Dioptra

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Dioptra, Schmidt, Teubner, 1900

[*](fol. 72r p. 254)

κα. | Διὰ διόπτρας ἀπολαβεῖν ἀπὸ ἡμῶν διάστημα ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας, ἴσον τῷ δοθέντι διαστήματι. ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἐφʼ ἧς δεῖ ἀπολαβεῖν ἡ ΑΒ· τὸ δὲ δοθὲν διάστημα ὃ δεῖ ἀπολαβεῖν ἔστω τὸ ΑΒ· ἀφʼ οὗ δὲ δεῖ σημείου ἀπολαβεῖν, ἔστω τοῦ Α. ἐλθὼν ἐπί τινος ἀκλινοῦς ἐπιπέδου τόπου οἷον τοῦ Γ∠, τίθημι τὴν διόπτραν τὴν ΕΖ· καὶ ταύτης ἔμπροσθεν κανόνα ὀρθὸν, μήκους ὡς πηχῶν ι, τὸν ΗΘ, ἀπέχοντα ἀπὸ τῆς διόπτρας, τουτέστιν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου, ὃ βούλομαι διάστημα, ἔστω δὴ πηχῶν γ. ἀπέλαβον οὖν ἀπὸ τοῦ Ε ἐν ἐπιπέδῳ εὐθεῖαν τὴν Ε∠ πηχῶν ὅσων ἐὰν βούλωμαι, ἔστω δὴ πηχῶν φ, καὶ καταλείψας σημεῖον πρὸς τῷ ∠, ἐγκλίνω τὸν ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνα, ἄχρις ἂν φανῇ διʼ αὐτοῦ τὸ ∠ σημεῖον. καὶ μένοντος αὐτοῦ [*](fol. 72v) ἀκινήτου, ἀντιπεριστὰς ἔλαβον | διʼ αὐτοῦ σημεῖον ἐπὶ τοῦ ΗΘ κανόνος τὸ Μ, καὶ ἐπέγραψα πηχῶν φ. εἶτα πάλιν ἀπολαβὼν ἑτέρους πήχεις ὅσους ἂν βούλωμαι ἐπὶ τῆς Ε∠, οἷον εἰ τύχοι πήχεις ῡ ἐπὶ τῆς ΕΝ, καὶ [*](2 τρίγωνον ἐν τῶ ΦΨΡ 3 τῆ δὲ ΦΨ τὴν ϛΧ 4 ἡ ΡΒ τὸ Β 6 τοῦ Β 10 γονιῶν 14 supplevi 23 κατα-)

258

καταλείψας πρὸς τῷ Ν σημεῖον, ὡσαύτως ἔλαβον ἀντιπεριστὰς ἐπὶ τοῦ ΗΘ κανόνος ἕτερον σημεῖον τὸ Ε, [*](p. 256) πρὸς ὃ ἐπέγραψα πήχεις υ. καὶ οὕτως λαμβάνων ἃ βούλομαι μέτρα ἕξω ἐν τῷ ΗΘ κανόνι τὰς ἐπιγραφάς. στήσας οὖν καὶ τὴν διόπτραν ἐπὶ τοῦ Α καὶ ἀποστήσας τὸν τὰς ἐπιγραφὰς ἔχοντα κανόνα ἀπὸ τοῦ Α πήχεις γ, ὅσους καὶ ὅτε τὰς ἐπιγραφὰς λαμβάνων ἀπέστησα, ἐνέκλινα τὸν ἐπὶ τῇ διόπτρᾳ κανόνα, ἄχρις ἂν δι᾿ αὐτοῦ φανῇ ἡ ἐπιγραφὴ τοῦ μέλλοντος ἀπολαμβάνεσθαι μέτρου· εἶτα ἀντιπεριστὰς ἔλαβον ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας διὰ τοῦ κανόνος σημεῖον τὸ Β· καὶ ἔσται ἀπειλημμένον τὸ ΑΒ διάστημα τοῦ δοθέντος τόπου. ἔστω οὖν διόπτρα μὲν ἡ ΑΟ, ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανών, διʼ οὗ διοπτεύομεν, ὁ ΠΡ, ὁ δὲ τὰς ἐπιγραφὰς ἔχων κανὼν ὁ ΣΤ.

260

[*](p. 258)

κβ. Διὰ διόπτρας ἀπολαβεῖν διάστημα, ἀπὸ ἑτέρου δοθέντος σημείου ἐπί τινος εὐθείας παραλλήλου τῇ δοθείσῃ ἴσον τῷ δοθέντι διαστήματι, μὴ προσελθόντα τῷ σημείῳ μηδʼ ἔχοντα τὴν εἰρημένην εὐθεῖαν, ἐφʼ ἧς δεῖ ἀπολαβεῖν. ἔστω δοθὲν σημεῖον τὸ Α· καὶ κείσθω πρὸς τῷ Β ἡ διόπτρα· καὶ εὑρήσθω ἡ ΑΒ εὐθεῖα ἡλίκη ἐστὶν, ὡς ἐμάθομεν· καὶ ἀπειλήφθω αὐτῆς ἡ ΒΓ, μέρος ὃ βουλόμεθα. ἡ δὲ Γ∠ ἤχθω παράλληλος βουλόμεθα εὐθείᾳ, μέρος οὖσα τοῦ δοθέντος διαστήματος, ὃ μέρος ἐστὶν καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ. καὶ διὰ τῆς διόπτρας ἡ Β∠ εὐθεῖα προεκβεβλήσθω, καὶ ἀπʼ αὐτῆς ἀπειλήφθω ἡ ΒΕ, τοσαυταπλασία οὖσα τῆς Β∠, ὁσαπλασία καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ἔσται οὖν ἡ ΑΕ τοῦ τε δοθέντος μέτρου καὶ παράλληλος τῇ ∠Γ· τοῦτο γὰρ φανερόν ἐστι διὰ τὸ εἶναι ὡς τὴν ΑΒ πρὸς τὴν ΓΒ, τήν τε ΕΒ πρὸς ∠Β καὶ τὴν ΑΕ πρὸς Γ∠.

[*](p. 260)

κγ. Τὸ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι διὰ διόπτρας. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ γραμμῆς ἀτάκτου τῆς ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν διὰ τῆς κατασκευασθείσης διόπτρας διάγειν πάσῃ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἑτέραν πρὸς ὀρθάς, ἔλαβόν τι σημεῖον ἐπὶ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς τὸ Β, καὶ ἤγαγον εὐθεῖαν τυχοῦσαν διὰ τῆς διόπτρας τὴν ΒΗ, καὶ ταύτῃ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΒΓ, καὶ ταύτῃ ἑτέραν πρὸς ὀρθὰς τὴν ΓΖ, καὶ ὁμοίως τῇ ΓΖ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΖΘ. καὶ ἔλαβον ἐπὶ τῶν ἀχθεισῶν εὐθειῶν συνεχῆ σημεῖα, ἐπὶ μὲν τῆς ΒΗ τὰ Κ, Λ, [*](11 διὰ τῆς Β∠ εὐθείας τῆ διόπτρα: corr. Vi προσεκ- βεβλήσθω: corr. Vi 13 ἔστω: corr. Vi 16 τὴν Γ∠: corr. Vi) [*](23 et 26 supplevi)

262

Μ, Ν, Ξ, Ο· ἐπὶ δὲ τῆς ΒΓ τὰ Π, Ρ· ἐπὶ δὲ τῆς ΓΖ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω· ἐπὶ δὲ τῆς ΖΘ τὰ ϛ, 𝔮. καὶ ἀπὸ τῶν ληφθέντων σημείων ταῖς εὐθείαις, ἐφʼ ὧν ἐστὶ τὰ σημεῖα, πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὰς ΚϠ, ΛΑ, ΜΑ, ΝΒ, ΕΓ, Ο∠ ΠΕ, Ρϛ ΣΖ, ΤΗ, ΥΘ, Φ∠, ΧΜ, ΨΜ, ΩΕ, ϛΜ, [*](p. 262) 𝔮??Μ οὕτως ὥστε τὰς ἐπὶ τὰ πέρατα τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ἐπιζευγνυμένας ἀπολαμβάνειν γραμμὰς ἀπὸ τῆς περιεχούσης τὸ χωρίον γραμμῆς σύνεγγυς εὐθείας· καὶ τούτων γενηθέντων ἔσται δυνατὸν τὸ χωρίον μετρεῖν. τὸ μὲν γὰρ ΒΓΖΜ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ἔπειτα τὰς πλευρὰς ἁλύσει ἢ σχοινίῳ βεβασανισμένῳ, τουτέστιν μήτʼ ἐκτείνεσθαι μήτε συστέλλεσθαι δυναμένῳ, μετρήσαντες ἕξομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου. τὰ δʼ ἐκτὸς τούτου τρίγωνα ὀρθογώνια καὶ τραπέζια ὁμοίως μετρήσομεν, ἔχοντες τὰς πλευρὰς αὐτῶν· ἔσται γὰρ τρίγωνα μὲν ὀρθογώνια τὰ ΒΚϠ, ΒΠΕ, ΓΡϛ, ΓΣΖ, ΖΩΕ, ΖϛΜ, ΘΗΜ· τὰ δὲ λοιπὰ τραπέζια ὀρθογώνια. τὰ μὲν οὖν τρίγωνα μετρεῖται τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν πολλαπλασιαζομένων ἐπʼ ἄλληλα· καὶ τοῦ γενομένου τὸ ἥμισυ. τὰ δὲ τραπέζια· συναμφοτέρων τῶν παραλλήλων τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ἐπʼ αὐτὰς κάθετον οὖσαν, οἷον τῶν ΚϠ, ΑΛ τὸ ἥμισυ ἐπὶ τὴν ΚΛ· καὶ τῶν λοιπῶν δὲ ὁμοίως. ἔσται ἄρα μεμετρημένον ὅλον τὸ [*](6 supplevit Vi Φ Φ∠ ΨΜ 7 et 8 corr. R. Schoene.) [*](18 τὸ ΒΚΤ: corr. Vi 18—19 Ζωε Ζϛμ ΘΗμ 23 ἐπʼ αὐτῆς: correx 25 ἀναμεμετρημένον: corr. Vi)

264

χωρίον διά τε τοῦ μέσου παραλληλογράμμου καὶ τῶν ἐκτὸς αὐτοῦ τριγώνων καὶ τραπεζίων. ἐὰν δὲ τύχῃ ποτὲ μεταξὺ αὐτῶν τῶν ἀχθεισῶν πρὸς ὀρθὰς ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου πλευραῖς καμπύλη γραμμὴ μὴ συνεγγίζουσα εὐθείᾳ (οἷον μεταξὺ τῶν ΞΓ, Ο∠ γραμμὴ ἡ Γ ∠), ἀλλὰ περιφερεῖ, μετρήσομεν οὕτως· ἀγαγόντες τῇ Ο∠ πρὸς ὀρθὰς τὴν ∠Μ, καὶ ἐπʼ [*](fol. 73v) αὐτῆς λαβόντες σημεῖα συνεχῆ τὰ Μ, Μ, καὶ ἀ|π᾿ αὐτῶν πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τῇ Μ∠ τὰς ΜΜ, ΜΜ, ὥστε τὰς μεταξὺ τῶν ἀχθεισῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι, [*](p. 264) πάλιν μετρήσομεν τό τε ΜΞΟ∠ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΜΜ ∠ τρίγωνον, καὶ τὸ ΓΜΜΜ τραπέζιον, καὶ ἔτι τὸ ἕτερον τραπέζιον, καὶ ἕξομεν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τῆς ΓΜΜ ∠ γραμμῆς καὶ τῶν ΓΞ ΞΟ, Ο ∠ εὐθειῶν μεμετρημένον.

