Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γραφῇ· δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα a τμήματα τῶν κύκλων.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΒΔ· λέγω, ὅτι ὁ ΑΓΒΔ κύκλος δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων, τοῦτ’ ἔστιν, ὅτι ἡ μὲν ΖΑ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΑΕ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΒΕ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ, καὶ ἡ ΖΔ τῇ ΔΕ.

Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΓΒΔ κύκλου καὶ τοῦ ΖΑΕΒ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΑΓΒΔ καὶ τοῦ ΖΓΕΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ ΖΗ, ΗΕ.

Καὶ ἐπεὶ τὰ Ζ, Η, Ε σημεῖα ἐν τῷ τοῦ ΑΕΒΖ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστὶν, b ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ τοῦ ΖΔΕΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· τὰ Ζ, Η, Ε ἄρα σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐστι c τῶν δύο ἐπιπέδων.

Πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν, ἐπ’ ευθεῖαν ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΓΒΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ τὸν ΖΑΕΒ διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν τεμεῖ καὶ πρὸς ὀρθάς· ἡ ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΖΑΕΒ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΔ διάμετρός ἐστι τοῦ ΖΔΕΓ κύκλου. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΓΒΔ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς ἑκάτερον τῶν ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ κύκλων, καὶ ἑκάτερος ἄρα τῶν ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΒΔ κύκλον. Ἐὰν δὲ δύο ἐπίπεδα ἐπιπέδῳ τινὶ πρὸς ὀρθὰς ᾖ, καὶ ἡ κοινὴ αὐτῶν τομὴ πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῷ ἐπιπέδῳ· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα τομὴ τῶν ΖΑΕΒ, ΖΔΕΓ τῷ ΑΓΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. Κοινὴ δὲ αὐτῶν τομή ἐστιν ἡ ΖΗΕ, καὶ ἡ ΖΗΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΑΓΒΔ κύκλον, ὥστε καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἅπτεται δὲ τῆς ΖΗΕ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΓΔ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΓΒΔ κύκλου ἐπιπέδῳ· ἡ ΖΗΕ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΓΔ καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ ὀρθή ἐστι πρὸς τὴν ΖΗΕ. Ἐπεὶ οὖν ἐν κύκλῳ τῷ ΖΑΕΒ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΑΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν τὴν ΖΗΕ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ δίχα αὐτὴν τέμεῖ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. Κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΑ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ΑΕ περιφερείᾳ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΖΒ τῇ ΒΕ ἴση ἐστὶν, ἡ δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ, καὶ ἔπι ἡ ΖΔ τῇ ΔΕ· ὁ ΑΓΒΔ ἄρα κύκλος δίχα τέμνει τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων.