Sphaerica

Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων ἐπὶ τὰς ἐπαφὰς καθήκουσαι περιφέρειαι ἴσαι ὦσιν, ὁμοίως ἔσονται κεκλιμένοι οἱ προειρημένοι μέγιστοι κύκλοι.

Ἔστωσαν γὰρ αἱ ἀπὸ τῶν συνδέσμων, τοῦτ’ ἔστι, τῶν Μ, Ρ σημείων, ἐπὶ τὰ Π, Ν καθήκουσαι περιφέρειαι αἱ Μ, ΠΡ ἴσαι· λέγω, ὅτι οἱ ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.

Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων τῶν ΑΔ, ΕΖΗΘ, καὶ ἔστω τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τῶν Α, Λ σημείων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΑΛΖΥ· φανερὸν δὴ, ὅτι καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου, πόλου ὄντος τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ἐλεύσεται· καὶ διὰ τοῦ Λ, καὶ δι’ ἑκατέρου τῶν Ν, Π μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΝΒ, ΛΠΓ.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι ἐφάπτονται ἀλλήλων, οἱ ΕΖΗΘ, ΜΝΞ, διὰ δὲ τῶν τοῦ ἑνὸς πόλων καὶ τῆς ἁφῆς μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΝΒ· ὁ ΛΝΒ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν τοῦ ΜΝΞ πόλων, καὶ ἔσται ὀρθὸς πρὸς αὐτόν. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ὁ ΛΠΓ διὰ τῶν τοῦ ΟΠΡ πόλων ἐστὶ, καὶ ὀρθός ἐστι πρὸς αὐτόν. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις κύκλοις τοῖς ΜΝΞ, ΟΠΡ, ἐπὶ διαμέτρων ἀπὸ τῶν Ν, Π σημείων, ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφέσταται, τὰ ΝΛ, ΠΛ, καὶ τὰ τούτοις συνεχῆ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΝΛ, ΠΛ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων, ἀπὸ δὲ τῶν ἐξ ἀρχῆς κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΜΝ, ΠΡ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ρ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ· ὁ ἄρα πόλῳ

μὲν τῷ Λ, διαστήματι δὲ τῷ ΛΜ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Ρ. Ἐρχέσθω, καὶ ἔστω ὁ ΜΞΟΡΡ· καί ἐστι a τοῖς ΑΔ, ΕΖΗΘ κύκλοις παράλληλος, περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους ἐστὶν αὐτοῖς. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΜΞΟΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΘΑΛΚΖΥ, ὁ ἄρα ΘΑΛΚΖΥ τέμνει δίχα τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΥ περιφέρεια τῇ ΥΡ περιφερείᾳ. Πάλιν, ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΜΝΞ, ΜΞΥΟΡ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΑΝΒ, ὁ ἄρα ΛΝΒ δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΜΝ περιφέρεια τῇ ΝΞ περιφερείᾳ, ἡ δὲ ΜΣ τῇ ΣΞ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ μὲν ΟΠ τῇ ΠΡ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΟΤ τῇ ΤΡ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ περιφέρεια τῇ ΠΡ περιφερείᾳ, καί ἐστι τῆς μὲν ΜΝ διπλῇ ἡ ΜΝΞ, τῆς δὲ ΠΡ διπλῆ ἡ ΟΠΡ· καὶ ἡ ΜΝΞ ἄρα τῇ ΟΠΡ ἐστιν ἴση· καί εἰσιν ἴσοι οἱ κύκλοι, ἡ ἄρα τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν τὴν ΜΝΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΜΣΞ, ἡ δὲ τὴν ΟΠΡ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ὑποτείνει καὶ τὴν ΟΤΡ· καὶ ἡ ἄρα τὴν ΜΣΞ περιφέρειαν ὑποτείνουσα εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ τὴν ΟΤΡ περιφέρειαν ὑποτεινούσῃ εὐθείᾳ· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΣΞ περιφέρεια τῇ ΟΤΡ περιφερείᾳ. Καί ἐστι τῆς μὲν ΜΣΞ περιφερείας ἡμίσεια ἡ ΜΣ, τῆς δὲ ΟΤΡ ἡμίσεια ἡ ΡΤ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΣ τῇ ΡΤ· ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΜΣΞΥ ὅλῃ τῇ ΥΟΤΡ ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΣΞΥ λοιπῇ τῇ ΥΟΤ ἐστιν ἴση· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου, ὁμοία ἄρα ἐστὶν ἡ ΥΞΣ περιφέρεια τῇ ΥΟΤ περιφερείᾳ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΞΥ περιφέρεια τῇ ΝΖ περιφερείᾳ ἐστν ὁμοία, ἡ δὲ ΥΟΤ τῇ ΖΠ, καὶ ἡ ΝΖ ἄρα τῇ ΖΠ περιφερείᾳ ἐστὶν ὁμοία· καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΖ περιφέρεια τῇ ΖΠ περιφερείᾳ. Οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ὁποτερασοῦν τῶν διχοτομιῶν, ὁμοίως ἄρα εἰσὶ κεκλιμένοι. Οἱ ἄρα ΜΝΞ, ΟΠΡ κύκλοι πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ὁμοίως εἰσὶ κεκλιμένοι.