Dioptra

[*](p. 224)

ιγ. Δύο σημείων ὁρωμένων εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι μὴ προσεγγίσαντα τοῖς εἰρημένοις δύο σημείοις τοῖς Α, Β.

Δυνατὸν ἄρα ἐστὶν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, ἐπιγνῶναι τὴν ἀπὸ τοῦ Α κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· νοείσθω κατὰ τῆς ΓΑ. ὁμοίως δὴ πεπορίσθω καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι· καὶ ἔστω ἡ Β∠. καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος νοείσθω ἡ ΑΕ, καὶ τεμνέτω τὴν Β∠ κατὰ τὸ Ε ἡ ἄρα ζητουμένη κάθετός ἐστιν ἡ ΒΕ. καὶ ἔστιν φανερὸν ὅτι δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν δύο ὁρωμένων σημείων τὴν ἐπιζευγνύουσαν [*](fol. 68v) αὐτὰ εὐθεῖαν | ἡλίκη ἐστίν, ἐπειδήπερ δοθεῖσά ἐστιν [*](2 ἡ ΝΞ: corr. Vi 3 ΝΞ 14 ἐκβαλλομένην: corr. Vi 16 〈ἐπιγνῶναι〉 inserui; 〈γνῶναι〉 Vi 19 τῆς Γ∠: corr. Vi)

ἥ τε ἀπὸ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ἑτέρου ἐπίπεδον ἐκβαλλόμενον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, καὶ ἔτι τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τὸ πρὸς διαβήτην δοθέν ἐστι, τὰ δʼ εἰρημένα διαστήματα πρὸς [*](p. 226) ὀρθάς ἐστιν ἀλλήλοις· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν, ἥτις ἐπὶ τὰ δοθέντα σημεῖα ἐπιζευγνυμένη, δοθεῖσά ἐστιν.

Δύο δοθέντων σημείων εὑρεῖν τὴν θέσιν τῆς ἐπιζευγνυούσης αὐτὰ εὐθείας, μὴ προσεγγίσαντα τοῖς σημείοις.

ἔστω τὰ δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β· δυνατὸν ἄρα ἐστὶ τὴν τοῦ διὰ τῶν Α, Β ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ὀρθοῦ πρὸς τὸν ὁρίζοντα τὴν θέσιν εὑρεῖν, ὡς ἐμάθομεν ἐν τοῖς ἔμπροσθεν· τουτέστιν καθέτου ἀχθείσης ἀφʼ ἑκατέρου τῶν σημείων Α, Β ἐπὶ τὸ παρὰ τὸν ὁρίζοντα ἐπίπεδον, δοθεισῶν τῶν ΑΓ, Β ∠, τὴν θέσιν τῆς Γ∠ εὑρεῖν. ηὑρήσθω καὶ ἔστω ἡ ΗΖ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ ἔστω, ἣ καὶ τῇ ΗΖ παράλληλός ἐστι, καὶ δοθεῖσα ἔσται λοιπὴ ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΒΕ, ὡς προδέδεικται. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ΗΖ δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἀνεστάτω τις ὀρθὴ πρὸς τὸν ὁρίζοντα ἡ ΖΘ κανόνος παρατεθέντος ἢ ἑτέρου τινός. παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ∠Β· καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΗΖ πρὸς ΖΘ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ παράλληλος ἔσται τῇ ΑΒ· τοῦτο γὰρ φανερὸν διά τε τὰς παραλλήλους [*](1 υ ετέρου litterae paene evanidae 2 παραλληλω: corr. Vi) [*](5 supplevi 5—6 τὴν ἀρχὴν ὀρθὴν, sed ἀρχὴν del. m. 1) [*](12 [τὴν] delevi 15 addidi 16 τῶν ΑΓ Γ∠ 17 ηυρείσθω: correxi; κυρείσθω Vi 18 τῆ Α ἔστω 18—19 καὶ τῆ ΕΖ: correxi et supplevi 20 ΗB ὡς 21 τῆς ΕΖ) [*](21—22 τὰ ΕΖ καὶ ἀτοῦ (sic) 24 ἄρα ἐπι: correxi τῆ ΑΒ)

καὶ τὰς ἀναλογίας· πεπόρισται ἄρα ἡ θέσις τῆς ΑΒ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν.

Ἐκ δὴ τῶν προδεδιδαγμένων φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστιν, ὄρους ὑπάρχοντος, εὑρεῖν τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, μὴ προσεγγίσαντα τῷ ὄρει, καὶ τὴν ἀφʼ οἱουδηποτοῦν σημείου κειμένου ἐν τῷ ὄρει καὶ ὁρωμένου τὴν ἀγομένην κάθετον εὑρεῖν· ἐπειδήπερ ἐμάθομεν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου κάθετον πορίσασθαι, καὶ ὁμοίως δυνατὸν ἦν τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ὁρωμένου ἐν τῷ ὄρει κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου σημείου ἐν τῷ [*](p. 228) ὄρει κειμένου καὶ ὁρωμένου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι. ἁπλῶς γὰρ δύο σημείων δοθέντων οἱωνδηποτοῦν τὰ αὐτὰ ἐμάθομεν πορίσασθαι, [*](fol. 69r) τουτέστιν τάς τε ἀγομένας ἀπʼ αὐτῶν καθέτους | καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν διάστημα τό γε πρὸς διαβήτην, καὶ ὡς ἔχει θέσεως, μὴ προσιόντα τοῖς σημείοις.

