Metrica

ιε. | Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς πλευρᾶς, καὶ ἔστω τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΗΘ, ὥστε ἐν δοθέντι λόγῳ διαιρεῖν τὸ χωρίον· δοθὲν ἄρα ἔσται τὸ ΚΘΓ∠Ε. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστι ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ἔσται λοιπὸν τὸ ΘΓΕΚ· ὥσ??ε θέσει ἐστὶν ἡ ΗΘ. εἰ δὲ οὔκ εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ· δοθὲν ἄρα τὸ Γ∠ΕΛ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΚΛ τρίγωνον δοθέν

ιϛ. Δύο θέσει παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΑΒ, Γ∠ καὶ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΚΒ∠ ποιοῦσαν συναμφότερον τὴν ΑΒ, Γ∠ δοθεῖσαν. γεγονέτω· καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ζ. δοθεῖσα ἄρα ἡ Γ∠Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· θέσει ἄρα ἡ ΑΖ. καὶ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Η· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ, ∠Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΗ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν θεῖναι τῇ δοθείσῃ ἴσην τὴν ΓΖ καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΑΖ καὶ δίχα τεμεῖν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπιζεύξαντα τὴν ΕΗ ἐκβαλεῖν ἐφʼ ἑκάτερα· καὶ ἔσται ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιζ. | Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ, ὥστε τὰς ἐπι-φανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β. καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠. καὶ τετμήσθω ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, Ζ∠· καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Θ· καὶ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς [*](1 ἡ ΗΛ: correxi 14 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. 16—17 τὰς ἐπὶ τῶν: correxi 18 〈ὁ〉 addidi)

ιη. | Τὸν δοθέντα κύκλον διελεῖν εἰς τρία ἕσα θυσὶν εὐθείαις. τὸ μὲν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητόν ἐστι, δῆλον, τῆς εὐχρηστίας δὲ ἕνεκεν διελοῦμεν αὐτὸν ὡς ἔγγιστα οὕτω. ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ πλευρὰ ἡ ΒΓ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ∠ΑΕ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ ∠Γ. λέγω ὅτι τὸ ∠ΒΓ τμῆμα τρίτον ἔγγιστά ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ ΑΓ. ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ τομεὺς τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠ τριγώνῳ· τὸ ἄρα Β∠ΖΓΖ σχῆμα τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου κύκλου, ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστιν αὐτοῦ τὸ ∠ΒΓ τμῆμα ὄντος ὡς πρὸς τὸν ὅλον κύκλον. ὁμοίως δὲ καὶ ἑτέραν πλευρὰν ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐγγράψαντες ἀφελοῦμεν ἕτερον τρίτον μέρος· ὥστε καὶ τὸ [*](6 ZH: correxi 7 inserui 16 τῶ Α: correxi 21—22 τόμους: corr. m. 2 24 Β∠ΖΓΖ: correxi 25 μεῖον: correxi)

ιθ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον τὸ ∠, ὥστε ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν τῶν ∠Α [*](fol. 107v) ∠Β | ∠Γ τὰ ΑΒ∠ ∠ΒΓ ΓΑ∠ τρίγωνα ἴσα εἶναι. γεγονέτω· καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ε καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΕΒΓ· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΕΒΓ τριγώνου. ὥστε καὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΕ ἐστὶ τριπλῆ. καὶ ἔστι ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΕ· καὶ δοθὲν τὸ Β· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· καὶ παρὰ τὴν ΒΓ καὶ ἡ Ε∠· θέσει ἄρα ἡ Ε∠. πάλιν δὲ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Ζ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΓΑ τριπλασία ἐστὶ τῆς ΖΑ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ Ζ∠· θέσει δὲ καὶ ἡ ∠Ε· δοθὲν ἄρα τὸ ∠. συντεθήσεται δὴ οὕτως. εἰλήφθω τῆς μὲν ΑΒ τρίτον μέρος ἡ ΒΕ, τῆς δὲ ΑΓ ἡ ΑΖ, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ε∠, τῇ δὲ ΑΒ ἡ Ζ∠. ἐπιζευχθεῖσαι οὖν αἱ ∠Α, ∠Β, ∠Γ ποιήσουσι τὰ ΑΒ∠, ∠ΒΓ, Γ∠Α τρίγωνα ἴσα.

