Mechanicorum fragmenta

Τῇ δοθείσῃ δυνάμει τὸ δοθὲν βάρος κινῆσαι διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως.

Κατεσκευάσθω πῆγμα καθάπερ γλωσσόκομον· εἰς τοὺς μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους διακείσθωσαν ἄξονες παράλληλοι ἑαυτοῖς ἐν διαστήμασι κείμενοι ὥστε τὰ συμφυῆ αὐτοῖς ὀδοντωτὰ τύμπανα παρα-

Τῆς αὐτῆς δέ ἐστιν θεωρίας τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει κινῆσαι· τοῦτο γὰρ Ἀρχιμήδους μὲν εὕρημα λέγεται μηχανικόν, ἐφʼ ῳ λέγεται εἰρηκέναι· δός μοι, φησί, ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γῆν. Ἥρων δὲ ὁ Ἀλεξανδρεὺς πάνυ σαφῶς αὐτοῦ τὴν κατασκευὴν ἐξέθετο ἐν τῷ καλουμένῳ Βαρουλκῷ, λῆμμα λαβὼν ὅπερ ἐν τοῖς Μηχανικοῖς ἀπέδειξεν, ἔνθα καὶ περὶ τῶν εʹ δυνάμεων διαλαμβάνει, τουτέστιν τοῦ τε σφηνὸς καὶ μοχλοῦ καὶ κοχλίου καὶ πολυσπάστου καὶ ἄξονος ἐν τῷ περιτροχίῳ, διʼ ὧν τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει κινεῖται καθʼ ἑκάστην δύναμιν. ἐν δὲ τῷ Βαρουλκῷ διὰ τυμπάνων ὀδοντωτῶν παραθέσεως ἐκίνει τὸ δοθὲν βάρος τῇ δοθείσῃ δυνάμει, τῆς διαμέτρου τοῦ τυμπάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ἄξονος λόγον ἐχούσης ὃν εʹ πρὸς αʹ, τοῦ κινουμένου βάρους ὑποκειμένου ταλάντων χιλίων, τῆς δὲ κινούσης δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων εʹ.

Ἔστω δὴ ἡμᾶς ἐπὶ διπλασίου λόγου τὸ αὐτὸ δεικνύναι καὶ ταλάντων ρξʹ ὄντος τοῦ κινουμένου βάρους ἀντὶ χιλίων καὶ τῆς κινούσης αὐτὸ δυνάμεως ὑποκειμένης ταλάντων δ΄

κεῖσθαι καὶ συμπεπλέχθαι ἀλλήλοις, καθὰ μέλλομεν δηλοῦν.

Ἔστω τὸ εἰρημένον γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓ∠, ἐν ἄξων ἔστω διακείμενος, ὡς εἴρηται, καὶ δυνάμενος εὐλύτως στρέφεσθαι ὁ ΕΖ. τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΗΘ ἔχον τὴν διάμετρον, εἰ τύχοι, πενταπλασίονα τῆς τοῦ ΕΖ ἄξονος διαμέτρου. καὶ ἵνα ἐπὶ παραδείγματος τὴν κατασκευὴν ποιησώμεθα, ἔστω τὸ μὲν ἀγόμενον βάρος ταλάντων χιλίων, ἡ δὲ κινοῦσα δύναμις ἔστω ταλάντων ε΄, τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος ἢ παιδάριον, ὥστε δύνασθαι καθʼ ἑαυτὸν ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα εʹ. οὐκοῦν ἐὰν τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ἐνδεδεμένα ὅπλα διά τινος ὀπῆς οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ ἄξονα, κατειλούμενα τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. ἵνα δὲ κινηθῇ τὸ ΗΘ τύμπανον, --- μει [*](332) ὑπάρχειν πλέον ταλάν|των διακοσίων διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς διαμέτρου τοῦ ἄξονος, ὡς

