De Sphaera Quae Movetur

γʹ. Ἐὰν σφαῖρα στρέφηται ὁμαλῶς περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα, ἃς ἐν ἴσῳ χρόνῳ περιφερείας διεξέρχεται σημεῖά τινα τῶν παραλλήλων κύκλων καθʼ ὧν φέρεται, αὗταί ὅμοιαί εἰσιν.

Ἔστω σφαῖρα ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πόλοι δὲ τὰ Α Β σημεῖα, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὰ Γ ∠, καὶ ἔστωσαν παράλληλοι κύκλοι καθʼ ὧβ φέρεται τὰ Γ ∠ σημεῖα οἱ ΓΕ ∠Ζ, καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ σημεῖον τὴν Γ Ε περιφέρειαν διαπορευέσθω [*]((ια)) καὶ τὸ ∠ σημεῖον τὴν ∠Ζ περιφέρειαν· λέγω ὅτι ὁμοία ἐστὶν ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ∠ περιφερείᾳ.

Εἰ γὰρ μὴ ἔστιν ὁμοία ἡ ΓΕ περιφέρεια τῇ ΔΖ, [*]((ιβ)) ἔστω ὁμοία ἡ ΓΕ τῇ ∠Η ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ Γ σημεῖον τὴν ΓΕ περιφέρειαν διαπορεύεται καὶ τὸ ∠ τὴν ∠Η. ἀλλὰ καὶ ἐν ἴσῳ χρόνῳ τὸ Γ τὴν ΓΕ διαπορεύεται [*]((ζ) Διὰ τὸ ιʹ τοῦ βʹ τῶν σφαιρικῶν.) [*]((η) Διότι αἱ ἐν τῷ αὐτῷ κύκλῳ περιφέρειαι ὅμοιαι ἴσαι εἰσί.) [*]((θ) Διὰ τὸ ὁμαλῶς κινεῖσθαι τὰ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου σημεῖα.) [*]((ι) Ἀντίστροφον) [*]((ια) Διὰ τὸν βʹ ὅρον συνάγεται καὶ διὰ τὸ βʹ.) [*]((ιβ)) Ὡς διᾶ τοῦ πρὸ τούτου ἀπεδείχθη.)

δʹ. Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁρίζῃ τό τε ἀφανὲς καὶ τὸ φανερὸν ἡμισφαίριον τῆς σφαίρας, στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐδὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ ἡμισφαιρίῳ αἰεί ἐστι φανερά, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ αἰεί ἐστιν ἀφανῆ.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μένων μέγιστος κύκλος ὁ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὢν τῷ ἄξονι ὁριζέτω τό τε φανερὸν τῆς σφαίρας καὶ τὸ ἀφανές· λέγω ὅτι στρεφομένης τῆς σφαίρας περὶ τὸν ἑαυτῆς ἄξονα οὐ. δὲν τῶν ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημείων οὔτε δύσεται οὕτε ἀνατελεῖ.

Ὅ ἐστιν ἐπὶ τῆς μυλοειδοῦς κινήσεως· τότε γὰρ καὶ ὁ ἰσημερινὸς ὁρίζων γίνεται, καὶ ἓξ μηνῶν ἡ ἡμέρα καὶ ἓξ μηνῶν ἠ νύξ.

Εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Γ, καὶ ἔστω [παράλληλος] κύκλος καθʼ ου [*]((ιδ)) φέρεται τὸ Γ σημεῖον ὁ Γ∠ ὁ Γ∠ ἄρα κύκλος πρὸς [*]((ιε)) ὀρθάς ἐστιν τῷ ἄξονι. ἀλλὰ καὶ ὁ ΑΒ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠ κύκλος τῷ ΑΒ κύκλῳ. εἰ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ, συμβαλεῖ ὁ Γ∠ κύκλος [*]((ιϚ)) τῷ ΑΒ ὁρίζοντι, ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον· ἔστιν γὰρ αὐτῷ παράλληλος· οὐκ ἄρα τὸ Γ σημεῖον δύσεται ἢ ἀνατελεῖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας σημεῖα οὕτη δύσεται οὔτε ἀνατελεῖ, ἀλλὰ τὰ μὲν ἐν τῷ φανερῷ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ φανερῷ, τὰ δὲ ἐν τῷ ἀφανεῖ διὰ παντός ἐστιν ἐν τῷ ἀφανεῖ.