Αἱ μὲν οὖν τῶν εἰρημένων ἐπιπέδων χωρίων διαιρέσεις αὐτάρκως εἴρηνται, ἑξῆς δὲ ἐπὶ τὰ στερεὰ χωρήσομεν. ὅσα μὲν οὖν ἰσοπαχῆ τυγχάνει στερεὰ, οἷον κύλινδροι καὶ παραλληλεπίπεδα καὶ ὅσα ἁπλῶς τὰς βάσεις ταῖς κορυφαῖς τὰς αὐτὰς ἔχει, εὐκόπως διαιρεῖται εἰς τοὺς δοθέντας λόγους. ὃν γὰρ ἔχει λόγον τὸ μῆκος, τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον καὶ τὸ στερεὸν. τῶν [*](1 καταλιπόμενον: correxi μέρος delevi 3 numerum capitis addidi 3—4 τὸ σημεῖον: correxi 8 τὸ ΕΒΓ: corr. m. 2 12 [καὶ] del. m. 2)

κ. Ἔστω γὰρ πυραμὶς βάσιν μὲν ἔχουσα οἱανδηποτοῦν τὴν ΑΒΓ∠, κορυφὴν δὲ τὸ Ε σημεῖον· καὶ δεδόσθω αὐτῆς μία πλευρὰ ἡ ΑΕ μονάδων ε. καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὴν ἀποτεμνομένην πρὸς τῇ κορυφῇ πυραμίδα τοῦ καταλειπομένου στερεοῦ εἶναι, εἰ τύχοι, τετραπλῆν. τεμνέσθω καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΖΗΘΚ. ἡ ἄρα ΑΖ πλευρά ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ ΖΗΘΚ στερεοῦ· ἡ ἄρα ΑΒΓ∠Ε πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΘΗΚΕ πυραμίδα λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ. ὡς δὲ αἱ πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας, οὕτως ο ἀπὸ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν κύβοι· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ε πρὸς τὰ δ· καὶ ἔστιν ὁ ἀπὸ τῆς ΑΕ κύβος μονάδων ρκε· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΖ κύβος ἔσται μονάδων ρ. δεήσει ἄρα τῶν ρ μονάδων λαβεῖν κυβικὴν πλευρὰν ὡς ἔγγιστα· ἔστι δὲ μονάδων δ καὶ θ, ὡς ἑξῆς δείξομεν. ὥστε ἐὰν ἀποληφθῇ ἡ ΕΖ μονάδων δ καὶ θ καὶ διὰ τοῦ Ζ σημείου τμηθῇ ἡ πυραμὶς ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ἔσται τὸ προκείμενον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· κύβισον τὰ ε· γίγνεται ρκε. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶν, ἐν διαιρεῖται ἡ πυραμὶς, ὃν δ πρὸς α, σύνθες δ καὶ ἓν· γίγνεται ε. καὶ τὰ ρκε ἐπὶ τὸν δ· γίγνεται φ. παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ρ· καὶ τούτων [*](1 μειούρων αἱ διαιρέσεις litteris paene evanidis 10—11 supplevi 17 〈ὁ〉 addidi)

Ὡς δὲ δεῖ λαβεῖν τῶν ρ μονάδων κυβικὴν πλευρὰν, νῦν ἐροῦμεν.

Λαβὲ τὸν ἔγγιστα κύβον τοῦ ρ τόν τε ὑπερβάλλοντα καὶ τὸν ἐλλείποντα· ἔστι δὲ ὁ ρκε καὶ ὁ ξδ. καὶ ὅσα μὲν ὑπερβάλλει, μονάδες κε, ὅσα δὲ ἐλλείπει, [*](fol. 108v) μονάδες λϛ. | καὶ ποίησον τὰ ε ἐπὶ τὰ λϛ· γίγνεται ρπ· καὶ τὰ ρ· γίγνεται σπ. καὶ παράβαλε τὰ ρπ παρὰ τὰ σπ· γίγνεται θ. πρόσβαλε τῇ κατὰ τοῦ ἐλάσσονος κύβου πλευρᾷ, τουτέστι τῷ δ· γίγνεται μονάδες δ καὶ θ. τοσούτων ἔσται ἡ τῶν ρ μονάδων κυβικὴ πλευρὰ ὡς ἔγγιστα.