ἀντὶ ε΄, τουτέστιν ὁ κινῶν ἄνθρωπος δυνάσθω καθʼ αὑτὸν ἄνευ μηχανῆς ἕλκειν τάλαντα δʹ, καὶ ἔστω τὸ εἰρημένον ὑπʼ αὐτοῦ γλωσσόκομον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἐν αὐτῷ εἰς τοὺς μακροὺς καὶ παραλλήλους τοίχους ἔστω ἄξων διακείμενος εὐλύτως στρεφόμενος ὁ ΕΖ. τούτῳ δὲ συμφυὲς ἔστω τύμπανον ὠδοντωμένον ἀκτῖσιν ὀδοντωτοῖς τὸ ΗΘ ἔχον τὴν διάμετρον διπλασίαν τῆς διαμέτρου τῆς ΕΖ διαγωνίου τοῦ ἄξονος τῆς κατὰ κρόταφον. γίνεται γὰρ τετράγωνος μὲν περὶ μέσον ἐπὶ τοσοῦτον μῆκος, ὅσον ἐστὶν τὸ πάχος τοῦ τυμπάνου εἰς ὃ ἐναρμόζεται ἀσφαλῶς, στρογγύλος δέ πως ἢ λελοιφωμένος ἐκ τῶν ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ τυμπάνου μερῶν. ἐὰν ἄρα τὰ ἐκ τοῦ βάρους τοῦ ἑλκομένου δεδεμένα σχοινία, καλούμενα δὲ ὅπλα διά τινος ὀπῆς μᾶλλον δὲ ἀνατομῆς πλατείας οὔσης ἐν τῷ ΑΒ τοίχῳ ἐπειληθῇ περὶ τὸν ΕΖ ἄξονα ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ ΗΘ τυμπάνου καὶ στραφῇ τὸ ΗΘ τύμπανον, τοῦτο [*](1064) ἐπιστρέψει καὶ τὸν συμφυῆ ἄξονα κινού | μενον περὶ τὰ ἄκρα ἐν δακτύλοις χαλκοῖς καὶ πυξίσιν ὁμοίως χαλκαῖς μὴ κινουμέναις, κειμέναις δʼ ἐν τοῖς εἰρημένοις ΑΒ, Γ∠ τοίχοις.

ὑπεθέμεθα, πενταπλῆν εἶναι. ταῦτα γὰρ ἀπεδείχθη ἐν ταῖς τῶν εʹ δυνάμεων ἀποδείξεσιν. ἀλλʼ οὐκ ἔχομέν τι τὴν δύναμιν ταλάντων διακοσίων, ἀλλὰ πέντε. γεγονέτω ὁ ἕτερος ἄξων διακείμενος παράλληλος τῷ ΕΖ ὁ ΚΛ ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΜΝ. ὀδοντῶδες δὲ καὶ τὸ ΗΘ τύμπανον, ὥστε τοὺς ὀδόντας αὐτοῦ ἐναρμόζειν τοῖς ὀδοῦσι τοῦ ΜΝ τυμπάνου. τῷ δὲ αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΞΟ ἔχον ὁμοίως τὴν διάμετρον πενταπλασίονα τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου διαμέτρου. διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μ΄, ἐπειδήπερ τῶν σʹ ταλάντων τὸ πέμπτον ἐστὶ τάλαντα μ΄. πάλιν οὖν παρακείσθω τύμπανον ὀδοντωθὲν ἕτερον τῷ ΞΟ τυμπάνῳ ὠδοντωμένῳ τὸ

ἐπειλούμενα δὲ τὰ ἐκ τοῦ βάρους ὃ καλεῖται φορτίον ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. ἵνα δὲ κινηθῇ τὸ ΗΘ τύμπανον, δεήσει δύναμιν παρασχεῖν ταλάντων πλεῖον πʹ διὰ τὸ τὴν διάμετρον τοῦ τυμπάνου τῆς διαμέτρου τοῦ ἄξονος εἶναι διπλασίαν· τοῦτο γὰρ πρόβλημά ἐστιν ὑπὸ Ἥρωνος δεικνύμενον ἐν τοῖς Μηχανικοῖς. καὶ ἄλλα πλεῖστα προβλήματα τῶν χρησιμωτάτων καὶ βιωφελῶν γέγραπται. ἐπεὶ οὖν οὐκ ἔχομεν τὴν δοθεῖσαν δύναμιν ταλάντων π΄, ἀλλὰ ταλάντων δʹ, γεγονέτω ἕτερος ἄξων παρακείμενος παράλληλος τῷ ΕΖ ὁ ΚΛ ἔχων συμφυὲς τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΜΝ, ὥστε τοὺς ὀδόντας αὐτοῦ ἐναρμόζειν τοῖς ὀδοῦσι τοῦ ΗΘ τυμπάνου. τοῦτο δὲ γίνεται, ἐὰν ὡς ἡ διάμετρος τοῦ ΗΘ τυμπάνου πρὸς τὴν διάμετρον τοῦ ΜΝ, οὕτως τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ΗΘ πρὸς τὸ πλῆθος τῶν ὀδόντων τοῦ ΜΝ. πῶς δὲ τοῦτο γίνεται, διὰ τῶν ἑξῆς δῆλον ἔσται. δοθὲν μὲν ἄρα ἐστὶν καὶ τὸ ΜΝ τύμπανον. τῷ δʼ αὐτῷ ἄξονι τῷ ΚΛ συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΞΟ ἔχον τὴν διάμετρον διπλασίαν τῆς τοῦ ΜΝ τυμπάνου διαμέτρου. διὰ δὴ τοῦτο δεήσει τὸν βουλόμενον κινεῖν διὰ τοῦ ΞΟ τυμπάνου τὸ βάρος ἔχειν δύναμιν ταλάντων μ΄, ἐπειδήπερ τὰ πʹ τάλαντα διπλάσιά ἐστιν τῶν μ΄ ταλάντων. πάλιν δὲ παρακείσθω τῷ ΞΟ τυμπάνῳ