κδ. Ἔστι δὲ καὶ ἄλλος τρόπος μετρήσεως. ἔστω χωρίον, ὃ δεῖ μετρῆσαι, τὸ ὑπογεγραμμένον, ἐν ᾧ διὰ τῆς διόπτρας διʼ ὅλου τοῦ μήκους διήχθω τις εὐθεῖα, [*](p. 266) κατὰ τὸ δυνατὸν μέση τοῦ χωρίου ὡς ἔγγιστα, ἡ ΑΒ. ἐπὶ δὲ ταύτης εἰλήφθω συνεχῆ σημεῖα τὰ Γ, ∠, Ε, Ζ, Η, Θ· ἀπὸ δὲ τῶν ληφθέντων σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν διὰ τῆς διόπτρας αἱ ΓΚ, ΓΛ, ∠Μ, ∠Ν, ΕΞ, ΕΟ, ΖΠ, ΖΡ, ΗΣ, ΗΤ, ΘΥ, ΘΦ, ὥστε [*](1 το ωρειον: corr. Vi 6 γραμμὴ τῆ Γ∠ περιφερη, μετρησω- μεν 7 ∠μ, sed ϛ in rasura m. 1 8 μ μ 9 fin. μ μ μ μΖ ωστε 11 μετρήσωμεν 12 μ μ ∠ τρίγωνον τὸ Γ μ μ μ τραπέζιον 14 Γ μ μ ∠ γραμμῆς 22 ∠Μ ∠Η: corr. Vi) [*](23 ΖΠ ΗΡ ΗΣ)

266

πάλιν τὰς μεταξὺ γραμμὰς σύνεγγυς εὐθείας εἶναι. πάλιν οὖν διῄρηται τὸ χωρίον εἰς τρίγωνα τὰ ΑΓΚ, ΑΓΛ, ΒΘΦ, ΒΘΥ, καὶ τὰ λοιπὰ τραπέζια. δυνατὸν οὖν διά τε τῶν εἰρημένων τριγώνων καὶ διὰ τε τῶν τραπεζίων τὸ χωρίον μετρηθῆναι. ἐὰν δὲ πάλιν ἐμπέσῃ τις μεταξὺ περιφερὴς γραμμή, διελοῦμεν τὸ πρὸς αὐτῇ τραπέζιον ὡσαύτως τῷ ἐπάνω, καὶ οὕτως μετρήσομεν. αὕτη δʼ ἡ μέτρησις εὔχρηστός ἐστιν, ὅταν δέῃ καὶ διελεῖν τὸ χωρίον εἰς τὰ δοθέντα μέρη. δέον γὰρ ἔστω διελεῖν αὐτὸ εἰς ἴσα μέρη ἑπτὰ διὰ παραλλήλων εὐθειῶν. ἐμέτρησα οὖν τὸ χωρίον, καὶ ἔλαβον τοῦ γενομένου τὸ ἕβδομον μέρος, ὥστε ἑκάστῳ μέρει τοσοῦτον ἀπονέμειν· ἐμέτρησα οὖν τὸ ΚΑΛ χωρίον, καὶ εἰ μὲν ἴσον ἐστὶν τῷ ἑβδόμῳ μέρει, ἔχομεν τὸ ΚΑΛ χωρίον· εἰ δὲ μὴ, προστίθημι τῷ τοῦ ΚΑΛ [*](4 διά τε τῶν τραπεζίων: correxi 6 περιφερὶς 7 ὡσαυτὸς 8 μετρησωμεν 13 f. ἀπονέμειν 〈δεῖ〉 15 προστίθημι τὸ τοῦ)

268

τὸ τοῦ ΚΛΜΝ ἐμβαδόν· καὶ εἰ μὲν ἴσον εὑρεθείη τῷ ἑβδόμῳ μέρει, ἔσται ἡ ΜΝ ἀφορίζουσα τὸ ἓν τῶν μερῶν. εἰ δὲ μεῖον εὑρεθείη, δεήσει πάλιν προσθεῖναι καὶ τὸ τοῦ ΜΝΞΟ ἐμβαδόν, ἄχρις ἂν ἴσον γένηται τῷ ἑβδόμῳ μέρει ἢ ὑπερβάλῃ. ὑπερβεβληκέτω οὖν προστεθέντος τοῦ ΕΟΠΡ. δεήσει ἄρα ἀπὸ τοῦ ΞΟΠΡ ἀφελεῖν χωρίον ἴσον τῷ ὑπερβάλλοντι, οἷον [*](fol. 74r) τὸ ΠΡΧΨ |. ὥστε δεήσει ἐπίστασθαι, ἀπὸ τοῦ δοθέντος τραπεζίου ὡς δεῖ ἀφελεῖν τραπέζιον ἴσον τῷ δοθέντι· τοῦτο δὲ ἑξῆς δείξομεν. οὐκοῦν ἔσται τὸ ΧΑΨ χωρίον ἓν τῶν μερῶν. πάλιν οὖν τῷ ΠΧΨΡ προσέθηκα τὸ ΠΡΣΤ· καὶ εἰ μὲν ἴσον εἴη αὐτὸ τὸ ἐμβαδὸν τῷ [*](p. 268) ἑβδόμῳ μέρει, ἔσται ἡ ΣΤ ἀφορίζουσα τὸ δεύτερον μέρος· εἰ δὲ ὑπερβάλοι, πάλιν δεήσει ἀφελεῖν τὸ ὑπερβάλλον ἀπὸ τοῦ ΠΡΣΤ τραπεζίου. καὶ οὕτως νοείσθω ἐπὶ τῶν λοιπῶν μερῶν.

κε. Ὅρων χωρίου ἀφανῶν γενομένων, καταλειπομένων δὲ δύο ἢ τριῶν καὶ τοῦ μιμήματος ὑπάρχοντος, πορίσασθαι τοὺς λοιποὺς ὅρους. τοῦ δὲ καθολικωτέρου ἕνεκα σκολιωτέραν μέτρησιν καὶ μίμημα ἐκθησόμεθα. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον, τουτέστιν τὸ μίμημα, τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, περιεχόμενον ὑπὸ τῶν σύνεγγυς εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ, Γ∠, ∠Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΑ. καὶ ἤχθω τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΚ, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΚΑ· τῇ δὲ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΛ, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ Η∠· τῇ δὲ ΗΖ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΖΜ, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΜΕ· πάλιν δὲ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΝ, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ν. δυνατὸν [*](2 suppl. Vi 4 f. ΜΝΟΞ 11 τὸ ΠΨΡ προσεθηκα τω 12—13 ἐμβαδὸν μέρος: corr. Vi f. αὐτοῦ 14 ὑπερβαλλη:)

270

ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒΚ, ΗΘΛ, ΕΖΜ, Γ∠Ν τρίγωνα μετρῆσαι, τὰ δὲ καταλειπόμενα παραλληλόγραμμα τεμόντα μετρῆσαι, ἐκβάλλοντα τὰς πρὸς ὀρθὰς εὐθείας, ὥστ᾿ εἶναι παραλληλόγραμμα τὰ ΒΞ, ΝΕ, ΗΜ, ΘΡ, [*](p. 270) ΞΠ. δεδόσθω οὖν τὸ μίμημα, οἷον εἴρηται, ἐκ τριγώνων καὶ παραλληλογράμμων --- περιεχόμενον· μόνοι δὲ φαινέσθωσαν οἱ Θ, Β, Γ ὅροι. καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΚ ἐπὶ τὸ Γ· καὶ εἰλήφθω ἡ διὰ τῶν Β, Θ σημείων εὐθεῖα διὰ τῆς διόπτρας τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· καὶ ἀπειλήφθω αὐτῆς δοθὲν μέρος ἡ ΒΤ, ἐπὶ δὲ τὴν ΒΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΣ, καὶ ἡ ΤΥ. ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΤΥ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΣ, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆς ΒΣ, καὶ ἡ ΒΤ τῆς ΒΘ. ἔχομεν δὲ ἑκατέραν τῶν ΒΣ, ΣΘ, ἐκ τοῦ μιμήματος· ὥστε ἕξομεν καὶ ἑκατέραν τῶν ΒΥ, ΥΤ. λαβόντες οὖν σχοινίον [*](2—3 τεμόντα μετρῆσαι: πέντε ὄντα μετρησόμεθα Vi 4—5 ΝΕ ΠΜ ΘΡ ΞΝ: corr. Vi 6 f. 〈συγκείμενον καὶ ὑπὸ γραμμῶν σύνεγγυς εὐθειῶν〉 R. Schoene 7 οἱ ΘΒΓ ὅροι: [Γ] Vi) [*](7—8 ἡ ΘΚ ἐπὶ τὸ Σ 10 δοθὲν vix sanum 11 τὴν ΒΕ) [*](14 τῶ ΒΣ ΣΘ)

272

μὴ ἐκτείνεσθαι δυνάμενον, ἴσον τῇ ΒΥΤ, τὸ ΦΨ, ἐπʼ αὐτοῦ μέρος ἀποληψόμεθα τὴν ΦΧ ἴσον τῇ ΒΥ, τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΒΣ ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ΤΥ τῆς ΘΣ καὶ ἡ ΒΤ τῆς ΒΘ. τὰ δὲ πέρατα τοῦ σχοινίου τὰ Φ, Ψ θήσομεν πρὸς τὴν ΒΤ ὥστε τὸ μὲν Φ πρὸς τῷ Β εἶναι, τὸ δὲ Ψ πρὸς τῷ Τ· καὶ λαβόμενοι τὸ Χ σημεῖον ἐκτενοῦμεν τὸ σχοινίον, καὶ πάντως τὸ Χ τὴν [*](fol. 74v) αὐτὴν θέσιν ἕξει τῷ Υ |. ἐπιζεύξαντες οὖν τὴν ΒΥ ἤτοι σπάρτῳ ἢ διόπτρᾳ ἐπʼ αὐτῆς θήσομεν τὸ μέτρον τῆς ΒΚ, ὃ ὑπάρχει ἐκ τοῦ μιμήματος, καὶ ἕξομεν τὸ Κ σημεῖον. εἶτα τῇ ΒΚ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τὴν ΚΑ καὶ θέντες ἐπʼ αὐτῆς τὸ μέτρον τῆς ΚΑ ἕξομεν πεπορισμένον τὸ Α σημεῖον. καὶ τὰ λοιπὰ δὲ ποριούμεθα ἀκολουθοῦντες ταῖς ἐν τῷ μιμήματι πρὸς ὀρθὰς εὐθείαις, καὶ τοῖς ἐπʼ αὐταῖς μέτροις.

[*](p. 276)

κς. Τὸ δοθὲν χωρίον διελεῖν διὰ τοῦ δοθέντος σημείου εἰς τὰ δοθέντα μέρη. ἔστω δὲ τὸ δοθὲν σημεῖον ὥσπερ ὕδρευμα, ἢ ὡς πάντες οἱ τὰς διαιρέσεις λαβόντες τῷ αὐτῷ χρῶνται ὕδατι. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ Γ∠, ∠Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΑ· ἐὰν γὰρ μὴ ὦσιν αἱ τὸ χωρίον περιέχουσαι εὐθεῖαι, ἀλλʼ ἄτακτός τις γραμμή, ληψόμεθα ἐπʼ αὐτῆς συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς μεταξὺ αὐτῶν σύνεγγυς εὐθείας εἶναι. τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἔστω τὸ Μ, καὶ δέον ἔστω διελεῖν εἰς ἑπτὰ ἴσα μέρη τὸ χωρίον διὰ τοῦ Μ σημείου. ἤχθω ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΜΝ διὰ τῆς διόπτρας, [*](2 suppl. Vi 5—6 πρὸς τὸ Β 6 τοῦ Χ 7 ἐκτείνομεν) [*](8 τὸ Υ 9 θησωμεν 10 τῆς ΒΚΘ ὑπάρχει: corr. Vi) [*](14 ἐπαυτὰσ: correxi 18 [ἢ] delevi dubitanter 23 〈συνεχῆ〉 addidi 27 ἐπὶ τῆς ΑΒ)

274

ὥστʼ ἐὰν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΜΑ, ΜΒ, δυνατὸν ἔσται μετρεῖν τὸ ΑΜΒ τρίγωνον. τὸ γὰρ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΜΝ διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΒΜ τριγώνου. [*](p. 278) δυνατὸν δέ ἐστι μετρῆσαι, ὡς προγέγραπται, καὶ ὅλον τὸ χωρίον. εὶ μὲν οὖν τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἕβδομον μέρος ἐστὶν τοῦ ὅλου χωρίου, ἔσται τὸ ΑΒΜ τρίγωνον ἓν τῶν μερῶν· εἰ δὲ μεῖζον, ἀφελεῖν δεῖ ἀπʼ αὐτοῦ, διαγαγόντα τὴν ΜΞ, καὶ ποιεῖν τὸ ΑΜΞ τρίγωνον ἴσον τῷ ἑβδόμῳ μέρει τοῦ ὅλου χωρίου· εἰ δὲ μεῖόν ἐστι τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τοῦ ἑβδόμου, δεήσει ἀπὸ τοῦ ΒΓΜ τριγώνου ἀφελεῖν τὸ ΒΜΟ τρίγωνον, ὃ, μετὰ τοῦ ΑΜΒ τριγώνου, ἕβδομον ἔσται μέρος τοῦ ὅλου χωρίου· ὡς δεῖ δὲ ἀφελεῖν τρίγωνον ἢ προσθεῖναι, ἑξῆς δείξομεν. οὕτως οὖν καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριγώνων ἐπιλογιζόμενοι διεξελοῦμεν τὸ χωρίον εἰς τὰ δοθέντα μέρη ἀπὸ τοῦ Μ σημείου.

κζ. Τὺ δοθὲν χωρίον μετρῆσαι μὴ εἰσελθόντα εἰς τὸ χωρίον, ἤτοι διὰ φυτείας πυκνότητα ἢ διὰ οἰκοδομημάτων ἐμποδισμὸν ἢ διὰ τὸ μὴ ἐξεῖναι εἰς τὸ χωρίον εἰσιέναι. ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν τῶν ΑΒ, ΒΓ, Γ∠, ∠Ε, ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΑ. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΖΗ, ΘΗ ἐπὶ τὰ [*](fol. 75r) ἐκτὸς τοῦ χωρίου μέρη, ἤτοι διὰ | κανόνων ἢ σπάρτου· καὶ τῆς μὲν ΖΗ μέρος τι κείσθω ἡ ΗΚ, τῆς δὲ ΘΗ [*](p. 280) τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΗΛ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΚΛ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΖ. καὶ ὃν λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΚΛ τρίγωνον, διὰ τὸ παράλληλον γίνεσθαι τὴν ΘΖ τῇ [*](7 μείζων 8 τὴν μεταξὺ: corr. Vi 18 φυτίας 25 ἐπιζεύχθω 27 πρὸς τῶ 29 f. γενέσθαι)

276

ΚΛ· οἷον, εἰ τύχοι, εἰ πενταπλασία ἐστὶν ἡ ΖΗ τῆς ΗΚ, ἔσται τὸ ΖΗΘ τρίγωνον πεντεκαιεικοσαπλάσιον τοῦ ΗΚΛ τριγώνου. δυνατὸν δὲ μετρῆσαι τὸ ΗΚΑ τρίγωνον, ἐπειδήπερ ἔχω τὰς πλευρὰς αὐτοῦ· τοῦτο γὰρ ἑξῆς δείξομεν· δυνατὸν οὖν καὶ τοῦ ΖΗΘ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν πορισθῆναι. ἐὰν οὖν νοήσωμεν ἐπιζευχθείσας τὰς ΘΖ, ΘΕ, Θ∠, ΘΓ, ΘΒ, καὶ εὕρωμεν ἑκάστου τῶν ΘΕΖ, ΘΕ∠, Θ∠Γ, ΘΓΒ, ΘΒΑ τριγώνων τὸ ἐμιβαδὸν, ἔστιν καὶ ὅλου τοῦ χωρίου τὸ ἐμβαδὸν πεπορισμένον. ἐκβεβλήσθω ἡ ΗΖ ἐπὶ τὸ Μ, καὶ κείσθω τῇ ΗΚ ἴση ἡ ΖΜ· καὶ ἐπὶ τῆς ΖΜ σχοινίῳ κεκλάσθωσαν αἱ ΖΝ, ΝΜ, ὥστʼ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΖΝ τῇ ΚΛ, τὴν δὲ ΝΜ τῇ ΗΛ· ἔσται δὴ ἡ ΖΜ τῇ ΗΖ καὶ ἡ ΝΖ τῇ ΖΘ ἐπʼ εὐθείας. ἐκβεβλήσθω δὴ καὶ ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Ξ· καὶ τῆς μὲν ΕΖ μέρος ἔστω ἡ ΖΞ, τῆς δὲ ΘΖ τὸ αὐτὸ μέρος ἡ ΖΟ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΟ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΞΟ τὸ αὐτὸ μέρος τῆς ΘΕ καὶ παράλληλος αὐτῇ. καὶ ἔστι ὡς τὸ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΞ τὸ ΕΘΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΞΖΟ τρίγωνον· δυνάμεθα δὲ πορίσασθαι τὸ ΞΖΟ, ἐπειδήπερ ἑκάστην τῶν πλευρῶν αὐτοῦ δυνατόν ἐστιν μετρῆσαι· ὥστε καὶ τὸ ΞΘΖ τρίγωνον πορίσασθαι δυνατόν ἐστιν. ὁμοίως δὴ καὶ ἑκάστου τῶν λοιπῶν τριγώνων τὸ ἐμβαδὸν ποριούμεθα· ὥστε καὶ τοῦ ὅλου χωρίου δυνατόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.

[*](p. 282)

κη. Τὰ δὲ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν. τραπεζίου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠, παράλληλον ἔχοντος τῇ Α∠ τὴν ΒΓ, καὶ ἔτι ἑκατέραν αὐτῶν καὶ τὴν μὲν ἐπʼ [*](8 εὕρομεν τὸν ΘΕΖ 10 supplevi 12 αἱ ΖΗ ΝΜ) [*](13 supplevi 15 ἐπὶ τὸ Ξ, sed Ξ ex Ζ fec. m. 1 18 καὶ ἔτι: correxi πρὸς τῶ 19 τριγωνω 28 [μὲν] delevi)

278

αὐτὰς κάθετον δοθεῖσαν, ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ Α∠, ὡς τὴν ΕΖ, ἀπολαμβάνουσαν τὸ Α∠ΕΖ τραπέζιον δοθὲν τῷ μεγέθει. γεγονέτω δὴ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΒΑ, Γ∠ ἐπὶ τὸ Η· καὶ κάθετος ἡ ΗΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Α∠, ΒΓ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει, λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς Α∠ δοθείς, ὥστε καὶ τῆς ΘΗ πρὸς ΗΚ, καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΚΗ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ δοθεῖσα. δέδοται οὖν καὶ τὸ Α∠Η τρίγωνον τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΗΕΖ τρίγωνον· λόγος ἄρα τοῦ ΗΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΗΑ∠ τρίγωνον δοθείς, ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΛΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ ἔστιν δοθὲν τὸ ἀπὸ ΗΚ, δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΗΛ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΗΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΘ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστι. θέσει ἄρα ἡ ΕΖ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΚ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστι. θέσει ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. συντεθήσεται [*](fol. 75v) δὴ | οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μοιρῶν ιδ, ἡ δὲ Α∠ μοιρῶν ἑπτὰ, ἡ δὲ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος μοιρῶν ϛ. [*](p. 284) ἐπεὶ οὖν διπλασία ἐστὶν ἡ ΒΓ τῆς Α∠, ὅλη ἄρα ἡ ΗΘ τῆς ΗΚ ἐστὶ διπλασίων· καὶ ἔστιν ἡ ΚΘ μοιρῶν ϛ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ λοιπὴ μοιρῶν ϛ· ἀλλὰ καὶ ἡ Α∠ μοιρῶν ζ· τὸ ἄρα Α∠Η τρίγωνον ἔσται μοιρῶν κα. δέον οὖν ἔστω τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον ποιεῖν μοιρῶν ιθ· ὅλον ἄρα τὸ ΗΕΖ τρίγωνον ἔσται μοιρῶν υ· καὶ ἐπεὶ ἡ ΗΚ μοιρῶν ἐστὶν ϛ, τὸ ἄρα ἀπʼ αὐτῆς μοιρῶν ἐστὶ λϛ. πολλαπλασιάζω οὖν τὰ λϛ ἐπὶ τὰ [*](12 πρὸς τῶ 15 ἡ ΛΗ δοθεισα θεσις, tum una littera erasa est 17 καὶ ἡ ΕΒ 19 επαυτ. σ (post τ una litt. eva- nuit) 20—21 ἄρα ἡ ΠΟ 27 μοιρῶν εστι λU+A7FC (in ultima litt. aliquid correctum est))

280

υ· γίνεται αυμ· καὶ παραβάλλω παρὰ τὸν κα, γίνεται ξη U+2220 ιδʹ· καὶ τούτων πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται ὡς ἔγγιστα η καὶ β· ἔσται οὖν ἡ ΗΛ μοιρῶν η καὶ β, ὧν ἡ ΗΚ μοιρῶν ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΛ μοιρῶν β καὶ β· ὥστʼ ἐὰν ἀπὸ τῆς καθέτου ἀφέλω μοίρας δύο καὶ β, καὶ παράλληλον ἀγάγω, ἔσται τὸ ἀφαιρούμενον τραπέζιον μοιρῶν ιθ.