ιδ. Ὀρύγματος δοθέντος τὸ βάθος λαβεῖν· τουτέστι τὸ μέγεθος τῆς ἀπὸ τοῦ ἐν τῷ βάθει σημείου καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ διʼ ἡμῶν ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι, ἢ καὶ ἔτι ἐπὶ τὸ διʼ ἑτέρου ημείου ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι.

ἔστω τὸ δοθὲν ὄρυγμα τὸ ΑΒ Γ∠ τὸ δʼ ἐν τῷ βάθει αὐτοῦ σημεῖον τὸ Β. κείσθω δὴ ἡ διόπτρα πρὸς τῷ ∠, ἢ πρὸς ἄλλῳ τινὶ σημείῳ· ἔστω δὴ πρὸς τῷ Ε, καὶ ἔστω ΕΖ ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανών, διʼ οὗ διοπτεύομεν, ὁ ΗΘ ἐγκλινέσθω οὖν, ἕως οὗ φανῇ διʼ αὐτοῦ [*](3 ἐκ δεῖ corr. Vi προδεδιδαγμένων: f. προδεδειγμένων 5 ἐπὶ τῷ: corr. Vi 8 [τὴν] delevi 11 〈τὴν〉 addidi σημείου add. Vi post ὄρει Vi inserebat 〈εὑρεῖν〉 f. recte)

τὸ Β σημεῖον. ἡ δὲ τοῦ ἐδάφους ἐπιφάνεια νοείσθω κατὰ τῆς ∠ΕΚ ΛΜ γραμμῆς· τὸ δὲ διʼ ἡμῶν ἐπίπεδον ἐκπῖπτον νοείσθω κατὰ τῆς Α∠ ΣΟ εὐθείας. ἐπὶ δὲ τοῦ ἐδάφους ἐφεστάτωσαν δύο κανόνες, οἱ ΚΝ, ΜΞ [*](p. 230) ὀρθοί, ἐπʼ εὐθείας τῷ ΗΘ κανόνι· καὶ τεθεωρήσθω ἐπὶ μὲν τοῦ ΚΝ κανόνος σημεῖον τὸ Ν, ἐπὶ δὲ τοῦ ΞΜ τὸ Ξ. καὶ δέον ἔστω τὴν ἀπὸ τοῦ Β κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ∠ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι πορίσασθαι, τουτέστιν τὴν ἐπὶ τὴν Α∠Ο γραμμὴν ἀγομένην κάθετον· ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Β κάθετος ἡ ΒΑ ἐστίν, ἣν δεῖ πορίσασθαι. νενοήσθω οὖν καὶ τὸ διὰ τοῦ Β ἐπίπεδον παράλληλον τῷ ὁρίζοντι τὸ κατὰ τὸ ΒΠ γινόμενον καὶ νενοήσθω ἐκβεβλημένος ὁ ΞΜ κανὼν ἐπὶ τὸ Π, καὶ ὁ ΝΚ ἐπὶ τὸ Σ, παὶ διὰ τοῦ Ν τῇ ∠Ο παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΡ. ἡ ἄρα ΝΡ τὸ μεταξὺ τῶν Κ, Μ σημείων ἐστὶ διάστημα τὸ πρὸς διαβήτην· δυνατὸν ἄρα ἐστὶν αὐτὸ πορίσασθαι, ἐπεὶ καὶ τὰς ΚΣ, ΜΟ. ἡ δὲ ΞΡ ὑπεροχή ἐστι τῶν ΞΡΟ, ΝΣ δυνατὸν ἄρα καὶ ταύτην πορίσασθαι, ἐπεὶ τὰς ΚΣ, ΜΟ δυνατόν ἐστι πορίσασθαι, ὥσπερ ἐποιήσαμεν ὅτε τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου κάθετον ἀγομένην διὰ τῶν δύο κανόνων ἐπορισάμεθα. ἔστω οὖν εὑρημένη, εἰ τύχοι, τετραπλῆ ἡ ΝΡ τῆς Ρ ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΒΠ τετραπλῆ τῆς ΞΠ. δυνατὸν δέ ἐστι πορίσασθαι τὴν ΒΠ, τουτέστι τὴν ΑΟ· τὸ γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἐπὶ τὸ Α διάστημά ἐστιν τὸ πρὸς διαβήτην τὸ ΑΟ, τουτέστιν τὸ ΒΠ· ὥστε δυνατόν ἐστι πορίσασθαι καὶ τὴν ΞΠ ἔστιν γὰρ τέταρτον μέρος τῆς [*](1 〈τοῦ〉 addidi 4 ἐφέστωσαν: correxi οἱ ΚΗ ΜΖ 5 τεθεωρεισθω 6 μὲν τοῦ ΚΗ 8 ἐπὶ τοῦ διὰ 9 et 10 addidi 19 τῶν ΝΣ 23 εἰ τυχη 27 τὸ ΑΟ: f. τῶν Α, Μ R. Schoene) ΒΠ. ἔχομεν δὲ καὶ τὴν ΞΟ ἡλίκη ἐστίν· ὥστε καὶ τὴν ΟΠ ἕξομεν, τουτέστιν τὴν ΑΒ κάθετον.

