Geodaesia [Sp.]
Hero of Alexandria
Hero of Alexandria, Geodaesia [Sp.], Heiberg, Teubner, 1914
Στερεομετρικὸν δὲ τὸ ἔχον μῆκος καὶ πλάτος καὶ πάχος, ἐξ οὗ καὶ στερεὸν γιγνώσκεται, ὃ δὴ καὶ κύβος καλεῖται.
Εἴδη δὲ τῆς μετρήσεως ταῦτα· τρίγωνα, τετράγωνα, ῥόμβοι, τραπέζια, κύκλοι.
Ἔχουσι δὲ καὶ θεωρήματα δεκαοκτὼ οὕτως· τετραγώνων θεωρήματα β, τετράγωνον ἰσόπλευρον ὀρθογώνιον καὶ τετράγωνον παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον. τριγώνων θεωρήματα ἕξ, τρίγωνον ἰσόπλευρον, τρίγωνον ἰσοσκελές, τρίγωνον σκαληνόν, τρίγωνον ὀρθογώνιον, τρίγωνον ὀξυγώνιον, τρίγωνον ἀμβλυγώνιον. ῥόμβων θεωρήματα β, ῥόμβος καὶ ῥομβοειδές. τραπεζίων θεωρήματα τέσσαρα, τραπέζιον ὀρθογώνιον, τραπέζιον ἰσοσκελές, τραπέζιον ὀξυγώνιον καὶ τραπέζιον ἀμβλυγώνιον. κύκλων θεωρήματα δ, κύκλος, ἀψὶς. ἤτοι ἡμικύκλιον, τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου καὶ τμῆμα ἧττον ἡμικυκλίου.
Καὶ ταῦτα μὲν οὖν τὰ εἴδη καὶ τὰ θεωρήματα ὅσον ἐπὶ τῶν ἐμβαδομετρικῶν· ἐπὶ δὲ τῶν στερεῶν προστιθεμένου ἑκάστου τῇ μετρήσει καὶ τοῦ πάχους ἐξαίρετα εὑρήσεις θεωρήματα ἐπὶ τῶν στερεῶν· εἰσὶ δέκα οὕτως· σφαῖρα, κῶνος, [*](1 εὐθυμετρικὸν A. μὲν] om. C. 5 ὃ] ὃ δὴ A. 6 πάχος] βάθο C. 8 εἴδη] εἰσὶ BD. μετρίσεως BD. ▽◻ BD. 10 καὶ] om. A. οὕτω A, om. C. τετραγώνων] τετραγώνων οὖν C. 11 β, τετράγωνον] δύο, πρῶτον τετράγωνον τὸ C, τετράπλευργωνον D. καὶ τετράγωνον] δεύτερον τὸ C. 12 τρι- γώνων— 13 ἕξ] om. BD. 12 θεωρήματα ἕξ] δὲ ταῦτα C. 13 τρίγωνον] om. ter C. 14 τρίγωνον] om. ter C. 15 ῥόμβων—β] A, om. BCD. καὶ] om. C. 16 τραπεζίων—τέσσαρα] A, om. BCD. τραπέζιον (alt.)] ἕτερον C. 17 τραπέζιον (utr.)] ἕτερον C. καὶ] om. C. 18 κύκλων—δ] A, om. BCD. ἤτοι] ἤ C. 19 καὶ] om. C. 20 καὶ (pr.)] om. C. τὰ (utr.)] om. C. ὅσον ἐπὶ] om. C. 22 τῇ] C, om. ABD. 23 ἐπὶ τῶν στερεῶν] ἅτινα C. οὕτως] BD, οὕτω A, om. C.)
Eἰσὶ δὲ καὶ ὅροι τῆς μετρήσεως τετηρημένοι οἵδε· παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζους εἰσι πάντη μεταλαμβανόμεναι, καὶ παντὸς τριγώνου ὀρθογωνίου αἱ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς τῆς ὑποτεινούσης ἴσαι εἰσὶν ἐφʼ ἑαυτὰς πολυπλασιαζόμεναι, καὶ παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος τῆς διαμέτρου τριπλάσιός ἐστι καὶ ἐφέβδομος, καὶ ἐμβαδὸν τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς περιμέτρου τοῦ κύκλου μετρούμενον ἴσον ἐστὶν ἐμβαδοῖς κύκλων τεσσάρων.
