Fragmenta

Ταῦτα δ᾿  ἐστὶν οὐ μόνον τὰ παρὰ τῷ θειοτάτῳ Πλάτωνι πέντε σχήματα, τουτέστιν τετράεδρόν τε καὶ ἑξάεδρον, ὀκτάεδρόν τε καὶ δωδεκάεδρον, πέμπτον δ᾿  εἰκοσάεδρον, ἀλλὰ καὶ τὰ ὑπὸ Ἀρχιμήδους εὑρεθέντα τρισκαίδεκα τὸν ἀριθμὸν ὑπὸ ἰσοπλεύρων μὲν καὶ ἰσογωνίων, οὐχ ὁμοίων δὲ πολυγώνων περιεχόμενα.

Τὸ μὲν γὰρ πρῶτον ὀκτάεδρόν ἐστιν περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων △Ζ καὶ ἑξαγώνων δ.

Τρία δὲ μετὰ τοῦτο τεσσαρεσκαιδεκάεδρα, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ς΄, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ς΄ καὶ ἑξαγώνοις η, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄.

Μετὰ δὲ ταῦτα ἑκκαιεικοσάεδρά ἐστιν δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις η καὶ τετραγώνοις ιη, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις ιβ, ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις ς΄.

Μετὰ δὲ ταῦτα δυοκαιτριακοντάεδρά ἐστιν τρία, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τριγώνοις κ καὶ πενταγώνοις ιβ, τὸ δὲ δεύτερον πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ, τὸ δὲ τρίτον τριγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ.

Μετὰ δὲ ταῦτα ἔν ἐστιν ὁκτωκαιτριακοντάεδρον περιεχόμενον ὑπὸ τριγώνων λβ καὶ τετραγώνων ς΄.

Μετὰ δὲ τοῦτο δυοκαιεξηκοντάεδρά ἐστι δύο, ὧν τὸ μὲν πρῶτον περιέχεται τργώνοις κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ, τὸ δὲ δεύτερον τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγώνοις κ καὶ δεκαγώνοις ιβ.

Μετὰ δὲ ταῦτα τελευταῖόν ἐστιν δυοκαιενενηκοντάεδρον, ὃ περιέχεται τριγώνοις π καὶ πενταγώνοις ιβ.

Ὅσας δὲ γωνίας ἕκαστον ἔχει στερεὰς τῶν ιγ τούτων σχημάτων πολυέδρων καὶ ὅσας πλευράς, διὰ τοῦδε τοῦ τρόπου θεωρεῖται ὅσων μὲν γὰρ ἁπλῶς πολυέδρων αἱ στερεαὶ γωνίαι τρισὶν ἐπιπέδοις περιέχονται γωνίαις, ἐξαριθμηθεισῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν πᾶσαι αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, δῆλον ὡς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ, ὅσων δὲ πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται τέσσαρσιν ἐπιπέδοις, ἐξαριθμηθεισῶν πασῶν τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν, ἃς ἔχουσιν αἱ ἕδραι τοῦ πολυέδρου, τοῦ γενομένου ἀριθμοῦ τὸ τέταρτον μέρος ἐστὶν ὁ ἀριθμὸς ὁ τῶν στερεῶν γωνιῶν τοῦ πολυέδρου ὁμοίως δὲ καὶ ὅσων πολυέδρων ἡ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ ε γωνιῶν ἐπιπέδων, τὸ πέμπτον τοῦ πλήθους τῶν ἐπιπέδων γωνιῶν ἐστιν ὁ ἀριθμὸς τοῦ πλήθους τῶν στερεῶν γωνιῶν.

