Sphaerica

Τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι· τῶν δ’ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἑκατέρωθεν τοῦ κέντρου ἴσοι εἰσὶν, οἱ δὲ μεῖζον ἐλάσσονες.

Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, καὶ ὁ μὲν ΓΔ ἔστω διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, οἱ δὲ ΑΒ, ΕΖ πρότερον ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου· λέγω, ὅτι μέγιστος μέν ἐστιν ὁ ΓΔ, ἴσοι δέ εἰσιν οἱ ΑΒ, ΕΖ.

Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας τὸ Η σημεῖον, τὸ αὐτὸ ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ΓΔ κύκλου· καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η σημείου ἐπὶ τῶν ΑΒ, ΕΖ κύκλων ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΘ, ΗΚ, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Θ , Κ σημεῖα· τὰ Θ, Κ ἄρα σημεῖα κέντρα ἐστὶ τῶν ΑΒ, ΕΖ κύκλων. Ἐκβεβλήθωσαν ἀπὸ τῶν Θ, Η, Κ ἐπὶ τοὺς κύκλους εὐθεῖαι αἱ ΘΛ, ΗΜ, ΚΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΛ, ΗΝ.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΘ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ a ΑΒ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς, καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ ΑΒ κύκλου ἐπιπέδῳ, ὀρθὰς γωνίας ποιεῖ. Ἄπτεται δὲ αὐτῆς ἡ ΘΛ, οὖσα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ, ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ γωνία. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΝ ὀρθή ἐστι. Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὐπὸ ΗΟΛ, ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΛΗΘ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΘΗ τῆς ὑπὸ ΛΗΘ, πλευρὰ ἄρα ἡ ΛΗ πλευρᾶς τῆς ΛΘ ἐστὶ μείζων. Καί ἐστιν ἡ ΛΗ τῇ ΗΜ ἴση, διὰ τὸ,

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι εἰσὶν ἴσοι. Ἐπεὶ γὰρ οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κένπρου τῆς σφαίρας, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΗΚ· καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΗ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ· ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΛΗ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ ἄρα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΛ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΝ ἴσον ἐστὶν, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ δὲ ΚΝ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου, ἴσος ἄρα ὁ ΑΒ κύκλος τῷ ΕΖ κύκλῳ.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν μεῖζον ἀπεχέτω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἤπερ ὁ ΕΖ· λέγω, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἐπεὶ μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος, ἤπερ ὁ ΕΖ, μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ τῆς ΗΚ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, τὸ γὰρ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας, καὶ τὰ Λ, Ν πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ· ἴσον ἄρα ἐστὶ a τὸ ἀπὸ τῆς ΗΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΝ, τοῦτ’ ἔστι, τὰ ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΗ μεῖζόν ἐστι· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ λοιποῦ τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ ἔλασσόν ἐστιν, ἐλάττων ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΘ τῆς ΝΚ. Καί ἐστιν ἡ μὲν ΘΛ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ δὲ ΝΚ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖ κύκλου· Καὶ ὁ ΑΒ ἄρα κύκλος ἐλάττων ἐστὶ τοῦ ΕΖ κύκλου.

Τῶν ἄρα ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας μέγιστοί εἰσι, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσον ἀπέχοντες ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσοι εἰσὶν, οἱ δὲ μεῖζον ἐλάσσονες.

Δείξομεν δ’ ἀντιστρόφως, ὅτι τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ κύκλων οἱ μὲν μέγιστοι διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶ τῆς σφαίρας, τῶν δὲ ἄλλων οἱ μὲν ἴσοι ἴσον ἑκατέρωθεν ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου, οἱ δὲ ἐλάσσονες μεῖζον.

Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων ἔστω ὁ ΓΔ κύκλος μέγιστος· λέγω, ὅτι ἔσται διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Εἰ γὰρ δυνατὸν, ἔστω μὴ διὰ τοῦ κέντρου. Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη, ὅτι ὁ διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἐστὶ πάντων τῶν μὴ διὰ τοῦ κέντρου κύκλων, ὁ ἄρα διὰ τοῦ κέντρου μείζων ἔσται τοῦ ΓΔ· ὁ ἅρα ΓΔ κύκλος οὐκ ἔσται μέγιστος, ὅπερ ἄτοπον, ὑπόκειται γὰρ μέγιστος· ὁ ἄρα ΓΔ κύκλος μέγιστος διὰ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῆς σφαίρας.

Πάλιν ἔστωσαν οἱ ΑΒ, ΕΖ κύκλοι ἴσοι· λέγω, ὅτι ἴσον ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.

Ἐπεὶ γὰρ ἴσοι εἰσὶν, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΚΝ ἴση δὲ καὶ ἡ ΗΛ τῇ ΗΝ, καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΛ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΟΗ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΗΚ, ΚΝ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΝΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΗΘ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶν, ἡ ἄρα ΘΗ τῇ ΗΚ ἴση ἐστίν. Ἴσον ἄρα ἀπέχουσι τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας οἱ ἴσοι κύκλοι.

Ἀλλὰ δὴ πάλιν ἐλάσσων ἔστω ὁ ΑΒ κύκλος τοῦ ΕΖ κύκλου· λέγω, ὅτι μεῖζον ἀπέχει ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ὁ ΑΒ κύκλος ἤπερ ὁ ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ἐστὶν ὁ ΑΒ τοῦ ΖΕ, ἡ ἄρα ΘΛ τῆς ΚΝ ἐστιν ἐλάσσων· καί ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΑ τοῖς ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ ἴσον ἐστὶ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΝ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΛΘ, ΘΗ τοῖς ἀπὸ τῶν ΝΚ, ΚΗ ἴσα ἐστὶν, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΛΘ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΚ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΘΗ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΚ μεῖζον· ἡ ἄρα ΘΗ τῆς ΗΚ μείζων ἐστίν. Οἱ ἄρα ἐλάσσονες κύκλοι μεῖζον ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας.