Adversus Mathematicos

ὁπότερον δ’ ἂν λέγωσι τούτων οἱ γεωμέτραι, εἰς ἄλυτον σχεδὸν ἀπορίαν ἐμπεσοῦνται. εἰ μὲν γὰρ διεστᾶσιν ἀπ’ ἀλλήλων, ἔσται τι μέρος τῆς ἐπιπέδου τὸ μὴ κυκλογραφούμενον καὶ τῆς γραμμῆς τὸ μὴ Κυκλογραφοῦν, ὅπερ κατὰ τοῦτο τέτακται τὸ διάστημα τῆς ἐπιπέδου.

τοῦτο δὲ ἦν ἄτοπον· καὶ γὰρ ἔχει σημεῖον ἡ γραμμὴ πάντως κατὰ τόδε τὸ μέρος, καὶ τὸ σημεῖον κατὰ τοῦτο στρεφόμενον Κυκλογραφεῖ· τὸ γὰρ ἢ τὴν γραμμὴν μὴ ἔχειν κατά τι μέρος αὐτῆς σημεῖον, ἢ τὸ σημεῖον στρεφόμενον μὴ γράφειν κύκλον, παρὰ τὸν γεωμετρικόν ἐστι λόγον.

εἰ δὲ συνεχεῖς εἰσιν οἱ κύκλοι, ἤτοι οὕτω συνεχεῖς εἰσιν ὡς κατὰ τὸν αὐτὸν τετάχθαι τόπον, ἢ ὥστε ἄλλον παρ’ ἄλλον νοεῖσθαι μεταξὺ μὴ δυναμένου τινὸς παρεμπεσεῖν σημείου· παρεμπῖπτον γὰρ ὀφείλει κύκλον γράφειν. καὶ εἰ μὲν τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον, εἰς γενήσονται πάντες, καὶ διὰ τοῦτο ὁ μέγιστος κύκλος [*](418—425 ~ adv. math. III 65—70.) [*](30 δὲ NLE: δὴ ς 31 <ὥς φασι> γραμμῆς ς 2 fort. <ἡ> εὐθεῖα cf. p. 710, 20 11 ἦν <τὸ> ἄτοπον N <εἰ>)

εἰ γὰρ ὁ μὲν ἐνδοτάτω κύκλος καὶ πρὸς τῷ κέντρῳ ἐστὶν ἐλάχιστος, ὁ δὲ ἐξωτάτω καὶ πρὸς τῇ περιφερείᾳ μέγιστος καθέστηκεν, πάντες δὲ τὸν αὐτὸν γαιέχουσι τόπον, ἔσται ἴσος τῷ μεγίστῳ κύκλῳ ὁ ἐλάχιστος κύκλος· ὅπερ ἐστὶν ἀπεμφαῖνον. οὐ τοίνυν οὕτως συνεχεῖς εἰσιν οἱ κύκλοι ὡς τὸν αὐτὸν ἐπειληφέναι τόπον.

εἰ δὲ παράκεινται ἀλλήλοις ὡς μὴ παρεμπίπτειν μεταξύ τι σημεῖον, συμπληροῦσι τὸ τῆς ἐπιπέδου πλάτος τὸ ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐσχάτης περιφερείας. ἐπεὶ οὖν τὸ συμπληρωτικὸν πλάτους ἐξ ἀνάγκης ἔχει πλάτος, οἱ κύκλοι συμπληροῦντες τὸ τῆς ἐπιπέδου πλάτος ἕξουσι πλάτος. ἦσαν δὲ γραμμαὶ οἱ κύκλοι· τοίνυν αἱ γραμμαὶ οὔκ εἰσιν ἀπλατεῖς.

Ἔνεστι δὲ ἀπὸ τῆς αὐτῆς δυνάμεως ὁμοιότροπον συνθεῖναι ἀπόδειξιν. φασὶ γὰρ οἱ γεωμέτραι τὴν κυκλογραφοῦσαν εὐθεῖαν δι’ αὑτῆς στρεφομένην Κυκλογραφεῖν. διόπερ συνερωτῶντες αὐτοὺς φήσομεν· “εἰ ἡ κυκλογραφοῦσα εὐθεῖα δι’ αὑτῆς τὸν κύκλον γράφει, οὐκ ἔστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή· ἡ δὲ Κυκλογραφοῦσα εὐθεῖα κατ’ αὐτοὺς δι’ αὑτῆς τὸν κύκλον γράφει· οὐκ ἄρα μῆκος ἀπλατές ἐστιν ἡ γραμμή.”

ὅταν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου εὐθεῖα ἀγομένη στρέφηται καὶ δι’ αὑτῆς γράφῃ τὸν κύκλον, ἤτοι κατὰ πάντων τῶν μερῶν τοῦ ἐντὸς τῆς περιφερείας πλάτους φέρεται ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ κατὰ τινῶν μὲν φέρεται, κατὰ τινῶν δὲ οὐδαμῶς. ἀλλ’ εἰ κατὰ τινῶν μὲν φέρεται, κατὰ τινῶν δὲ μή, πάντως οὐ γράφει κύκλον, καθ’ ὧν μὲν φερομένη μερῶν τῆς ἐπιπέδου, καθ’ ὧν δὲ μὴ φερομένη. εἰ δὲ κατὰ πάντων φέρεται, ὅλον τὸ ἐντὸς τῆς περιφερείας πλάτος καταμετρήσει, πλάτος δὲ καταμετροῦν ἕξει πλάτος· τὸ γὰρ πλάτους καταμετρητικὸν [*](426—427 ~ adv. math. III 71—73.) [*](24 περιφερείᾳ Bekk.: ἐπιφανεία G 30 οὖν om. E 7 δι om. LEς 7 οὐκ — 9 γράφει om. N 11 γράφη L: γράφει NEς 13 κατὰ <τῶν> τινων N 17/18 ἐντὸς τῆς Bekk.: τῆς ἐντὸς 19 καταμετρικὸν ς)

τοίνυν οὐδὲ διὰ τοῦτο ῥητέον μῆκος ἀπλατὲς εἶναι τὴν γραμμήν.

Τὸ δὲ αὐτὸ σαφέστερον γίνεται καὶ ὅταν λέγωσιν οἱ γεωμέτραι τὴν [γραμμὴν] πλάγιον τοῦ τετραγώνου πλευρὰν καταγομένην δι’ αὑτῆς τὸ παραλληλόγραμμον ἐπίπεδον καταμετρεῖν. εἰ γὰρ μῆκος ἀπλατές ἐστιν ἡ γραμμή, πάντως καὶ ἡ πλευρὰ τοῦ τετραγώνου ἀπλατὴς οὖσα γραμμὴ οὐ καταμετρήσει τὸ παραλληλόγραμμον ἐπίπεδον πλάτος ἔχον· ἢ καταμετροῦσα τοῦτο ἕξει καὶ αὐτὴ πλάτος ᾧ καταμετρεῖ. ὥστε ἢ τὸ θεώρημα αὐτοῖς γίνεται ψευδές, ἢ ὅτι ἡ γραμμὴ μῆκός ἐστιν ἀπλατές.

Τόν τε κύλινδρον κατ’ εὐθεῖάν φασι γραμμὴν ἅπτεσθαι τῆς ἐπιπέδου, ἐκκυλιόμενόν τε τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖν τὴν ἐπίπεδον. εἰ δὴ καὶ κατ’ εὐθεῖαν ἅπτεται τῆς ἐπιπέδου ὁ κύλινδρος καὶ κυλιόμενος τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖ τὴν ἐπίπεδον, πάντως καὶ ἡ ἐπίπεδος ἐξ εὐθειῶν συνέστηκε γραμμῶν καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πάλιν ἐξ εὐθειῶν ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ἡ ἐπίπεδος πλάτος ἔχει, ἔχει δὲ καὶ ἡ τοῦ κυλίνδρου ἐπιφάνεια, τὸ δὲ πλάτους συμπληρωτικὸν οὐκ ἔστιν ἀπλατές, αἱ γραμμαὶ πλάτος συμπληροῦσαι οὐ γενήσονται ἀπλατεῖς.

Ἔτι κἂν δῶμεν τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν, οὐδὲν ἧττον ἄπορος εὑρεθήσεται τοῖς γεωμέτραις ὁ περὶ τοῦ σώματος λόγος. ὥσπερ γὰρ τὸ σημεῖον ῥυὲν ποιεῖ γραμμήν, οὕτω καὶ ἡ γραμμὴ ῥυεῖσα ποιεῖ ἀπιφάνειαν, ἥτις ἐστὶ πέρας σώματος δύο ἔχον διαστάσεις, μῆκός τε καὶ πλάτος.

ἐπείπερ οὖν ἡ ἐπιφάνεια πέ- [*](428 ~ adv. math. III 74.) [*](429~ adv. matli. ΙΙΙ 75—76.) [*](430—436 ~ adv. math. 77—82.) [*](23 γραμμὴν del. Bekk. cf. p. 712, 13 27 παρακυκλόγραμον N 32 ἐκκυλιόμενον — 474, 1 ἐπίπεδον om. E 1 καταμετρεῖν — 3 θέσει om. ς 1 τὴν — 4 καταμετρεῖ om. N 7 τὸ LEς: τοῦ N)

καὶ εἰ μὲν τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, τουτέστι τὰ σώματα· ὅπερ ἦν ἄτοπον. εἰ δὲ τὰ πεπερατωμένα τῶν ’π’ πεπερατωμένων ἅπτεται, τουτέστι σώματα σωμάτων, δεήσει ταῦτα τῶν οἰκείων περάτων ἐκτὸς γίνεσθαι· ὃ πάλιν ἄτοπον.