κθ. Τριγώνου ὄντος τοῦ ΑΒΓ, καὶ καθέτου τῆς Α∠ διαγαγεῖν τὴν ΑΕ ἀπολαμβάνουσαν τὸ ΑΒΕ τρίγωνον δοθέν. γεγονέτω. δοθὲν οὖν καὶ τὸ ὑπὸ ΑΒΕ· δοθὲν ἄρα τὸ Ε. ἔστω οὖν ἡ Α∠ κάθετος μοιρῶν [*](p. 286) ϛ· τὸ δὲ ἀφαιρούμενον τρίγωνον μοιρῶν με. δὶς τὰ με γίνονται 𝔮. παραβάλλω παρὰ τὸν ϛ, γίνονται ιε. ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΒΕ μοιρῶν ιε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ. ἔσται δὴ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον μοιρῶν με.

λ. Τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστὶν ἀγαγόντα μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν· δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι. ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν πλευρῶν δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω δὲ εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΑ, ΗΒ, ΗΓ. Η∠, ΗΕ ΗΖ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ, ΗΕ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ, Η∠ τοῦ ΑΗΒ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΓ, ΗΖ τοῦ ΑΓΗ. τὸ οὖν ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ [*](3 η καὶ Β (sic) η καὶ η Β (sic) 8 ὄντος: f. δοθέντος) [*](13 τῶν ϛ 14 supplevi 16 cf. Heronis Rationes dimetiendi I cap. 8 p. 20 18 αὐτῆς: σ ex ν fec. m. 1 19 δεδόσθω δὲ: correxi)

282

τῆς ΗΕ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΖΕ [*](p. 288) κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα ΘΓ ἡμίσειʼ ἐστὶ τῆς περιμέτρου· τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΓ, ΕΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐμβαδῷ· ἀλλὰ τὸ ὑπὸ ΘΓ, ΕΗ, πλευρά ἐστι τοῦ ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τοῦ ΕΗ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ ἡ πλευρὰ ἔσται τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ ΗΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΒΓ ἡ ΒΛ· καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, [*](fol. 76r) γωνιῶν, ἐν κύκλῳ | ἄρα ἐστὶ τὰ Γ, Η, Β, Λ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗ, ΓΛ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· καί διὰ τὸ δίχα τέμνεσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας, ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ ΓΛΒ. ὅμοιον ἄρα τὸ ΑΗ∠ τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ· ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ, ἡ Α∠ πρὸς ∠Η, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΗΕ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΗΕ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ. ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΕΓ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΕΚ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὗ πλευρὰ ἦν τὸ τρίγωνον, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘ, ΘΒ, ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΕΒ. καὶ ἔσται δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ, ΕΓ· ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου· ἡ δὲ ΘΒ ὑπεροχή, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια [*](5 εμβαδον 8 εσται τω τῆ ΝΓ 9 ἡ Γ∠ 12 ὑπὸ: ὑ evanuit 13 πρὸς τὸ 15—16 πρὸς ΑΒΛ sed Α del. m. 1) [*](17 πρὸς ΝΕ 19 πρὸς ΗΚ ὡστε 20 πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΘΒ) [*](20—21 τὸ ὑπὸ ΒΕΓ 21 τῶ ὑπὸ ΓΕΚ πρὸς τῶ 23 τὸ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπεὶ 26 ὑπεροχὴν ὑπερέχει)

284

τῆς περιμέτρου τῆς ΒΓ· ἡ δὲ ΒΕ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΓΕ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μοιρῶν ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μοιρῶν ιδ, ἡ δὲ ΓΑ μοιρῶν ιε. σύνθες τὰς τρεῖς, γίνονται μβ· τούτων τὸ ἥμισυ κα. ἄφελε τὰ ιγ, λοιπὸν η· καὶ τὰ ιδ, λοιπὸν ζ· καὶ τὰ ιε, λοιπὸν ϛ. τὰ κα, η, ζ, ϛ πολλαπλασιασθέντα [*](p. 290) διʼ ἀλλήλων γίνονται ζνϛ· τούτων ἡ πλευρὰ ἔσται πδ. τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου πδ.

[*](p. 294)

λα. Πηγῆς ὑπαρχούσης ἐπισκέψασθαι τὴν ἀπόρρυσιν αὐτῆς, τουτέστι τὴν ἀνάβλυσιν, ὅση ἐστίν. εἰδέναι μέντοι χρὴ ὅτι οὐκ ἀεὶ ἡ ἀνάβλυσις ἡ αὐτὴ διαμένει. ὄμβρων. μὲν γὰρ ὄντων ἐπιτείνεται διὰ τὸ ἐπὶ τῶν ὁρῶν τὸ ὕδωρ πλεονάζον βιαιότερον ἐκθλίβεσθαι, αὐχμῶν δὲ ὄντων ἀπολήγει ἡ ῥύσις διὰ τὸ μὴ ἐπιφέρεσθαι πλέον ὕδωρ. αἱ μέντοι γενναῖαι πηγαὶ οὐ παρὰ πολὺ τὴν ἀνάβλυσιν ἴσχουσιν. δεῖ οὖν περιλαβόντα τὸ πᾶν τῆς πηγῆς ὕδωρ, ὥστε μηδαμόθεν ἀπορρεῖν, σωλῆνα τετράγωνον μολιβοῦν ποιῆσαι, στοχασάμενον μενον μᾶλλον μείζονα πολλῷ τῆς ἀποθύσεως· εἶτα διʼ ἑνὸς τόπου ἐναρμόσαι αὐτὸν ὥστε διʼ αὐτοῦ τὸ ἐν τῇ πηγῇ ὕδωρ ἀπορρεῖν. δεῖ δὲ αὐτὸν κεῖσθαι εἰς τὸν ταπεινότερον τῆς πηγῆς τόπον, ὥστε ἔχειν αὐτὴν ἀπόρρυσιν· τὸν δὲ ταπεινότερον ἐπιγνωσόμεθα τῆς πηγῆς [*](6 συνθέντας τὰς: correxi 9 ΖΗϛ 10 Η ∠ το 14—15 ἐπιτίθεται διατίθεται δια τὸ επὶ τῶν ὡρῶν: correri coll. Anonymo Byz. p. 390, 1 Vi 15 πλεονάζειν βιαιότερον ἐκθλιβόμενον correxi coll. anonymo Byz. p. 390, 2 Vinc. Similes corruptelae apud Philonem. Mech. Synt. I. V p. 80, 14 a C. Graux et apud Dionysium de imitatione p. 20, 21 ab H. Usenero sublatae sunt) [*](17 γένναι αἱ 20 μολιβον 24 αὐτὸν: correxi)

286

τόπον διὰ τῆς διόπτρας. ἀπολήψεται οὖν τὸ ἀπορέον διὰ τοῦ σωλῆνος ὕδωρ ἐν τῷ περιστομίῳ τοῦ σωλῆνος· οἷον ἀπολαμβάνειν δακτύλους β· ἐχέτω δὲ καὶ τὸ πλάτος τοῦ περιστομίου τοῦ σωλῆνος δακτύλους ϛ· ἑξάκις δύο γίνονται ιβ· ἀποφανούμεθα δὴ τὴν ἀνάβλυσιν τῆς πηγῆς δακτύλων ιβ. εἰδέναι δὲ χρὴ [*](fol. 76v) ὅτι οὐκ ἔστιν αὔ|ταρκες πρὸς τὸ ἐπιγνῶναι, πόσον χορηγεῖ ὕδωρ ἡ πηγή, ἢ τὸ εὑρεῖν τὸν ὄγκον τοῦ ῥεύματος, ὃν λέγομεν εἶναι δακτύλων ιβ, ἀλλὰ καὶ τὸ [*](p. 296) τάχος αὐτοῦ· ταχυτέρας μὲν γὰρ οὔσης τῆς ῥύσεως πλέον ἐπιχορηγεῖ τὸ ὕδωρ, βραδυτέρας δὲ μεῖον. διὸ δεῖ ὑπὸ τὴν τῆς πηγῆς ῥύσιν ὀρύξαντα τάφρον τηρῆσαι ἐξ ἡλιακοῦ ὡροσκοπίου, ἐν τινὶ ὥρᾳ πόσον ἀπορρεῖ ὕδωρ ἐν τῇ τάφρῳ, καὶ οὕτως στοχάσασθαι τὸ ἐπιχορηγούμενον ὕδωρ ἐν τῇ ἡμέρᾳ πόσον ἐστὶν, ὥστʼ οὐδὲ ἀναγκαῖόν ἐστι τὸν ὄγκον τῆς ῥύσεως τηρεῖν· διὰ γὰρ τοῦ χρόνου δήλη ἐστὶν ἡ χορηγία. ἀποφανούμεθα δὴ τὴν ἀνάβλυσιν τῆς πηγῆς δακτύλων ιβ.

λβ. Ἐπεὶ οὖν διὰ τῆς κατασκευασθείσης ἡμῖν διόπτρας τὰς ἐπὶ γῆς χρείας πρὸς τὰς διοπτρικὰς ἐπαγγελίας ἀπεδείξαμεν, εὔχρηστον δέ ἐστιν εἰς πολλὰ καὶ πρὸς τὰ οὐράνια πρὸς τὸ τὰς τῶν ἀπλανῶν ἀστέρων ἢ παὶ τῶν πλανητῶν ἀποστάσεις εἰδέναι, ἀποδείξομεν διὰ τῆς διόπτρας ὡς δεῖ καὶ τὰ τούτων ἀποστήματα λαμβάνειν. ἐν γὰρ τῷ ὑπὸ γαστέρα τοῦ τυμπάνου τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κύκλον γράψομεν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον [*](3 ἀπολαμβάνειν: correxi 4 τὸ περιστόμιον 8 πηγὴ ἢ τὸ εὑρεῖν 9—10 τὸ πάχος 11 f. ἐπιχορηγεῖται ὕδωρ 11—12 διο δη) [*](17—18 δὲ τὴν 18 δακτύλων δεδεκα (sic); haec transposui in vs. 5. 19 διὰ deleverim 24 〈τούτων〉 addidi 26 τω αυτω κεντρω, sed ex τῶ αὐτω fec. τὸ αὐτὸ man.1)

288

τῷ τυμπάνῳ, ὃν γράψει τὸ τοῦ μοιρογνωμονίου ἄκρον τοῦ ἐν τῷ κανόνι· καὶ τοῦτον διελοῦμεν εἰς μοίρας τξ. ὅταν οὖν βουλώμεθα δύο ἀστέρων τὸ μεταξὺ διάστημα ἐπισκέψασθαι, ὅσων μοιρῶν ὑπάρχει, ἐάν τε τῶν πλανητῶν εἴησάν τινες ἢ καὶ τῶν ἀπλανῶν ἢ καὶ ὁ μὲν ἕτερος αὐτῶν εἴη τῶν ἀπλανῶν, ὁ δὲ ἕτερος τῶν πλανητῶν, ἀφελόντες τὸν κανόνα, διʼ οὗ διοπτεύομεν, [*](p. 298) ἀπὸ τοῦ τυμπάνου ἐγκλίνομεν αὐτὸ τὸ τύμπανον, ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ἐπιπέδου αὐτοῦ φανῶσιν οἱ εἰρημένοι ἀστέρες ἅμα ἀμφότεροι. εἶτʼ ἐντιθεὶς τὸν κανόνα ὡς εἴθισται, τῶν ἄλλων ἀκινήτων, ἐπιστρέψω αὐτὸν, ἄχρις ἂν εἷς τῶν ἀστέρων φανῇ· καὶ παρασημηνάμενος τὴν μοῖραν, καθʼ ἣν ἓν τῶν μοιρογνωμονίων ὑπάρχει τὸ μέρος αὐτῆς, ἐπιστρέφω τὸν κανόνα, ἄχρις οὗ καὶ ὁ ἕτερος ἀστὴρ διʼ αὐτοῦ φανῇ. εἶτα ὁμοίως παρασημηνάμενος τὴν μοῖραν, καθʼ ἣν τὸ αὐτὸ μοιρογνωμόνιον ὑπάρχει, ἐπιγνώσομαι τὸ πλῆθος τῶν μοιρῶν τὸ μεταξὺ τῶν ληφθέντων δύο σημείων· καὶ τοσαύτας ἀποφανοῦμαι τοὺς ἀστέρας ἀπέχειν ἀπʼ ἀλλήλων μοίρας.

