Sphaerica

Ἐὰν ἐν ἴσοις κύκλοις ἐπὶ διαμέτρων ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐπισταθῇ, ἀπὸ δὲ αὐτῶν ἴσαι περιφέρειαι ἀποληφθῶσι πρὸς τοῖς πέρασιν, ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τμημάτων· ἀπὸ δὲ τῶν κύκλων ἴσαι περιφέρειαι ἀ ποληφθῶσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς πέρασι τῶν διαμέτρων· αἱ ἐπὶ τὰ γινόμενα σημεῖα ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις.

Ἐν γὰρ ἴσοις κύκλοις τοῖς ΑΒΓ, ΔΕΖ ἐπὶ διαμέτρων τῶν ΑΓ, ΔΖ ἴσα καὶ ὀρθὰ τμήματα κύκλων ἐφεστάτω τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἴσαι ἀπειλήφθωσαν περιφέρειαι πρὸς b τοῖς πέρασι τῶν τμημάτων αἱ ΑΗ, ΔΘ ἐλάττους ἢ ἡμίσειαι οὖσαι τῶν ὅλων τμημάτων, ἀπὸ δὲ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι περιφέρειαι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πρὸς τοῖς c πέρασι τῶν διαμέτρων αἱ ΑΒ, ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΒ, ΘΕ· λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΗΒ τῇ ΘΕ.

Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Η, Θ σημείων ἐπὶ τὰ τῶν ΑΒΓ, ΔΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΚ, ΘΛ, πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς, τοῦτ’ ἔστιν, ἐπὶ τὰς ΑΓ, ΔΖ, καὶ εἰλήφθωσαν τὰ κέντρα τῶν κύκλων, καὶ ἔστω τὰ Μ, Ν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΒ, ΒΜ, ΛΕ, ΕΝ.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔΕ περιφερείᾳ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΜΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΝΕ γωνίᾳ. Καὶ ἐπεὶ δύο τμήματα κύκλων ἴσα ἐστὶ τὰ ΑΗΓ, ΔΘΖ, καὶ ἀπειλημμέναι εἰσὶν ἴσαι περιφέρειαι αἱ ΑΗ, ΔΘ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΚΗ, ΘΔ· ἴση ἄρα ἐστιν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΔΛ, ἡ δὲ ΗΚ τῇ ΘΛ. Ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΜ τῇ ΔΝ ἐστιν ἴση, ὧν ἡ ΑΚ τῇ ΔΛ ἐστὶν ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΜ λοιπῇ τῇ ΑΝ ἴση ἐστίν· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΜ τῇ ΝΕ ἴση, δύο δὴ αἱ ΚΜ, ΜΒ δυσὶ ταῖς ΑΝ, ΝΕ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΜΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΝΕ ἐστιν ἴση· βάσις ἄρα ἡ ΚΒ βάσει τῇ ΑΕ ἐστιυ ἴση. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. Ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΚΒ, οὖσα ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐπιπέδῳ· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΒ γωνία. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΘΛΕ γωνία ὀρθή ἐστιν. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΗΚ τῇ ΘΑ, ἡ δὲ ΚΒ τῇ ΛΕ, δύο δὴ αἱ ΗΚ, ΚΒ δυσὶ ταῖς ΘΛ, ΛΕ ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ ὀρθὰς περιέχουσι γωνίας· βάσις ἄρα ἡ ΗΒ βάσει τῇ ΘΕ ἐστιν ἴση.