Sphaerica

Κύκλου δοθέντος ἐν σφαίρᾳ ἐλάττονος τοῦ μεγίστου, καὶ σημείου τινὸς ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ, γράψαι διὰ τοῦ σημείου μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ δοθέντος.

Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ἐν σφαίρᾳ ὁ ΑΒ, ἐλάσσων ὤν τοῦ μεγίστου, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ ἔστω τὸ Β· δεῖ δὴ διὰ τοῦ Β σημείου γράψαι μέγιστον κύκλον ἐφαπτόμενον τοῦ ΑΒ κύκλου. Εἰλήφθω γὰρ ὁ πόλος τοῦ ΑΒ κύκλου, καὶ ἔστω τὸ Γ· b καὶ διὰ τῶν Γ, Β σημείων μεγίστου κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΓΒΔ, καὶ τῇ, ὑφ’ ἥν ὑποτείνει ἡ τοῦ τετραγώνου πλευρὰ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου, ἴση ἀπειλήφθω ἡ ΔΒ. Οὐ γὰρ δυνατὸν, τὴν ΒΓ εἶναι τεταρτημόριον, ἔσται γὰρ μέγιστος ὁ ΑΒ, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται· οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ τεταρτημόριον· c καὶ πόλῳ μὲν τῷ Δ, διαστήματι δὲ τῷ ΔΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΒΖ, μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΕΒΖ, ἡ γὰρ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου. Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ δύο κύκλοι οἱ ΑΒ, ΕΒΖ, μεγίστου τινὸς κύκλου περιφέρειαν τὴν d ΒΓΔ κατὰ τὸ αὐτὸ σημεῖον τὸ Β τέμνουσι, τοὺς πόλους ἔχοντες ἐπ’ αὐτοῦ, ἐφάψονται ἀλλήλων οἱ κύκλοι· ἐφάψεται ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΒΖ κύκλου. Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ Β γέγραπται μέγιστος κύκλος ὁ ΕΒΖ ἐφαπτόμενος τοῦ ΑΒ κύκλου κατὰ τὸ Β σημεῖον.