἶναι· ἥ τε γὰρ τριὰς καὶ ἡ μονὰς συντεθεῖσαι τὴν τετράδα ἐποίησαν, ἥτις δι- πλασία ἐστὶ τοῦ μέσου ἀριθμοῦ τῆς δυάδος.

[*](5 ??ν ante ἔχοντα A. 8 ἀνισόπλευρα] ἀνισαίτερα A. 11 ῆ mg. A. 12 ἀνίσων Bull.] ἴσων A. 13 τῶ . . . ω post ὅρος er. A. 16 ἑαυτὸν] τοῦτον falso cj. Bullialdus 18 inscr. τίς ἡ ἀριθμητικὴ μεσότης A 19 ὑφʼ corr. ex ἀφʼ A. 23 ὑπὸ διπλασίω A, em. apogr. καὶ post γὰρ er. A. 24 συντιθεῖσαι A, em. apogr.)

114

γεωμετρικὴ δέ ἐστι μεσότης ἡ καὶ ἀναλογία κυρίως λεγομένη ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη, οἷον πολλαπλασίῳ ἢ ἐπιμορίῳ· οἷον αʹ βʹ δ΄. τά τε γὰρ δʹ τῶν βʹ διπλάσια καὶ τὰ βʹ τοῦ ἑνὸς διπλάσια· καὶ πάλιν ἡ ὑπεροχὴ τῶν βʹ ἐστὶ τὸ ἕν 〈καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν δʹ τὰ βʹ〉, ταῦτα δὲ ὁμοίως ἐξεταζόμενά ἐστιν ἐν δι- πλασίῳ λόγῳ. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων συντιθέμενον κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ. οἷον οἱ ἄκροι ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τὸν δʹ· ἅπαξ γὰρ δʹ δʹ· καὶ πάλιν ὁ βʹ ἐφʼ ἑαυτὸν λαμβανόμενος ποιεῖ τὸν δʹ δὶς γὰρ βʹ δ΄ ὥστε 〈τὸ〉 ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου· αʹ βʹ δʹ.

ἁρμονικὴ δέ ἐστιν ἀναλογία, ἐπειδὰν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὅν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν τρίτον, τὸν αὐτὸν ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευ- τέρον ὑπεροχὴν ἔχῃ· οἷον ϛʹ γʹ βʹ· ἡ γὰρ ἑξὰς πρὸς τὴν δυάδα τριπλασία ἐστί· καὶ ἡ ὑπεροχὴ δὲ τῆς ἑξάδος πρὸς τὰ γʹ τριὰς οὖσα τριπλασία ἐστὶ τῆς μονάδος, ἥτις ὑπεροχή ἐστι τῆς τριάδος συγκρινομένης πρὸς τὰ βʹ. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ, τὸν μέσον ὅρον τῷ αὐτῷ μέρει κατὰ τοὺς ἄκρους ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι· οἷον βʹ γʹ ϛʹ. καὶ γὰρ ὁ τῶν ϛʹ τῷ ἡμίσει αὑτοῦ ὑπερέχει τῆς τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος. καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντε- θέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολλαπλασιασθέντας διπλασίους ἂν εὕροιμεν τοῦ ἐκ τῶν ἄκρων ἀποτελου- [*](1 inscr. γεωμετρικὴ μεσότης A 3 ἐπιμερίῳ A. 14 inser. τίς ἡ ἁρμονικὴ μεσότης A 17 ἔχει A 20 συγκρινομένη A. 23. 24 ἥμισυ A 24 τὴν τριάδα A.)

115

μένου πολλαπλασίου. οἷον ςʹ καὶ βʹ ηʹ· ταῦτα δὲ ὑπὸ τῆς τριάδος, ὅς ἐστι μέσος, πολλαπλασιασθέντα γί- νεται κδʹ· καὶ πάλιν δὶς ςʹ ιβʹ· τούτων δὲ τὰ κδʹ διπλάσια.

ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ καλεῖται μεσότης, ὅταν ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώ- του ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου· οἷον ςʹ εʹ γʹ· τὰ μὲν οὖν ςʹ τῶν εʹ μονάδι ὑπερέχει, τὰ δὲ εʹ τῶν γʹ δυσί· τὰ δὲ γʹ τῶν ςʹ ὑποδιπλάσιά ἐστιν· ἀλλὰ καὶ ἡ μονὰς ὑπεροχὴ οὖσα τοῦ [τε] πρώτου ἀριθμοῦ ὑποδιπλασία ἐστὶ τῆς δυάδος ὑπεροχῆς οὔσης τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ.