Τῶν δὲ πλευρῶν τὸ πλῆθος, ἃς ἕκαστον ἔχει τῶν πολυέδρων, τόνδε τὸν τρόπον εὑρήσομεν. Ἐξαριθμηθεισῶν γὰρ πασῶν τῶν πλευρῶν, ἂς ἔχει τὰ ἐπίπεδα τὰ περιέχοντα τὸ πολύεδρον, ὁ ἀριθμὸς αὐτῶν δῆλον ὡς ἴσος ἐστὶν τῷ πλήθει τὸν ἐπιπέδων γωνιῶν. Ἀλλ᾿ ἐπειδὴ δύο ἐπιπέδων ἑκὰστη τῶν πλευρῶν αὐτοῦ κοινή ἐστιν, δῆλον ὅτι τοῦ πλήθους τὸ ἥμισυ αἱ πλευραί εἰσι τοῦ πολυέδρου.

Τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν ἀνομοιογενῶν ιγ πολυέδρων, ἐπεὶ περιέχετοι τριγώνοις △Ζ καὶ ἑξαγώνοις δ, γωνίας μὲν ἔχει στερεὰς ιβ, πλευρὰς δὲ ιη. Τῶν μὲν γὰρ τεσσάρων τριγώνων αἵ τε γωνίαι ιβ εἰσὶν καὶ αἱ πλευραὶ ιβ, τῶν

δὲ δ ἑξαγώνων αἵ τε γωνίαι κδ εἰσὶν καὶ αἱ πλευραὶ κδ· γενομένου δὴ τοῦ ἀριθμοῦ παντὸς λϚ΄ ἀναγκαῖόν ἐστιν τὸν μὲν τῶν στερεῶν γωνιῶν ἀριθμὸν τρίτον μέρος εἶναι τοῦ προειρημένου ἀριθμοῦ, ἐπεὶ καὶ ἑκάστη τῶν στερεῶν αὐτοῦ γωνιῶν ἐπιπέδοις γωνίαις περιέχεται γ, τὸ δὲ τῶν πλευρῶν πλῆθος τὸ ἥμισυ τοῦ ἀριθμοῦ, τουτέστιν τοῦ λϚ΄, ὥστε εἶναι πλευρὰς ιη.

Τῶν δὲ τετρακαιδεκαέδρων τὸ πρῶτον περιέχεται τργώνοις η καὶ τετραγώνοις Ϛ΄, ὥστε ἔχειν στερεὰς μὲν γωνίας ιβ ἑκάστη γὰρ αὐτοῦ γωνία ὑπὸ τεσσάρων ἐπιπέδων γωνιῶν περιέχεται· πλευρὰς δὲ ἔχει κδ, Τὸ δὲ δεύτερον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις Ϛ΄ καὶ ἑξαγώνοις η, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ ἑκάστη γὰρ τῶν γωνιῶν αὐτοῦ περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων πλευρὰς δὲ ἔχει λϚ΄, Τὸ δὲ τρίτον τῶν τετρακαιδεκαέδρων, ἐπεὶ περιέχετοι τριγώνοις η καὶ ὁκταγώνοις Ϛ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ, πλευρὰς δὲ λς΄1.

Tῶν δὲ ἑκκαιεικοσαέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε η καὶ τετραγώνοις ιη, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ, πλευρὰς δὲ μη, Τὸ δὲ δεύτερον τῶν ἑκκαιεικοσαέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας μη, πλευρὰς δὲ οβ.

Τῶν δὲ δυοκαιτριακονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ πενταγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας λ, πλευρὰς δὲ ξ. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται πενταγώνοις ιβ καὶ ἑξαγώνοις κ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ 𝔮. Τὸ δὲ τρίτον τῶν δυοκαιτριακονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ δεκαγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ (??).

Τὸ δὲ ὀκτωκαιτριακοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε λβ καὶ τετραγώνοις ἕξ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ, πλευρὰς δὲ ξ.

Tῶν δὲ δυοκαιεξηκονταέδρων τὸ μὲν πρῶτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε κ καὶ τετραγώνοις λ καὶ πενταγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ ρκ. Τὸ δὲ λοιπὸν τῶν δυοκαιεξηκονταέδρων, ἐπεὶ περιέχεται τετραγώνοις λ καὶ ἑξαγωνοις καὶ δεκαγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ρκ, πλευρὰς δὲ ρπ.

