Sphaerica

Οἱ ἴσας ἀφαιροῦντες ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι μεγίστου τινὸς κύκλου περιφερείας, πρὸς τὸν μέγιστον

τῶν παραλλήλων, ἴσοι εἰσὶν, οἱ δὲ μείζονας a, ἐλάσσονες.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ μεγίστου τινὸς κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ περιφέρειαν τὴν ΒΖ, ἴσην τῇ ΓΖ περιφερείᾳ, ἀφαιρείσθωσαν πρὸς τὸν μέγιστον τῶν παραλλήλων τὸν ΕΖ· λέγω, ὅτι ἴσος ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΓΔ κύκλῳ.

Ἔστω γὰρ τοῦ μὲν ΑΒ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΑΒ, τοῦ δὲ ΕΖ κύκλου καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κοινὴ τομὴ ἡ ΕΖ, τοῦ δὲ ΓΔ καὶ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου κοινὴ τομὴ ἡ ΓΔ.

Καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΕΘΖ, ΓΚΔ ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνεται τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου, αἱ κοιναὶ ἄρα αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί είσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΕΖ παράλληλός ἐστι. Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο παράλληλοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΖ, ΓΔ ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ περιφέρεια τῇ ΓΖ περιφερείᾳ. Ἐὰν γὰρ ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΓ, ἔσονται αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι· ἐν δὲ τοῖς ἴσοις κύκλοις αἱ ἴσαι γωνίαι ἴσας περιφερείας ἀφαιροῦσιν· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ περιφέρεια τῇ ΖΓ περιφερείᾳ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΒΖ τῇ ΑΕ ἴση ἐστίν· ἀλλ’ ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ ἴση ἐστὶ, καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΕΔ ἐστὶν ἴση, καὶ συναμφότεραι ἄρα αἱ ΑΕ, ΒΖ συναμφοτέραις ταῖς ΕΔ, ΖΓ ἴσαι εἰσίν. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΕΑΛΒΖ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΖΓΜΔΕ περιφερείᾳ ἐστὶν ἴση, μέγιστοι γάρ εἰσι κύκλοι οἱ ΕΘΖ, ΑΒΓΔ, ὧν συναμφότεραι αἱ ΕΑ, ΖΒ συναμφοτέραις ταῖς ΕΔ, ΖΓ ἴσαι εἰσίν· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΛΒ λοιπῇ τῇ ΔΜΓ ἐστὶν ἴση, καί εἰσι τοῦ αὐτοῦ κύκλου· ἴση ἅρα ἐστὶν ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ ΓΔ εὐθείᾳ.

Ἤτοι δὴ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ, ΔΚΓ κύκλους διὰ τῶν πόλων τέμνει, ἢ οὔ.

Τεμνέτω πρότερον διὰ τῶν πόλων, καὶ δίχα ἄρα αὐτοὺς τεμεῖ· ἡ μὲν ΑΒ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΗΒ κύκλου, ἡ δὲ ΔΓ τοῦ ΔΚΓ κύκλου, καί ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ ἴση· ἴσος ἄρα ἐστὶ καὶ ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΓΚΔ κύκλῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν μὴ τεμνέτω ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τοὺς ΑΗΒ, ΓΚΔ κύκλους διὰ τῶν πόλων· καὶ εἰλήφθω ὁ πόλος τῶν παραλλήλων, καὶ ἔστω τὸ Ν σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Ν σημείου καὶ ἑνὸς τῶν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου πόλων μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΘΚΜΞ, καὶ τῇ ΛΝ περιφερείᾳ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΜΞ. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΛΝ περιφέρεια

τῇ ΜΞ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΝΚΜ περιφέρεια· ὅλη ἄρα ἡ ΛΗΜ περιφέρεια ὅλῃ τῇ ΝΚΜΞ περιφερείᾳ ἴση ἐστὶν. Ἡμικυκλίου δὲ ἡ ΛΚΜ, ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΝΗΜΞ· κατὰ διάμετρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον τῷ Ξ σημείῳ· καί ἐστι τὸ Ν ὁ πόλος τῶν παραλλήλων κύκλων· καὶ τὸ Ξ ἄρα σημεῖον ὁ ἕτερος πόλος ἐστὶ τῶν παραλλήλων κύκλων. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒΓΔ, ΔΚΓ τέμνουσιν ἀλλήλους, διὰ δὲ τῶν πόλων αὐτῶν μέγιστος κύκλος γέγραπται ὁ ΛΘΚΞ· ὁ ΛΘΚΞ ἄρα δίχα τεμεῖ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα τῶν κύκλων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜ περιφέρεια τῇ ΜΔ περιφερείᾳ, διπλῇ ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΜΔ a περιφέρεια τῆς ΜΓ περιφερείας. Ὁμοίως δῆ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΛΒ περιφέρεια τῆς ΑΛ περιφερείας διπλῆ ἐστι· καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΜΓ περιφέρεια τῇ ΑΛΒ περιφερείᾳ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΔ περιφέρεια τῇ ΑΛ περιφερείᾳ. Κύκλου δή τινος τοῦ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου, τῆς ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Μ, τμήματα κύκλου ὀρθὰ καὶ ἴσα ἐφέσταται τὸ ΛΘΚΜ, καὶ τὸ ΜΞ καὶ τὸ τούτῳ συνεχές· καὶ ἀπὸ τούτων ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΛΝ, ΜΞ, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι b οὖσαι τῶν ὅλων, ἀπὸ δὲ τοῦ ἐξ ἀρχῆς κύκλου ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΑΛ, ΜΓ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἴση ἐστὶ τῇ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένῃ εὐθείᾳ. Καὶ ἡ μὲν ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Ξ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΓΚΔ κύκλου· ἡ ἄρα ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΑΗΒ κύκλου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τοῦ ΔΚΓ κύκλου. Ὡν δὲ κύκλων αἱ ἐκ τῶν πόλων ἴσαι εἰσὶν, ἴσοι εἰσὶν οἱ κύκλοι· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΗΒ κύκλος τῷ ΔΚΓ κύκλῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἔστω μείζων ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΒΖ περιφερείας· λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΔΚΓ κύκλος τοῦ ΑΗΒ κύκλου.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΓΖ περιφέρεια τῆς ΖΒ περιφερείας, ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΓΖ τῇ ΖΒ ἴση ἡ ΖΟ, καὶ διὰ τοῦ (ϲ) Ο τῷ ΕΘΖ κύκλῳ παράλληλος γεγράφθω ὁ ΟΡΠ· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ΠΡΟ κύκλος τῷ ΑΗΒ κύκλῳ, ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΟΖ περιφέρεια τῇ ΖΒ περιφερείᾳ. Ὁ δὲ ΠΡΟ κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΚΓ κύκλου, ἔγγιον γὰρ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΠΡΟ κύκλος, ἤπερ ὁ ΔΚΓ

κύκλος· καὶ ὁ ΑΗΒ ἄρα κύκλος μείζων ἐστὶ τοῦ ΔΚΓ κύκλου, ὥστε ὁ ΔΚΓ κύκλος ἐλάσσων ἐστὶ τοῦ ΑΗΒ κύκλου.