ἡ δὲ πέμπτη μεσότης ἐστίν, ὅταν τριῶν ὅρων ὄντων ὅν ἂν ἔχῃ λόγον ὁ τρίτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ἔχῃ τὸν λόγον ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου ὑπεροχήν· οἷον εʹ δʹ βʹ τὰ μὲν εʹ τῶν δʹ μονάδι ὑπερέχει, ἀλλὰ καὶ τὰ δʹ τῶν βʹ δυάδι· ὑπο- διπλάσια δὲ τὰ βʹ τῶν δʹ· καὶ τὸ ἕν δὲ τῶν βʹ ὑπο- διπλάσιον, ἅπερ ὑπεροχαί εἰσι τοῦ τε πρώτου καὶ τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ.

ἕκτη λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὡς ὁ δεύτερος πρὸς τὸν πρῶτον ἔχει, οὕτως ἡ τοῦ πρώ- του ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου· οἷον ςʹ δʹ αʹ τὰ μὲν γὰρ ϛʹ τῶν δʹ δυσὶν ὑπερέχει, τὰ δὲ δʹ τοῦ αʹ τρισίν· ἔστι δὲ δʹ τῶν ςʹ ὑφημιόλια· καὶ ἡ δυὰς ὑπεροχὴ [*](2 γίνονται A. 5 inscr. τίς ἡ ὑ πεναντία τῇ ἁρμο- νικῇ A. de sequentibus cf. Procl. in Plat. Tim. p. 144 F. ldeler Abh. d. Beri. Akad. 1828 p. 206 6 ὁ add. A ut vid. 11 δυάδος] β A. 12 inscr. τίς ἡ πέμπτη μεσότης A 13 ἔχει A, em. apogr. 14 ἔχει A, em. apogr. 16 [ἀλλὰ]?) [*](18 ὑπεροχαί ὑπερ add. A 20 inscr. τίς ἡ ἕκτη με- σότης A ἕκτη 〈δὲ〉)

116

οὖσα τῶν ςʹ ὑφημιολία ἐστὶ τῆς τριάδος ἥτις ἐστὶν ὑπεροχὴ τῆς τετράδος.

περὶ μὲν τούτων καὶ τῶν ταύταις ὑπεναντίων ἓξ μεσοτήτων ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν καὶ ἐπὶ πλέον εἴρηται· ἡμῖν δʼ ἐξαρκεῖ κατὰ τὸν Πυθαγορικὸν λόγον συνόψεως ἕνεκα τῶν μαθηματικῶν τυπωδῶς αὐτὰ ἠθροικέναι καὶ ἐπιτομικῶς.

εὑρίσκονται δὲ αἱ μεσότητες κατὰ μὲν τὴν ἀριθμη- τικὴν 〈ἀναλογίαν〉 οὕτως. τῆς ὑπεροχῆς τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα τὸ ἥμισυ προστιθέντες τῷ ἐλάττονι ἕξομεν τὸν μέσον, ἢ ἑκατέρου τῶν δοθέντων ἀριθμῶν τὰ ἡμίσεα συνθέντες τὸν συντεθέντα μέσον εὑρήκαμεν, ἢ τοῦ συνθέτου ἐξ ἀμφοῖν λαμβάνοντες τὸ ἥμισυ [ὥστε καὶ εἰς τὰ Πλατωνικὰ τὸ χρήσιμον ἀνευρεῖν]. προστε- τάχθω δύο ἀριθμῶν τῶν ιβʹ καὶ Ϛʹ μέσον ὅρον λαβεῖν κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα. λαμβάνομεν τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μείζονος παρὰ τὸν ἐλάττονα ςʹ· ὧν ἥμισυ γʹ. ταῦτα προσθῶμεν τῷ ἐλάττονι· γίνεται θʹ, ὅς ἐστι μέσος τῶν ιβʹ καὶ ϛʹ, ἀριθμητικῶς τρισὶν ὑπερέχων καὶ ὑπερεχόμενος· ιβʹ θʹ Ϛʹ. πάλιν συνθῶμεν τοὺς ἐξ ἀρχῆς ἄκρους τὰ ιβʹ καὶ τὰ ϛʹ· γίνεται ιηʹ. ὧν ἥμισυ θʹ, ὅς ἐστι μέσος.