λγ. Ἐπεὶ οὖν τινὲς χρῶνται τῷ καλουμένῳ ἀστερίσκῳ [*](fol. 77r) πρὸς ὀλίγας | παντελῶς διοπτρικὰς χρείας, εὔλογον ἡγούμεθα τὰ περὶ αὐτὸν συμβαίνοντα μηνῦσαι τοῖς πειρωμένοις χρήσασθαι αὐτῷ, ὅπως μὴ παρὰ τὴν ἄγνοιαν ἁμαρτάνοντες λανθάνωσιν. τοὺς μὲν οὖν κεχρημένους οἶμαι πεπειρᾶσθαι τῆς δυσχρηστίας αὐτοῦ, ὅτι αἱ σπάρται, ἐξ ὧν τὰ βάρη κρέμανται, οὐ [*](1 μυρογνωμονίου 5 πλανήτων εἰ τινες 5—6 ὁ μὲν ἀστέρος 11 f. ἀκινήτων 〈μενόντων〉 13—14 τὸ μέρος αὐ- τῆς] delevi 18—19 ἀποφαινουμαι 20— 21 ἀστερίσκος est stella gromaticorum, de qua dixit Rudorffius Gromatische ln- stitutionen p. 337 22 περὶ αὐτῶν: correxi 25 πειρᾶσθαι: correxi 26 αὐτῶν: correxi βέρη: corr. Vi)

290

[*](p. 300) ταχέως ἠρεμοῦσιν, ἀλλὰ χρόνον τινὰ διαμένουσι κινούμεναι, καὶ μάλιστα ὅταν σφοδρὸς ἄνεμος πνέῃ. διὸ πειρῶνταί τινες, παραβοηθεῖν βουλόμενοι ταύτῃ τῇ δυσχρηστίᾳ, ξυλίνας σύριγγας κοίλας ποιοῦντες, ἐμβαλεῖν τὰ βάρη εἰς ταύτας, ὥστε μὴ ὑπὸ τοῦ ἀνέμου τύπτεσθαι. παρατρίψεως οὖν γινομένης τῶν βαρῶν πρὸς τὰς σύριγγας οὐκ ἀκριβῶς αἱ σπάρτοι ὀρθαὶ διαμένουσιν πρὸς τὸν ὁρίζοντα· ἔτι δὲ καὶ ἐὰν ἐπιτύχωσιν, ὥστε τὰς σπάρτας ἠρεμεῖν καὶ ὀρθὰς διαμένειν πρὸς τὸν ὁρίζοντα, οὐ πάντως τὰ διὰ τῶν σπάρτων ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς γίνεται ἀλλήλοις· τούτου δὲ μὴ γινομένου, οὐδʼ αὐτοῖς κατὰ τρόπον ἀκολουθεῖ τι τῶν εν ω ερουμενων· τοῦτο γὰρ δείξομεν. ἔστωσαν γὰρ ἐν ἐπιπέδῳ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ∠, μὴ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλας τέμνουσαι· ἀμβλεῖα δὲ ἔστω ἡ ὑπὸ ΑΕ∠ γωνία· καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῷ διὰ τῶν ΑΒ, Γ∠ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἀνεστάτω ἡ ΕΖ· καὶ πρὸς ἑκατέραν ἄρα τῶν ΑΕ, ΕΓ, ὀρθή ἐστιν. ἡ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ, γωνία ἡ κλίσις ἐστίν, ἐν κέκλιται τὸ διὰ τῶν ΕΑΖ πρὸς τὸ διὰ τῶν ΓΕΖ, καὶ ἔστιν ὀξεῖα· τὰ οὖν εἰρημένα ἐπίπεδα οὔκ ἐστιν ὀρθὰ πρὸς ἄλληλα. ἀπειλήφθωσαν οὖν δύο ἴσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, Ε∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Α∠· καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΕΗ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ Η∠· καὶ ἑκατέρα αὐτῶν μείζων ἐστὶ τῆς ΗΕ· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ προσβαλεῖν ἀπὸ τοῦ Η ἴσην τῇ ΑΗ τὴν ΗΖ. προσεκβεβλήσθωσαν καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ Κ, Λ, καὶ τῇ ΑΖ [*](1 χρονον ην ἀναμένουσαι; correxi; χρ. ἀναμένουσι Vi) [*](4 δυσχριστία 13 ἐν ῶ ερουμένων: non extricavi; ἐρευνωμέ- νων Vi 20 πρὸς τῶ 24 μείζων ex μείζον fec. m. 1 25 προσλα-)

292

ἴση ἐκατέρα τῶν ΚΖ, ΖΛ. διὰ δὲ τῶν Α, ∠, Κ, Λ τῇ ΕΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΑΜ, ∠Ν, ΚΞ ΛΟ· ἡ δὲ ΕΖ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΑΒ, Γ∠ ἐπίπεδον· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ΑΜ, ∠Ν, ΚΞ, ΛΟ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΑΒΓ∠ ἐπίπεδον. καὶ ἐπεὶ αἱ τρεῖς αἱ ΑΗ, Η∠, ΗΖ ἴσαι εἰσί, πρὸς ὀρθὰς ἄρα [*](p. 302) ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ∠Κ. ἐὰν ἄρα ὑποστησώμεθα τὰς τοῦ ἀστερίσκου ῥάβδους εἶναι τὰς ΑΛ, ∠Κ, τὸ δὲ διὰ τῶν ΑΒ, Γ∠ ἐπίπεδον τὸ παρὰ τὸν ὁρίζοντα, τὰς δὲ κρεμαμένας σπάρτους εἶναι ἐκ τῶν Α, Λ, ∠, Κ, ἔσονται αἱ σπάρτοι αἱ ΑΜ, ∠Ν, ΚΞ, ΛΟ. καὶ οὐκ εἰσὶ τὰ διὰ τῶν σπάρτων ἐπίπεδα ὀρθὰ καὶ πρὸς ἄλληλα, λέγω δὴ τὸ διὰ τῶν ΑΜ, ΛΟ πρὸς τὸ διὰ τῶν [*](fol. 77v) ∠Ν, ΚΞ· δέδεικται γὰρ | κεκλιμένα πρὸς ἄλληλα ἐν τῇ ὑπὸ ΑΕΓ γωνίᾳ ὀξείᾳ οὔσῃ.

[*](p. 306)

λδ. Ἀκόλουθον δὲ εἶναι νομίζομεν τῇ διοπτρικῇ πραγματείᾳ καὶ διὰ τοῦ καλουμένου ὁδομέτρου τὰ ἐπὶ τῆς γῆς μετρεῖν διαστήματα, ὥστε μὴ διʼ ἀλύσεως μετροῦντα ἢ σχοινίου κακοπαθῶς καὶ βραδέως ἐκμετρεῖν, ἀλλʼ ἐπʼ ὀχήματος πορευόμενον, διὰ τῆς τῶν τροχῶν ἐκκυλίσεως ἐπίστασθαι τὰ προειρημένα διαστήματα. οἱ μὲν οὖν πρὸ ἡμῶν ἐξέθεντό τινας μεθόδους, διʼ ὧν τοῦτο γίνεται, ἐξέσται δὲ κρίνειν τό τε ὑπὸ ἡμῶν γραφόμενον ὄργανον καὶ τὰ ὑπὸ τῶν προτέρων. γεγονέτω οὖν πῆγμα, καθάπερ κιβώτιον, ἐν ᾧ πᾶσα ἔσται ἡ μέλλουσα λέγεσθαι κατασκευή· ἐν δὲ τῷ πυθμένι τοῦ κιβωταρίου --- τὸ ΑΒΓ∠ [*](2 ΑΜ ∠Η 7 ἀποστησώμεθα corr. Vi 8 ραδους (sic)) [*](11 ΑΜ ∠Η: corr. Vi 12 f. [καὶ] 14 ∠Η ΚΞ: corr. Vi) [*](17 πραγματία 25 κηβώτιον 27 post κιβωταρίου unum ut complures versiculos hiatu absumptos excidisse Venturius tuit; f. τῷ ΑΒΓ∠ 〈. . .〉)

294

[*](p. 308) χάλκεον, συμφυῆ ἔχον τὰ εἰρημένα σκυτάλια· διʼ ὧν ἀνατομὴ γεγονέτω ἐν τῷ πυθμένι τοῦ κιβωταρίου, διʼ ἧς περόνη συμφυὴς γενηθεῖσα τῇ χοινικίδι ἑνὸς τῶν τοῦ ὀχήματος τροχῶν, κατὰ μίαν στροφὴν παρεμβαίνουσα εἰς τὴν ἀνατομὴν τὴν ἐν τῷ τοῦ κιβωταρίου πυθμένι, παράξει ἓν τῶν σκυταλίων, ὥστε τὸ ἑξῆς σκυτάλιον τὴν αὐτὴν πάλιν θέσιν ἔχειν τῷ πρότερον, καὶ τοῦτο ἐπʼ ἄπειρον. συμβήσεται οὖν τοῦ τροχοῦ ὀκτὼ στροφὰς ποιησαμένου τὸ σκυταλωτὸν τύμπανον μίαν ἀποκατάστασιν εἰληφέναι. τῷ οὖν εἰρημένῳ σκυταλωτῷ τυμπάνῳ συμφυὴς ἔστω κοχλίας, ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς ὀρθὰς αὐτῷ πεπηγὼς, τὸ δὲ ἕτερον ἄκρον ἔχων ἐν διαπήγματι πεπηγότι εἰς τοὺς τοῦ κιβωταρίου τοίχους. τῷ δὲ εἰρημένῳ κοχλίᾳ παρακείσθω τύμπανον ὠδοντωμένον, τοὺς ὀδόντας ἁρμοστοὺς ἔχον τῇ ἕλικι τοῦ κοχλίου, δηλονότι πρὸς ὀρθὰς τῷ πυθμένι κείμενον, καὶ ἔχον ὁμοίως συμφυῆ ἄξονα, οὗ τὰ ἄκρα πολείσθω εἰς τοὺς τοῦ κιβωταρίου τοίχους. ἐκ δὲ τοῦ ἑνὸς μέρους ὁ ἄξων πάλιν ἐγγεγλυμμένην ἐχέτω ἕλικα, ὥστε εἶναι αὐτὸν κοχλίαν. καὶ πάλιν τούτῳ τῷ κοχλίᾳ παρακείσθω ὀδοντωτὸν τυμπάνιον, δηλονότι παράλληλον τῷ πυθμένι κείμενον, ἔχον συμφυῆ ἄξονα· οὗ τὸ μὲν ἕτερον ἄκρον πολείσθω ἐν τῷ τοῦ κιβωταρίου [*](fol. 78r) πυθμένι, τὸ δὲ λοιπὸν ἐν δι|ατοναίῳ πεπηγότι ἐν τοῖς τοῦ κιβωταρίου τοίχοις· καὶ οὗτος οὖν ὁ ἄξων ἐκ τοῦ ἑνὸς μέρους ἐχέτω ἕλικα πάλιν ἁρμόζουσαν εἰς ἑτέρου [*](1 τὰ εἰρημένα: τινα ἱδρυμένα Vi perperam; exspectamus σκυτάλια ὀκτώ· καὶ ἀνατομὴ 7 τὸ πρότερον 9 τι σκυταλω- τὸν 10—11 τὸ οὖν εἰρημένον σκυταλίω τῶ τυμπανω: corr. Vi) [*](11—12 ἀπὸ τοῦ καυτου: correxi ; ἄκρου Vi 15 ὀδοντωμένον) [*](17 ἄξωνα 18 ἀπολειπέσθω: corr. Vi 20 εἶναι τὸν) [*](2 ἀξωνα 25 οὕτως ὢν: corr R. Schoene.)

