Sphaerica

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα δίχα τέμνῃ, πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τέμνει καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒΓΔ κύκλον τινὰ τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ μὴ μέγιστον ὄντα τὸν ΕΒΖΔ δίχα τεμνέτω· λέγω, ὅτι καὶ πρὸς ὀρθάς τε αὐτὸν τεμεῖ, καὶ διὰ τῶν πόλων.

Ἐπεζεύχθω γὰρ αὐτῶν ἡ κοινὴ τομὴ ἡ ΒΔ. Καὶ ἐπεὶ ὁ ΑΒΓΔ κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον δίχα τέμνει· ἑκάτερον ἄρα τῶν ΒΕΔ, ΒΖΔ ἡμικύκλιόν ἐστιν, ἡ ΒΔ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου. Τετμήσθω οὖν ἡ ΒΔ δίχα κατὰ τὸ Θ σημεῖον, τὸ Θ ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΕΒΖΔ κύκλου· καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ Η σημεῖον, τὸ δὲ αὐτὸ καὶ τῆς σφαίρας ἐστί καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη, καὶ συμπιπτέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα.

Καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, διὰ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ κέντρον αὐτοῦ ἐπέζευκται εὐθεῖα ἡ ΗΘ, ἡ ΗΘ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΗΘ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ· ἓν δὲ τῶν διὰ τῆς ΗΘ ἐπιπέδων ὁ ΑΒΓΔ ἐστὶ κύκλος, καὶ ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸν ΕΒΖΔ· ὁ ΑΒΓΔ ἄρα κύκλος τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει.

Λέγω δὴ, ὅτι καὶ διὰ τῶν πόλων· ἐπεὶ γὰρ ἐν σφαίρᾳ κύκλος ἐστὶν ὁ ΕΒΖΔ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπ’ αὐτὸν κάθετος ἦκται ἡ ΗΘ, καὶ ἐκβέβληται ἐπ’ ἀμφότερα τὰ μέρη, καὶ συμπίπτπει τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα· τὰ Α, Γ ἄρα σημεῖα πόλοι εἰσὶ τοῦ ΕΒΖΔ, ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον διὰ τῶν πόλων τέμνει· ἔτεμνε δὲ αὐτὸν καὶ πρὸς ὀρθάς, ὁ ΑΒΓΔ κύκλος ἄρα τὸν ΕΒΖΔ κύκλον πρὸς ὀρθὰς τέμνει, καὶ διὰ τῶν πόλων.