ΠΡ συμφυὲς ἑτέρῳ ἄξονι· τῷ δʼ αὐτῷ ἄξονι ἕτερον συμφυὲς τὸ ΣΤ ἔχον ὁμοίως πενταπλῆν τὴν διάμετρον τῆς τοῦ ΠΡ τυμπάνου διαμέτρου. ἡ δὲ δύναμις ἡ διὰ τοῦ ΣΤ τυμπάνου ἡ ἕλκουσα τὸ βάρος ταλάντων η΄. ἀλλʼ ἡ ὑπάρχουσα ἡμῖν δύναμις δέται ταλάντων ε΄. ὁμοίως ἕτερον παρακείσθω τύμπανον ὀδοντωθέν, τὸ ΥΦ τῷ ΣΤ ὀδοντωθέντι· τῷ δὲ τοῦ ΥΦ τυμπάνου ἄξονι συμφυὲς ἔστω τύμπανον τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν τὰ ὀκτὼ τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνάμεως τάλαντα ε΄. καὶ τούτων κατασκευασθέντων ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ ΑΒΓ∠ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον καὶ ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος τὸ βάρος ἐξάψωμεν, ἐκ δὲ τοῦ ΧΨ

ὀδοντωθέντι | ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΠΡ συμφυὲς ἑτέρῳ ἄξονι, τῷ δʼ αὐτῷ ἄξονι ἕτερον συμφυὲς τύμπανον τὸ ΣΤ ἔχον μὲν ὁμοίως διπλασίαν τὴν διάμετρον τῆς τοῦ ΠΡ τυμπάνου διαμέτρου, τοὺς δὲ ὀδόντας μὴ συμπλεκομένους τοῖς ὀδοῦσι τοῦ ΜΝ τυμπάνου· ἡ ἄρα διὰ τοῦ ΣΤ τυμπάνου κινοῦσα τὸ βάρος δύναμις ἔσται ταλάντων κʹ. ἦν δὲ ἡ δοθεῖσα δύναμις ταλάντων δʹ. δεήσει οὖν πάλιν ἕτερον μὲν τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ ΥΦ παρακεῖσθαι τῷ ΣΤ ὀδοντωθέντι, τῷ δὲ ἄξονι τοῦ ΥΦ τυμπάνου συμφυὲς γενέσθαι τὸ ΧΨ ὠδοντωμένον, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΥΦ τυμπάνου διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν τὰ βʹ πρὸς α΄. ἡ ἄρα κινοῦσα τὸ βάρος δύναμις διὰ τοῦ τυμπάνου ἔσται ταλάντων ιʹ. πάλιν δὴ παρακείσθω μὲν τῷ ΧΨ τυμπάνῳ ἕτερον τύμπανον ὠδοντωμένον τὸ 𝒢U+A7FCϠ, τῷ δὲ ἄξονι αὐτοῦ τύμπανον ἔστω συμφυὲς ΜΜ ὠδοντωμένον ὀδοῦσιν λοξοῖς, οὗ ἡ διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ U+A7FCϠ διάμετρον λόγον ἐχέτω ὃν ἔχει τὰ ιʹ τάλαντα πρὸς τὰ τῆς δοθείσης δυνάμεως τάλαντα δ΄. καὶ τούτων κατασκευασθέντων ἐὰν ἐπινοήσωμεν τὸ ΑΒΓ∠ γλωσσόκομον μετέωρον κείμενον ἀμεταστάτως καὶ ἐκ μὲν τοῦ ΕΖ ἄξονος βάρος ἐξάψωμεν, ἐκ δὲ τοῦ ΜΜ τυμπάνου τὴν ἕλκουσαν δύναμιν τὰ δʹ τάλαντα, οὐδοπότερον αὐτῶν καττυμπάνου