296

τυμπάνου ὀδόντας, δηλονότι τοῦ τυμπάνου ὀρθοῦ πρὸς τὸν πυθμένα κειμένου. καὶ τοῦτο γινέσθω ἐφʼ ὅσον ἂν βουλώμεθα ἢ ὁ τόπος ὁ τοῦ κιβωταρίου χώραν [*](p. 310) ἔχῃ· ὅσῳ γὰρ πλείονα γίνεται τά τε τύμπανα καὶ οἱ κοχλίαι, τοσούτῳ καὶ ἡ ὁδὸς ἐπὶ πλεῖον μετρουμένη εὑρεθήσεται. ἕκαστος γὰρ κοχλίας ἅπαξ στραφεὶς τοῦ παρακειμένου αὐτῷ τυμπανίου ἕνα ὀδόντα κινήσει· ὥστε τὸν μὲν συμφυῆ τῷ σκυταλωτῷ τυμπανίῳ ἅπαξ στραφέντα, ὀκτὼ μὲν περιμέτρους τοῦ τροχοῦ σημαίνειν, τοῦ δὲ παρακειμένου αὑτῷ τυμπανίου ἕνα ὀδόντα κεκινηκέναι. εἰ τύχοι οὖν, τὸ παρακείμενον τύμπανον, ἐὰν ὀδόντας ἔχῃ τριάκοντα, ἅπαξ στραφὲν ὑπὸ τοῦ κοχλίου στροφὰς δηλώσει τοῦ τροχοῦ σμ. καὶ πάλιν τοῦ εἰρημένου ὀδοντωτοῦ τυμπανίου ἅπαξ στραφέντος ὁ μὲν συμφυὴς αὐτῷ κοχλίας ἅπαξ στραφήσεται, τοῦ δὲ παρακειμένου τῷ κοχλίᾳ τυμπανίου εἷς ὁδοὺς κινηθήσεται. ἐὰν ἄρα καὶ τοῦτο τὸ τύμπανον ἔχῃ ὀδόντας λ, ὅπερ εἶναι εἰκὸς καὶ πλείονας γίνεσθαι, ἅπαξ στραφέντος αὐτοῦ, στροφαὶ τοῦ τροχοῦ δηλωθήσονται ζσ· ἂν δὲ ἄρα ὁ τροχὸς ἔχῃ τὴν περίμετρον πηχῶν ι, ἔσονται πήχεις μ β. ἔστιν στάδια ρπ. καὶ ταῦτα μὲν ἐπὶ τοῦ β΄ τυμπανίου εὕρηται· πλειόνων δὲ ὄντων καὶ τῶν ὀδόντων κατὰ τὸ πλῆθος αὐξομένων πολλοστὸν τῆς ὁδοῦ μέγεθος εὑρεθήσεται μετρούμενον. δεῖ δὲ τοιαύτῃ χρήσασθαι κατασκευῇ, ὥστε μὴ πολλῷ πλείονα ὁδὸν δύνασθαι σημαίνειν τὸ ὄργανον ἢ τὴν ἐν μιᾷ [*](4 ἔχει τοσοῦτο 8 σκυταλιω τω τυμπανιω 15—16 τοῦ δὲ τοῦ: sed alterum τοῦ del. m. 1 18 f. οὕσπερ ἐστιν εἰκὸς κτλ.) [*](20 πσ: corr. Vi [δὲ] delevi 21 ΜΒ εστιν σταδια) [*](22 εἴρηται: correxi 23 αὐξομένων ποδος τὸ: correxi) [*](24 ήσεται (sic): correxi 26 〈ἢ〉 add. Vi)

298

ἡμέρᾳ δυναμένην ἐξανύεσθαι ὑπὸ τοῦ ὀχήματος· δυνατὸν γὰρ καθʼ ἑκάστην ἡμέραν ἐκμετροῦντα τὴν τῆς ἡμέρας ὁδὸν εἰς τὴν ἑξῆς πάλιν ἀρχὴν ποιεῖσθαι τῆς ἑξῆς ὁδοῦ. ἀλλʼ ἐπεὶ ἡ ἑκάστου κοχλίου στροφὴ οὐκ ἀκριβῶς οὐδὲ μεμετρημένως τοὺς παρακειμένους ὀδόντας στρέφει, ἡμεῖς τῇ πείρᾳ ἐπιστρέφομεν τὸν πρῶτον κοχλίαν, ἕως οὗ τὸ παρακείμενον αὐτῷ ὀδοντωτὸν [*](p. 312) τύμπανον μίαν ἀποκατάστασιν λάβῃ, μετροῦντες ὁσάκις [*](fol. 78v) αὐτὸς ἐπιστρέφεται. καὶ, εἰ τύχοι, εἰληφέτω | στροφὰς κ, ἐν ᾧ τὸ παρακείμενον αὑτῷ τύμπανυν μίαν ἀποκατάστασιν λαμβάνει· τοῦτο δὲ εἶχεν ὀδόντας λ· αἱ ἄρα κ στροφαὶ τοῦ σκυταλωτοῦ τυμπάνου λ ὀδόντας ἐκίνησαν τοῦ παρακειμένου τῷ κοχλίᾳ τυμπάνου· αἱ δὲ κ στροφαὶ σκυτάλια ἐπιστρέφουσιν ρξ· τοσαῦται δὲ καὶ τοῦ τροχοῦ εἰσὶ στροφαί· γίνονται ἄρα πήχεις αχ. εἰ δὲ οἱ λ ὀδόντες μηνύουσιν πήχεις αχ, ὁ ἄρα α ὀδοὺς τοῦ εἰρημένου τυμπανίου σημαίνει τῆς ὁδοῦ πήχεις νγ γ΄. ὅταν ἄρα ἀρξάμενον τὸ ὀδοντωτὸν κινεῖσθαι τύμπανον εὑρεθῇ κεκινημένον ὀδόντας ιε, σημαίνει ὁδὸν πηχῶν ω, τουτέστι στάδια δύο. ἐπιγράψομεν οὖν ἐν μέσῳ τῷ εἰρημένῳ ὀδοντωτῷ τυμπάνῳ πήχεις νγ γ΄· τὰ δὲ αὐτὰ ἐπιλογισάμενοι καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὀδοντωτῶν τυμπανίων ἐπιγράψομεν τοὺς ἀριθμούς· ὥστε ἑκάστου αὐτῶν παραχθέντων τινῶν ὀδόντων ἐπιγνῶναι τὴν ἐξανυσθεῖσαν ὁδόν. ἵνα δὲ μὴ, ὅταν βουλώμεθα ἐπισκέψασθαι τὸ μῆκος τῆς ὁδοῦ, ἀνοίγοντες τὸ κιβωτάριον ἐπισκοπῶμεν τοὺς ἑκάστου τυμπάνου ὀδόντας, δείξομεν ὡς δυνατὸν διὰ τῆς ἑκάστου κιβωταρίου [*](9 ἐπιτύχοι 11 λαμβάνει 12 ἐκείνης ἂν 17 ΝΓ Ε γε sed γε del. m. 1 18 τὸν οδοντωτὸν 20—21 τοῦ εἰρημένου) [*](21 ΝΓ Ε 22 ἐπὶ τῶν λοιοδόντων)

300

ἐπιφανείας, γνωμονίων τινῶν περιαγομένων, εὑρίσκειν τὸ τῆς ὁδοῦ μῆκος. τὰ μὲν γὰρ εἰρημένα ὠδοντωμένα τυμπάνια κείσεται μὴ ψαύοντα τῶν πλευρῶν τοῦ κιβωταρίου, οἱ δὲ ἄξονες αὐτῶν εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος ὑπερεχέτωσαν τῶν τοίχων· αἱ δʼ ὑπεροχαὶ τετράγωνοι ἔστωσαν, ὡς ἂν προσειληφυῖαι μοιρογνωμόνια ἐν τετραγώνοις τρήμασιν· ὥστε στρεφομένου τοῦ τυμπάνου σὺν τῷ ἄξονι συστρέφεσθαι καὶ τὸ μοιρογνωμόνιον· οὗ δὴ περιαγόμενον τὸ ἄκρον κύκλον γράψει ἐν τῇ ἑτέρᾳ πλευρᾷ τοῦ αὐτοῦ τοίχου, ὃν διελοῦμεν εἰς τὸ αὐτὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ἐντὸς τυμπανίου. [*](p. 314) τὸ δὲ μοιρογνωμόνιον μεγέθει ἔστω τηλικοῦτο, ὥστε μείζονα γράφειν κύκλον, πρὸς τὸ τὴν διαίρεσιν τῶν ὀδόντων ἐν μείζοσι διαστήμασιν εἶναι· ἕξει δὲ ὁ γραφόμενος κύκλος τὴν αὐτὴν ἐπιγραφὴν τῷ ἐντὸς τυμπάνῳ· καὶ οὕτως διὰ τῆς ἐκτὸς ἐπιφανείας ἐπιθεωρήσομεν τὸ μῆκος τῆς ἀνυσθείσης ὁδοῦ. ἐὰν δὲ μὴ ᾖ δυνατὸν πάντα τὰ τυμπάνια μὴ ψαύειν τῶν τοίχων τοῦ κιβωταρίου, διὰ τὸ ἐμποδίζεσθαι ὑπὸ ἀλλήλων, ἢ [*](fol. 79r) διὰ τοὺς παρακειμένους κοχλίας, ἢ διʼ | ἕτερόν τι, ἀποστήσομεν ἕκαστον αὐτῶν τοσοῦτον, ὥστε μηδὲν ἐμποδὼν εἶναι.