Εἰσὶ δὲ καὶ μέτρα τάδε· δάκτυλος, κόνδυλος, παλαιστή, διχάς, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, οὐργυιά, σωκάριον, πλέθρον, ἰούγερον, δίαυλος, στάδιον, ἄκενα, μίλιον, σχοῖνος καὶ παρασάγγης. τὸ πλέθρον σχοινία σωκάρια α ω΄ ιε΄, τὸ ἰούγερον γ γ΄, ὁ δίαυλος στάδια β, τὸ στάδιον κ U+2220″, ἡ ἄκενα σπιθαμὰς ιϛ, τὸ μίλιον στάδια ζ U+2220΄, ὁ σχοῖνος μίλια δ καὶ ὁ παρασάγγης δ.
Τὰ δὲ μέτρα ἐξεύρηνται ἐξ ἀνθρωπίνων μελῶν, δακτύλου, παλαιστοῦ, σπιθαμῆς, ποδός, πήχεως, βήματος, οὐργυιᾶς καὶ λοιπῶν.
Πάντων δὲ ἐλαχιστότερόν ἐστιν ὁ δάκτυλος, ὅστις καὶ μονὰς καλεῖται· διαιρεῖται δὲ ἔσθʼ ὅτε μὲν γὰρ καὶ εἰς ἥμισυ καὶ εἰς τρίτον καὶ εἰς τέταρτον καὶ εἰς λοιπὰ μόρια.
[*](1 πλινθύ A. 3 ὅροι mg. A. μετρίσεως BD. 4 μείζονες A. 6 τῆς (alt.)] om. C. 7 κύκλου] A, τριγώνου BCD. 10 ἐμβαδοῖς κύκλων] ἐμβαδο lac. 2 litt. κύκλων A, ἐμβαδοκύκλων BCD. δ΄ BD. 11—17 BCD, om. Α. 12 οὐργυιά] om. C. 14 σχοινία] σχοινεῖα BD, σωκάρια κβ (κ- in ras.) εον C. σωκάρια] comp. BD, σωκάριον C. α ω΄] BD, οὐργυιὰς C, α΄ U+2220″ϛ″ Hultsch. ιεʹ] BD, ιβ C, del. Hultsch. 15 γ΄] BD, πλέθρα δύο (in ras.) τὸ στάδιον πλέθρου τὸ 𝒢″ C. τὸ—U+2220″] om. C. κ U+2220″] BD, corruptum; ι΄ σωκάρια Hultsch. 16 στάδια ζ U+2220΄] C , ξ΄ δ΄ω΄ε΄ BD, ζ΄ U+2220″ στάδια Hultsch. ὁ] B, om. CD. 19 πήχεος A. 21 ἐλάχιστον C. ἐστιν] om. C. 22 διαιρεῖται— μὲν] ἔστι δὲ ὅτε διαιρεῖται C. ὅτε] ὁ τὸ D. γὰρ] A, om. BCD.)Μετὰ δὲ τὸν δάκτυλον, ὅστις ἐστὶ μέρος ἐλάχιστον πάντων, ἔστιν ὁ παλαιστής, ὃν καὶ τέταρτόν τινες καλοῦσι διὰ τὸ τέσσαρας ἔχειν δακτύλους· ἡ γὰρ σπιθαμὴ τρία τέταρτα ἔχει, ὁ δὲ ποὺς δ.
Ἡ διχὰς παλαιστὰς β ἔχει ἤγουν δακτύλους καὶ καλεῖται δίμοιρον σπιθαμῆς. διχὰς δὲ λέγεται τὸ τῶν β δακτύλων ἄνοιγμα, τοῦ ἀντίχειρος λέγω καὶ τοῦ λιχανοῦ· τοῦτο καὶ κυνόστομον καλοῦσί τινες.
σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ ἤγουν δακτύλους ιβ.
Ὁ ποὺς ἔχει σπιθαμὴν μίαν καὶ γ΄ ἤγουν παλαιστὰς δ ἤτοι δακτύλους ιϛ.
Ὁ πῆχυς ἔχει πόδας β ἤγουν σπιθαμὰς β δίμοιρον ἢ παλαιστὰς η ἢ δακτύλους λβ.