τὴν ἕλκουσαν δύναμιν, οὐδοπότερον αὐτῶν [*](334) κατενεχθήσεται εὐλύτως στρε|φομένων τῶν ἀξόνων καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως καλῶς ἁρμοζούσης, ἀλλʼ ὥσπερ ἐπὶ ζυγοῦ τινος ἰσορροπήσει ἡ δύναμις τῷ βάρει. ἐὰν δὲ ἑνὶ αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον ἕτερον βάρος, καταρρέψει καὶ ἐνεχθήσεται ἐφʼ ὃ προσετέθη βάρος, ὥστε ἐὰν ἓν τῇ τῶν εʹ ταλάντων δυνάμει, εἰ τύχοι, μναϊαῖον προστεθῇ βάρος, κατακρατήσει καὶ ἐπισπάσεται τὸ βάρος.

Ἀντὶ δὲ τῆς προσθέσεως τούτῳ δὲ παρακείσθω κοχλίας τῷ ΧΨ τυμπάνῳ ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμοστὴν τοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου στρεφόμενος εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογγύλοις, ὧν ὁ μὲν ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ γλωσσοκόμου κατὰ τὸν Γ∠ τοῖχον τὸν παρακείμενον τῷ κοχλίᾳ· ἡ ἄρα ὑπεροχὴ τετραγωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν U+A7FCϚ, διʼ ἧς ἐπιλαμβανόμενός τις καὶ ἐπιστρέφων

ενεχθήσεται εὐλύτως στρεφομένων τῶν ἀξόνων καὶ τῆς τῶν τυμπάνων παραθέσεως ἀκριβῶς ἁρμοζούσης, ἀλλʼ ὥσπερ ἐπὶ ζυγοῦ τινος ἰσορροπήσει ἡ δύναμις τῶν δʹ ταλάντων τῷ βάρει τῶν ρξʹ ταλάντων. ἐὰν ἄρα ἑνὶ αὐτῶν προσθῶμεν ὀλίγον τι βάρος, καταρρέψει καὶ ἐνεχθήσεται ἐφʼ ὁπότερον μέρος ἡ πρόσθεσις γεγένηται· εἰ γὰρ λόγου χάριν τῇ τῶν δ΄ ταλάντων δυνάμει μναϊαῖον προστεθῇ βάρος, κατακρατῆσαν ἐπισπάσεται τὸ βάρος τῶν ρξʹ ταλάντων.

Ἀντὶ δὲ τῆς προσθέσεως παρακείσθω κοχλίας | τῷ ΜΜ τυμπάνῳ ὁ Ω‚Α ἔχων τὴν ἕλικα ἁρμόζουσαν τοῖς λοξοῖς ὀδοῦσι τοῦ τυμπάνου τοῦ ΜΜ. τοῦτο δὲ ὡς δεῖ ποιεῖν, ἐν τοῖς αὐτοῖς Μηχανικοῖς Ἥρωνος γέγραπται, καὶ ἡμεῖς δὲ τοῦτο σαφέστερον ἑξῆς γράψομεν. στρεφέσθωο δὲ ὁ κοχλίας εὐλύτως περὶ τόρμους ἐνόντας ἐν τρήμασι στρογγύλοις, ὧν ὁ ἕτερος ὑπερεχέτω εἰς τὸ ἐκτὸς μέρος τοῦ γλωσσοκόμου κατὰ τὸν Γ∠ τοῖχον, καὶ ἡ ὑπεροχὴ τετραγωνισθεῖσα λαβέτω χειρολάβην τὴν ϛ‚Β, διʼ ἧς ἐπιλαβόμενοι καὶ ἐπιστρέφοντες τὸν κοχλίαν ἐπιστρέψομεν καὶ τὸ ΜΜ τύμπανον, ὥστε καὶ τὸ U+A7FCϠ

ἐπιστρέψει τὸν κοχλίαν καὶ τὸ ΧΨ τύμπανον, ὥστε καὶ τὸ ΥΦ συμφυὲς αὐτῷ. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον τὸ ΣΤ ἐπιστραφήσεται καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΠΡ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΟ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ, περὶ ὃν ἐπειλούμενα τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσει τὸ βάρος. ὅτι γὰρ κινήσει, πρόδηλον ἐκ τοῦ προστεθῆναι ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα. ἀπεδείχθη γὰρ ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι τῶν ἐλασσόνων κατακρατοῦσιν, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον κυλίωνται.

Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα πῶς ἔστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. ἐκθησόμεθα

συμφυὲς αὐτῷ. διὰ δὲ τοῦτο καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΧΨ στραφήσεται· καὶ τὸ συμφυὲς αὐτῷ τὸ ΥΦ καὶ τὸ παρακείμενον αὐτῷ τὸ ΣΤ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΠΡ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΞΟ καὶ τὸ τούτῳ συμφυὲς τὸ ΜΝ καὶ τὸ τούτῳ παρακείμενον τὸ ΗΘ, ὥστε καὶ ὁ τούτῳ συμφυὴς ἄξων ὁ ΕΖ, περὶ ὃν ἐπειλοῦντες τὰ ἐκ τοῦ φορτίου ὅπλα κινήσομεν τὸ βάρος. ὅτι γὰρ κινήσεται, δῆλον ἐκ τοῦ προστεθεῖσθαι ἑτέραν δύναμιν τὴν τῆς χειρολάβης, ἥτις περιγράφει κύκλον τῆς τοῦ κοχλίου περιμέτρου μείζονα· ἀπεδείχθη γὰρ ἐν τῷ Περὶ ζυγῶν Ἀρχιμήδους καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος Μηχανικοῖς, ὅτι οἱ μείζονες κύκλοι κατακρατοῦσιν τῶν ἐλασσόνων κύκλων, ὅταν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ἡ κύλισις αὐτῶν γίνηται.

Ὡς Ἥρων

ἐν Μηχανικαῖς εἰσαγωγαῖς καὶ ἐν τοῖς Βελοποιικοῖς.

Ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν. κείσθωσαν ὥστε ὀρθὴν γωνίαν

δέ, φησίν, τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.

Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ, ∠Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β, ΓΑ, καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ [*](64) καὶ κινείσθω | τέμνον τὰς ΓΕ, ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ, ΗΖ. λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ, ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ, ΒΓ.

περιέχειν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ Β∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, Β∠. φανερὸν δή, ὅτι ἴσαι οὖσαι δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας· ὁ γὰρ περὶ μίαν αὐτῶν γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν περάτων τῆς ἑτέρας διὰ τὸ ὀρθογώνιον εἶναι τὸ παραλληλόγραμμον. ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ, ∠Α ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ νοείσθω κανόνιον ὡς τὸ ΖΒΗ κινούμενον περί τινα τύλον μένοντα πρὸς τῷ Β. καὶ κινείσθω, ἕως ἀποτοῦ τέμοις ἴσας τὰς ἀπὸ τοῦ Ε, τουτέστι τὰς ΕΗ, ΕΖ. καὶ νοείσθω ἀποτεμὸν καὶ θέσιν ἔχον τὴν ΖΒΗ ἴσων, ὡς εἴρηται, γινομένων τῶν ΕΗ, ΕΖ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΕΘ. δίχα τέμνει δὴ δηλονότι τὴν Γ∠. ἐπεὶ οὖν δίχα τέμνεται

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η, ΗΑ, ΗΒ, ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠ τῇ ΑΗ καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ, ΗΖ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὧν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ. λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ. ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ, ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ, ΓΕ.

ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Θ καὶ πρόσκειται ἡ ΓΖ, τὸ ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΘ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΘΖ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ. καὶ ἔστι τοῖς μὲν ἀπὸ ΓΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΕ, τοῖς δὲ ἀπὸ ΖΘ, ΘΕ ἴσον τὸ ἀπὸ ΕΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ∠ΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΖ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΗΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΗ. καὶ ἔστιν ἴση ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΗΕ τῇ ΕΖ. καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΓ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠Α. ἐὰν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Ζ∠ πρὸς ∠Η, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ Ζ∠ πρὸς ∠Η, οὕτως ἡ Ζ πρὸς ΓΒ, καὶ ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ. τριγώνου γὰρ τοῦ Ζ∠Η παρὰ μίαν μὲν τὴν ∠ ἦκται ἡ ΓΒ, παρὰ δὲ τὴν ∠Ζ ἡ ΑΒ. ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΓΖ, καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΓΒ. τῶν ἄρα ΑΒ, ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΗ, ΓΖ. ὅπερ ἔδει εὑρεῖν·