Ἐπεὶ οὖν τῶν ὀδοντωτῶν τυμπάνων ἃ μὲν παράλληλα τῷ πυθμένι ἐστὶν, ἃ δʼ ὀρθά, καὶ τῶν γραφομένων ἄρα κύκλων ὑπὸ τῶν μοιρογνωμονίων οἳ μὲν ἐν τοῖς ὀρθοὶς τοίχοις ἔσονται τοῦ κιβωταρίου, οἳ δ᾿ ἐν τῷ ἐπιπώματι. δεήσει ἄρα διὰ τοῦτο, ἕνα τῶν [*](2 ὀδοντωμένα 4 ἀξωνες 6 μυρογνωμονιο 7 σχήμασιν: correxi 8 ἄξωνι 9 ὃ δὴ γράψοι 12—13 ὥστε μίαν γράφειν 15 τὸ ἐντος 16—17 ἐπιθεωρήσωμεν 21 ἀποτήσωμεν; correxi 23 ὀδόντων τῶν 25 μοιρογνωμονίων; sed ι de.l m. 1 26—27 ὀδοντω ενι πωματι: correxi)

302

ὀρθῶν τοίχων τῶν μὴ ἐχόντων τοὺς κύκλους πῶμα γενέσθαι, ἵνα τὸ ὡσανεὶ πῶμα τοῖχος ᾖ.

[*](fol. 79r)

λε. | Ὅσοι μὲν οὖν τόποι βαδίζεσθαι δύνανται, τούτων [*](p. 320) τὰ μήκη ἢ διὰ τῆς κατασκευασθείσης διόπτρας ἢ τοῦ ῥηθέντος ὁδομέτρου εὑρίσκεται· ἐπεὶ δὲ εὔχρηστον ὑπάρχει καὶ τὴν μεταξὺ δύο κλιμάτων ὁδὸν ἡλίκη ἐστὶν ἐπίστασθαι, ἐμπιπτόντων εἰς αὐτὴν νήσων τε καὶ πελαγῶν καὶ, εἰ τύχοι, ἀβάτων τινῶν τόπων, ἀναγκαῖόν ἐστι καὶ πρὸς τοῦτο μέθοδόν τινα ὑπάρχειν, ὅπως παντελῶς εἴη ἡμῖν ἡ ἐκδεδομένη πραγματεία. δέον δὲ ἔστω, εἰ τύχοι, τὴν μεταξὺ Ἀλεξανδρείας καὶ Ῥώμης ὁδὸν ἐκμετρῆσαι τὴν ἐπʼ εὐθείας, τήν γε ἐπὶ κύκλου περιφερείας μεγίστου τοῦ ἐν τῇ γῇ, προσομολογουμένου τοῦ ὅτι περίμετρος τῆς γῆς σταδίων ἐστὶ καὶ ἔτι β, ὡς ὁ μάλιστα τῶν ἄλλων ἀκριβέστερον πεπραγματευμένος Ἐρατοσθένης δείκνυσιν ἐν τῷ ἐπιγραφομένῳ περὶ τῆς ἀναμετρήσεως τῆς γῆς. τετηρήσθω οὖν ἔν τε Ἀλεξανδρείᾳ καὶ Ῥώμῃ ἡ αὐτὴ ἔκλειψις τῆς σελήνης· εἰ μὲν γὰρ ἐν ταῖς ἀναγραφείσαις εὑρίσκεται, ταύτῃ χρησόμεθα· εἰ δὲ οὔ, δυνατὸν ἔσται ἡμᾶς αὐτοὺς [*](fol. 79v) τηρήσαντας εἰπεῖν διὰ τὸ τὰς τῆς σελήνης ἐκλείψεις [*](p. 322) διὰ πενταμήνων καὶ ἑξαμήνων γίνεσθαι. ἔστω οὖν εὑρημένη ἐν τοῖς εἰρημένοις κλίμασιν αὕτη ἡ ἔκλειψις, ἐν Ἀλεξανδρείᾳ μὲν νυκτὸς ὥρας ε, ἐν Ῥώμῃ δὲ ἡ αὐτὴ νυκτὸς ὥρας γ, δηλονότι τῇ αὐτῇ νυκτί. ἔστω δὲ καὶ ἡ νύξ, τουτέστιν ὁ ἡμερήσιος κύκλος, καθʼ οὗ φέρεται ὁ ἥλιος ἐν τῇ εἰρημένῃ νυκτί, ἀπέχων ἀπὸ ἰσημερίας ἐαρινῆς, ὡς ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς, ἡμέρας [*](4 τῶ μήκει 9 μέθον: corr. Vi f. παντελὴς 10 δεδόσθω δὲ: correxi 12 γην τε την επὶ 13 τούτου ὅτι Vi 14 ἐστι)

304

δέκα· καὶ καταγεγράφθω ἡμισφαίριον τὸ διὰ τῶν τροπικῶν, εἰ μὲν ἐν Ἀλεξανδρείᾳ ἐσμὲν, πρὸς τὸ ἐν Ἀλεξανδρείᾳ, εἰ δὲ ἐν Ῥώμῃ, πρὸς τὸ ἐν Ῥώμῃ κλίμα. ἔστω δὴ ἡμᾶς εἶναι ἐν Ἀλεξανδρείᾳ· καὶ ἐγκείσθω κοῖλον ἡμισφαίριόν τιηδιὰ τῶν τροπικῶν καταγράφειν πρὸς τὸ ἐν Ἀλεξανδρείᾳ κλίμα. καὶ ἔστω αὐτοῦ ὁ περὶ τὸ χεῖλος κύκλος ὁ ΑΒΓ∠ μεσημβρινὸς δὲ ἐν αὐτῷ ἔστω ὁ ΒΕΖΗ∠ ἰσημερινὸς δὲ ὁ ΑΗΓ· πόλος δὲ τῶν παραλλήλων ὁ Ε· τοῦ δὲ περὶ τὸ χεῖλος τοῦ ἡμισφαιρίου πόλος ὁ Ζ. καὶ ἐντετάχθω ὁμοταγὴς τῷ κύκλῳ τῷ καθʼ ὃν φέρεται ἐν τῇ εἰρημένῃ νυκτὶ ὁ ἥλιος ὥρας πέμπτης, τότε μὲν ἀπέχων ἀπὸ ἰσημερίας ἐαρινῆς καὶ ἐπὶ τροπὰς χειμερινὰς ἡμέρας ι, καὶ ἔστω ὁ ΘΚΛ· καὶ διῃρήσθω ἡ ΘΚ∠ περιφέρεια εἰς τὰς ιβ· καὶ ἔστω τούτων ἡ πέμπτη ἡ ΘΜ, ἐπειδήπερ πέμπτης ὥρας ἡ ἔκλειψις ἐτηρήθη ἐν Ἀλεξανδρείᾳ· ἔσται ἄρα τὸ Μ ὁμοταγὲς τῷ πρὸς ὃ ἦν ὁ ἥλιος τῆς ἐκλείψεως γενομένης. καὶ γεγράφθω δὲ καὶ τὸ διὰ Ῥώμης ἀνάλημμα, ἐν ᾧ ἐγγεγράφθω καὶ ὁ ἡμερήσιος κύκλος ὁ ὁμοταγὴς τῷ ΘΚΛ. καὶ ὁρίζοντος μὲν διάμετρος ἡ ΝΞ· γνώμων δὲ ὁ ΟΠ· ἡ δὲ τοῦ ἡμερησίου διάμετρος [*](p. 324) ἡ ΡΣ· δίορον δὲ ἡ ΤΥ. καὶ οἵων ἐστὶν ἡ ΓΦΣ περιφέρεια ἡμερησίων ὡρῶν ϛ, τοιούτων ὡρῶν ἡ ΥΦ γ, ἐπειδήπερ ἡ τήρησις ἐν Ῥώμῃ γεγένηται ὥρας γ καὶ τῇ ΥΦ περιφερείᾳ ὁμοία κείσθω ἡ ΜΧ. τὸ ἄρα Χ σημεῖον πρὸς τῷ ὁρίζοντι τῷ διὰ Ῥώμης. ἔστω δὲ καὶ ἄξων ἐν τῷ ἀναλήμματι ὁ ΨΩ, καὶ τῇ ΥΦΣ περιφερείᾳ ὁμοία κείσθω ἡ ΧΚϛ· ἔσται δὴ τὸ [*](4 δὲ 5 κοινὸν τι η ὃς τῶν 10 πολος ὁ ΟΖ (sic) ὁμοταγεὶς 11 καθω 12 τὸ μὲν ἀπέχειν 14 διειρησθω 15 τοιοῦτον ἡ ΕΗΘΜ: correxi 17 πρὸς ο μη ἡλιος 20 καὶ ο)

306

ϛ ἐπὶ τοῦ μεσημβρινοῦ τοῦ διὰ Ῥώμης· ἀλλὰ καὶ τὸ Ε πόλος τῶν παραλλήλων· γεγράφθω διὰ τῶν Ε, ϛ μέγιστος κύκλος ὁ Εϛ· τοῦτο δὴ ἔσται ὁ εἰρημένος διὰ Ῥώμης μεσημβρινός. καὶ τῇ ΞΩ περιφερείᾳ ὁμοία κείσθω ἡ Α Β, ἀπὸ δὲ τοῦ ϛ Α τετραγώνου κείσθω ἡ ΑΒΖ· τὸ ἄρα Β σημεῖον ἔσται τοῦ διὰ Ῥώμης ὁρίζοντος πόλος, ἀλλὰ καὶ τὸ Ζ τοῦ διʼ Ἀλεξανδρείας. γεγράφθω οὖν διὰ τῶν Β, Ζ, μεγίστου κύκλου περιφέρεια ἡ Β Ζ, καὶ ἐξητάσθω πόσων γίνεται μοιρῶν πρὸς τὸν ΑΒΓ∠ κύκλον· εὑρήσθω, εἰ τύχοι, μοιρῶν [*](fol. 80r) | κ. ἔσται οὖν ἡ ἀπολαμβανομένη ἐν τῇ γῇ μεταξὺ Ῥώμης καὶ Ἀλεξανδρείας μοιρῶν κ, οἵων ἐστὶν καὶ ὁ μέγας κύκλος μοιρῶν τξ. ἔχει δὲ ἡ μία μοῖρα τῶν ἐν τῇ γῇ σταδίους ψ, εἴ γε ὅλη ἡ περίμετρός ἐστι μ καὶ β. αἱ ἄρα κ μοῖραι γίνονται εἰς μ δ. τοσούτους δὴ σταδίους ἀποφανούμεθα καὶ τὸ τῆς εἰρημένης ὁδοῦ μῆκος. ἐὰν δὲ τὸ Α σημεῖον ὑπερπίπτῃ τοῦ --- τῆς ὑπερπιπτούσης περιφερείας ἣν θήσομεν τὴν Γ, καὶ ἔσται τὸ Β τε διάμετρον τῷ ὑπερπίπτοντι σημείῳ. πάλιν οὖν τετραγώνου θέντες τὴν ΣΒ ἕξομεν τὸ Β σημεῖον.