κα. Τὸν δοθέντα κῶνον διελεῖν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω ὁ δοθεὶς κῶνος, οὗ βάσις μέν ἐστιν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ. καὶ ἔστω αὐτοῦ ἡ πλευρὰ μονάδων ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν, ὡς εἴρηται, ὥστε τὸν ἀποτεμνόμενον πρὸς τῇ κορυφῇ κῶνον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ καταλειπομένου κολούρου κώνου. ἀκολούθως οὖν τοῖς ἐπὶ τῆς πυραμίδος εἰρημένοις ἕξει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς Γ∠ κύβον λόγον, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ δ· ὁ ἄρα ἀπὸ τῆς Γ∠ κύβος ἔσται μονάδων

κβ. | Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς κόλουρος κῶνος, ὃν δεῖ διελεῖν ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ. ἔστω βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ ὁ ∠Ε. καὶ ἐπιτετάχθω διελεῖν αὐτὸν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τμῆμα τετραπλάσιον εἶναι τοῦ καταλειπομένου· δεδόσθω δʼ ἡ μὲν τοῦ ΑΒ κύκλου διάμετρος μονάδων κη, ἡ δὲ τοῦ ΑΕ μονάδων κα, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ιβ· καὶ διῃρήσθω, ὡς εἴρηται, τῷ ΖΗ κύκλῳ, ὥστε τὸν ∠ΕΖΗ κῶνον κόλουρον τετραπλασίονα εἶναι τοῦ ΖΗΑΒ κολούρου κώνου· ὁ ἄρα ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος πρὸς τὸν ∠ΕΖΗ λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς δ. καὶ ἔστιν ὁ ΑΒ∠Ε κωνοκόλουρος δοθείς· αἱ γὰρ διάμετροι τῶν βάσεων αὐτοῦ δοθεῖσαί εἰσιν καὶ ἔτι τὸ ὕψος δοθέν· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ ∠ΕΖΗ κωνοκόλουρος. ἤχθω δὴ κάθετος ἡ ∠Θ καὶ προσηυξήσθω ὁ κῶνος. καὶ ἔστω αὐτοῦ κορυφὴ τὸ Γ, ἄξων δὲ ὁ Γ∠. ἐπεὶ ἡ ∠Ε ἔστι δοθεῖσα, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Λ, τουτέστιν ἡ ΚΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Κ δοθεῖσά ἐστιν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΘ δοθεῖσά ἐστιν· λόγος ἄρα τῆς Κ∠ πρὸς ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΚ πρὸς ∠Θ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ∠Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΚ· ὧν ἡ ΚΛ δοθεῖσά ἐστιν· ἴση γάρ ἐστι τῇ ∠Θ. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν· δοθεὶς ἄρα ἐστὶν ὁ Γ∠Ε κῶνος καὶ ἡ ΖΗ· καὶ ἔτι ὁ ΓΒΑ· λόγος ἄρα [*](fol. 109v) τῶν ΓΑΒ, ∠ΕΓ κώνων πρὸς τὸν ΓΗΖ κῶνον. | ὡς δὲ οἱ κῶνοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω καὶ οἱ απὸ τῶν

κγ. Τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν, ὥστε τὰ τμήματα τῆς σφαίρας πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχειν τὸν ἐπιταχθέντα. ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς λόγος τῆς Α πρὸς τὴν Β· καὶ ἐκκείσθω κύκλος ἐν ἐπιπέδῳ εἷς τῶν μεγίστων τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ κέντρον μὲν τὸ Γ, διάμετρος δὲ ἡ ∠Ε· καὶ τῇ ΓΕ ἴση κείσθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Η, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, τὴν Α πρὸς τὴν Β· ἡ δὲ ∠Ε τετμήσθω κατὰ τὸ Θ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΕΖ πρὸς ΖζΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Θ· καὶ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΘΚΛ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Κ∠· καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας καὶ πόλῳ τῷ Μ, διαστήματι δὲ τῷ ἴσῳ τῇ Κ∠ κύκλος γεγράφθω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ὁ ΝΞ. λέγω ὅτι τὰ ἀπολαμβανόμενα τμήματα ὑπὸ τοῦ γραφέντος κύκλου πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει, ὃν ἡ Α πρὸς τὴν Β. τοῦτο γὰρ [*](fol. 110v) ὁμοίως | Ἀρχιμήδει δέδεικται ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας (c. 4 t. 1 p. 210 Heib.).