Τὸ δὲ δυοκαιενενηκοντάεδρον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις τε π καὶ πενταγώνοις ιβ, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας ξ, πλευρὰς δὲ ρν.

α΄ . Ὀκτάεδρον ἔχει τρίγωνα δ, ἑξάγωνα δὲ δ, πλευρὰς ιη, γωνίας δὲ στερεὰς ιβ, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν ἑξαγωνικαί, μία δὲ τριγωνική, ὥστε λείπειν τῶν δ ὀρθῶν μιᾶς ὀρθῆς γωνίας δύο τριτημορίοις. Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τῆς πρώτης πυραμίδος διαιρουμένων τῶν πλευρῶν αὐτῆς εἰς ἴσα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων καὶ τῶν γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.

β΄. Τεσσαρεσκαιδεκάεδρον περιέχεται ὑπὸ μὲν τριγώνων η, ὑπὸ δὲ τετραγώνων Ϛ΄, ἔχει δὲ πλευρὰς κδ, γωνίας δὲ στερεὰς ιβ, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ δ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν τετραγωνικαί, β δὲ τριγωνικαί, ὥστε λείπειν τῶν δ ὀρθῶν μιᾶς γωνίας ὀρθῆς

δύο τριτημορίοις. Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ κύβου διαιρουμένων δίχα τῶν πλευρῶν αὐτοῦ καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων τῶν η γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.

γ΄. Τεσσαρεσκαιδεκάεδρον περιέχεται ὑπὸ μὲν τετραγώνων Ϛ΄, ὑπὸ δὲ ἑξαγώνων η, ἔχει δὲ πλευρὰς λϚ΄, γωνίας δὲ στερεὰς κδ, ἑκάστη δὲ στερεὰ γωνία περιέχεται ὑπὸ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο μὲν ἑξαγωνικαί, μία δὲ τετραγωνική. Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ ὀκταέδρου τεμνομένης τρίχα ἑκάστης τῶν αὐτοῦ πλευρῶν καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων καὶ τῶν Ϛ΄ γωνιῶν ἐκπιπτουσῶν.

δ΄. Τὸ δὲ τρίτον, ἐπεὶ περιέχεται τριγώνοις η καὶ ὀκταγώνοις Ϛ΄, ἕξει στερεὰς μὲν γωνίας κδ· ἑκάστη δὲ περιέχεται ὑπὸ γ γωνιῶν ἐπιπέδων, ὧν δύο ὀκταγωνικαί, μία δὲ τριγωνική πλευρὰς δὲ ἔχει λϚ΄, Τοῦτο γεννᾶται ἐκ τοῦ κύβου τεμνομένης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς οὕτως, ὥστε γίνεσθαι τρία τμήματα, ὧν τὸ μέσον ἑκατέρου τῶν ἄκρων διπλάσιόν ἐστιν δυνάμει.

ε΄. Ἑκκαιεικοσάεδρον γεννᾶται ἐκ τοῦ τεσσαρεσκαιδεκαέδρου τοῦ περιεχομένου ὑπὸ η τριγώνων καὶ Ϛ΄ τετραγώνων τεμνομένης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς δίχα καὶ διὰ τῶν τομῶν ἐκβαλλομένων ἐπιπέδων καὶ---

Ὧν εἰδέναι καὶ Πλάτωνα τὸ τεσσαρεσκαιδεκάεδρον, εἶναί τε τοῦτο διπλοῦν, τὸ μὲν ἐξ ὀκτὼ τριγώνων καὶ τετραγώνων ἓξ σύνθετον, ἐκ γῆς καὶ ἀέρος, ὅπερ καὶ

τῶν ἀρχαίων τινὲς ᾔδεσαν, τὸ δὲ ἕτερον πάλιν ἐκ τετραγώνων μὲν ὀκτώ, τριγώνων δὲ  Ϛ΄, ὃ καὶ χαλεπώτερον εἶναι δοκεῖ.