Sphaerica

Ἐὰν ᾖ ἐν σφαίρᾳ κύκλος, ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἴση ᾖ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγρα φομένου· καὶ αὐτὸς μέγιστος ἔσται.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, πόλος δὲ αὐτοῦ τὸ Δ σημεῖον, ἡ δὲ ἐκ τοῦ πόλου αὐτοῦ ἡ ΔΓ ἴση ἔστω τῇ τοῦ τετραγώνου b πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· λέγω, ὅτι ὁ ΑΒΓ μέγιστός ἐστιν.

Ἐκβεβλήσθω διὰ τῆς ΔΓ καὶ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπίπεδον, τομὴν δή τινα ποιήσει μέγιστον κύκλον ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας· ποιείτω τὸν ΒΔΓΕ, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὴ τομὴ ἡ ΒΓ, καὶ ἐπζεύχθω ἡ ΔΒ.

Ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΔΒ, καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΔΓ, ΔΒ ἴση ἐστὶ τῇ τοῦ τετραγώνου πλευρᾷ, τοῦ εἰς τὸν μέγιστον κύκλον ἐγγραφομένου· ἡμικυκλίου ἄρα ἐστὶ περιφέρεια ἡ ΒΔΓ, διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τοῦ ΒΔΓΕ κύκλου. Καὶ ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον πόλος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου, ὁ ΔΒΕΓ ἄρα κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει. Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ ὁ ΔΒΕΓ κύκλος τὸν ΑΒΓ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει, δίχα τε αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει· καὶ αὐτῶν κοινὴ τομή ἐστιν ἡ ΒΓ, ἡ ΒΓ ἄρα c διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ἔστι δὲ καὶ τῆς σφαίρας· μέγιστος ἄρα ἐστὶν ὁ ΑΒΓ κύκλος.