κατὰ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν ἐπὶ μὲν ἀριθ- μῶν τοῦ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχομένου πλευρὰν τετρά- γωνον λαβόντες ταύτῃ ἕξομεν τὸν μέσον ὅρον. οἷον δεδόσθωσαν δύο ἀριθμοὶ ὅ τε κδʹ καὶ ὁ Ϛʹ. προστε- [*](2 τετράδος Bull. ] δ A 6 τυποδῶς A, em. apogr) [*](8 inscr. πῶς εὑρίσκονται αἱ με σότητες A 12 ἥμισυ A 13 τοὺς συνθέτους A. ὥστε καὶ κτλ.: haec adscripta fuisse videntur ad vs. 7 17 Ϛʹ] ἐξ A 19 ϛʹ Bull.] ra- sura trium fere litt. A 20 ϛ ante ὑπερεχόμενος er. A.)

117

τάχθω τούτων κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν τὸν μέσον ὅρον ἀνευρεῖν. πεπολλαπλασιάσθωσαν οἱ τε- θέντες ἐπʼ ἀλλήλους· γίνεται ρμδʹ· τούτων εἰλήφθω πλευρὰ τετράγωνος· ἔσται ὁ ιβʹ, ὅς γίνεται μέσος· ἔστι γὰρ ὡς ὁ κδʹ πρὸς ιβʹ, οὕτως τλιβʹ πρὸς ϛʹ ἐν διπλασίῳ λόγῳ. ἀλλʼ ἂν μὲν ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων περιεχόμενος ᾖ τετράγωνος, ὁ ληφθεὶς οὕτως μέσος ὅρος ῥητὸς γίνεται καὶ μήκει σύμμετρος τοῖς ἄκροις ἐξ ὅλων μονάδων εὑρισκόμενος. ἐὰν δὲ μὴ τετράγωνος ὁ περιεχόμενος ὑπὸ τῶν ἄκρων, ὁ μέσος ὅρος δυνάμει μόνον ἔσται σύμμετρος τοῖς ἄκροις.

λαμβάνεται δὲ κοινότερον ἔν τε ἀριθμοῖς [καὶ] ῥητοῖς καὶ ἐν λόγοις καὶ μεγέθεσι [καὶ] συμμέτροις γεω- μετρικῶς οὕτως. ἔστωσαν δύο ὅροι ὧν δεῖ μέσον ἀνά- λογον λαβεῖν γεωμετρικῶς· οἷον αβ βγ καὶ ἐκκείσθωσαν ἐπʼ εὐθείας· καὶ περὶ ὅλην τὴν αγ γεγράφθω ἡμικύκλιον· καὶ ἀπὸ τοῦ β ἀνήχθω τῇ αγ πρὸς ὀρθὰς μέχρι τῆς περιφερείας ἡ βδ· αὕτη δὴ γίνεται μέση τῶν αβ βγ κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν. ἐπιζευχθεισῶν γὰρ τῶν αδ δγ ὀρθὴ γίνεται ἡ δ γωνία, ἐπεί ἐστιν ἐν ἡμι- κυκλίῳ· καὶ 〈ἐν〉 ὀρθογωνίῳ τῷ αδγ κάθετος ἡ δβ· καὶ τὰ περὶ ταύτην τρίγωνα τῷ τε ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις ὅμοιά ἐστιν· ὥστε αἱ περὶ τὰς ἴσας αὐτῶν γωνίας πλευραὶ [*](1 A vel manus posterior haec adscripsit: α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α) [*](4 τετραγώνου A2 6 post μὲν decem fere litt. er. A 9 ἠ corr. ex εἶ A. 14 ὧν δεῖ A2] ὅν δὴ A 17 ἀνήχθω apogr.]...χθω A)

118

ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ αβ πρὸς τὴν βδ, ἡ δβ πρὸς βγ· τῶν ἄρα αβ βγ μέση ἀνάλογόν ἐστιν ἡ βδ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.