[*](fol. 69v)

| ιε. Ὄρος διορύξαι ἐπʼ εὐθείας τῶν στομάτων τοῦ [*](p. 232) ὀρύγματος ἐν τῷ ὄρει δοθέντων. νενοήσθω τοῦ ὄρους ἕδρα ἡ ΑΒΓ∠ γραμμὴ, τὰ δὲ στόματα, διʼ ὧν δεῖ ὀρύξαι, τὰ Β, ∠. ἤγαγον εὐθεῖαν ἀπὸ τοῦ Β ἐν τῷ ἐδάφει τὴν ΒΕ, ὡς ἔτυχεν· καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Ε τῇ ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΕΖ διὰ τῆς διόπτρας· καὶ ἔτι ἀπὸ τοῦ τυχόντος διὰ τῆς διόπτρας πρὸς. ὀρθὰς ἤγαγον τὴν ΖΗ. καὶ πάλιν ἀπὸ τυχόντος τοῦ Η, τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΗΘ καὶ ἔτι ἀπὸ τυχόντος τοῦ Θ, τῇ ΘΗ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΚ, καὶ τῇ ΘΚ πρὸς ὀρθὰς τὴν ΚΛ. καὶ παραφέρω τὴν διόπτραν ἐπὶ τῆς ΚΛ εὐθείας διατηρῶν τὸν κανόνα οβλέποντα σημείῳ τινὶ τῶν ἐπὶ τῆς ΚΛ, ἄχρις

ἂν διὰ τῆς πρὸς ὀρθὰς θέσεως τοῦ κανόνος φανῇ τὸ ∠ σημεῖον. πεφηνέτω οὔσης τῆς διόπτρας κατὰ τὸ Μ ἔσται δὴ ἡ Μ∠ καὶ ἐπὶ τὴν ΚΛ κάθετος. καὶ νενοήσθω ἐκβεβλημένη ἡ ΕΒ ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ν. δυνατὸν δή ἐστιν ἐκ τῶν ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ ἐπιλογίσασθαι ἡλίκη ἐστὶν ἡ ∠Ν, ὥσπερ ἐποιοῦμεν, [*](p. 234) ὅτε τὴν ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ ἕτερον ἀθεώρητον ἐπεζευγνύομεν εὐθεῖαν· ὁμοίως δὲ καὶ τὴν ΒΝ ἐκ τῶν ΒΕ, ΖH, ΘΚ, Λ∠. εὑρήσθω οὖν, εἰ τύχοι, πενταπλῆ ἡ ΒΝ τῆς ∠Ν καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Β∠ νενοήσθω ἐκβεβλημένη ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπὶ τὴν ΒΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΞΟ ὁμοίως δὲ καὶ ἡ Β∠ νενοήσθω ἐκβεβλημένη ἐπὶ τὸ Π, καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Μ ἡ ΠΡ ἔσται δὴ ὁμοίως πενταπλῆ ἡ μὲν ΒΟ τῆς ΟΞ, ἡ δὲ ∠Ρ τῆς ΡΠ. λαβόντες οὖν ἐπὶ τῆς Β Ε σημεῖον τυχὸν τὸ Ο, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγόντες τὴν ΟΞ τῇ ΒΟ, πέμπτον μέρος θήσομεν τὴν ΟΞ τῆς ΒΟ. καὶ ἔσται ἡ ΒΞ νεύουσα ἐπὶ τὸ Β ὁμοίως δὴ πάλιν τῆς ∠Ρ πέμπτον μέρος θέντες τὴν ΠΡ, ἕξομεν τὴν ∠Π νεύουσαν ἐπὶ τὸ ∠. διορύξομεν οὖν ἀπὸ μὲν τοῦ Β ποιοῦντες τὸ ὄρυγμα ἐπʼ εὐθείας τῆς ΒΞ, ἀπὸ δὲ τοῦ ∠ ἐπʼ εὐθείας τῆς ∠Π. γίνεται δὲ λοιπὸν τὸ ὄρυγμα κανόνος παρατιθεμένου ἐπὶ τῆς εὑρημένης εὐθείας τῆς ΞΒ, ἤτοι ἐπὶ τῆς Π∠, ἢ καὶ ἐπʼ ἀμφότερα τὰ μέρη. γινομένου τοῦ ὀρύγματος οὕτως ὑπαντήσουσιν ἀλλήλοις οἱ ἐργαζόμενοι.