εἰ δὲ καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται ταὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων, συνδραμοῦνται αἱ ἀπορίαι· ἡ μὲν γὰρ τὰ πέρατα ἀλλήλων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα ἀλλήλων οὐχ ἅψεται, ἡ δὲ ταῦτα ἀλλήλων θιγγάνει, ἐκτὸς ἔσται τῶν οἰκείων περάτων.

καὶ μὴν εἴπερ πέρας ἐστὶν ἡ ἐπιφάνεια, πεπερατωμένον δὲ τὸ σῶμα, ἤτοι σῶμά ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια ἢ ἀσώματον. καὶ εἰ μὲν σῶμά ἐστι, ψεῦδος τὸ ἀβαθῆ εἶναι τὴν ἐπιφάνειαν· πᾶν γὰρ σῶμα βάθους μετεῖχεν. εἶτα οὐδὲ ἅψεταί τινος τὸ πέρας, ἀλλὰ πᾶν σῶμα γενήσεται ἀπειρομέγεθες·

εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια, ἐπεὶ πᾶν σῶμα πέρας ἔχει, εἀκεῖνο #x003C; πέρας πάλιν σῶμα ὂν ἕξεΙ πέρας, κἀκεῖνο τρίτον, καὶ τὸ τρίτον τέταρτον, καὶ οὕτως εἰς ἄπειρον. εἰ δὲ ἀσώματός. ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια, ἐπεὶ τὸ ἀσώματον οὐδενὸς δύναται θιγεῖν οὐδὲ ὑπό τινος θιχθῆναι, τὰ πέρατα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, τούτων δὲ μὴ ἁπτομένων οὐδὲ τὰ πεπε- [*](434 ~ Hjp. ΙΙΙ 41—44.) [*](21 πέρασμα L 2 αἱ om. ’ς 11 τὸ add. Bekk. cf. p. 714, 4 13/14 θιγεῖν δύναται N 14 οὐδὲ Bekk.: οὔτε G)

ὥστε κἂν τῆς γραμμῆς ἀποστῶμεν, ὅ Ἴε περὶ τῆς ἐπιφανείας λόγος ἄπορος ὢν εἰς ἐποχὴν ἡμᾶς καθίστησιν.

Νῦν μὲν οὖν πεποιήμεθα τἀς ζητήσεις ἐχόμενοι τῶν ἐννοιῶν τῶν τοῦ σώματος καὶ τῶν περάτων, ἔτι δὲ καὶ τῶν γεωμετρικῶν θεωρημάτων·

ἔνεστι δὲ κἀκεῖνον τὸν λόγον παραλαμβάνειν, σθεναρῶς συνάγοντα τὸ προκείμενον. εἰ γὰρ ἔστι τι σῶμα, ἤτοι αἰσθητόν ἐστιν ἢ νοητόν. καὶ αἰσθητὸν μὲν οὐκ ἔστιν. ἀθρόα γὰρ ἦν ποιότης κατ’ ἐπισύνθεσιν σχήματος καὶ μεγέθους καὶ ἀντιτυπίας λαμβανομένη· ποιότης δὲ κατ’ ἐπισύνθεσίν τινων λαμβανομένη οὐκ ἔστιν αἰσθητή· καὶ τὸ σῶμα ἄρα, ὡς σῶμα νοούμενον, οὐκ ἔστιν αἰσθητόν. καὶ μὴν οὐδὲ νοητόν.

ἴνα γὰρ γένηται νόησις σώματος, ὀφείλει ἐν τῇ φύσει τῶν πραγμάτων ὑποκεῖσθαί τι αἰσθητόν, ἀφ’ οὗ γενήσεται ἡ τοῦ σώματος νόησις. οὐδὲν δὲ ἔστιν ἐν τῇ φύσει τῶν πραγμάτων παρὰ τὸ σῶμα καὶ <τὸ> ἀσώματον, ὧν τὸ μὲν αὐτόθεν ἐστὶ νοητόν, τὸ δὲ σῶμα οὐκ αἰσθητόν, ὡς δέδεικται ἡμῖν.

μὴ ὄντος οὖν ἐν τῇ φύσει τῶν πραγμάτων αἰσθητοῦ τινὸς ἀφ’ οὗ <ἡ> νόησις ἔσται τοῦ σώματος, νοητὸν ἔσται τὸ σῶμα. εἰ δὲ μήτε αἰσθητόν ἐστι μήτε νοητόν, παρὰ δὲ ταῦτα οὐδὲν ἔστι, ῥητέον μηδὲν εἷναι τὸ σῶμα.

Ἀλλ’ ἐπεὶ ἐν τούτοις ὁ περὶ τῶν σωμάτων λόγος πέφηνεν ἄπορος, ἀπ’ ἄλλης ἀρχῆς πειρασόμεθα διδάσκειν, ὅτι καὶ ὁ περὶ τῶν λειπομένων ἀσωμάτων ὅμοιός ἐστι τούτῳ.