[*](p. 330)

λζ. Τῇ δοθείσῃ δυνάμει τὸ δοθὲν βάρος κινῆσαι διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως. κατεσκευάσθω πῆγμα καθάπερ γλωσσόκομον· εἰς τοὺς μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους διακείσθωσαν ἄξονες παράλληλοι ἑαυτοῖς, ἐν διαστήμασι κείμενοι ὥστε τὰ συμφυῆ αὐτοῖς [*](1—2 τὸ Ε πόλος τῶν 2 γεγράφθω δὴ τῶν Βϛ 3 κυκλος ο ΥΕϛ 5 ΘΣ, ἀπο δὲ τοῦ Σ 5—6 κείσθω ἡ ΑΒ το) [*](8 τῶν ΒΖ 9 ἡ ΒΖ 11 ἔσται οὖν folio lacerato paene evanida 12 οιωνες καὶ: correxi 14 add. Vi ΚΕ καὶ Β)

308

ὀδοντωτὰ τύμπανα παρακεῖσθαι καὶ συμπεπλέχθαι ἀλλήλοις, καθὰ μέλλομεν δηλοῦν. ἔστω τὸ εἰρημένον γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓ∠, ἐν ᾧ ἄξων ἔστω διακείμενος, ὡς εἴρηται, καὶ δυνάμενος εὐλύτως στρέφεσθαι, ὁ ΕΖ. τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΗΘ ἔχον τὴν διάμετρον, εἰ τύχοι, πενταπλασίονα τῆς τοῦ ΕΖ ἄξονος διαμέτρου. καὶ ἵνα ἐπὶ παραδείγματος τὴν κατασκευὴν ποιησώμεθα, ἔστω τὸ μὲν ἀγόμενον βάρος ταλάντων χιλίων, ἡ δὲ κινοῦσα δύναμις ἔστω ταλάντων ε, τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος ἢ παιδάριον, ὥστε δύνασθαι καθʼ ἑαυτὸν ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα ε. οὐκοῦν ἐὰν τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ἐκδεδεμένα ὅπλα διά τινος ὀπῆς οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ ἄξονα --- κατειλούμενα τὰ [*](fol. 80v) ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα | κινήσει τὸ βάρος· ἵνα δὲ κινηθῇ τὸ ΗΘ τύμπανον, δεῖ δυνάμει ὑπάρχειν πλέον ταλάντων [*](p. 332) διακοσίων, διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς διαμέτρου τοῦ ἄξονος, ὡς ὑπεθέμεθα, πενταπλῆν εἶναι· ταῦτα γὰρ ἀπεδείχθη ἐν ταῖς τῶν ε δυνάμεων ἀποδείξεσιν. ἀλλʼ --- ἔχομεν τί τὴν δύναμιν ταλάντων διακοσίων, ἀλλὰ πέντε. γεγονέτω οὖν ἕτερος ἄξων παβάλληλος διακείμενος τῷ ΕΖ, ὁ ΚΛ, ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΜΝ. ὀδοντῶδες δὲ καὶ τὸ [*](5 τοῦτο ὀδοντωμένον 7 suppl. Vi 8 ποιησομεθα) [*](11 ὥστε δύνασθαι: δυνάσθω Pappus 12 εικειν corr. Vi) [*](13 ἐνδεδεμένα: correxi 〈ὀπῆς〉 add. Hultsch ad Pappum p. 1062,13 14 ἐπιληθη τὸ ΕΖ ἄξωνα hiatu haec fere hausta: 〈ἐπιστρεφομένου τοῦ ΗΘ τυμπάνου〉 14—15 τὰ ἐκ τοῦ φορτίου επλακων |εν τισι το βάρος; correxi; ἐφεῖλκεν ἄν τι Vi 16 τὸ ΠΘ τυμπανον 〈. . . . . . .〉 | μει ὑπάρχειν septem litteris madore absumptis; supplevi dubitanter 18 ἀξωνος 20 post ἀλλ hoc signum ÷ et spatium 22 litterarum; f. ἀλλʼ 〈οὐκ〉 ἔχομεν [τι] τὴν 21 γεγονέτω ὁ ἕτερος; correx (ο ═ οὖν)) [*](22 supplevi ἔχον συμφυῆ 23 ὀδοντωμενον)

310

ΗΘ τύμπανον, ὥστε ἐναρμόζειν ταῖς ὀδοντώσεσι τοῦ ΜΝ τυμπάνου. τῷ δὲ αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς τύμπανον τὸ ΞΟ, ἔχον ὁμοίως τὴν διάμετρον πενταπλασίονα τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου διαμέτρου. διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μ, ἐπειδήπερ τῶν σ ταλάντων τὸ πέμπτον ἐστὶ τάλαντα μ. πάλιν οὖν παρακείσθω τῷ ΞΟ τυμπάνῳ ὠδοντωμένῳ τύμπανον ὀδοντωθὲν ἕτερον τὸ ΠΡ, καὶ ἔστω τῷ τυμπάνῳ ὠδοντωμένῳ τῷ ΠΡ συμφυὲς ἕτερον συμφυὲς ἔχον ὁμοίως πενταπλῆν τὴν διάμετρον τῆς ΠΡ τυμπάνου διαμέτρου· ἡ δὲ ἀνάλογος ἔσται δύναμις τοῦ ΣΤ τυμπάνου ἡ ἔχουσα τὸ βάρος ταλάντων η· ἄλλʼ ἡ ὑπάρχουσα ἡμῖν δύναμις δέδοται ταλάντων ε. ὁμοίως ἕτερον παρακείσθω τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΥΦ τῷ ΣΤ ὀδοντωθέντι· τοῦδε τοῦ ΥΦ τυμπάνου τῷ ἄξονι συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω, ὃν τὰ ὀκτὼ τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνάμεως τάλαντα ε. καὶ τούτων κατασκευασθέντων, ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ ΑΒΓ∠ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον, καὶ ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος τὸ βάρος ἐξάψωμεν. ἐκ δὲ τοῦ ΧΨ τυμπάνου τὴν ἕλκουσαν δύναμιν, οὐδοπότερον [*](p. 334) πότερον αὐτῶν κατενεχθήσεται, εὐλύτως στρεφομένων τῶν ἀξόνων, καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως καλῶς ἁρμοζούσης, ἀλλʼ ὥσπερ ζυγοῦ τινὸς ἰσορροπήσει ἡ δύναμις τῷ βάρει. ἐὰν δὲ ἑνὶ αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον ἕτερον βάρος, καταρρέψει καὶ ἐνεχθήσεται ἐφʼ ὃ προσετέθη βάρος, ὥστε ἐὰν ἓν τῶν ε ταλάντων [*](7—8 πάλιοῦν 10—11 ὀδοντωμένον τὸ ΠΡ συμφυη ἕτερον υμφυὲς ἔχον 12 ἡ δε α÷ in fine versus; in versu sequenti)

312

δυνάμει --- εἰ τύχοι μναϊαῖον προστεθῇ βάρος, κατακρατήσει καὶ ἐπισπάσεται τὸ βάρος. ἀντὶ τῆς [*](fol. 82r) προσθέσεως τούτῳ δὲ παρακείσθω | κοχλίας ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμοστὴν τοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου, στρεφόμενος εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογγύλοις, ὧν ὁ μὲν ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ γλωσσοκόμου κατὰ τὸν Γ∠ τοῖχον τὸν παρακείμενον τῷ κοχλίᾳ· ἡ ἄρα ὑπεροχὴ τετραγωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν Ϟϛ, διʼ ἧς ἐπιλαμβανόμενός τις καὶ ἐπιστρέφων ἐπιστρέψει τὸν κοχλίαν καὶ τὸ ΧΨ τύμπανον, ὥστε καὶ τὸ ΥΦ συμφυὲς αὐτῷ. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον τὸ ΣΤ ἐπιστραφήσεται, καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΠΡ, καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΘ, καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ, καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ, περὶ ὃν ἐπειλούμενα τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. ὅτι γὰρ κινήσει, πρόδηλον ἐκ τοῦ προστεθῆναι ἑτέρᾳ δυνάμει τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα· ἀπεδείχθη γὰρ ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι τῶν ἐλασσόνων κατακρατοῦσιν, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κυλίωνται.

[*](p. 316)

λξ. Ἔστω κοχλίας ἐπί τινων στηματίων κινούμενος ὁ ΑΒ, ᾧ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ∠ ὀδόντων πα. τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ Ε ὀδόντων θ. καὶ τούτῳ παράλληλον ἔστω τὸ Ζ ὀδόντων ρ· [*](1 post δυνάμει spatium 7 litterarum μ〈. . .〉αιαιον: correxi) [*](2 κατακρατηση 3 κοχλίας τῶ ΧΨ τυμπανω εχων 4 ἥλικα) [*](5 ἐντας: correxi 6 ὃν ὁ τὸ εντὸς: corr: Vi 7 κατὰ τὴν 8 κοχλιη: correxi; ὁ ἄρα τόρμος τετραγωνισθεὶς ἐλεύσεται εἰς χειρολαβὴν τὴν 𝒢ϛ Vi 8—9 τετραγωνεῖσθαι αλασσεται)

314

συμφυὲς δὲ ἔστω αὐτῷ τὸ Η, ὀδόντων ιη. παρακείσθω [*](fol. 82v) δὲ τὸ Θ ὀδόντων ιβ. |ὁμοίως δὲ συμφυὲς ἔστω αὐτῷ τὸ Κ ὀδόντων ιη. ὁμοίως δὲ τὸ Λ ὀδόντων ρ· πρὸς ᾧ ἕτερον ὁμοίως ὀδόντων λ, ἀφʼ οὗ μοιρογνωμόνιον ἔστω τὸ δηλοῦν τὸ πλῆθος τῶν σταδίων. κατεσκευάσθω δὲ τροχὸς πτερωτὸς ὁ Μ, τὴν περίμετρον ἔχων τὴν ὑπὸ τῶν πτερῶν --- πάσσων, τετορνευμένος, ἰσοχρόνιος ὢν τῇ νηῒ. --- σὺν τῷδε καὶ τοῦ αὐτοῦ| ἐκφυρομένω, ἄξονι τούτῳ τῷ τροχῷ προσειλήφθω ὀδοῦ· ἐᾶν δυνάμενος ἐν μιᾷ ἀποκαταστάσει τοῦ Μ ἕνα ὀδόντα τοῦ ∠ πίπτειν. δῆλον οὖν ὅτι τῆς νεὼς ρ μίλια πορευθείσης τὸ Λ τύμπανον μίαν ἀποκατάστασιν ἕξει· ὥστε ἐὰν μὲν εν τις κύκλος περὶ τὸ κέντρον τοῦ Λ διαιρεθῇ εἰς ρ, τὸ μοιρογνωμόνιον τὸ συμφυὲς τῷ Λ, φερόμενον ἐπὶ τοῦ εἰρημένου κύκλου, δηλώσει τὸ καθʼ ἕκαστον κίνημα τῆς κινήσεως.

[*](1 αὐτὸ 2 αὐτο 3—4 οδοντων ζ προς ω 5 κατασκευάσθω 6 post πτερων spatium 3 litterarum 8 συντω δε 8—9 εκφυρομενω ἀξωνι τούτω τω τροχω 9 οδθ i. e. ὁδοῦ? haec non extricavi 10 δυναμενος 11 οδοντα τοῦ Λ 13 μὲν εν τις κυκλος: exspectamus γραφεὶς 14—15 τοῦ Λ: corr. Vi 16 scribendum τῆς νεώς; de hoc genere corruptelarum disp. Brinkmannus Mus. Rhen. LVI 72.)