Τὸ βῆμα τὸ ἁπλοῦν ἔχει σπιθαμὰς γ γ΄ ἤγουν πόδας β U+2220΄ ἢ παλαιστὰς ῑ ἢ δακτύλους μ.
Τὸ βῆμα τὸ διπλοῦν ἔχει πόδας ε ἤγουν σπιθαμὰς ϛ ω΄ ἢ παλαιστὰς κ ἢ δακτύλους π.
Ὁ πῆχυς ὁ λιθικὸς ἔχει σπιθαμὰς β ἢ πόδα ᾱ πρὸς τῷ U+2220΄ ἢ παλαιστὰς ϛ ἢ δακτύλους κδ· ὡσαύτως καὶ τοῦ πριστικοῦ ξύλου.
Ἡ ὀργυιά, μεθʼ ἧς μετρεῖται ἡ σπόριμος γῆ, ἔχει σπιθαμὰς βασιλικὰς θ δ΄ ἤγουν πόδας ϛ καὶ σπιθαμὴν ᾱ δ΄ ἢ παλαιστὰς ἤτοι γρόνθους κζ καὶ ἀντίχειρα, τουτέστι τοὺς μὲν [*](1 ὅστις] ὅς C. 2 ἔστιν] om. A. ἡ παλαιστή C. 3 ἡ —4 δ] om. C. 5 διχὰς] ABCD. ἔχει παλαιστὰς β΄ C. καὶ —8 τινες] post lin. 9 C. καὶ—6 δίμοιρον] ἡ διχὰς οὖν δίμοιρόν ἐστι τῆς C. 6 β] om. C. 7 τοῦτο] ὃ C. κυνόστομον] C, κοινόστομον ABD 10 Ὁ] ὁ δὲ C. ἤγουν] AC, ἤτοι BD. 11 ἤτοι] A, ἤγουν BD. 12 β (alt.)] δύο καὶ C. ἢ] ἤγουν C. 13 ἢ] ἤτοι C. 14 γ΄] καὶ γον C. ἤγουν πόδας] παίδας C. 15 ἢ (utr.)] om. C. 16 ἤγουν] om. C. 17 ἢ (utr.)] om. C. 18 ἢ] ἤτοι C. πρὸς τῷ] om. C. 19 ἢ (pr.)] ἤφ C. ἢ (alt.)] ἤφ C, 21 praemittit ἀπὸ τῆς ὑποπτικῆς γεωμετρίας A. οὐργυιά C 22 ἤγουν] ἢ D. ἢ] ἤ C. 23 ἤτοι] ἢ C. τουτέστι—p. LXXVII, 2 χειρός] ὅ ἐστι τρεῖς δάκτυλοι C.)
Καὶ μετὰ μὲν τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ἔχει ὁ τόπος τοῦ μοδίου ὀργυιὰς διακοσίας καὶ μόνας, μετὰ δὲ τοῦ δωδεκαοργυιαίου ἔχει ὀργυιὰς σπ.
πλὴν οἱ βραχύτατοι καὶ πεδινοὶ τόποι μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου σχοινίου ὀφείλουσι μετρεῖσθαι, οἱ δὲ περιορισμοὶ τῶν προαστείων τῶν ὁλογύρως μετρουμένων μετὰ τοῦ δωδεκαοργυιαίου σχοινίου διὰ τὸ εὑρίσκεσθαι ἔσωθεν τῶν περιορισμῶν αὐτῶν πολλάκις ξηροχειμάρρους καὶ ῥύακας καὶ λόχμας καὶ ἀχρήστους τόπους. εἰ δὲ καὶ μετὰ τοῦ δεκαοργυιαίου μετρηθῶσιν, ὀφείλουσιν ὑπεξαιρεῖσθαι εἴτε ἀπὸ τοῦ ἀναβιβασμοῦ τῶν σωκαρίων κατὰ ῑ σωκάρια ᾱ εἴτε ἀπὸ τοῦ μοδισμοῦ κατὰ ῑ μόδια μόδιον ἓν διὰ τὰς εἰρημένας αἰτίας.
Χρὴ δὲ γινώσκειν, ὅτι ὁ σπόριμος μόδιος ἔχει λίτρας μ· μία δὲ ἑκάστη λίτρα σπείρει γῆν ὀργυιῶν ε.