Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων, ὁ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γραφόμενος καὶ διὰ τῆς συναφῆς αὐτῶν ἐλεύσεται.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ c ΑΒΓ, ΓΔΕ ἐφαπτέσθωσαν ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου πόλος τὸ Κ σημεῖον, τοῦ δὲ ΓΔΕ κύκλου πόλος τὸ Ζ· λέγω, ὅτι ὁ διὰ τῶν Ζ, Κ πόλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος διὰ τοῦ Γ σημείου ἥξει.

Μὴ γὰρ, ἀλλ’, εἰ δυνατὸν, ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὡς ὁ ΖΒΚ. d Καὶ πόλῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΒ, κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΗΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ ΓΔΕ κύκλος τῷ ΒΗΘ κύκλῳ, περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΒΗΘ περιφέρειαν μεγίστου τινὸς κύκλου τὴν ΖΒΚ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Β τέμνουσι, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ ΑΒΓ, ΒΗΘ κύκλοι· ἀλλὰ καὶ τέμνουσιν, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ὁ διὰ τῶν Ζ, Κ πόλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος οὐχ ἥξει καὶ διὰ τοῦ Γ σημείου· ὁ ἄρα διὰ τῶν πόλων τῶν ΑΒΓ, ΓΔΕ e κύκλων μέγιστος κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῆς συναφῆς τῶν κύκλων.