Sphaerica

Ἐν σφαίρᾳ οἱ μέγιστοι κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλους κατὰ τὰ Ε, Ζ σημεῖα· λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.

Εἰλήφθω γὰρ αὐτῶν τὸ κέντρον, καὶ ἔστω τὸ Η, τὸ δὲ αὐτό ἐστι καὶ τῆς σφαίρας, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἡ ΕΗ, ΗΖ.

Καὶ ἐπεὶ τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖα ἐν τῷ ΑΒ ἐπιπέδῳ ἐστὶν, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ ΔΓ· ἐπὶ ἀμφοτέροις ἄρα τοῖς ἐπιπέδοις τῶν ΑΒ, ΓΔ κύκλων τὰ Ε, Η, Ζ σημεῖά ἐστι, τὰ Ε, Η, Ζ ἄρα ἐν τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἐστί. Πάντως δὲ δύο ἐπιπέδων ἡ κοινὴ τομὴ εὐθεῖά ἐστιν, εὐθεῖά ἐστιν ἄρα ἡ ΕΗΖ. Καὶ ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΑΖ, ΕΒΖ ἡμικύκλιόν ἐστι. Πάλιν ἐπεὶ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔ κύκλου, ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρός ἐστιν αὐτοῦ, ἑκάτερον ἄρα τῶν ΕΓΖ, ΕΔΖ ἡμικύκλιόν ἐστιν. Οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα κύκλοι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλους.